대수의 법칙

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통계에 관한 시리즈의 일부
확률론
확률 악리 결정론 시스템. 부정론 랜덤성
확률 공간 샘플 공간 이벤트 종합적인 이벤트 초급 이벤트 상호 배타성 결과 싱글턴 실험. 베르누이 재판 확률 분포 베르누이 분포 이항 분포 정규 분포 확률 측도 랜덤 변수 베르누이 과정 연속 또는 이산 기대치 마르코프 연쇄 관측치 랜덤 워크 확률 과정
보충 이벤트 결합 확률 한계 확률 조건부 확률
인디펜던스 조건부 독립성 확률의 법칙 대수의 법칙 베이즈 정리 불의 부등식
벤도 트리 다이어그램
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확률론에서, 큰 숫자의 법칙(LLN)은 같은 실험을 여러 번 수행한 결과를 설명하는 정리이다.법률에 따르면, 많은 수의 시험에서 얻은 결과의 평균은 기대치에 가까워야 하며,^[1] 더 많은 시험을 할수록 기대치에 가까워지는 경향이 있다.

LLN은 일부 랜덤 ^[1][2]사건의 평균에 대해 안정적인 장기적 결과를 보장하므로 중요합니다.예를 들어, 카지노는 룰렛 휠을 한 바퀴 돌면 손해를 볼 수 있지만, 그 수익은 많은 회전수에 걸쳐 예측 가능한 비율에 가까워질 것이다.선수의 연승은 결국 게임의 매개 변수에 의해 극복될 것이다.중요한 것은 다수의 관측치를 고려할 때만 (이름에서 알 수 있듯이) 법이 적용된다는 것입니다.소수의 관측치가 기대치와 일치하거나 한 값의 문자열이 다른 값에 의해 즉시 "균형"된다는 원칙은 없습니다(도박자의 오류 참조).

LLN은 평균에만 적용된다는 점도 중요합니다.그렇기 때문에

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}\sum _{i=1}^{n}{\frac {X_{i}}}=오버라인 {X}}}$

"이론적 결과"로부터의 원시 편차 등 유사해 보이는 다른 공식은 검증되지 않습니다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}-n\times {X}$

n이 증가할수록 0으로 수렴되지 않을 뿐만 아니라 n이 증가할수록 절대값이 증가하는 경향이 있습니다.

예

예를 들어, 균일한 6면 다이의 단일 롤은 각각 확률이 동일한 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 또는 6 중 하나를 생성합니다.따라서 롤 평균의 기대값은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {1+2+3+4+5+6}{6}=3.5}$

큰 숫자의 법칙에 따르면 6면체 주사위를 많이 굴리면 주사위를 많이 굴릴수록 그 값(샘플 평균이라고도 함)의 평균은 3.5에 가까워지고 정밀도는 높아집니다.

대수의 법칙에 따라 일련의 베르누이 시도에서 성공할 경험적 확률은 이론적인 확률로 수렴됩니다.베르누이 랜덤 변수의 경우 기대값은 이론적 성공 확률이며, 이러한 변수 n개의 평균(독립적이고 동일한 분포(i.d.))은 정확한 상대 빈도입니다.

예를 들어 공정한 동전 던지기는 베르누이 재판이다.공정한 동전을 한 번 던졌을 때, 결과가 앞면이 될 이론적 확률은 다음과 같습니다. 따라서 큰 숫자의 법칙에 따르면 많은 동전 던지기에서의 헤드 비율은 대략 1⁄2가 되어야 한다.특히 n번의 플립 후 헤드의 비율은 n번의 플립이 무한대에 가까워짐에 따라 거의 확실하게 1⁄2로 변환됩니다.

앞면(및 뒷면)의 비율이 1⁄2에 근접하지만, 뒤집기 횟수가 커짐에 따라 앞면과 뒷면 수의 절대 차이가 커집니다.즉, 플립 횟수가 커짐에 따라 절대 차이가 0에 가까워질 확률이 높아집니다.또한 플립 횟수에 대한 절대차이의 비율이 0에 가까워질 것이 거의 확실하다.직관적으로 예상 차이는 커지지만 플립 횟수보다 느린 속도로 증가합니다.

LLN의 또 다른 좋은 예는 몬테카를로 방법입니다.이 방법들은 수치 결과를 얻기 위해 반복적인 무작위 샘플링에 의존하는 광범위한 계산 알고리즘이다.반복 횟수가 많을수록 근사치가 더 좋은 경향이 있습니다.이 방법이 중요한 이유는 주로 다른 ^[3]접근법을 사용하는 것이 어렵거나 불가능하기 때문이다.

제한

많은 수의 시행을 통해 얻은 결과의 평균이 수렴되지 않는 경우가 있습니다.예를 들어, 코시 분포 또는 일부 파레토 분포(α<1)에서 얻은 n개의 결과의 평균은 n개가 커지면 수렴되지 않습니다. 이유는 두꺼운 꼬리가 있기 때문입니다.코시 분포와 파레토 분포는 두 가지 경우를 나타냅니다. 코시 분포는 ^[4]기대치가 없는 반면 파레토 분포(α<1)의 기대치는 ^[5]무한합니다.코시 분포 예제를 생성하는 한 가지 방법은 난수가 -90°와 +90° 사이의 균등하게 분포된 각도의 탄젠트와 동일한 경우입니다.중위수는 0이지만 기대값은 존재하지 않으며, 실제로 이러한 변수 n개의 평균은 이러한 변수 1개와 동일한 분포를 가집니다.n이 무한대로 이동하기 때문에 0(또는 다른 값)으로 수렴되지 않습니다.

만약 그 실험은 선택 편향, 인간economic/rational 행동에 전형적인 깊이 새겨 그리고, 많은 수의 법은 편견을 해결하는데 도움이 되지 않는다.비록 시련의 수가 증가는 선택 편향으로 남아 있다.

역사

이탈리아의 수학자 지롤라모 카르다노(1501–1576)증거는 경험적 통계의 정확도 실험의 수가 개선되는 경향이 있지 않고 밝혔다.[6]이 많은 학생들 법률적으로 공식화 되어졌다.는 가입 자선 회선 망(이진 확률 변수에)의 특별한 형태 처음으로 야코프 베르누이에 의해 증명되었다.[7]20년에 걸쳐 그의 아르스 Conjectandi(그 미술 Conjecturing의)에서 1713년에 발표된 충분히 엄격한 수학적 증명을 개발하기 위해 데려갔다.그는 나중에는 일반적으로"베르누이의 정리"로 알려진 이것이 그의"골든 정리"라고 이름 붙였다.이 베르누이의 원리, 야코프 베르누이의 조카 다니엘 베르누이의 이름을 딴 혼동하지 않아야 한다.1837년, S. D. 푸아송은 더 나아가 "대수의 법칙"^[8][9]이라는 이름으로 그것을 묘사했다.이후 두 가지 이름으로 알려졌지만 '대수의 법칙'이 가장 많이 쓰인다.

베르누이와 푸아송이 그들의 노력을 발표한 후, 체비셰프,^[10] 마르코프, 보렐, 칸텔리, 콜모고로프, 킨친을 포함한 다른 수학자들 또한 법의 정화에 기여했다.마르코프는 법칙이 다른 약한 가정 하에서 유한한 분산을 가지지 않는 랜덤 변수에 적용될 수 있다는 것을 보여주었고, 킨친은 1929년에 만약 그 급수가 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수로 구성된다면, 큰 수의 약한 법칙에 대한 기대치가 ^[11][12]참이 되는 것으로 충분하다는 것을 보여주었다.이러한 추가 연구는 두 가지 형태의 LLN을 만들어냈다.하나는 "약한" 법칙이고 다른 하나는 "강한" 법칙으로 불리며, 이는 누적 표본 평균이 기대치에 수렴하는 두 가지 다른 모드와 관련이 있습니다. 특히 아래에 설명된 바와 같이 강한 형태는 ^[11]약자를 의미합니다.

폼

대수의 법칙에는 다음 두 가지 다른 버전이 있습니다.그것들은 대수의 강한 법칙과 ^[13][1]대수의 약한 법칙이라고 불립니다.X, X₂, ...가 독립적이고 동등하게 분포된(예: d.) 르베그 적분 가능 랜덤 변수의 무한 시퀀스이며 기대값은 E(X₁) = E(X₂) = ...인 경우에₁ 대해 기술된다.= µ, 두 법률 버전 모두 표본의 평균이 명시되어 있습니다.

$({displaystyle {X}_{n}=black {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})})$

는 예상값으로 변환됩니다.

${\displaystyle {X}_{n} to \mu quad {textrm {as} \n} to \infty }$ (1)

(X의_j 르베그 적분성은 기대치 E(X_j)가 르베그 적분에 따라 존재하고 유한하다는 것을 의미한다.이는 르베그 측정과 관련하여 관련 확률 측정이 절대 연속적이라는 것을 의미하지는 않습니다.

도입 확률 텍스트는 종종 동일한 유한 ${\displaystyle \mathrm{분산}}$ Var${\displaystyle }$δ ($) =$ ${\displaystyle {\delta \mathrm{}}^{}}$2 ($모든$$$i \$style$$$i ) =\$sigma$^{$2}$ $$$(모든$ $i{\displaystyle }$ \$style$i$$)에 대해)를 추가로 가정하며 랜덤 변수 간에 상관관계가 없다.이 경우 n개의 랜덤 변수 평균의 분산은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {Var}({\overline {X}_{n})=\operatorname {Var}(\tfrac {1}{n}(X_{1}+\cdots +X_{n})=parfrac {1}{n^2}}\operatorname {Var}(X_{CD})}$

증거를 단축하고 단순화하는 데 사용할 수 있습니다.유한 분산에 대한 이러한 가정은 필요하지 않다.분산이 크거나 무한하면 컨버전스가 느려지지만 ^[14]LLN은 그대로 유지됩니다.

랜덤 변수의 상호 독립성은 두 법률 버전 모두에서 쌍별 독립성^[15] 또는 교환성으로^[16] 대체될 수 있습니다.

강한 버전과 약한 버전의 차이는 수렴 모드가 주장되는 것과 관련이 있습니다.이러한 모드의 해석은 랜덤 변수의 수렴을 참조하십시오.

약한 법칙

큰 숫자의 약한 법칙(Khinchin의 법칙이라고도 함)은 표본 평균이 예상^[17] 값으로 수렴된다는 것을 나타냅니다.

${\displaystyle {begin{matrix}\{\오버라인 {X}_{n}\{xrightarrow {P}\\mu\qquad {textrm {when}}\n\infty}\mu\xtextrm {textrm}\\infty.\\{}\end{filename}}$ (2)

즉, 임의의 양수 ,에 대해

$\displaystyle \lim _{n\to \infty}\Pr \!\left(\overline {X}_{n}-\mu <\varepsilon \,\right)= 1}$

이 결과를 해석하면, 약한 법칙은 지정된 0이 아닌 한계(θ)에 대해, 아무리 작은 표본이라도 충분히 큰 표본이 있으면 관측치의 평균이 기대치에 근접할 확률이 매우 높다고 명시하고 있습니다. 즉, 한계 내에 있습니다.

앞에서 설명한 바와 같이, 약한 법칙은 i.i.d. 랜덤 변수의 경우에도 적용되지만, 다른 경우에도 적용됩니다.예를 들어, 시계열의 각 랜덤 변수에 대해 분산이 달라서 기대값을 일정하게 유지할 수 있습니다.분산에 경계가 있는 경우, 체비셰프가 1867년에 제시한 바와 같이 법칙이 적용됩니다(기대값이 시리즈 중에 변화하면, 우리는 단순히 각각의 기대값으로부터의 평균 편차에 법칙을 적용할 수 있습니다).그러면 이 법칙은 확률이 0으로 수렴된다고 기술합니다.)사실, 체비셰프의 증명은 처음 n개 값의 평균의 분산이 0이 되는 한 n개가 ^[12]무한대로 가는 한 효과가 있습니다.예를 들어, 시리즈의 각 랜덤 변수가 평균 0을 갖는 가우스 분포를 따르지만 분산이 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle /}$ ${\displaystyle \log }$µ (${\displaystyle n}$ +${\displaystyle 1}$) {$displaystyle 2n/\log(n+1$경계 없음)에 해당한다고 가정합니다.각 단계에서 평균은 정규 분포를 따릅니다(정규 분포 변수 집합의 평균).합계의 분산은 분산의 합과 같으며, 이는 n ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle \log n}$n \ $style$ n$^{2}$ / \ $log$n $\}$의 점근입니다.따라서 평균의 분산은 1${\displaystyle /\log }$ µ $(\displaystyle$ 1$/\log$ n$)$에 점근적으로 나타나며 0이 됩니다.

기대치가 존재하지 않더라도 약한 법칙이 적용되는 사례도 있다.

강력한 법칙

큰 숫자의 강한 법칙(콜모고로프의 법칙이라고도 함)은 표본 평균이 기대값으로^[18] 거의 확실하게 수렴된다는 것을 나타냅니다.

${\displaystyle {begin{matrix}\{\오버라인 {X}_{n}\xrightarrow\text{a.s}.} \ mu \ qquad { textrm { when } \ n \ to \ infty 。\\{}\end{filename}}$ (3)

그것은,

$\displaystyle \Pr \!\left(\lim _{n\to \infty }{\overline {X}_{n}=\mu \right}=1).}$

즉, 시행 횟수 n이 무한대로 증가함에 따라 관측치의 평균이 기대값으로 수렴될 확률은 1입니다.강력한 법률의 현대적인 증거는 약한 법률의 증거보다 더 복잡하며, 적절한 ^[14]후속 조치에 의존합니다.

큰 수의 강한 법칙은 점별 에르고드 정리의 특별한 경우로 볼 수 있다.이 관점은 "장기 평균"으로 반복적으로 표본 추출할 때 랜덤 변수의 기대값(르베그 적분의 경우에만 해당)을 직관적으로 해석할 수 있음을 정당화한다.

법칙 3은 강하게(거의 확실하게) 수렴하는 랜덤 변수가 약하게(확률적으로) 수렴하는 것을 보장하므로 강한 법칙이라고 합니다.그러나 약한 법칙은 강한 법칙이 유지되지 않고 수렴이 약한 특정 조건(확률)에서 유지되는 것으로 알려져 있습니다.# 약한 법과 강한 법의 차이를 참조하십시오.

강한 법칙은 약한 법칙과 같이 기대값을 갖는 독립적이고 동일한 분포 랜덤 변수에 적용됩니다.이것은 1930년 콜모고로프에 의해 증명되었다.그것은 다른 경우에도 적용될 수 있다.콜모고로프는 또한 1933년에 변수가 독립적이고 동일한 분포를 보인다면, 평균이 어떤 것에 거의 확실하게 수렴하기 위해서는(이것은 또 다른 강력한 법칙의 진술로 간주될 수 있다), 기대치가 있어야 한다는 것을 보여주었다(그리고 물론 평균은 그것에 ^[19]대해 거의 확실하게 수렴할 것이다).

summands가 독립적이지만 균등하게 분포되지 않은 경우

${\displaystyle {\begin{matrix}\{\overline {X}_{n}-\operatorname {E}{big [\overline {X}_{n}{\big]}\xrightarrow {text}.s.} \ 0 , \ { } \ end { } }$ (2)

각각의_k X가 유한한 두 번째 모멘트를 가지며

${\displaystyle _{k=1}^{\infty}{\frac {1}{k^{2}}\operatorname {Var}[X_{k}<\infty.}$

이 문장은 Kolmogorov의 강력한 법칙으로 알려져 있습니다.Sen & Singer(1993년, 정리 2.3.10).

약한 법과 강한 법의 차이점

약한 법칙에 따르면 특정 큰n의 경우 $평균{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ X${\$ ${\displaystyle n_{}}$({ $displaystyle${ $X}}_{$n$$})은 μ에 가깝습니다. Xn - > ${\$ { $displaystyle${ $X$} $_${ $n$} - \ $mu$> \ $varepsilon$}이(가) 드물게 발생하지만 무한히 발생할 가능성이 있습니다(모든 $n$에 대해 X$$ - μ${\displaystyle 0}$0 \ $displaystyle$ { $X} _$ { n } - n } \$mu$） 。

강력한 법은 이것이 거의 일어나지 않을 것이라는 것을 보여준다.확률 1에서 부등식 - $<$ \ $displaystyle \ overline${ $X$} _ { n} - \ $mu$ < \ varepsilon $}$ 이 ^[20]n 을 가지는 것은 아닙니다.컨버전스가 반드시 집합에서 균일하다고는 할 수 없기 때문입니다.

다음과 같은 경우에는 강력한 법이 적용되지 않지만 약한 법은 ^[21][22]해당된다.

대수의 균등 법칙

f(x, ))가 θ θ ,에 정의되어 θ에서 연속되는 함수라고 가정합니다.그 후 임의의 고정 δ에 대해 시퀀스 {f₁(X,θ), f₂(X,θ), ...}는 독립적이고 균등하게 분포된 랜덤 변수의 시퀀스가 되므로 이 시퀀스의 샘플 평균은 확률적으로 E[f(X,θ)]로 수렴됩니다.이것은 포인트 단위( 「」) 컨버전스입니다.

대수의 균등법칙은 수렴이 균일하게 일어나는 조건을 θ에서 기술한다.만약^[25][26]

1. θ는 콤팩트하고
2. f(x, θ)는 거의 모든 x에 대해 각 θ θ에서 연속적이며 각 θ에서 x의 측정 가능한 함수는 측정 가능하다.
3. E[d(X)] < ,와 같은 지배함수 d(x)가 존재한다.

$\displaystyle \f(x,\theta)\right\leq d(x)\quad\text{for all}\theta\in\theta.$

그러면 E[f(X,))]는 ,로 연속됩니다.

$\displaystyle \sup _{\theta \in \theta }\left\{i=1}^{n}f(X_{i},\theta)-\operatorname {E}[f(X,\theta)]\rightarrow {{mathBB}\p} }.$

이 결과는 많은 종류의 추정치의 일관성을 도출하는 데 유용합니다(Extremum 추정기 참조).

보렐의 대수의 법칙

에밀 보렐의 이름을 딴 보렐의 대수의 법칙은 실험이 동일한 조건에서 독립적으로 여러 번 반복된다면, 특정 사건이 발생하는 횟수의 비율은 거의 모든 특정 시험에서 사건이 발생할 확률과 같다. 더 많은 반복 횟수는근사치가 더 좋은 경향이 있습니다.보다 정확하게는, E가 문제의 사건을 나타내며, p의 발생 확률과_n N(E)이 첫 번째 n번의 시행에서 E가 발생하는 횟수를 나타낸다면, 그 확률은 ^[27]1이다.

${\displaystyle {N_{n}(E)}{n}\text{ as }n\infty.}\displaystyle(\frac {N_{n}(E)}\text{\to\infty}}}$

이 정리는 사건의 발생의 장기 상대 빈도로서 확률의 엄격한 직관적 개념을 만든다.이것은 확률론에서 더 많은 수의 일반 법칙 중 하나의 특별한 경우이다.

체비셰프의 부등식.X를 유한한 기대치 μ와 유한한 비제로의 분산θ를² 갖는 랜덤 변수로 한다.다음으로 임의의 실수 k >0에 대해서

$\displaystyle \Pr( X-\mu \geq k\sigma )\leq {frac {1}{k^{2}}.}$

약법의 증거

X, X₂, ... 유한 기대치 1) 2 <μ < { \ $displaystyle$ E$(X_{1$}) =$E(X_{2$})=\$cdots$ =\$mu <\infty$$}$인 i.i.d. 랜덤 변수의 무한 시퀀스가 주어지면₁, 우리는 표본 수렴 평균에 관심이 있다.

많은 수의 약한 법칙은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {begin{matrix}\{\오버라인 {X}_{n}\{xrightarrow {P}\\mu\qquad {textrm {when}}\n\infty}\mu\xtextrm {textrm}\\infty.\\{}\end{filename}}$ (2)

유한 분산을 가정한 체비셰프의 부등식을 사용한 증명

이 증명에서는 유한 ${\displaystyle \mathrm{분산}}$ Var ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ )$=$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ 2$$( $X$_ {$i$ } =\$sigma ^$ {2} $$$($$모든{\displaystyle }$ i$$\ $display style$i $$)의 가정을 사용합니다.랜덤 변수의 독립성은 이들 사이에 상관관계가 없음을 의미하며, 우리는 그것을 가지고 있다.

시퀀스의 공통 평균 μ는 표본 평균의 평균입니다.

${\displaystyle X_{}}$에 체비셰프의 $부등식$을 $사용하면 다음$과 같이$$ $됩니다.$

이를 통해 다음 정보를 얻을 수 있습니다.

n이 무한대에 가까워지면 식은 1에 가까워집니다.그리고 확률의 수렴의 정의에 의해, 우리는

${\displaystyle {begin{matrix}\{\오버라인 {X}_{n}\{xrightarrow {P}\\mu\qquad {textrm {when}}\n\infty}\mu\xtextrm {textrm}\\infty.\\{}\end{filename}}$ (2)

특성 함수의 수렴을 이용한 증명

복소함수에 대한 테일러의 정리에 의해, 유한 평균 μ를 갖는 임의의 변수 X의 특성 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

모든 X, X₂, ...는₁ 같은 특성 함수를 가지므로 간단히 이 φ을_X 나타냅니다.

특징적인 기능의 기본 특성 중에는 다음과 같은 것이 있습니다.

X와 Y가 독립된 경우.

다음 규칙을 사용하여 ${\displaystyle X_{}}$의 $특성{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ 함수를 계산할 수 있습니다.X_X ${\displaystyle {\stackrel{}{:}}_{}}$ n$$\ $displaystyle$\ $script$style \ $overline${ $X$} _$$$${ $n$} 。

한계^itμ e는 상수 랜덤 변수 μ의 특성 함수이며, 따라서 레비 연속성 정리에 $따라{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ X$µn$ \$scriptstyle {X}_{n}$은 분포에서 μ로 수렴됩니다$.$

μ는 상수이며, 이는 분포에서 μ로의 수렴과 확률에서 μ로의 수렴이 동등함을 의미합니다(랜덤 변수의 수렴 참조).그러므로,

${\displaystyle {begin{matrix}\{\오버라인 {X}_{n}\{xrightarrow {P}\\mu\qquad {textrm {when}}\n\infty}\mu\xtextrm {textrm}\\infty.\\{}\end{filename}}$ (2)

이것은 표본 평균이 원점에서 특성 함수의 도함수가 존재하는 한, 원점에서 특성 함수의 도함수로 수렴된다는 것을 보여준다.

결과들

큰 숫자의 법칙은 수열의 실현에서 알 수 없는 분포에 대한 기대를 제공하지만 확률 ^[1]분포의 특징도 제공합니다.보렐의 대수의 법칙을 적용하면 확률 질량 함수를 쉽게 얻을 수 있었다.객관적 확률 질량 함수의 각 사건에 대해 특정 사건이 발생한 횟수의 비율로 사건 발생 확률을 근사할 수 있다.반복 횟수가 많을수록 근사치가 높아집니다.연속 케이스에 대해서:${\displaystyle C}$ $=$ ( a${\displaystyle }$-${\displaystyle h}$ ,${\displaystyle a}$ +${\displaystyle h}$ $]$ {$displaystyle$ C=($a-h, a+h$작은 양의 경우).따라서 큰n의 경우:

이 방법을 사용하면 X축 전체를 그리드(그리드 크기 2h)로 커버하여 히스토그램이라고 하는 막대 그래프를 얻을 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 점근 등분할 특성
• 중심 한계 정리
• 무한 원숭이 정리
• 평균의 법칙
• 반복 로그의 법칙
• 진정한 대수의 법칙
• 린디 효과
• 평균에 대한 회귀
• 정렬
• 소수의 강한 법칙

메모들

레퍼런스

외부 링크

• "Law of large numbers", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Weak Law of Large Numbers". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Strong Law of Large Numbers". MathWorld.
• R패키지 애니메이션을 이용한 이휘쉐의 대수의 법칙 애니메이션
• 팀 쿡 애플 최고경영자(CEO)가 통계학자들을 움츠리게 하는 발언을 했다."우리는 다수의 법칙과 같은 법칙을 믿지 않습니다.이건, 음, 내 생각엔, 누군가 지어낸 오래된 교의인 것 같아.Tim Cook은 다음과 같이 말했습니다.다만, 「대수의 법칙은 대기업, 큰 수익, 또는 큰 성장률과는 관계가 없습니다.큰 숫자의 법칙은 확률 이론과 통계학의 기본 개념으로, 우리가 경험적으로 수행하는 실험의 실제 결과와 우리가 계산할 수 있는 이론적 확률을 함께 묶습니다. 비즈니스 인사이더 설명