두브 분해 정리

확률의 수학적 이론의 일부인 이산 시간에서의 확률적 과정 이론에서, Dob 분해 정리는 모든 적응되고 통합 가능한 확률적 과정을 마팅게일과 0에서 시작되는 예측 가능한 과정(또는 "구동")의 합으로 독특한 분해 능력을 부여한다. 그 정리는 에 의해 증명되었고 조셉 L. Dob의 이름을 따서 명명되었다.^[1]

연속 시간 사례에서 유사한 정리는 Dob-Meyer 분해 정리다.

성명서

(Ω, F{\displaystyle{\mathcal{F}}}, P{\displaystyle \mathbb{P}})이 확률 공간, 나는}또는 나는 N0(_{0}}들은 한정된 또는 무한한 지수 조합된 filtratio(F{\displaystyle{\mathcal{F}}}n)n∈I원 N∈ N{\displaystyle \mathbb{N}과{0,1,2,..., N} 갈자.n의 ${\displaystyle \mathcal{F}}$ ${\$ 그리고 X = (X_n)_n∈I 모든 n ∈ I에 대해 E[ X_n ] < ∞을 갖는 적응된 확률적 공정. 그₀ 다음, 매 n ∈ I에 대해_n X = M + A로_n 시작하는 통합 가능한 예측 가능한 프로세스 A = (_n∈IA_nnn)_n∈I가 있다. 여기서 예측 가능한 것은 A가_n $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$임을 의미하며, 모든 n ∈ I \{0}에 대해 측정$$_n−1 가능함. 이 분해는 거의 확실히 독특하다.^[2][3][4]

비고

이 정리는 또한 d차원 유클리드 $공간{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ {$R}$ 또는$$^d 복합 벡터 $공간{\displaystyle \mathbb{}}$ C ${\$의 값을 취하는 확률 프로세스 X에도 단어별로 유효하다$.$^d 이것은 구성 요소를 개별적으로 고려하여 1차원 버전에서 따온 것이다.

증명

존재

조건부 기대치를 사용하여 모든 n ∈ I에 대해 명시적으로 다음을 기준으로 프로세스 A와 M을 정의하십시오.

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k=1}^{n}{n}{\bigl (}\\mathb {E}[X_{k}\, \\\\mathcal {F}_{k-1}]-X_{k-1}{bigr )}}}}}}}}}}}}}}$

(1)

그리고

${\displaystyle M_{n}=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}{n}{\x_{k}-\mathb {E}[X_{k}\, \\mathcal {F}_{k-1}]{\bigr )}}}}$

(2)

여기서 n = 0의 합은 비어 있고 0으로 정의된다. 여기서 A는 X의 예상 증분을 더하고, M은 놀라움, 즉 전에는 한 번도 알 수 없었던 모든 X의_k 부분을 더한다. 이러한 정의 때문에 공정 X가 적응되기 때문에 A_n+1(n_n + 1 ∈ I)와 M은_nn F 측정가능하고_n, 공정 X는 통합가능하며, 분해 X_n = M_n + A는_n 모든 n ∈ I에 유효하기 때문에 F 측정가능하다. 마팅게일 재산

${\displaystyle \mathbb{E}}$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ F ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ - ${\displaystyle 1_{}}$]${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathb$ {E$}[$M_{$n}-M_{n-1$}\,$\\mathcal$ {F$}_{n-1}]=0$}초$.$

또한 위의 정의(2)에서 n ∈ I \ {0}마다 다음과 같이 정의한다.

유니크함

고유성을 입증하기 위해 X = M' + A'를 추가 분해로 한다. 그러면 공정 Y := M - M' = A' - A는 마팅게일로서, 다음과 같은 것을 암시한다.

${\$$Y_{n-1}$ a$$.s.

또한 예측가능하며, 이는

$displaystyle \mathb {E}[Y_{n}\, \,$$Y_{n}}$ a$$.s.

모든 n i I \ {0}에 대해. Y₀ = A'₀ - A₀ = 0 예측 가능한 공정의 시작점에 관한 관례에 의한 것이므로, 이는 반복적으로 모든 n ∈ I에 대해 Y_n = 0이 거의 확실하다는 것을 의미하므로 분해는 거의 고유하다.

코롤라리

실제 가치의 확률적 공정 X는 마팅게일 M으로 분해되고 거의 확실히 증가하고 있는 통합 가능한 예측 가능한 공정 A가 있는 경우에만 하위 작업 공정이다.^[5] 만약 A가 거의 확실히 감소하고 있다면 그것은 슈퍼 마팅게일이다.

증명

만약 X가 하위목격자라면,

${\displaystyle \mathbb{E}}$[ ${\displaystyle {}_{}}$ k ${\displaystyle F{}_{}{\mathcal{}}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \ge }$ X ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}}$- 1 ${\$ \\\$mathcal {F}_{k-1}]\geq X_{k-1}$ a$$.

모든 k ∈ I \ {0}에 대해, 이는 A의 정의 (1)의 모든 용어가 거의 확실히 긍정적이므로, 따라서 A는 거의 확실히 증가하고 있다고 말하는 것과 같다. 슈퍼마틴 판매의 등가성은 이와 유사하게 증명된다.

예

X = (X_n)_{n∈${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$} 독립적이고 통합 가능한 실제 값의 랜덤 변수의 시퀀스가 되도록 한다. 시퀀스에 의해 발생하는 여과(즉, 순서에 의해 발생하는 여과)에 적응한다. F_n = 모든 n ∈ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$에 대한 σ(X₀, . . , X_n) . by (1)과 (2)에 의해 Dobb 분해는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k=1}^{n}{n}{\bigl (}\bigl (}\mathb {E}[X_{k}]-X_{k-1}{\bigr )},\quad n\in \mathb {N} _{0},},},}$

그리고

${\displaystyle M_{n}=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}{{n}-\bigl (}X_{k}-\mathb {E}[X_{k}]{\bigr )},\quad n\in \mathb {N} _{0}.}$

원래 시퀀스 X의 변수에 평균이 0이면 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle A_{n}=-\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}}$ and ${\displaystyle M_{n}=\sum _{k=0}^{n}X_{k},\quad n\in \mathbb {N} _{0},}$

따라서 두 프로세스 모두 (시간 균일) 무작위 보행)이다. 만약 X)(Xn)n∈ N0(_{0}}의 가치와 −1 +1 대칭 임의의 변수를로 구성된 순서, 그 후에 X지만, 경계는 마틴 M과 예측 가능한 과정 A은 무한한 단순 무작위 산책( 아니라 한결같이 가적분의), Doob의 선택적 정지 원칙은 m에 적용할 수 있지 않을 수 있Artingale M지 않는 한 제동 시간은 한정된 전 남편을 가지고 있다.담금질

적용

수학 금융에서 Dub 분해 정리는 미국 옵션의 최대 최적 운동 시간을 결정하는 데 사용될 수 있다.^[6][7] Let X = (X₀, X₁, . . , X)는_N N-주기 금융 시장 모델에서 미국 옵션의 비-부정 할인 지급액을 나타내며 여과(F₀, F, F₁, . , F_N), $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은 동등한 마팅게일 측정을 나타낸다$$. U)X의 Q{\displaystyle \mathbb{Q}에 관한 스넬 봉투를 나타내(U0, U, 유엔)}. 그 스넬 봉투는 가장 작은 Q{\displaystyle \mathbb{Q}자}-supermartingale X[8]을 지배하고 있고 완전한 금융 시장에서 자본의 최소 분량까지 아메리칸 옵션을 줄이는 필요한를 나타냅니다. maturIty.^[9] Let U = M + A는 Snell 봉투 $U$의 Q$${\$displaystyle \mathb {Q}$}에 관하여 Martingale M = (M₀₁, M, . M_N)에 대한 Dob₀ 분해와 A = 0으로 예측 가능한 감소 프로세스 A = (A₀₁, A, A_N, . A)를 나타낸다. 그렇다면 미국식 선택권을 최적의 방법으로^[10][11] 행사하기 위한 가장 큰 정지 시간은

${\displaystyle \tau_{\text{max}:={\cHB{case}N&{\text{{}}A_{N}=0,\\\\min\{n\in \{0,\dots,N-1\}\mid A_{n+1},{0\},{0\},{{{\text},{},{}},{{}}}.\end{case}}}$

A가 예측 가능하기 때문에, 이벤트 {τ_max = n} = {A_n = 0, A < 0}은(는_n+1) 모든 n∈ {0, 1, . . N - 1}에 대해 F에_n 있으므로, τ은_max 참으로 정지 시간이다. 그것은 미국 옵션의 할인된 값이 기대치가 떨어지기 전 마지막 순간을 제공한다; 최대 시간_max discounted 할인된 가치 $프로세스{\displaystyle \mathbb{}}$ U는 Q ${\displaystyle$ \$mathb {Q}$에 대한 마팅게일이다$.$

일반화

Dob 분해 정리는 확률공간에서 σ-핀라이트 측정공간까지 일반화할 수 있다.^[12]

인용구

참조

• Doob, Joseph L. (1953), Stochastic Processes, New York: Wiley, ISBN 978-0-471-21813-5, MR 0058896, Zbl 0053.26802
• Doob, Joseph L. (1990), Stochastic Processes (Wiley Classics Library ed.), New York: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-52369-0, MR 1038526, Zbl 0696.60003
• Durrett, Rick (2010), Probability: Theory and Examples, Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics (4. ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76539-8, MR 2722836, Zbl 1202.60001
• Föllmer, Hans; Schied, Alexander (2011), Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time, De Gruyter graduate (3. rev. and extend ed.), Berlin, New York: De Gruyter, ISBN 978-3-11-021804-6, MR 2779313, Zbl 1213.91006
• Lamberton, Damien; Lapeyre, Bernard (2008), Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman & Hall/CRC financial mathematics series (2. ed.), Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-626-6, MR 2362458, Zbl 1167.60001
• Schilling, René L. (2005), Measures, Integrals and Martingales, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-52185-015-5, MR 2200059, Zbl 1084.28001
• Williams, David (1991), Probability with Martingales, Cambridge University Press, ISBN 0-521-40605-6, MR 1155402, Zbl 0722.60001