공차 구간

공차 구간은 지정된 비율의 표본 모집단이 일정 수준의 신뢰 수준을 갖는 통계 구간입니다."좀 더 구체적으로, 100×p%(1−α)허용 오차 간격 이내에 인구의 최소한 일정 비율(p)자신감(1−α)지정된 수준과 제한치를 제공한다.그래서 최소한 표본 인구의 자신감 1−α과 비율 p를 포함합니다"[1]"A(p, 1−α)허용 오차 간격(TI) 샘플을 토대로 구성된다.그러한 TI는 보통 p-함유량 - (1-α) 적용범위 ^[2]TI라고 불린다." "A(p, 1-α) 상한 공차(TL)는 ^[2]모집단 100p 백분위수에 대한 1-α 신뢰상한이다."

공차 간격은 확률 간격의 통계 버전으로 볼 수 있습니다."알려진 파라미터의 경우 95%의 공차 구간과 95%의 예측 구간이 동일합니다.^[3]모집단의 정확한 매개변수를 알면 모집단의 특정 비율이 속하는 범위를 계산할 수 있을 것입니다.예를 들어 모집단이 $\mu$ μ(\ $displaystyle \mu$ }) 및 표준 편차 $\sigma$ {\(\ $displaystyle \sigma$ 로 정규 분포되어 있는 경우 구간 $\mu \pm 1.96\sigma$ ± $\mu \pm 1.96\sigma$ {\(\ $displaystyle \mu$ 1. $96\sigma }$ 은 $\mu \pm 1.96\sigma$ 모집단의 95%를 포함합니다(1.96은 정규 분포 모집단의 95% 커버리지에 대한 z 점수입니다).

그러나 모집단에서 샘플만 추출한 경우, 실제 모수의 추정치인 샘플 ${\hat {\mu }}$ μ $^$ { $displaystyle$ { $hat }$ 및 샘플 ${\hat {\mu }}$ 표준 편차 ${\hat {\sigma }}$ { $displaystyle$ { $hat$ } ^ { $sigma$ 만을 알 수 있습니다.In that case, ${\hat {\mu }}\pm 1.96{\hat {\sigma }}$ will not necessarily include 95% of the population, due to variance in these estimates.허용 간격은 신뢰 수준 $\gamma$ {\(\ $displaystyle \gamma$ 을 도입함으로써 이 변동을 제한합니다.이것은 이 간격에 실제로 모집단의 지정된 비율이 포함되는 신뢰 수준입니다.정규 분포 모집단의 경우 z 점수는 룩업 테이블 또는 여러 근사 ^[5]공식을 통해 주어진 $\gamma$ (\ $displaystyle \gamma)$ 에 $\gamma$ 대한 "k 계수" 또는 공차^[4] 계수로 변환할 수 있습니다."자유도가 무한대에 가까워지면 예측과 공차 간격이 ^[6]같아집니다."

수식

일반 케이스

다른 구간과의 관계

공차 구간은 신뢰 구간과 예측 구간보다 덜 알려져 있는데, 일부 교육자들은 공차 구간이 더 ^[7]^[8]적절한 다른 구간을 잘못 사용할 수 있기 때문에 한탄하고 있다.

공차 구간은 신뢰 구간이 단일 값 모집단 모수(예: 평균 또는 분산)를 어느 정도 신뢰 구간으로 제한하고 공차 구간은 모집단의 특정 비율을 포함하는 데이터 값의 범위를 제한한다는 점에서 신뢰 구간과 다릅니다.신뢰 구간의 크기는 전적으로 표본 오차로 인한 것이며 표본 크기가 증가함에 따라 실제 모집단 모수에서 0-폭 구간에 근접하는 반면, 공차 구간의 크기는 부분적으로 표본 오차 및 모집단의 실제 분산에 기인하며 표본 크기로서 모집단의 확률 구간에 근접합니다.e가 증가합니다.^[7]^[8]

공차 구간은 둘 다 미래 표본의 변동에 한계를 둔다는 점에서 예측 구간과 관련이 있습니다.그러나 예측 구간은 단일 미래 표본의 범위만 지정하지만 공차 구간은 전체 모집단(따라서 미래 표본의 임의 시퀀스)을 제한합니다.즉, 예측 구간은 모집단의 특정 비율을 평균적으로 포함하지만 공차 구간은 특정 신뢰 수준을 포함하므로 단일 구간이 여러 미래 표본을 ^[8]^[9]결합하려는 경우 공차 구간이 더 적합합니다.

예

^[7] 에 다음 예를 나타냅니다.

따라서 특정 모델의 명목상 동일한 여러 대의 자동차를 테스트하여 마일리지 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 를 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ ({ $displaystyle y_{1}, y_{2}..., y_{$ n $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 하는 유명한 EPA 마일리지 테스트 시나리오를 다시 한 번 고려해 보십시오. 이러한 데이터가 모델의 평균 마일리지에 대해 95% 신뢰 구간을 생성하도록 처리될 경우,예를 들어, 최초 5,000마일 사용 시 이러한 자동차의 제조대 평균 또는 총 가솔린 소비량을 추정하는 데 사용할 수 있습니다.그러나 이러한 간격은 이러한 차들 중 하나를 렌트하는 사람에게 큰 도움이 되지 않을 것이며, 10갤런짜리 휘발유 탱크가 그를 목적지까지 350마일을 운반하기에 충분한지 궁금해 할 것이다.이 작업에서는 예측 간격이 훨씬 편리합니다.( $y_{n+1}\geq 35$ + $)$ 35 ) $35$ （ $95$ %확실)와 달리 μ 35 $\mu \geq 35$ ) $\mu \geq 35$ $\style \mu$ \geq $\mu \geq 35$ 35 $y_{n+1}\geq 35$ ） $y_{n+1}\geq 35$ )))))))))))) $μstyle$ $y_{n+1$ } \ $geq$ $\mu$ 35 $\mu$ ）))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) $μ))))))))$ μ)))))))))))))))))))단 하나의 추가 주행거리를 위해 필요한 것은 모델이 실제로 생산되는 자동차의 99%가 400마일 주행거리를 가질 수 있도록 하기 위해 필요한 가스 탱크의 크기를 결정하는 설계 엔지니어입니다.엔지니어에게 정말로 필요한 것은 그러한 자동차의 주행거리 중 $p=.99$ p $=$ . $({displaystyle$ p=. $99)$ 에 $p=.99$ 대한 공차 간격입니다.

또 다른 ^[9]예는 다음과 같습니다.

에어 리드 레벨은 시설 내 서로 다른 $n=15$ n $=$ 15(\ $displaystyle$ n=15 $n=15$ )에서 수집되었습니다.로그 변환된 납 수준이 정규 분포에 잘 적합(즉, 데이터가 로그 정규 분포에서 가져온)한다는 점에 주목했습니다.μ $\mu$ { $displaystyle$ \ $mu$ } $\mu$ $\sigma ^{2}$ {\ ${\$ 2 { $displaystyle$ \ sigma ^ { $2}$ } $\mu$ μ 、로그 변환된 데이터의 모집단 평균과 분산을 나타냅니다.X $({displaystyle$ X $})$ 가 $X$ 대응하는 랜덤 $X$ 인 경우 $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ μ, $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ {\ $displaystyle$ X $\sim {N}({mu,\sigma$ ^{ $2$ 이 $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ .exp $\exp(\mu )$ \ $exp(\mu))$ 는 $\exp(\mu )$ 중앙 공기 레벨입니다.t-분포를 $\mu$ 으로 μ에 대한 신뢰 구간 $(\displaystyle \mu)$ 을 $\mu$ 일반 방식으로 구성할 수 있습니다. 그러면 중앙 공기 유도 레벨에 대한 신뢰 구간이 제공됩니다.X ${\$ { $displaystyle$ { $X$ } $S$ S{ $displaystyle$ $\mu$ $S$ ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ }가 $S$ 크기 n의 샘플 평균 및 로그 변환 데이터의 표준 편차를 ${\bar {X}}$ 경우, $\mu$ μ { $displaystyle$ \mu $\mu$ }에 대한 95% 신뢰 구간은 X ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ ± ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ n ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ - 1 ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ 0. $975$ / n {x - ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ { $pm$ 1 $}$ 으로 $지정$ 됩니다.rt ${n$ $t_{m,1-\alpha }$ 서 $t_{m,1-\alpha }$ m $t_{m,1-\alpha }$ $t_{m,1-\alpha }$ - $α$ ({ $displaystyle t_{$ m, $1-$ $\$ alpha $})$ 는 $t_{{m,1-\alpha }}$ 자유도가m {\ $displaystyle$ m $}$ 인 $m$ t 분포의 $1-\alpha$ 1 - $α$ (\ $displaystyle 1-$ \alpha $1-\alpha$ }) $1-\alpha$ 를 $1-\alpha$ 나타냅니다.또한 중앙 공기 유도 수준에 대한 95% 신뢰 상한을 도출하는 것도 관심사가 될 수 있습니다. $μ에$ 이러한 $제한$ 은 X ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}$ + ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}$ n - ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}$ , 0 ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}$ S / ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}$ ( \ $displaystyle { X }$ + $t$ _ { n - $1 ,$ 0 . $95$ } S / { \ $sqrt$ { ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}$ n $\exp {\left({\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}\right)}$ )에 ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}$ 주어집니다.따라서 중앙 에어 리드에 대한 95%의 상한 신뢰도는 exp $\exp {\left({\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}\right)}$ 1 $\exp {\left({\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}\right)}$ + $\exp {\left({\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}\right)}$ 에 $\exp {\left({\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}\right)}$ 의해 $\exp {\left({\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}\right)}$ . ${n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}\right$ 이제 실험실 내 특정 영역의 공기 유도 레벨을 예측한다고 가정합니다. $로그$ 변환된 리드 레벨의 95% 예측 상한은 X ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}$ + ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}$ ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}$ - 1 ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}$ . ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}$ S ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}$ ( ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}$ + ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}$ / ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}$ ) { $display$ { style { $X}$ + t $_$ { n - 1, 0 . $95$ } $S{$ \ $sqrt \ left ($ 1 + 1 $/$ n \ right ) } ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}$ 。양측 예측 간격은 ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}$ 하게 계산할 수 있습니다.이러한 구간의 의미와 해석은 잘 알려져 있습니다.예를 들어, 신뢰 ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ X ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ ± ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ - ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ 1 , ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ . ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ S / ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ ( \ $display$ \ $bar$ { ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ X } \ $pm$ t ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ _ { $n$ - 1, $0$ . $975$ } ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ S / { \ $sqrt$ { n ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ } )가 ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ 독립 샘플로부터 반복적으로 계산되는 경우, 계산된 간격의 95%는 장기 실행에서 $\mu$ μ {\ $display$ \ mustyle }의 참값을 $\mu$ 즉, 이 간격은 $\mu$ μ $(\displaystyle\mu)$ 에 $\mu$ 관한 정보만을 제공하기 위한 것입니다.예측 간격은 해석과 유사하며 단일 리드 레벨에 대한 정보만 제공합니다.이제 표본을 사용하여 최소 95%의 모집단 리드 수준이 임계값보다 낮은지 여부를 결론내리려고 합니다.신뢰 구간은 중위수 리드 수준에 대해서만 적용되고 예측 구간은 단일 리드 수준에 대해서만 적용되므로 신뢰 구간과 예측 구간은 이 질문에 답할 수 없습니다.필요한 것은 공차 간격, 구체적으로는 공차 상한입니다.공차 상한은 모집단 리드 레벨의 95% 이상이 특정 신뢰 수준(예: 99%)에서 한계 미만이라는 조건에 따라 계산됩니다.

계산

단측 정규 공차 구간은 비중심 t-분포를 기반으로 ^[10]표본 평균 및 표본 분산 측면에서 정확한 솔루션을 가집니다.양측 정규 공차 구간은 비중심 카이 제곱 ^[10]분포를 기반으로 얻을 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ D. S. Young(2010), 도서 리뷰: "통계적 허용 범위:이론, 응용 및 계산", TECHNOMETRICS, 2010년 2월, VOL. 52, No.143-144.
^ ^a ^b Krishnamoorthy, K. and Lian, Xiaodong(2011) '일부 일반 선형 모델과 비교 연구에 대한 폐쇄형 근사 공차 간격', 통계 계산 및 시뮬레이션 저널, 2011년 6월 13일 최초 발행: 10.1080/0094965.5061.
^ Thomas P. Ryan (22 June 2007). Modern Engineering Statistics. John Wiley & Sons. pp. 222–. ISBN 978-0-470-12843-5. Retrieved 22 February 2013.
^ "Statistical interpretation of data — Part 6: Determination of statistical tolerance intervals". ISO 16269-6. 2014. p. 2.
^ "Tolerance intervals for a normal distribution". Engineering Statistics Handbook. NIST/Sematech. 2010. Retrieved 2011-08-26.
^ De Gryze, S.; Langhans, I.; Vandebroek, M. (2007). "Using the correct intervals for prediction: A tutorial on tolerance intervals for ordinary least-squares regression". Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 87 (2): 147. doi:10.1016/j.chemolab.2007.03.002.
^ ^a ^b ^c Stephen B. Vardeman (1992). "What about the Other Intervals?". The American Statistician. 46 (3): 193–197. doi:10.2307/2685212. JSTOR 2685212.
^ ^a ^b ^c Mark J. Nelson (2011-08-14). "You might want a tolerance interval". Retrieved 2011-08-26.
^ ^a ^b K. Krishnamoorthy (2009). Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation. John Wiley and Sons. pp. 1–6. ISBN 978-0-470-38026-0.
^ ^a ^b Derek S. Young (August 2010). "tolerance: An R Package for Estimating Tolerance Intervals". Journal of Statistical Software. 36 (5): 1–39. ISSN 1548-7660. Retrieved 19 February 2013., 페이지 23

추가 정보

Hahn, Gerald J.; Meeker, William Q.; Escobar, Luis A. (2017). Statistical Intervals: A Guide for Practitioners and Researchers (2nd ed.). John Wiley & Sons, Incorporated. ISBN 978-0-471-68717-7.

; 제 1 장 "Preelinimaries"는 http://media.wiley.com/product_data/excerpt/68/04703802/0470380268.pdf 에서 구할 수 있습니다K. Krishnamoorthy (2009). Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation. John Wiley and Sons. ISBN 978-0-470-38026-0..
Derek S. Young (August 2010). "tolerance: An R Package for Estimating Tolerance Intervals". Journal of Statistical Software. 36 (5): 1–39. ISSN 1548-7660. Retrieved 19 February 2013.
ISO 16269-6, 데이터의 통계적 해석, Part 6: 통계적 공차 간격의 결정, 기술위원회 ISO/TC 69, 통계적 방법의 적용.http://standardsproposals.bsigroup.com/home/getpdf/458 에서 구할 수 있습니다.

[1] D. S. Young(2010), 도서 리뷰: "통계적 허용 범위:이론, 응용 및 계산", TECHNOMETRICS, 2010년 2월, VOL. 52, No.143-144.

[Krishnamoorthy2011-2] Krishnamoorthy, K. and Lian, Xiaodong(2011) '일부 일반 선형 모델과 비교 연구에 대한 폐쇄형 근사 공차 간격', 통계 계산 및 시뮬레이션 저널, 2011년 6월 13일 최초 발행: 10.1080/0094965.5061.

[Ryan2007-3] Thomas P. Ryan (22 June 2007). Modern Engineering Statistics. John Wiley & Sons. pp. 222–. ISBN 978-0-470-12843-5. Retrieved 22 February 2013.

[4] "Statistical interpretation of data — Part 6: Determination of statistical tolerance intervals". ISO 16269-6. 2014. p. 2.

[5] "Tolerance intervals for a normal distribution". Engineering Statistics Handbook. NIST/Sematech. 2010. Retrieved 2011-08-26.

[Example2006-6] De Gryze, S.; Langhans, I.; Vandebroek, M. (2007). "Using the correct intervals for prediction: A tutorial on tolerance intervals for ordinary least-squares regression". Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 87 (2): 147. doi:10.1016/j.chemolab.2007.03.002.

[vardeman-7] Stephen B. Vardeman (1992). "What about the Other Intervals?". The American Statistician. 46 (3): 193–197. doi:10.2307/2685212. JSTOR 2685212.

[nelson-8] Mark J. Nelson (2011-08-14). "You might want a tolerance interval". Retrieved 2011-08-26.

[Krishnamoorthy-9] K. Krishnamoorthy (2009). Statistical Tolerance Regions: Theory, Applications, and Computation. John Wiley and Sons. pp. 1–6. ISBN 978-0-470-38026-0.

[Young-10] Derek S. Young (August 2010). "tolerance: An R Package for Estimating Tolerance Intervals". Journal of Statistical Software. 36 (5): 1–39. ISSN 1548-7660. Retrieved 19 February 2013., 페이지 23

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