Itô 확산

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수학에서 – 특히 확률적 분석에서 – Itô 확산은 특정 유형의 확률적 미분 방정식에 대한 해결책입니다. 이 방정식은 점성 유체에서 전위를 받는 입자의 브라운 운동을 설명하기 위해 물리학에서 사용되는 랑게빈 방정식과 유사합니다. 이토 확산은 일본의 수학자 이토 기요시의 이름을 따서 붙여졌습니다.

개요

A(시간 동차) n차원 유클리드 공간에서의 Itô 확산 R은 확률 공간(ω, σ, P)에 정의되고 형태의 확률 미분 방정식을 만족하는 프로세스 X: [0, + ∞) × ω → R입니다.

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}= b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\ sigma(X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}$

여기서 B는 m차원 브라운 운동이고 b: R → R 및 σ: R → R은 일반적인 립시츠 연속성 조건을 만족합니다.

${\displaystyle b(x)-b(y) + \sigma (x)-\sigma (y) \leq C x-y }$

어떤 상수 C와 모든 x에 대하여, y ∈ R; 이 조건은 위에 주어진 확률적 미분 방정식에 대한 고유한 강력한 해 X의 존재를 보장합니다. 벡터장 b는 X의 드리프트 계수로 알려져 있고, 행렬장 σ는 X의 확산 계수로 알려져 있습니다. b와 σ는 시간에 의존하지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 만약 시간에 의존한다면 X는 확산이 아니라 Itô 과정으로만 지칭될 것입니다. Itô diffusion에는 다음과 같은 여러 가지 좋은 특성이 있습니다.

• 샘플 및 펠러 연속성;
• 마르코프 속성;
• 강력한 마르코프 속성;
• 무한소 발생기의 존재,
• 특성 연산자의 존재,
• Dynkin 공식.

특히, Itô 확산은 특성 연산자의 도메인이 두 번 연속적으로 미분 가능한 모든 함수를 포함하도록 연속적이고 강력한 마르코프 과정이므로 Dynkin(1965)에 의해 정의된 의미의 확산입니다.

연속성

샘플 연속성

Itô 확산 X는 샘플 연속 프로세스입니다. 즉, 잡음의 거의 모든 구현 B(ω)에 대해 X(ω)는 시간 매개변수 t의 연속 함수입니다. 더 정확하게는 X의 "연속 버전"이 있으며, 연속 프로세스 Y는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbf {P} [X_{t}=Y_{t}]=1{\mbox{ for all }}t.}$

이는 확률적 미분 방정식의 강력한 솔루션에 대한 표준 존재 및 고유성 이론에서 따릅니다.

펠러 연속성

연속적인 (표본)일 뿐만 아니라, It x 확산 X는 Feller-연속적인 프로세스라는 더 강력한 요건을 충족합니다.

점 x ∈ R에 대하여, P는 초기 자료 X = x가 주어진 X의 법칙을 나타내고, E는 P에 대한 기대를 나타냅니다.

f : R → R 이 아래에 경계를 이루는 보렐 측정 가능 함수이며 고정된 t ≥ 0에 대하여 u : R → R 을 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle u(x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})].}$

• 낮은 반연속: f가 낮은 반연속이면, u는 낮은 반연속입니다.
• feller continuity: f가 유계이고 연속이면, u는 연속입니다.

시간 t가 변할 때 위 함수 u의 거동은 콜모고로프 역방향 방정식, 포크커-플랑크 방정식 등에 의해 해결됩니다(아래 참조).

마르코프 속성

마르코프 속성

Itô 확산 X는 마르코프적이라는 중요한 특성을 가지고 있습니다: 시간 t까지 일어난 일을 고려할 때 X의 미래 행동은 시간 0에서 X 위치에서 과정이 시작된 것과 같습니다. 이 문장의 정확한 수학적 공식은 몇 가지 추가 표기법을 필요로 합니다.

σ는 브라운 운동 B: t ≥ 0에 의해 생성된 (ω, σ)의 자연 여과를 나타냅니다.

${\displaystyle \Sigma _{t}=\Sigma _{t}^{B}=\sigma \left\{B_{s}^{-1}(A)\subseteq \Omega \ :\ 0\leq s\leq t,A\subseteq \mathbf {R} ^{n}{\mbox{ Borel}}\right\}.}$

X가 σ에 적응되어 있다는 것을 쉽게 보여줄 수 있고(즉, 각 X는 σ 측정 가능), 따라서 X에 의해 생성된 (ω, σ)의 자연 여과 F = F는 각 t ≥ 0에 대해 F ⊆ σ을 갖습니다.

f : R → R 이 경계지어진 보렐 측정 가능 함수라고 하자. 그러면, 모든 t와 h ≥ 0에 대하여, σ-대수 σ에 대한 조건부 기대치와 X로부터의 프로세스 "재시작"에 대한 기대치는 마르코프 속성을 만족합니다.

${\displaystyle \mathbf {E}^{x}{\big [}f(X_{t+h}){\big}\Sigma_{t}{\big]}(\omega)=\mathbf {E}^{X_{t}(\omega)}[f(X_{h})]}$

실제로 X는 다음과 같이 여과 F에_∗ 대한 마르코프 과정이기도 합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big }F_{t}\right]&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big }\Sigma_{t}\right]{\big }F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right]{\big }F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right].\end{align}}}$

강력한 마르코프 속성

강력한 마르코프 속성은 t가 정지 시간으로 알려진 적합한 랜덤 시간 τ: ω ∞ [0, + ∞]로 대체되는 위의 마르코프 속성의 일반화입니다. 따라서 예를 들어, 시간 t = 1에서 X를 "restart"하는 대신 X가 R의 어떤 지정된 점 p에 처음 도달할 때마다 "restart"할 수 있습니다.

이전과 마찬가지로 f: R → R 이 경계가 있는 보렐 측정 가능 함수라고 가정합니다. 거의 확실하게 ∞ < + σ의 여과 τ과 관련하여 τ을 정지 시간으로 두십시오. 그럼, 모든 h ≥ 0에 대하여,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{\tau +h}){\big }\Sigma_{\tau }{\big ]}=\mathbf {E} ^{X_{\tau }}{\big [}f(X_{h}){\big ]}$

발전기가

정의.

각 Itô 확산과 관련하여, 확산의 발생기로 알려진 2차 편미분 연산자가 있습니다. 생성기는 많은 응용 프로그램에서 매우 유용하며 X 프로세스에 대한 많은 정보를 인코딩합니다. 형식적으로, Itô 확산 X의 무한소 생성기는 연산자 A이며, 이는 적합한 함수 f: R → R 에 작용하도록 정의됩니다.

${\displaystyle Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}.}$

점 x에서 이 극한이 존재하는 모든 함수 f의 집합은 D(x)로 표시되고, D는 모든 x ∈ R에 대해 극한이 존재하는 모든 f의 집합을 나타냅니다. 임의의 콤팩트하게 지지된² C(연속 2차 도함수로 미분 가능) 함수가_A D에 속하고 다음과 같은 것을 보일 수 있습니다.

${\displaystyle Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma(x)\sigma^{\top}\right)_{i,j}{\frac {\partial x_{i}\,\partial x_{j}(x)}(x)}$

또는 기울기와 스칼라 및 프로베니우스 내부 곱의 관점에서,

${\displaystyle Af(x)=b(x)\cdot \nabla _{x}f(x)+{\tfrac {1}{2}}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right):\nabla_{x}\nabla_{x}f(x)}$

예시

확률 미분 방정식 dX = dB를 만족하는 표준 n차원 브라운 운동 B에 대한 생성기 A는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle Af(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\delta _{ij}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}(x)}$,

즉, A = δ/2이며, 여기서 δ는 라플라스 연산자를 나타냅니다.

콜모고로프 방정식과 포크커-플랑크 방정식

발전기는 콜모고로프의 역방향 방정식의 공식에 사용됩니다. 직관적으로 이 방정식은 X의 적절하게 매끄러운 통계량의 기대 값이 시간에 따라 어떻게 진화하는지 알려줍니다. 시간 t와 초기 위치 x가 독립 변수인 특정 편미분 방정식을 풀어야 합니다. 좀 더 정확하게, 만약 f ∈ C(R; R)가 콤팩트한 지지를 가지고 있고 u : [0, + ∞) × R → R은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle u(t,x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})],}$

그러면 u(t, x)는 t에 대해 미분 가능하고, u(t, ·) 모든 t에 대해 ∈ D이며, u는 콜모고로프의 역미분 방정식으로 알려진 다음과 같은 편미분 방정식을 만족합니다.

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Au(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\u(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{case}}}$

Fokker-Planck 방정식(콜모고로프의 정방향 방정식이라고도 함)은 어떤 의미에서는 역방향 방정식의 "접합"이며, X의_t 확률 밀도 함수가 시간 t에 따라 어떻게 진화하는지를 알려줍니다. ρ(t, ·)를 R, 즉 임의의 보렐 측정 가능 집합 S ⊆ R에 대한 레베그 측정에 대한 X의 밀도라고 가정합니다.

${\displaystyle \mathbf {P} \left[X_{t}\in S\right]=\int_{S}\rho(t,x)\,\mathrm {d} x.}$

A를^∗ (Liner² product에 대하여) A의 에르미트 아교라고 합니다. 따라서, 초기 위치 X가 규정된 밀도 ρ을 갖는다고 할 때, ρ(t, x)는 t에 대해 미분 가능하고, ρ(t, ·) ∈ D는 모든 t에 대해 미분 가능하며, ρ은 Fokker-Planck 방정식으로 알려진 다음 편미분 방정식을 만족합니다.

${\displaystyle {\begin{case}{\dfrac {\partial \rho}{\partial t}}(t,x)=A^{*}\rho (t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\\rho (0,x)=\rho _{0}(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{case}}}$

파인만-카크 공식

파인만-카크 공식은 콜모고로프의 역방향 방정식의 유용한 일반화입니다. 다시, f는 C(R; R)에 있고 콤팩트한 지지를 가지며, q: R → R은 아래에 경계가 있는 연속 함수로 간주됩니다. 함수 v: [0, + ∞) × R → R 정의:

${\displaystyle v(t,x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\exp \left (-\int_{0}^{t}q(X_{s})\,\mathrm {d}s\right)f(X_{t})\right]}$

파인만-카크 공식에 따르면 v는 편미분 방정식을 만족합니다.

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}(t,x)=Av(t,x)-q(x)v(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{n};\\v(0,x)=f(x),&x\in \mathbf {R} ^{n}.\end{case}}}$

또한 w : [0, + ∞) × R → R이 시간적으로는 C, 공간적으로는 C이고, 모든 콤팩트 K에 대하여 K × R에 대하여 경계를 이루며, 위의 편미분 방정식을 만족한다면, w는 위에서 정의한 바와 같이 v여야 합니다.

콜모고로프의 역방향 방정식은 모든 x ∈ R에 대하여 q(x) = 0인 파인만-카크 공식의 특별한 경우입니다.

특성 연산자

정의.

Itô 확산 X의 특징적인 연산자는 발전기와 밀접한 관련이 있지만 다소 일반적인 편미분 연산자입니다. 예를 들어, 디리클레 문제의 해결책과 같은 특정 문제에 더 적합합니다.

Itô 확산 X의 특성 연산자 $A$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}$는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\lim _{U\downarrow x}{\frac {\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{U}})\right]-f(x)}{\mathbf {E} ^{x}[\tau _{U}]}},}$

여기서 집합 U는 점 x까지 감소하는 열린 집합 U의_k 수열을 형성합니다.

${\displaystyle U_{k+1}\subseteq U_{k}{\mbox{ and }}\bigcap _{k=1}^{\infty }U_{k}=\{x\},}$

그리고.

${\displaystyle \tau _{U}=\inf\{t\geq 0\ :\ X_{t}\not \in U\}}$

는 X에 대한 U의 첫 번째 종료 시간입니다. ${\displaystyle {DA}_{}}$ ${\displaystyle D_{\mathcal {A}}$는 모든 x ∈ R 및 모든 시퀀스 {U}에 대해 이 한계가 존재하는 모든 f의 집합을 나타냅니다. x를 포함하는 모든 열린 집합 U에 대하여 E[τ] = + ∞이면, 다음을 정의합니다.

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=0.}$

발전기와의 관계

특성 연산자와 무한소 생성기는 매우 밀접한 관련이 있으며, 심지어 큰 등급의 함수에도 동의합니다. 그걸 보여줄 수 있습니다.

${\displaystyle D_{A}\subseteq D_{\mathcal {A}}}$

그리고 그

${\displaystyle Af={\mathcal {A}}f{\mbox{ for all}}f\in D_{A}}입니다.$

특히 생성자와 특성 연산자는 모든 C² 함수 f에 대해 일치하며, 이 경우

${\displaystyle {\mathcal {A}f(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}(x)+{\tfrac {1}{2}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma^{\top}\right){\frac {\partial ^{i,j}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}(x)}$

응용프로그램: 리만 다양체 위의 브라운운동

위에서 R에 대한 브라운 운동의 발생기(및 따라서 특성 연산자)는 ½ δ(δ)로 계산되었으며, 여기서 δ는 라플라스 연산자를 나타냅니다. 특성 연산자는 m차원 리만 다양체(M, g)에서 브라운 운동을 정의하는 데 유용합니다. M에서의 브라운 운동은 M에서의 특성 연산자 A {\$displaystyle {\$mathcal${A}}$가 ½ δ에 의해 주어진 것으로 정의됩니다$.$ 여기서 δ는 로컬 좌표로 주어진 라플라스-벨트라미 연산자입니다.

${\displaystyle \Delta_{\mathrm {LB}}={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}\sum_{i=1}^{m}{\frac {\partial x_{i}}\left ({\sqrt {\det(g)}\sum_{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}\right),}$

여기서 [g] = [g]는 정방행렬의 역수를 의미합니다.

레졸벤트 연산자

일반적으로, Itô 확산 X의 생성기 A는 유계 연산자가 아닙니다. 그러나 항등식 연산자 I의 양수를 A에서 빼면 결과 연산자는 가역적입니다. 이 연산자의 역수는 레졸벤트 연산자를 사용하여 X 자체로 표현할 수 있습니다.

α > 0인 경우, 유계 연속 함수 g: R → R에 작용하는 분해원 연산자 R은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle R_{\alpha}g(x)=\mathbf {E}^{x}\left[\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha t}g(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

확산 X의 Feller 연속성을 사용하여 Rg가_α 그 자체로 유계 연속 함수임을 보여줄 수 있습니다. 또한_α R과 αI - A는 상호 역 연산자입니다.

• f: R → R이 C이고 콤팩트한 지지를 가진 경우, 모든 α > 0에 대하여,

${\displaystyle R_{\alpha}(\alpha \mathbf {I} -A)f=f;}$

• g : R → R 이 유계이고 연속이면 Rg 는 D 에 있고 모든 α > 0 에 대하여,

${\displaystyle (\alpha \mathbf {I} -A)R_{\alpha }g=g.}$

불변측량

때때로 Itô 확산 X에 대한 불변 측도, 즉 X의 "흐름" 아래에서 변하지 않는 R에 대한 측도를 찾아야 합니다. 즉, X가 이러한 불변 측도 μ에 따라 분포되면 X도 임의의 t ≥ 0에 대해 μ에 따라 분포됩니다. Fokker-Planck 방정식은 적어도 확률 밀도 함수 ρ을 갖는 경우 그러한 측도를 찾는 방법을 제공합니다: X가 밀도 ρ가 있는 불변 측도 μ에 따라 실제로 분포되어 있으면 X의 밀도 ρ(t, ·)는 t에 따라 변하지 않으므로 ρ(t, ·) = ρ, 따라서 ρ은 (시간에 독립적인) 편미분 방정식을 풀어야 합니다.

${\displaystyle A^{*}\rho_{\infty}(x)=0,\quad x\in \mathbf {R}^{n}.$

이것은 확률적 분석과 편미분 방정식 연구 사이의 연관성 중 하나를 보여줍니다. 반대로, λF = 0 형태의 주어진 2차 선형 편미분 방정식은 직접적으로 풀기 어려울 수 있지만, 일부 It x 확산 X에 대해 λ = A이고 X에 대한 불변 측도가 계산하기 쉽다면, 그 측도의 밀도는 편미분 방정식에 대한 해결책을 제공합니다.

구배 흐름에 대한 불변 측도

불변 측도는 공정 X가 형태의 확률적 구배 흐름일 때 비교적 계산하기 쉽습니다.

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=-\nabla \Psi (X_{t})\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},}$

여기서 β > 0은 역온도의 역할을 하고 ψ : R → R은 적합한 평활성 및 성장 조건을 만족하는 스칼라 전위입니다. 이 경우, 포커-플랑크 방정식은 고유한 고정해 ρ(즉, X는 밀도 ρ를 갖는 고유한 불변 측정 μ)를 가지며 깁스 분포에 의해 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle \rho _{\infty }(x)=Z^{-1}\exp(-\beta \Psi (x)),}$

분할 함수 Z가 주어진 경우

${\displaystyle Z=\int_{\mathbf {R} ^{n}}\exp (-\beta \Psi(x)\,\mathrm {d} x.}$

또한 밀도 ρ은 다음에 의해 주어진 자유 에너지 함수 F에 대한 R의 모든 확률 밀도 ρ을 최소화한다는 변동 원리를 만족시킵니다.

${\displaystyle F[\rho]=E[\rho ]+{\frac {1}{\beta }}S[\rho ],}$

어디에

${\displaystyle E[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Psi (x)\rho (x)\,\mathrm {d} x}$

에너지 기능의 역할을 수행하고,

${\displaystyle S[\rho]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\rho(x)\log \rho(x)\,\mathrm {d} x}$

깁스-볼츠만 엔트로피 함수의 음수입니다. 퍼텐셜 ψ가 분할 함수 Z와 깁스 측정 μ가 정의될 만큼 충분히 잘 작동하지 않는 경우에도 초기 조건이 F[ρ(0, ·)] < + ∞인 경우 자유 에너지 F[ρ(t, ·)]는 각 시간 t ≥ 0에 대해 여전히 타당합니다. 자유 에너지 함수 F는 실제로 Fokker-Planck 방정식에 대한 랴푸노프 함수입니다. F[ ρ(t, · )]는 t가 증가함에 따라 감소해야 합니다. 따라서 F는 X-역학에 대한 H-함수입니다.

예

확률적 미분 방정식을 만족하는 Rⁿ 위의 오른슈타인-울렌벡 과정 X를 생각해 보자.

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=-\kappa (X_{t}-m)\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}\,\mathrm {d} B_{t}}$

여기서 m ∈ R과 β, κ > 0은 상수가 주어집니다. 이 경우 잠재적 ψ은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \Psi (x)={\tfrac {1}{2}}\kappa x-m ^{2},}$

따라서 X에 대한 불변 측도는 다음과 같은 밀도 ρ을 갖는 가우스 측도입니다.

${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ρ ∞${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \frac{x}{}{}^{}}$ ${\displaystyle {=}_{}}$ ($κ$ 2 π) n 2${\displaystyle {}_{}}$exp ⁡ (${\displaystyle {}_{}}$- β κ x - m 22) {\displaystyle \rho _{\infty${\displaystyle {}_{}}$}(x)=\${\displaystyle {\mathrm{le}}_{}}$ft ({\fr${\displaystyle {\mathrm{ac\; \{}}_{}}$\beta \kappa }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\exp \${\displaystyle {\mathrm{le}}_{}}$ft (- {\kappa x-m ^{2}}\right)}.

휴리스틱적으로 큰 t의 경우 X는 평균과 분산(β κ)을 사용하여 대략 정규 분포를 따릅니다. 분산에 대한 표현식은 다음과 같이 해석될 수 있습니다. κ의 값이 크면 전위 우물 ψ이 "매우 가파른 측면"을 가지므로 X가 m에서 ψ minimum의 최소값에서 멀리 이동할 가능성이 없습니다. 마찬가지로 β의 값이 크면 시스템이 소음이 거의 없고 "차가운" 상태이므로 X가 m에서 멀리 이동할 가능성이 없습니다.

마팅게일 부동산

일반적으로, Itô 확산 X는 마팅게일이 아닙니다. 그러나 콤팩트한 지원을 갖는 임의의 f ∈ C(R; R)에 대하여, 프로세스 M: [0, + ∞) × ω → R은 다음에 의해 정의됩니다.

${\displaystyle M_{t}=f(X_{t})-\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s,}$

여기서 A는 X의 발생기이며, X에 의한 (ω, σ)의 자연 여과 F에 대한 마팅게일입니다. 증명은 매우 간단합니다: 충분히 매끄러운 함수에 대한 발전기의 작용에 대한 일반적인 표현과 다음과 같은 It le의 보조정리(확률적 연쇄법칙)를 따릅니다.

${\displaystyle f(X_{t})=f(x)+\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}\nabla f(X_{s})^{\top }\sigma (X_{s})\,\mathrm {d} B_{s}.}$

Itô integrals는 B에 의한 (ω, σ)의 자연여과σ에 관한 마팅세일이므로,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big}}\Sigma_{s}{\big}}=M_{s}}$

따라서, 필요에 따라,

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[M_{t} F_{s}]=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big }\Sigma _{s}{\big ]}{\big }F_{s}\right]=\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{s}{\big }F_{s}{\big ]}=M_{s},}$

M은_s F-측정이_s 가능하기 때문입니다.

딘킨 공식

유진 Dynkin의 이름을 딴 Dynkin의 공식은 정지 시간에 It smooth 확산 X(발생기 A)의 적합하게 매끄러운 통계량의 기대 값을 제공합니다. 정확하게는 τ가 E[τ] < + ∞의 정지 시간이고, f: R → R이 C이고 콤팩트한 지지를 갖는 경우입니다.

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}$

Dynkin의 공식은 정지 시간의 많은 유용한 통계를 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 0에서 시작하는 실수 선에서의 표준 브라운 운동은 기대 값을 가진 임의의 시간 τ에서 구간 (-R, +R)을 종료합니다.

${\displaystyle \mathbf {E} ^{0}[\tau _{R}]=R^{2}}$

Dynkin의 공식은 상당히 일반적인 정지 시간에서 X의 행동에 대한 정보를 제공합니다. 타격 시간에서의 X 분포에 대한 자세한 내용은 공정의 조화 측도를 연구할 수 있습니다.

관련 조치

고조파 측도

많은 상황에서, It diffusion 확산 X가 측정 가능한 집합 H ⊆ R을 언제 남길지 알면 충분합니다. 즉, 첫 번째 출구 시간을 연구하고자 합니다.

${\displaystyle \tau _{H}(\omega )=\inf\{t\geq 0 X_{t}\not \in H\}}$

그러나 때로는 X가 집합을 빠져나가는 점의 분포도 알고자 합니다. 예를 들어, 0에서 시작하는 실수선의 표준 브라운 운동 B는 확률 ½가 -1이고 확률 ½가 1인 구간 (-1, 1)을 벗어나므로 B는 집합 {-1, 1}에서 균일하게 분포됩니다.

일반적으로 G가 R 내에 콤팩트하게 내장되어 있는 경우, G의 경계 ∂G에 대한 X의 고조파 측도(또는 타격 분포)는 다음에 의해 정의되는 측도 μ입니다.

${\displaystyle \mu_{G}^{x}(F)=\mathbf {P}^{x}\left[X_{\tau_{G}\in F\right]}$

for x ∈ G and F ⊆ ∂G.

브라운 운동의 초기 예로 돌아가서, B가 x ∈ R에서 시작하는 R의 브라운 운동이고 D ⊂ R이 x를 중심으로 한 열린 공인 경우, ∂D에 대한 B의 고조파 측정은 x에 대한 D의 모든 회전에서 불변이며 ∂D에 대한 정규화된 표면 측정과 일치한다는 것을 보여줄 수 있습니다.

고조파 측도는 흥미로운 평균값 속성을 만족합니다. f : R → R 이 임의의 유계, 보렐 측정 가능 함수 및 φ은 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle \varphi(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau_{H}})\right],}$

그러면, 모든 보렐 집합 G ⊂⊂ H와 모든 x ∈ G에 대하여,

${\displaystyle \varphi(x)=\int_{\partial G}\varphi(y)\,\mathrm {d} \mu _{G}^{x}(y)}$

평균 값 속성은 확률적 과정을 사용하는 편미분 방정식의 해에 매우 유용합니다.

녹색측량과 녹색공식

A를 정의역 D ⊆ R 위의 편미분 연산자라고 하고, X를 A를 생성자로 하는 Itô 확산이라고 합니다. 직관적으로 보렐 집합 H의 그린 측도는 X가 도메인 D를 떠나기 전까지 H에 머무르는 예상 시간입니다. 즉, G(x, ·)로 표시된 D at x에 대한 X의 녹색 측도는 보렐 집합 H ⊆ R에 대해 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],}$

또는 유계 연속 함수 f: D → R by

${\displaystyle \int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}$

"녹색 측도"라는 이름은 X가 브라운 운동이라면,

${\displaystyle G(x,H)=\int _{H}G(x,y)\,\mathrm {d} y,}$

여기서 G(x, y)는 도메인 D의 연산자 ½ δ에 대한 그린의 함수입니다.

모든 x ∈ D에 대하여 E[τ] < + ∞이라고 가정합니다. 그런 다음 녹색 공식은 컴팩트한 지지로 모든 f ∈ C(R; R)에 대해 유지됩니다.

${\displaystyle f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f\left(X_{\tau_{D}\right)\right]-\int_{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y)}$

특히 d에 f의 지지대를 컴팩트하게 박으면,

${\displaystyle f(x)=-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y)}$

참고 항목

• 확산과정

참고문헌

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