히스-제로우-모턴 프레임워크

HJM(Heath-Jarrow-Morton) 프레임워크는 이자율 곡선의 진화를 모델링하는 일반적인 프레임워크로, 특히 단순한 선도 금리와는 달리 순시 선도 금리 곡선을 모델링합니다. 순시 선도 금리의 변동성과 드리프트가 결정적이라고 가정할 때, 이는 선도 금리의 가우시안 히스-재로우-모턴(HJM) 모델로 알려져 있습니다.^[1]^{: 394} 단순 전달 속도의 직접 모델링의 경우 Brace-Gatarek-Musiela 모델이 예를 나타냅니다.

HJM 프레임워크는 David Heath, Robert A의 작업에서 비롯되었습니다. 1980년대 후반의 Jarrow와 Andrew Morton, 특히 채권 가격 결정과 이자율 기간 구조: 새로운 방법론(1987) – 작업지, 코넬 대학교, 그리고 채권 가격 결정과 이자율 기간 구조: 새로운 방법론(1989) – 작업지(개정), 코넬 대학교. 그러나 폴 윌모트는 "실제로는 [실수]가 휩쓸려갈 커다란 양탄자일 뿐"이라고 묘사하는 등 비평가들을 가지고 있습니다.^[2]^[3]

틀

이러한 기술의 핵심은 특정 변수의 무차익 진화의 드리프트가 변동성과 그들 사이의 상관 관계의 함수로 표현될 수 있다는 인식입니다. 즉, 드리프트 추정이 필요하지 않습니다.

HJM 프레임워크에 따라 개발된 모델은 HJM 유형 모델이 전체 정방향 속도 곡선의 전체 역학을 포착한다는 점에서 소위 단방향 속도 모델과 다릅니다.

그러나 일반적인 HJM 프레임워크에 따라 개발된 모델은 종종 비마르코비안이며 무한 차원을 가질 수도 있습니다. 많은 연구자들이 이 문제를 해결하기 위해 큰 기여를 했습니다. 그들은 정방향 속도의 변동성 구조가 특정 조건을 만족하면 HJM 모델이 유한 상태 마르코프 시스템에 의해 완전히 표현될 수 있으므로 계산이 가능하다는 것을 보여줍니다. 예로는 1-요인, 2-상태 모형(O)이 있습니다. Cheyette, "기간구조의 역동성과 담보가치", 고정소득 저널, 1992; P. Ritchken과 L. Sankaras subramanian은 "선도율의 변동성 구조와 기간 구조의 역학", Mathematical Finance, No. 1, 1995) 및 이후의 멀티 팩터 버전에서.

수학 공식

Heath, Jarrow 및 Morton(1992)이 개발한 모델 클래스는 전방 속도 모델링을 기반으로 합니다.

모델은 순간 순방향 속도 $\textstyle f(t,T)$ T $\textstyle f(t,T)$ ${\$ f $(t, T$ $\textstyle t\leq T$ $\textstyle t\leq T$ T ${\$ 를 도입하는 것으로 시작되며 $\textstyle t\leq T$ 이는 $\textstyle t$ t $\textstyle t$ {\ $displaystyle \textstyle$ t}에서 $\textstyle T$ 볼 수 있듯이 시간 T {\displaystyle $\textstyle T}$ 에서 사용할 수 있는 연속 합성 속도로 정의됩니다 $\textstyle t$ 채권 가격과 선도 금리 사이의 관계도 다음과 같은 방법으로 제공됩니다.

P(t,T)=e^{-\int _{t}^{T}f(t,s)ds}

여기서 $\textstyle P(t,T)$ $\textstyle P(t,T)$ ${\displaystyle \textstyle P(t,$ T $)}$ 는 $\textstyle T\geq t$ $\textstyle T\geq t$ ≥ t ${\displaystyle$ \ $textstyle$ T $\$ geq t}에 $1을 지급하는 제로쿠폰 채권의 시점 $\textstyle t$ ${\displaystyle \textstyle$ t $}$ 에서의 가격입니다. 무위험 통화 시장 계정도 다음과 같이 정의됩니다.

\beta (t)=e^{\int _{0}^{t}f(u,u)du}

$\textstyle f(t,t)\triangleq r(t)$ 마지막 방정식을 통해 $\textstyle f(t,t)\triangleq r(t)$ $\textstyle f(t,t)\triangleq r(t)$ ≜ r $(t$ ) ${\displaystyle$ \ $textstyle f(t$ , t $)\triangleq$ r(t)}, 즉 위험 없는 쇼트 레이트를 정의할 수 있습니다. HJM 프레임워크는 $\textstyle f(t,s)$ 중립 가격 측정 $\textstyle \mathbb {Q}$ ${\$ 하에서 $\textstyle f(t,s)$ f $\textstyle f(t,s)$ $\textstyle f(t,s)$ ${\$ 의 역학을 다음과 $\textstyle \mathbb {Q}$ 같이 가정합니다.

df(t,s)=\mu(t,s)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)dW_{t}

여기서 $\textstyle W_{t}$ $\textstyle W_{t$ 는 d ${\displaystyle \textstyle$ d $}$ 차원의 위너 프로세스 $\textstyle \mu (u,s)$ μ $\textstyle \mu (u,s)$ ( $\textstyle \mu (u,s)$ $)$ {\ $displaystyle \mu (u, s$ $\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(u,s)$ σ $\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(u,s)$ (u $,$ s) ${\displaystyle$ \ $textstyle {\boldsymbol {\sigma$ }}}(u, $s)}$ 은 $\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(u,s)$ (는) Fu ${\$ 적응 $\textstyle {\mathcal {F}}_{u}$ 프로세스입니다. $\textstyle f$ f ${\$ f $}$ 에 대한 이러한 동역학을 $\textstyle P(t,s)$ 으로 $\textstyle f$ P ( $\textstyle P(t,s)$ {\ $displaystyle \textstyle$ P( $t,s)}$ 에 대한 동역학을 $\textstyle P(t,s)$ 찾고 위험 중립 가격 규칙 하에서 충족되어야 하는 조건을 찾아보겠습니다. 다음 프로세스를 정의해 보겠습니다.

Y_{t}\triangleq \log P(t,s)=-\int _{t}^{s}f(t,u)du

$\textstyle Y_{t}$ ${\$ 의 동역학은 Libniz의 규칙을 통해 얻을 $\textstyle Y_{t}$ 수 있습니다.

{\begin{aligned}dY_{t}&=f(t,t)dt-\int _{t}^{s}df(t,u)du\\&=r_{t}dt-\int _{t}^{s}\mu (t,u)dtdu-\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}du\end{align}

$μ$ $\textstyle \mu (t,s)^{*}=\int _{t}^{s}\mu (t,u)du$ $\textstyle \mu (t,s)^{*}=\int _{t}^{s}\mu (t,u)du$ ∗ = ∫ $\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}=\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)du$ $\textstyle \mu (t,s)^{*}=\int _{t}^{s}\mu (t,u)du$ $\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}=\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)du$ μ( $t$ , u) du {\ $displaystyle \mu($ t, s)^{*}=\ $int$ _{t}^{s $}\$ mu(t, u)du}, σ(t, s) ∗ = ∫ ts σ(t, u) du {\displaystyle \textstyle {\boldsymbol}(t, s)^{*}=\int _{t}^{\boldsymbol {\sigma }}(t, s)^{*}(t, u) du} $u)du}$ 이고 $\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}=\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)du$ , 푸비니 정리의 조건이 $\textstyle Y_{t}$ ${\$ 의 동역학 공식에서 만족된다고 가정하면 $\textstyle Y_{t}$ 다음을 얻을 수 있습니다.

dY_{t}=\left(r_{t}-\mu(t,s)^{*}\right)dt-{\bold 기호 {\sigma }(t,s)^{*}dW_{t}

이토의 보조정리에 의해 $\textstyle P(t,T)$ T $\textstyle P(t,T)$ ${\$ T $)}$ 의 동역학은 다음과 $\textstyle P(t,T)$ 같습니다.

{\frac {dP(t,s)}{P(t,s)}}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*T}\right)dt-{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}

But $\textstyle {\frac {P(t,s)}{\beta (t)}}$ must be a martingale under the pricing measure $\textstyle \mathbb {Q}$ , so we require that ${\displaystyle \textstyle \mu (t,$ $s)$ ^{*} $=$ {\ $frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma$ }}(t,s)^{*}{\ $boldsymbol$ {\ $sigma$ $}}($ t, $s$ T}}입니다. 이를 ${\displaystyle$ \ $textstyle$ s}와 $구별$ 하면 다음과 같습니다.

\mu(t,u)={\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }(t,s)^{T}ds

이는 최종적으로 $\textstyle f$ ${\$ f $}$ 의 동역학이 다음과 같은 형태여야 $\textstyle f$ 함을 알려줍니다.

df(t,u)=\left ({\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }(t,s)^{T}ds\right)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}

이를 통해 $\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}$ σ ${\$ displaystyle \ $textstyle$ {\boldsymbol $\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}$ sigma}}의 선택에 따라 채권 및 금리 파생상품의 가격을 책정할 수 있습니다.

참고 항목

참고문헌

메모들

^ M. Musiela, M. Rutkowski: 재무 모델링에서 마팅게일 방법. 두 번째. 뉴욕: 스프링어-베를라그, 2004. 인쇄.
^ 한 수학 괴짜의 월스트리트 개혁 계획, 뉴스위크, 2009년 5월
^ 뉴스위크 2009

원천

Hath, D., Jarrow, R. and Morton, A. (1990) 채권 가격과 이자율 기간 구조: 이산 시간 근사치. 금융 및 정량 분석 저널, 25:419-440.
Hath, D., Jarrow, R. 그리고 Morton, A. (1991) Wayback Machine에서 보관된 2017-04-28 이자율의 무작위 진화를 통한 조건부 청구 평가. 선물 시장 리뷰, 9:54-76.
Hath, D., Jarrow, R. 그리고 Morton, A. (1992) 채권가격결정과 이자율기간구조: 조건부 채권평가의 새로운 방법론 계량경제학, 60(1):77-105. doi:10.2307/2951677
Robert Jarrow (2002). 고정 수입 증권 및 이자율 옵션 모델링(2차). 스탠포드 경제와 금융. ISBN 0-8047-4438-6

v t 채권시장
유대 사채 고정수입
발행자별채권종류	대리채권 회사채 선순위채무 후순위채무 부실채권 국채 인프라채권 지방채 글로벌본드
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채권평가	청정가격 볼록성 쿠폰 신용 스프레드 현재수익률 더티프라이스 지속 아이 스프레드 주택담보대출수익률 명목수익률 옵션조정스프레드 무위험채권 가중평균수명 수익률곡선 수익률스프레드 만기수익률 Z스프레드
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v t 확률적 과정
이산시간	베르누이 과정 분기공정 중식당과정 갈턴-왓슨 과정 독립적이고 동일한 분산 랜덤 변수 마르코프 체인 모란과정 임의 보행 루프가 지워진 자기기피 편향된 최대 엔트로피
연속시간	덧셈공정 베셀과정 출생-사망과정 순산 브라운 운동 다리 익스포크 분수 기하학적 미앤더 코시공정 연락과정 연속 시간 랜덤 워크 콕스 과정 확산과정 다이슨 브라운 운동 경험적 과정 펠러공정 플레밍-비오트 과정 감마 과정 기하학적 과정 호크 공정 헌트과정 상호작용하는 입자계 Itô 확산 Itô process 점프 확산 점프 과정 레비 과정 현지시간 마르코프 덧셈 과정 맥킨-블라소프 과정 오른슈타인-울렌벡 과정 포아송 과정 컴파운드 비균질적 슈람-로너 진화 세미마팅게일 시그마마팅게일 안정공정 수퍼프로세스 전신과정 분산 감마 과정 위너공정 위너 소시지
둘다요.	분기공정 갤브스–뢰처바흐 모형 가우스 과정 은닉 마르코프 모형(HMM) 마르코프 과정 마르팅게일 차이점. 현지의 서브- 슈퍼- 임의동역학계 재생과정 갱신과정 가변 길이의 메모리를 갖는 확률적 사슬 백색소음
필드 및 기타	디리클레 과정 가우스 랜덤 필드 깁스 측도 홉필드 모형 아이싱모델 포츠 모형 부울 네트워크 마르코프 랜덤 필드 퍼콜레이션 피트먼-요르프로세스 점공정 콕스 포아송 랜덤 필드 랜덤그래프
시계열 모형	자기회귀 조건부 이분산성(ARCH) 모형 자기회귀식 통합이동평균(ARIMA) 모형 자기회귀모형 자기회귀-이동평균(ARMA) 모형 일반화 자기회귀 조건부 이분산성(GARCH) 모형 이동평균(MA)모델
재무모형	이항옵션가격결정모형 블랙-더만–토이 블랙-카라신스키 블랙-스쿨즈 찬-카롤리-롱스태프-샌더스(CKLS) 첸 등분산탄력성(CEV) 콕스-잉거솔-로스(CIR) Garman–Kohlhagen 히스-재로우-모턴(HJM) 헤스턴 호이-리 헐-화이트 리보 시장 렌들맨 – 바터 SABR 변동성 바시체크 윌키
보험수리모형	ü만 크라머-룬드베르크 리스크프로세스 스페어-앤더슨
대기열 모델	벌크 유동적 일반화 대기열망 M/G/1 M/M/1 M/M/c
특성.	까들랑길 계속되는 연속경로 에르고딕 교환가능 펠러 연속 가우스마르코프 마르코프 믹싱 조각적 결정론적 예측가능 점진적으로 측정 가능 셀프시밀러 정지된 시간 가역
리미트 정리	중심 극한 정리 돈스커 정리 두브의 마팅게일 수렴 정리 에르고딕 정리 피셔-티펫-그네덴코 정리 대편차원리 대수의 법칙(약함/강함) 반복 로그의 법칙 최대 에르고딕 정리 사노프 정리 0-1 법칙 (블루멘탈 , 보렐-칸텔리, 엥겔베르트-슈미트, 휴이트-새비지, 콜모고로프, 레비)
부등식	부르크홀더-다비스-건디 두브마팅게일 두브 업크로스 구니타와타나베 마르킨키에비치-지그문트
도구들	캐머런-마틴 공식 랜덤 변수의 수렴 돌레앙-데이드 지수 두브분해정리 두브마이어 분해 정리 두브의 선택적 정지 정리 딘킨 공식 파인만-카크 공식 여과 기르사노프 정리 무한소 생성기 Itô 적분 Itmma's 보조개 카르후넨-뢰브 정리 콜모고로프 연속성 정리 콜모고로프 확장 정리 레비-프로코로프 계량 맬리아빈 미적분학 마르팅게일 표현정리 선택적 정지 정리 프로호로프 정리 이차 변동 반사원리 스코로호드 적분 스코로호드의 표현 정리 스코로호드 공간 스넬 봉투 확률미분방정식 다나카 정지시간 스트라토노비치 적분 균일한 통합성 일반적인 가설 위너 공간 고전적인 추상적인
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