가우스-마르코프 과정

가우스-마르코프 확률적 과정(Carl Friedrich Gauss와 Andrey Markov의 이름을 따서 명명됨)은 가우스 과정과 마르코프 과정 모두의 요구 사항을 만족시키는 확률적 과정입니다.^[1][2] 고정된 가우스-마르코프 과정은 리스케일링(rescaleing)에 이르기까지^{[citation needed]} 독특합니다. 이러한 과정은 오른슈타인(Ornstein)이라고도 합니다.울렌벡 과정.

가우스-마르코프 과정은 랑게빈 방정식을 따릅니다.^[3]

기본속성

모든 가우스-마르코프 과정 X(t)는 다음과 같은 세 가지 성질을 갖습니다.^[4]

1. 만약 h(t)가 t의 0이 아닌 스칼라 함수라면, Z(t) = h(t)X(t)도 가우스-마르코프 과정입니다.
2. f(t)가 t의 비 decre싱 스칼라 함수이면 Z(t) = X(f(t))도 가우스-마르코프 과정입니다.
3. 프로세스가 비퇴행적이고 평균 제곱 연속인 경우 0이 아닌 스칼라 함수 h(t)와 X(t) = h(t)W(f(t))와 같이 엄격하게 증가하는 스칼라 함수 f(t)가 존재하며, 여기서 W(t)는 표준 위너 프로세스입니다.

속성 (3)은 모든 비퇴화 평균 제곱 연속 가우스-마르코프 프로세스가 표준 위너 프로세스(SWP)로부터 합성될 수 있음을 의미합니다.

기타속성

분산 $E$가 있는 고정 가우스-마르코프 공정${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}t))}$ =$$σ 2 {\$displaystyle {\textbf {E}}($X^{2}(t))$=$\$sigma$^{2}}, $시정수{\displaystyle {\mathrm{\beta }}^{}}$- 1${\displaystyle$\ $beta$^{-1}}는 다음과 같은 속성이 있습니다.

• 지수 자기 상관:
  $${\displaystyle {\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta \tau }}$$

  
• 코시 분포와 동일한 모양을 갖는 전력 스펙트럼 밀도(PSD) 함수:
  $${\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}$$

  
  (코시 분포와 이 스펙트럼은 척도 인자에 따라 다르다는 점에 유의하십시오.)
• 위의 결과는 다음과 같은 스펙트럼 인수분해를 산출합니다.
  $${\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}={\frac {\sqrt {2\beta }\,\sigma }{(s+\beta)}}\cdot {{\sqrt {2\beta }\,\sigma }{(-s+\beta)}}$$

  
  이는 위너 필터링 및 기타 영역에서 중요합니다.

또한 위의 모든 것에 대한 사소한 예외도 있습니다.^{[clarification needed]}

참고문헌