베셀 공정

수학에서, 프리드리히 베셀의 이름을 딴 베셀 공정은 확률적 공정의 일종이다.

형식 정의

순서 n의 Besel 프로세스는 (n ≥ 2)에 의해 주어지는 실제 값 프로세스 X이다.

${\displaystyle X_{t}=\ W_{t}\,}$

여기서 ·는 R에서ⁿ 유클리드 규범을 나타내고 W는 n차원 위너 과정(브라운 운동)이다. n의 경우, n차원 베셀 공정이 확률적 미분 방정식(SSE)의 해결책이다.

${\displaystyle dX_{t}=dZ_{t}+{\frac {n-1}{2}}:{\frac {dt}{X_{t}}}}}}}}}}$

여기서 Z는 1차원 위너 공정(브라운 모션)이다. 이 SDE는 모든 실제 매개 변수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해 타당하다는 점에 유의하십시오($$유동 항은 0에서 단수임).

표기법

0에서 시작된 차원 n의 베셀 공정에 대한 표기법은 BES₀(n)이다.

특정 치수

n ≥ 2의 경우, 원점에서 시작된 n차원 위너 공정은 시작점에서부터 과도하다. 확률 1과 함께, 즉 모든_t t > 0에 대해 X > 0이다. 그러나 n = 2에 대한 인접성이라는 것은 확률 1과 함께 임의로 큰 t가 있다는_t 것을 의미하며, r > 0에 대해서는 X < r이 있는 반면, n > 2에 대해서는 정말로_t 과도하며, 이는 모든 t에 대해 X r r이 충분히 크다는 것을 의미한다.

n ≤ 0의 경우, 베셀 공정이 0이 아닌 다른 지점에서 시작되는데, 이는 0으로의 표류가 너무 강하기 때문에 0에 도달하자마자 공정이 0에 고착되기 때문이다.

브라운 운동과의 관계

0차원 및 2차원 베셀 공정은 Ray-Knight 이론에 의한 Brownian 동작의 현지 시간과 관련된다.^[1]

x 엑스트레마 근처에 있는 브라운 운동의 법칙은 3차원 베셀 공정(다나카 주의)의 법칙이다.

참조

• Øksendal, Bernt (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
• 윌리엄스 D. (1979) 확산, 마르코프 프로세스와 마팅게일즈, 제1권 : 기초. 와일리, ISBN 0-471-99705-6