정지시간

정지 시간의 예: 브라운 모션의 타격 시간. 이 과정은 0시에 시작되어 1을 치자마자 중단된다.

확률론에서 특히 확률론에서 정지시간(Markov time, Markov moment, 선택적 정지시간 또는 선택적 시간^[1])은 "임의 시간"의 특정 유형으로 주어진 확률론적 과정이 특정한 관심 행동을 보이는 시간으로 해석되는 임의 변수다. 정지 시간은 종종 정지 규칙, 즉 현재의 위치와 과거 사건에 기초하여 프로세스를 계속할지 또는 정지할지를 결정하는 메커니즘으로 정의되며, 거의 항상 유한한 시간에 정지 결정을 내리게 될 것이다.

정지 시간은 의사결정 이론에서 발생하며, 선택적 정지 정리는 이러한 맥락에서 중요한 결과물이다. 정지시간은 정씨가 저서(1982년)에 넣었듯 '시간의 연속을 동일시한다'는 수학적 증거에도 자주 적용되고 있다.

정의

이산 시간

Let $\tau$ be a random variable, which is defined on the filtered probability space $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} },P)$ with values in $\mathbb {N} \cup \{+\infty \}$ . Then ${\di$ $splaystyle \tau }$ 은(는 $\mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $\mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 조건이 유지되는 경우 정지 시간( $\mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ F $\mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ = $\mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ F $\mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ) $\mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ n $\mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\$ = $({\mathcal$ { $F}_{n})_{n\in \mathb {N}}}}}}}}}}})$ 이라고 한다 $\tau$ . $\mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$

\{\tau =n\}\in {\mathcal {F}}_{n}

n

n

에

\{\tau =n\}\in {\mathcal {F}}_{n}

{{\tau =n\}\in {\mathcal {F}_{n}}}

직관적으로 이 조건은 $n$ $n$ 에 중지할 것인지에 대한 "결정"은 미래 정보가 아니라 $n$ $n$ 시간에 존재하는 정보에만 기초해야 함을 $n$ 의미한다.

일반사례

Let $\tau$ be a random variable, which is defined on the filtered probability space $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)$ with values in $T$ . In most cases, $T=[0,+\infty )$ . 다음 조건이 유지되는 경우 $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ $\tau$ 을(를) 정지 시간( $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ = $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ ( $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ t $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ ) $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ T ${\$ { $F} =({\mathcal {F}_{t}}_{t\in$ T $}))$ 이라고 한다 $\tau$ . $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$

\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}

{

\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}

\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}

\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}

}

\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}

F

\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}

{\

t

\}\in {\mathcal {F}_{t}}}

t\in T

t

t\in T

t\in T

{\displaystyty t\in T}

적응 과정으로

Let $\tau$ be a random variable, which is defined on the filtered probability space $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)$ with values in $T$ . Then $\tau$ is called a stopping time iff the 확률적 공정 $X=(X_{t})_{t\in T}$ = $X=(X_{t})_{t\in T}$ ( X $X=(X_{t})_{t\in T}$ ) $X=(X_{t})_{t\in T}$ $X=(X_{t})_{t\in T}$ $X=(X_{t})_{t\in T}$ ${\$ T $X=(X_{t})_{t\in T}$ 에 의해 정의됨

X_{t}:={\cHB{case}1&{\text{{}}}}{}t<\tau \0&{\text{}{}t\geq \tau \end{case}}

$\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ F = $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ t ) $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ { $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ T {\ $displaystyle \mathb$ {F} $=({\mathcal {F}_{t}}_{t\in$ T $})$ 에 적응함

평.

일부 저자는 명시적으로 $\tau$ $\tau$ 이(가) + $+\infty$ $+\infit$ 이(가 $\tau$ ) 될 수 있는 사례를 배제하는 반면 $+\infty$ 다른 저자는 $\tau$ $\tau$ 이 $\tau$ (가)가 T ${\\displaystytytytytytytytytytytytyle$ T $T$ 의 폐쇄에 어떤 값을

예

규칙을 정지시키는 임의의 시간의 예와 그렇지 않은 시간의 예를 설명하려면, 도박꾼이 일반적인 집 가장자리를 가지고 룰렛을 하는 것을 고려해 보십시오. 100달러부터 시작하여 각 게임에서 빨간색에 1달러를 베팅하십시오.

정확히 5게임을 하는 것은 정지시간 τ = 5에 해당하며, 정지규칙이다.
돈이 다 떨어지거나 500경기를 치를 때까지 뛰는 것은 중단 규정이다.
그가 앞으로 있을 최대 금액까지 경기하는 것은 중단 규칙이 아니며 현재와 과거에 대한 정보뿐만 아니라 미래도 필요로 하기 때문에 정지 시간을 제공하지 않는다.
돈을 두 배로 늘리기 전까지 경기하는 것(필요하다면 빌리는 것)은 결코 돈을 두 배로 늘리지 않을 가능성이 높기 때문에 중단 규칙이 아니다.
한정된 시간에 멈출 확률은 1이기 때문에 출전 횟수에 잠재적으로 제한이 없는데도 돈을 두 배로 늘리거나 다 쓸 때까지 뛰는 것은 정지 규칙이다.

To illustrate the more general definition of stopping time, consider Brownian motion, which is a stochastic process $(B_{t})_{t\geq 0}$ , where each $B_{t}$ is a random variable defined on the probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\$ $mathbb {P} )}$ . We define a filtration on this probability space by letting ${\mathcal {F}}_{t}$ be the σ-algebra generated by all the sets of the form $(B_{s})^{-1}(A)$ where $0\leq s\leq t$ and ${\displaystyle A\subseteq$ $\mathb {R} }$ 은 $A\subseteq \mathbb {R}$ (는) 보렐 집합이다. 직관적으로 이벤트 E는 시간 0에서 시간 t까지의 브라운 운동을 관찰하는 것만으로도 E가 참인지 거짓인지를 판단할 수 있는 경우에만 ${\mathcal {F}}_{t}$ F ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\$ 에 있다.

모든 상수 $\tau :=t_{0}$ $\tau :=t_{0}$ $\tau :=t_{0}$ 0 ${\$ 은 정지 시간이며 $\tau :=t_{0}$ , 이는 정지 규칙 "stop at t $t_{0}$ $t_{0}$ 0 ${\$ 에 해당한다. $t_{0}$
Let $a\in \mathbb {R} .$ Then $\tau :=\inf\{t\geq 0\mid B_{t}>a\}$ is a stopping time for Brownian motion, corresponding to the stopping rule: "stop as soon as the Brownian motion exceeds the value a."
Another stopping time is given by $\tau :=\inf\{t\geq 1\mid B_{s}>0{\text{ for all }}s\in [t-1,t]\}$ . It corresponds to the stopping rule "stop as soon as the Brownian motion has been positive over a contiguous stretch of length 1 time unit."
일반적으로, 만약 τ2τ1(Ω, F,{Ft}t≥ 0, P){\displaystyle \left(\Omega,{\mathcal{F}},\left\{{\mathcal{F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}일 경우 ,\mathbb{P}\right)}에 멈추는 거 그 다음에 그들의 최소 τ 1∧ τ 2{\displaystyle \tau_{1}\wedge \tau _{2}}, 그들의 최대 τ 1∨ τ 2{\disp.( $ystyle \tau _{1}\vee \tau _{2$ 그리고 그 합계 τ₁ + τ도₂ 정지 시간을 나타내고 있다. (차이나 제품에는 해당되지 않는데, 이는 언제 중단해야 할지를 결정하기 위해 "미래를 들여다보기"가 필요할 수 있기 때문이다.)

위의 두 번째 예와 같은 타격 시간은 정지 시간의 중요한 예가 될 수 있다. 기본적으로 모든 정지 시간이 타격 시간임을 보여주는 것은 비교적 간단하지만, 특정 타격 시간이 정지 시간임을 보여주는 것은 훨씬 더 어려울 수 있다.^[2] 후자의 유형의 결과는 데부트 정리라고 알려져 있다.

현지화

정지 시간은 지역적 의미에서만 요구되는 특성이 충족되는 상황에 대한 확률적 과정의 특정 특성을 일반화하는 데 자주 사용된다. 첫째, X가 공정이고 τ이 정지시간이라면 X는^τ 시간 τ에 정지된 공정 X를 나타내기 위해 사용된다.

X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}}}

그 다음, X는 정지시간 sequence의_n 순서가 존재하면 일부 속성 P를 국소적으로 만족시킨다고 하며, 이는 무한대로 증가하며, 그 공정을 위한 것이다.

\mathbf {1} _{\\tau_{n}0\}X^{\tau_{n}}

재산 P를 만족시키다 시간 지수 I = [0, ∞]를 설정한 일반적인 예는 다음과 같다.

현지 마팅게일 공정. 공정 X는 만약 그것이 cadlag이고 정지 시간의 순서가 존재한다면 로컬 마팅게일이다 that 무한대로 증가하는 τ_n
$\mathbf {1} _{\\tau_{n}0\}X^{\tau_{n}}$
각각의 n을 위한 마팅게일이다.

로컬로 통합 가능한 프로세스. 비음극적이고 증가하는 공정 X는 정지 시간의 순서가 존재하는_n 경우 국소적으로 통합할 수 있으며, 다음과 같이 무한대로 증가한다.
$\operatorname {E} \left[\mathbf {1} _{\\tau_{n}0\}}X^{\tau_{n}}}\n}\fty}$
각 n에 대해

정지 시간 유형

정지시간은 시간지수 I = [0,197]을 설정한 상태에서 발생시점 예측이 가능한지 여부에 따라 여러 유형 중 하나로 구분되는 경우가 많다.

정지시간 τ은 정지시간 τ을_n_n 만족시키는 증가순서의 한계와 같을 경우 예측이 가능하다. 순서 τ은_n τ을 알린다고 하며, 예측 가능한 정지 시간은 때때로 알 수 있는 것으로 알려져 있다. 예측 가능한 정지 시간의 예는 연속적이고 적응된 프로세스의 타격 시간이다. 연속적이고 실제 가치 있는 공정 X가 어떤 값 a와 동일한 첫 번째인 경우, τ은_n X가 a의 1/n 거리 내에 있는 첫 번째 순서인 τ에_n 의해 발표된다.

접근 가능한 정지 시간은 예측 가능한 시간의 순서에 의해 다루어질 수 있는 시간이다. 즉, 정지시간 τ은 P(τ = 일부 n의 경우 τ_n) = 1이면 접근할 수 있다. 여기서 τ은_n 예측 가능한 시간이다.

정지 시간 τ은 정지 시간의 증가 순서에 의해 결코 발표될 수 없다면 완전히 접근하기 어렵다. 동등하게, 예측 가능한 시간 σ마다 P(τ = σ < ∞) = 0. 완전히 접근 불가능한 정지 시간의 예로는 포아송 공정의 점프 시간을 들 수 있다.

모든 정지 시간 τ은 접근하기 쉽고 완전히 접근하기 어려운 시간으로 분해될 수 있다. 즉, σ = whenever마다 and = σ, υ = υ, τ = υ, τ = υ, decomposition = υ. 이 분해 결과의 진술에서 정지 시간은 거의 확실하게 유한할 필요가 없으며, ∞과 같을 수 있다.

임상 실험에서 규칙 중지

의학에서의 임상 실험은 종종 중간 분석을 수행하는데, 그 실험이 이미 그 최종 산물을 충족시켰는지를 판단하기 위해서입니다. 그러나 중간 분석은 거짓 양성 결과의 위험을 발생시키므로, 중간 분석의 수와 시기(알파-스팬딩이라고도 하며, 거짓 양성 비율을 나타내기 위해)를 결정하는 데 경계를 사용한다. 각 R 중간 시험에서, 사용된 방법에 따라 확률이 임계값 p 미만일 경우 시행이 중지된다. 자세한 내용은 순차 분석을 참조하십시오.

참고 항목

참조

^ Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. Vol. 77. Switzerland: Springer. p. 347. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
^ Fischer, Tom (2013). "On simple representations of stopping times and stopping time sigma-algebras". Statistics and Probability Letters. 83 (1): 345–349. arXiv:1112.1603. doi:10.1016/j.spl.2012.09.024.

추가 읽기

토마스 S. 퍼거슨 , "누가 비서 문제를 해결했는가?", 통계청 과학 제4권, 282–296, (1989년).
정지 시간에 대한 소개.
F. Thomas Bruss, "확률을 1로 요약하고 중지하라", 확률 연보, 제4권, 1384–1391,(2000)
Chung, Kai Lai (1982). Lectures from Markov processes to Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90618-8.
H. Vincent Poor and Olympia Hadjiliadis (2008). Quickest Detection (First ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62104-5.
Protter, Philip E. (2005). Stochastic integration and differential equations. Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21 (Second edition (version 2.1, corrected third printing) ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00313-7.
Shiryaev, Albert N. (2007). Optimal Stopping Rules. Springer. ISBN 978-3-540-74010-0.

[1] Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. Vol. 77. Switzerland: Springer. p. 347. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[Fischer_(2013)-2] Fischer, Tom (2013). "On simple representations of stopping times and stopping time sigma-algebras". Statistics and Probability Letters. 83 (1): 345–349. arXiv:1112.1603. doi:10.1016/j.spl.2012.09.024.

[1]

[2]

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