균일하게 가장 강력한 테스트

통계 가설 테스트에서 균일하게 가장 강력한(UMP) 테스트는 주어진 크기α의 모든 가능한 테스트 중에서 가장 큰 $(\displaystyle 1-\beta)$을 갖는$$ 가설 테스트이다.예를 들어, Neyman-Pearson 보조법에 따르면, 우도비 검정은 단순한 (점) 가설을 검정하기 위한 UMP입니다.

설정

$(\displaystyle$ X$)$는 확률밀도함수 또는 $확률질량함수$의 파라미터 패밀리 f${\displaystyle {}_{}{the}_{}}$ (${\displaystyle x}$)(불명한 결정론적 파라미터 $(\displaystyle$$f_{\$$theta })($$x$$)$에서 가져온 랜덤 벡터(측정치에 대응)를 나타냅니다.$arameter{\displaystyle \mathrm{}}$ space$$${\$ { \ $displaystyle$ \ Theta $}$는 2개의 분리된 $세트{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ \ $Theta$_ { 0$$})과$$θ1(\ $displaystyle$\ $Theta$_ { {$1$$\})$로 분할됩니다.$H$ $(\$ $displaystyle H_0})$은 ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$(\ displaystyle $0)$을 나타냅니다$.$}}은$($는)$1 (\displaystyle \theta \in$ \$Theta _{$1$\})$이라는 가설을 나타냅니다.가설의 바이너리 테스트는 리젝트 $영역{\displaystyle }$R$($측정 공간의 $서브셋$)$$과 함께 테스트 함수${\displaystyle }\delta {\displaystyle }$($x )(\$$displaystyle$ \$varphi($x))를$$ 사용하여 수행됩니다.

${\displaystyle \varphi (x)=cases}1&{\text{if}}x\in R\\0&{\text{if}}x\in R^{c}\end{cases}}}$

즉, 측정 $X$가$R이면$ $({$$displaystyle$$H_{1}),$ 측정$$$$ ${\displaystyle {}^{}}$가${\displaystyle {R이면}^{}}$ $({$이 유효하다는 의미입니다.$측정{\displaystyle }$ X가 R$$c이면$$({$displaystyle$$$X\$in$ R$^{c$$\})$이 유효하다는 점에 유의하십시오$.$.

형식적 정의

테스트 $함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$) \$displaystyle$ \ $varphi ($x )는$$$$ $크기\alpha$의 UMP입니다(${\displaystyle \mathrm{다른}}$ 테스트 함수 $\phi {\displaystyle {}^{})}$( $x$) $style$ \$varphi$ " ($$x ) $） 。$

$\displaystyle \sup _{\theta _{0}}\;\operatorname {E}[\varphi '(X)\theta]=\alpha '\leq \alpha =\sup _{0}}\;\operatorname {E}(THE)$

우리는 가지고 있다.

$\displaystyle \forall \theta \in \Theta _{1},\display \operatorname {E} [\varphi '(X) \theta]=1-\display' (\theta)=\operatorname {E} [\varphi (X) \theta ]}$

칼린-루빈 정리

칼린-루빈 정리는 복합 ^[1]가설에 대한 네이만-피어슨 보조정리의 확장으로 간주될 수 있다.스칼라 파라미터 θ에 의해 파라미터화된 확률밀도함수를 갖는 스칼라 측정을 고려하여 $우도비{\displaystyle }$l (${\displaystyle x}$ ) $=$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$1 (${\displaystyle x}$) / ${\displaystyle f{}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$0 (${\displaystyle x}$) { $display$ $style$$$l$$( $x$) / $f _${ { $1$} / f _ { \ $theta$ _ { \ ta$_ 0$} ($$$x$${\displaystyle }$)를 ${\displaystyle \mathrm{정의}}$합니다$.$$style$x$\},$ 임의의 ${\displaystyle {쌍}_{}}$에 대해1${\displaystyle {}_{}}$0 1 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0$$\ $displaystyle \theta$_ { $1$} \ $geq \theta$_ { $0$} (x$${ $displaystyle$ x$}$가 클수록 $(\$})일$$ $가능성$이 높아짐) 임계값 테스트:

${\displaystyle \varphi (x)=cases}1&{\text{if}}x>x_{0}\{\text{if}}x<x_{0}\end{cases}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 x 0$({$은 E ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ 0 ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle （}$ X${\displaystyle }$） $=$α {\$displaystyle \operatorname {E}$ _${\theta$ _${0}}\varphi ($X)=\$alpha }$가 $선택$됩니다.

는 사이즈α의 UMP 테스트로 H0 : 대$displaystyle H_{ 0$$}$

0: = 0vs의 에서도 정확히 동일한 테스트가 UMP라는 점에 유의하십시오.$displaystyle$$}$

중요 사례: 지수 패밀리

칼린-루빈 정리는 스칼라 파라미터와 스칼라 측정에 대한 제약으로 인해 약하게 보일 수 있지만, 이 정리가 가지고 있는 많은 문제들이 있는 것으로 밝혀졌다.특히, 확률밀도함수 또는 확률질량함수의 1차원 지수 계열은 다음과 같다.

$(\displaystyle f_{\theta }(x)=g(\theta)h(x)\exp(\theta)T(x)}),$

는 충분한 $통계정보{\displaystyle }$ T$)$ {$displaystyle$$$T$(x$의 단조 비감소 우도비를 가지고 있습니다.단, ${\displaystyle (}$ ($display$) { $displaystyle$ \eta ( \$theta$)}가$$ 감쇠하지 않는 경우입니다.

예

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle {}_M}$ -${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$) { $displaystyle$ X = ( X$_$ { $0$, \$ldots$, X _ { M - $1$}$$} )는 정규 분포 N$${ $displaystyle$ N$$} - 평균$$$$ { $displaystyle$\$theta$ m$$$$} 및 $공분산{\displaystyle }$ $R을 갖는$ 차원 랜덤 벡터를 나타냅니다.

${\displaystyle {displaystyle {n}f_{\theta }(X)={}&(2\pi)^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}\sum _{n=0}{M-1}(X_{n}-ta m^{\ta m^{})T}R^{-1}(X_{n}-\theta m)\right\}\[4pt]={}&(2\pi)^{-MN/2}R^{-M/2}\exp \{-{\frac {1}{2}\sum{n=0}{M-1}\ta ^2} 왼쪽$

이는 바로 이전 섹션에서 보여진 지수 계열의 형태로, 충분한 통계량은 다음과 같다.

${\displaystyle T(X)=m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}.}$

따라서, 우리는 테스트가

$\displaystyle \varphi (T)= (begin {case} 1 & )T_{0}\\0&T <t_{0}\end{case}\qquad \operatorname {E}_{\theta _{0}}\varphi(T)=\alpha }$

는 $사이즈\alpha$의 UMP $테스트입니다$$.$$H$0 :${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0$$:$0$ 0 : \ $theta \leqslant \theta$ _ ${ 0$ $}$ vs$$.$display style$

자세한 설명

마지막으로, 우리는 일반적으로 벡터 매개변수 또는 양면 테스트(대안의 양쪽에 하나의 가설이 있는 테스트)에 대해 UMP 테스트가 존재하지 않는다는 점에 주목한다.그 이유는 이러한 상황에서 매개 변수(예를 들어에θ 1{\displaystyle \theta_{1}}이θ 1>θ 0{\displaystyle \theta_{1}>\theta_{0}})의 하나의 가능한 값에 대한 일정 규모의 가장 강력한 시험 같은 크기의 매개 변수( 다른 값에 대한 가장 강력한 시험과는 다르기 때문이다.예.${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2$$（ \ $display$style \$theta$_$$ {$$} ） 。여기서 2 < 0\ $displaystyle \theta$_ { $2$} < \ $theta$_ { $0$} 。그 결과, 이러한 상황에서 가장 강력한 테스트는 균일하게 없습니다.

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레퍼런스

추가 정보

• Ferguson, T. S. (1967). "Sec. 5.2: Uniformly most powerful tests". Mathematical Statistics: A decision theoretic approach. New York: Academic Press.
• Mood, A. M.; Graybill, F. A.; Boes, D. C. (1974). "Sec. IX.3.2: Uniformly most powerful tests". Introduction to the theory of statistics (3rd ed.). New York: McGraw-Hill.
• L. L. 샤프, 통계신호처리, 애디슨-웨슬리, 1991년 섹션 4.7.