콜모고로프 확장 정리

수학에서 콜모고로프 확장 정리(콜모고로프 존재 정리, 콜모고로프 일관성 정리 또는 다니엘-콜모고로프 정리라고도 한다)는 유한차원 분포의 적절한 "일관된" 집합이 확률적 과정을 정의할 것을 보장하는 정리다. 영국의 수학자 퍼시 존 다니엘과 러시아의 수학자 안드레이 니콜라예비치 콜모고로프에게 공로를 인정받고 있다.^[1]

정리명세서

Let ${\displaystyle T}$ denote some interval (thought of as "time"), and let ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. For each ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ and finite sequence of distinct times ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{k}\in T}$, let ${\displa$$ystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}$은(는) (${\displaystyle {}^{}}{\displaystyle }$n${\displaystyle {}^{}{}^{}}$) k ${\$에 대한 확률 측정이 된다$$.$^{k$ 다음 두 가지 일관성 조건을 만족한다고 가정하십시오.

1. 모든 순열 $\pi {\displaystyle }$${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle \pi$$,\dots,k\}$의 {\$displaystyle \{n$}과$$(와) 측정 가능한 집합 ${\displaystyle {Fi}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ ,, $,,$ ,

${\displaystyle \nu _{t_{\pi (1)}\dots t_{\pi (k)}}\left(F_{\pi (1)}\times \dots \times F_{\pi (k)}\right)=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right);}$

2. 측정 가능한 모든 세트 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n ${\$ ${\displaystyle m\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ N ${\$

${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\nu _{t_{1}\dots t_{k},t_{k+1},\dots ,t_{k+m}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\times \underbrace {\mathbb {R} ^{n}\times \dots \times \mathbb {R} ^{n}} _{m}\right).}$

그 다음에는 확률 공간$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$,${\displaystyle F\mathcal{}}$ ,${\displaystyle P\mathbb{}}$ )$${\$displaystyle(\Oomega$,{\$mathcal {F},\mathb {P})$이 존재하며 확률적 공정 $X{\displaystyle }$: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$$T$$\time \Oomega \to \mathb {R} ^n}.$

${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\mathbb {P} \left(X_{t_{1}}\in F_{1},\dots ,X_{t_{k}}\in F_{k}\right)}$

for all ${\displaystyle t_{i}\in T}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ and measurable sets ${\displaystyle F_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, i.e. ${\displaystyle X}$ has ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ as its finite-dimensional distributions ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$… t ${\displaystyle {시간}_{}}$ t에 상대적$$… t {\$displaystyle$ t_${1}\reason t_{k$

${\displaystyle {사실}^{}}$, 기본 확률 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$) T ${\$^{$n})^$을 항상 기본 확률 공간으로 삼을 수 있다.${T}}$과(와) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대해 표준 $공정{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$:${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ 따라서 Kolmogorov의 확장 정리를 진술하는 대안적인 방법은 위의 일관성 조건이 유지된다면 (${\displaystyle {}^{}}$ $){\displaystyle {}^{}{}^T}$ ${\$(\$mathb {R}$^{$n})$에 (유일한$$) 측정 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$이(가) 존재한다는 것이다.$T}}$ with marginals ${\displaystyle \nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$ for any finite collection of times ${\displaystyle t_{1}\dots t_{k}}$. Kolmogorov's extension theorem applies when ${\displaystyle T}$ is uncountable, but the price to pay for this level of generality is that the measure ${\displaystyle }$▼ ${\displaystyle \nu}$은(는${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\$의 al-algebra 제품에만 정의됨$$${{T$ 그다지 부유하지 않은.

조건 설명

정리가 요구하는 두 가지 조건은 어떤 확률적인 과정에서도 사소한 것으로 만족한다. 중 하나로 ν 1,2(R+×R−){\displaystyle \nu_{120}(\mathbb{R}_{+}\times{R}\mathbb 예를 들어,. 그 다음 확률 P}{\displaystyle \mathbb{P}(X_{1}>0,X_{2}<0)(X1>0, X2<0) 실수를 사용한discrete-time 확률 과정 X{X\displaystyle}을 계산할 수 있다. _{-})}또는 ν ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$R -${\displaystyle {}_{}}$×${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$)$${\$displaystyle \nu _{2$,1$}(\mathb {R})({-}\times \mathb {$R$}$ \r} $\$mathb {R} $_$ Hence, for the finite-dimensional distributions to be consistent, it must hold that ${\displaystyle \nu _{1,2}(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-})=\nu _{2,1}(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+})}$. 첫 번째 조건은 이 문장이 임의의 시간 $지점{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$에 대해 유지되도록 일반화되며$,$ 모든 제어 $세트$는 ${\displaystyle F_{}}$ i ${\$ 입니다$.$

Continuing the example, the second condition implies that ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{1}>0)=\mathbb {P} (X_{1}>0,X_{2}\in \mathbb {R} )}$. Also this is a trivial condition that will be satisfied by any consistent family of finite-dimensional distributions.

정리의 함축소

어떤 확률적 과정에서도 두 가지 조건이 사소한 것으로 만족되기 때문에, 정리의 힘은 다른 어떤 조건도 요구되지 않는다는 것이다. 유한 치수 분포의 모든 합리적인(즉, 일관적인) 계열의 경우, 이러한 분포와 함께 확률적 과정이 존재한다.

확률적 프로세스에 대한 측정-이론적 접근방식은 확률공간에서 출발하며 확률적 프로세스를 확률공간에서 함수의 집합으로 정의한다. 그러나, 많은 응용에서 출발점은 실제로 확률적 과정의 유한한 차원 분포다. 이 정리는 유한차원 분포가 명백한 일관성 요건을 충족한다면, 목적과 일치하는 확률 공간을 항상 식별할 수 있다고 말한다. 많은 상황에서 이것은 확률 공간이 무엇인지에 대해 명시할 필요가 없다는 것을 의미한다. 확률적 과정에 관한 많은 본문은 사실 확률 공간을 가정하지만 그것이 무엇인지 명시적으로 언급하지 않는다.

이 정리는 브라운 운동의 존재에 대한 표준 증명들 중 하나에 사용되는데, 가우스 난수변수로 한정된 치수 분포를 명시하여 위의 일관성 조건을 충족시킨다. 브라운 운동의 대부분의 정의에서와 같이, 샘플 경로가 거의 확실하게 연속되어야 하며, 그 다음 하나는 콜모고로프 연속성 정리를 사용하여 콜모고로프 확장 정리에 의해 구성된 프로세스의 연속적인 수정을 구성한다.

정리의 일반 형태

콜모고로프 확장정리는 유클리드 공간에 대한 조치 집합이 일부 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 값 확률적$$ 공정의 유한 차원 분포가 되도록 조건을 제시하지만, 상태 공간이 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$라고 가정하는 것은 불필요하다$$. 실제로 측정 가능한 공간의 어떤 집합과 이러한 공간의 유한한 생산물에 대해 정의된 내부 정규 조치의 집합으로 충분할 것이다. 단, 이러한 조치가 특정한 호환성 관계를 충족한다면 말이다. 일반정리의 형식적인 진술은 다음과 같다.^[2]

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을(를) 원하는 대로 설정하십시오$$. Let ${\displaystyle \{(\Omega _{t},{\mathcal {F}}_{t})\}_{t\in T}}$ be some collection of measurable spaces, and for each ${\displaystyle t\in T}$, let ${\displaystyle \tau _{t}}$ be a Hausdorff topology on ${\displaystyle \Omega _{t}}$. For each finite subset $$${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle J\subset$ T$\},$ 정의

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_{}}$ ${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \underset{}{t}}$ t ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{J}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ J$}\Oomega _{t$

하위 집합 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle I\subset J}$의 경우,$$$\pi {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle I_{}^{}}$ :${\displaystyle {}_{}^{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle J_{}}$→ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ I ${\$$\Oomega _{J}\to \Oomega_{I}}}$는 표준 투영 지도 $\Omega {\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 의미한다$.$

For each finite subset ${\displaystyle F\subset T}$, suppose we have a probability measure ${\displaystyle \mu _{F}}$ on ${\displaystyle \Omega _{F}}$ which is inner regular with respect to the product topology (induced by the ${\displaystyle \tau _{t}}$) on ${\displaystyle \Omega _$${F$ 또한 이 측정 집합$$${\displaystyle }${${\displaystyle {\mu F}_{}}$ ${\displaystyle \{\mu_{F}\}}}$이(가) 유한 부분 집합 $F{\displaystyle }$ suppose G ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F\subset G\subset T}$에 대해 다음과 같은 호환성 관계를 만족한다고 가정합시다$.$

${\displaystyle \mu _{F}=(\pi _{F}^{G})_{*}\mu _{G}}}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle {\pi F}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$)${\displaystyle {}_{}{\mu G}_{}}$ ${\$ $_{G$$}}}}}$는 표준 투영 지도 ${\displaystyle {\pi }_{}^{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$$$${\$에 의해 유도된 $\mu G$의 푸시 포워드 측정치를 나타낸다$$.

Then there exists a unique probability measure ${\displaystyle \mu }$ on ${\displaystyle \Omega _{T}}$ such that ${\displaystyle \mu _{F}=(\pi _{F}^{T})_{*}\mu }$ for every finite subset ${\displaystyle F\subset T}$.

한 마디로, 모든 ${\displaystyle {측정}_{}\mathrm{\mu F}}$ , μA , μA ${\displaystyle \mu _{F}\mu }$은 각각의 공간에 대한 제품 시그마 대수상에 정의되어 있는데$$, (앞에서도 언급했듯이) 다소 조잡하다. 측정 $[\displaystyle \mu }$은(는) 추가 구조가 관련된 경우 때때로 더 큰 시그마 대수학까지 적절히 확장될 수 있다$$.

Note that the original statement of the theorem is just a special case of this theorem with ${\displaystyle \Omega _{t}=\mathbb {R} ^{n}}$ for all ${\displaystyle t\in T}$, and ${\displaystyle \mu _{\{t_{1},...,t_{k}\}}=\nu _{t_{1}\dots t_{k}}}$$$ for ${\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in T}$. The stochastic process would simply be the canonical process ${\displaystyle (\pi _{t})_{t\in T}}$, defined on ${\displaystyle \Omega =(\mathbb {R} ^{n})^{$$확률$ 측정 $P$$$=${\displaystyle \mu }$ = ${\$$displaystyle$ $P$$=\mu }}.$ 정리의 원래 진술에 ${\displaystyle {{측정}_{}}_{}}$의 내적 규칙성이 언급되지 않는 이유는 폴란드 $공간의 보렐$ 확률 측정은 자동이기 때문에 자동으로 따라오기 때문이다$.$릴리 라돈.

이 정리에는 광범위한 결과가 많이 있다. 예를 들어 다음과 같은 것들이 존재한다는 것을 증명하는 데 사용될 수 있다.

• 브라운 운동, 즉, 위너 과정,
• 주어진 전환 매트릭스와 함께 주어진 상태 공간에서 값을 취하는 마르코프 체인
• 확률 공간의 무한 생산물

역사

존 알드리히에 따르면, 이 정리는 영국 수학자 퍼시 존 대니얼에 의해 약간 다른 통합 이론의 설정에서 독자적으로 발견되었다고 한다.^[3]

참조

외부 링크

• 알드리히, J(2007) "하지만 P.J.를 기억해야 한다.Sheffield의 Daniel" Electronic Journal@l for Histority and Statistics 2007년 12월.