보조 입자 필터

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2016년 5월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

보조 입자 필터는 미행 관측 밀도를 처리할 때 순차적 중요도 재샘플링(SIR) 알고리즘의 일부 결함을 개선하기 위해 1999년 피트와 셰퍼드 등이 도입한 입자 필터링 알고리즘이다.

동기

입자 필터는 균일한 분포에 대해 ${\displaystyle 이산}$ 확률 질량 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ $_$$t$$}$을 갖는 $M{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $M$$}$ 입자에$$ 의한 연속 랜덤 변수에 가깝다.랜덤 표본 입자는 $M{\displaystyle }$→ ∞${\displaystyle M\rightarrow \infit$ \infit $}$ 값일 경우 연속 랜덤 변수의 확률 밀도 함수의 근사치를 위해 사용될 수 있다$.$

경험적 예측 밀도는 다음과 같은 입자의 가중 합계로서 생성된다.^[1]

${\displaystyle {\widehat {f}}(\alpha _{t+1} Y_{t})=\sum _{j=1}^{M}f(\alpha _{t+1} \alpha _{t}^{j})\pi _{t}^{j}}$, and we can view it as the "prior" density.입자의 중량은 동일한 ${\displaystyle t_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$j = ${\displaystyle \frac{1}{}}$ M ${\$ _${t}^{j}={\frac${1$}{M}}}}$인 것으로 가정한다는 점에 유의하십시오$.$

이전 밀도 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ 1 ${\displaystyle {\mathrm{Y}}_{}}$ $){\displaystyle {\widehat {f}(\alpha _{t+1} Y_{t})$와 우도 $f{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \alpha {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ $){\displaysty f(y_{t+1} \alpha _{t+1})$를$$조합하면 다음과 같이 경험적 필터링 밀도를 생성할 수 있다.

${\displaystyle {\widehat {f}}(\alpha _{t+1} Y_{t+1})={\frac {f(y_{t+1} \alpha _{t+1}){\wideh$$at {f}}(\alpha _{t+1} Y_{t})}{f(y_{t+1} Y_{t})}}\propto f(y_{t+1} \alpha _{t+1})\sum _{j=1}^{M}f(\alpha _{t+1} \alpha _{t}^{j})\pi _{t}^{j}}$, where ${\displaystyle f(y_{t+1} Y_{t})=\int f(y_{t+1} \alpha _{t+1})d$$F(\alpha _{t+1} Y_{t$

반면에 우리가 추정하고자 하는 진정한 필터링 밀도는

${\displaystyle f(\alpha _{t+1} Y_{t+1})={\frac {f(y_{t+1} \alpha _{t+1})f(\alpha _{t+1} Y_{t})}{f(y_{t+1} Y_{t})}}}$.

이전 밀도 $f{\displaystyle \stackrel{}{}^({}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ 1 ${\displaystyle {\mathrm{Y}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$) ${\displaystyle {\widehat{f}(\alpha _{t+1} Y_{t})$를 사용하여 참 필터링 밀도 $f{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ 1 ${\displaystyle Y{}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ $){displaysty$ f$(\alpha _{t+1} Y_{t+1$})를 근사찰할 수 있다$$$.$

• 입자 $필터$는 이전 밀도 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$(${\displaystyle {\alpha }_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$+ 1 ${\displaystyle {\mathrm{Y}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$)에서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\widehat {f}(\alpha _{t+1} Y_{t})$ 샘플을$$ 추출한다$.$ 각 샘플은 동일한 확률로 그려진다.
• 각 샘플을 가중치 ${\displaystyle {weightsj}_{}}$= ${\displaystyle \frac{\underset{}{\overset{}{}}{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\underset{}{\overset{}{j}}}{{}_{}}}$= ${\displaystyle \frac{\underset{}{\overset{}{1}}}{}}$ R = i,${\displaystyle \frac{{}_{}}{}\Omega }$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle f_{}}$ (${\displaystyle y{\alpha j}^{}}$ $){\displaystyle \pi _{j}={$j}={\$frac _{j$}{$j}{j$}}}{i$=1}}{i=1$}}}}}}}}}}}}}}}}}\$오메가_{j=f(y$가중치는 우도함수 $f{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\alpha }}_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle f(y_{t+1} \alpha _{t+1$}$$.
• 만약 샘플이 원하는 $실제{\displaystyle }$ 필터링 밀도로 수렴되는 숫자 R${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle R\rightarrow \infit }$ 이라면$.$
• $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ 입자는$$ 중량 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을 사용하여 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 입자로$$ 다시 샘플링된다$.$

입자 필터의 약점에는 다음이 포함된다.

• 무게 { ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$이(가) 큰 분산을 갖는 경우 표본이 경험적 필터링 밀도와 근사할 수 있을 정도로 표본 $양{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$이(가) 커야$$ 한다.즉, 중량이 널리 분포되어 있는 동안 SIR 방식은 부정확해지고 적응이 어렵다는 것이다.

따라서 이 문제를 해결하기 위해 보조 입자 필터를 제안한다.

보조 입자 필터

보조 변수

Comparing with the empirical filtering density which has ${\displaystyle {\widehat {f}}(\alpha _{t+1} Y_{t+1})\propto f(y_{t+1} \alpha _{t+1})\sum _{j=1}^{M}f(\alpha _{t+1} \alpha _{t}^{j})\pi _{t}^{j}}$,

we now define ${\displaystyle {\widehat {f}}(\alpha _{t+1},k Y_{t+1})\propto f(y_{t+1} \alpha _{t+1})f(\alpha _{t+1} \alpha _{t}^{k})\pi ^{k}}$, where ${\displaystyle k=1,...,M}$.

$f{\displaystyle \stackrel{}{}^({}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle t{}_{}{}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ )${\displaystyle {\widehat{f}(\alpha _{t+1} Y_{t+1$})가$$$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 입자의$$ 합계에 의해 형성된다는$$ 것을 알고 있는 보조 변수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystystyle k}$은 하나의 특정 입자를 나타낸다$$.$k {\$$displaystyle k}$의 도움으로$,$ 우리는 분포 $g{\displaystyle }$(${\displaystyle {\alpha }_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$k $Y t$+$1$)를 가진 $샘플$ 세트를 형성할 수 있다$.$Then, we draw from these sample set ${\displaystyle g(\alpha _{t+1},k Y_{t+1})}$ instead of directly from ${\displaystyle {\widehat {f}}(\alpha _{t+1} Y_{t+1})}$. In other words, the samples are drawn from ${\d$확률은 다른$$ $isplaystyle${\$widehat{f}(\alpha _{t+$1} $Y_{t+1$}).표본들은 궁극적으로 $대략적$인 f${\displaystyle }$(${\displaystyle {\alpha }_{}}$t + ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle Y{}_{}{}_t}$ + 1${\displaystyle {}_{}}$)에 활용된다$.$ (\$displaystyle f(\alpha _{t+1} Y_{t+1})$.

SIR 방법을 예로 들어보자.

• 입자 필터는 $g{\displaystyle }$(${\displaystyle {\alpha }_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}k}$ Y ${\displaystyle t_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$)$${\displaystyle g(\$alpha _{t+1},k Y_{t+1})$에서 $R{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle R$$}$ 표본을$$ 추출한다$.$
• Assign each samples with the weight ${\displaystyle \pi _{j}={\frac {\omega _{j}}{\sum _{i=1}^{R}\omega _{i}}},\omega _{j}={\frac {f(y_{t+1} \alpha _{t+1$$}^{j}f(\alpha _{t+1}^{j} \alpha _{t}^{k}}}}{g(\alpha _{t+1}^{j},k^{j}Y_{t+1$
• $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {\alpha t}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$를 제어하여 가중치를 균일하게 조정한다$.$
• 마찬가지로, $R{\displaystyle }${\$displaystyle R$} 입자는$$ 중량 ${\displaystyle j_{}}$ j$${\$displaystyle \pi_{j}$의 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 입자로$$ 다시 샘플링된다$.$

원래 입자 필터는 이전 밀도에서 표본을 추출하는 반면 보조 필터는 이전 밀도와 우도의 공동 분포에서 추출한다.즉, 보조 입자 필터는 가능성이 낮은 지역에서 입자가 생성되는 상황을 피한다.$그$ 결과 $표본들$은 f$($t + ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$t + 1 ${\displaystyle {}_{}}$의 근사치를 더 정밀하게$$ 할 수 있다$.$

보조 변수 선택

보조 변수의 $선택$은 g${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$, ${\displaystyle k{}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$t +${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ ) ${\displaystyle g(\alpha$ _${t+1},k Y_{t+1})$에 영향을 미치며$$ 표본의 분포를 제어한다.g${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ 1,${\displaystyle {}_{}k}$ Y ${\displaystyle t{}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$) ${\displaystyle g(\alpha _{t+1},k Y_{t+1}})$의 가능한 선택은 다음과 같을 수 있다$$.
${\displaystyle g(\alpha _{t+1},k Y_{t+1})\propto f(y_{t+1} \mu _{t+1}^{k})f(\alpha _{t+1} \alpha _{t}^{k})\pi ^{k}}$, where ${\displaystyle k=1,...$$,M}$과 ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ t${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ k ${\$이 평균이다$$.

$g{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}k}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle t{}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$) ${\displaystyle g(\alpha _{t+1},k Y_{t+1}}$에서 다음$$ 절차에 따라$$ 대략 $f{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle Y{}_{}{}_{}}$ t + 1${\displaystyle Y_{}}$ +${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ )$${\$displaystyf f(\alpha _{t+$1} $Y_{t+1})$로 표본을 추출한다.

• First, we assign probabilities to the indexes of ${\displaystyle f(\alpha _{t+1} \alpha _{t}^{k})}$. We named these probabilities as the first-stage weights ${\displaystyle \lambda _{k}}$, which are proportional to ${\d$$isplaystyle g(k Y_{t+1})\propto \pi ^{k}f(y_{t+1} \mu _{t+1}^{k}}}$.
• 그런 다음 $가중{\displaystyle }$ 지수를 사용하여$$ $f{\displaystyle ({\alpha }_{}}$t + ${\displaystyle 1{}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ t k${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle f(\alpha _{t+1}$ $\alpha$ _${t}^{k})$에서 R ${\displaysty R}$ 표본을$$ 추출한다.그렇게 함으로써 실제로 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle {}_{}}$t${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$k ${\displaystyle Y{}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$) ${\displaystyle g(\alpha _{t+1$},k$Y_{t+1}}}$에서 표본을 추출하고 있다$.$
• Moreover, we reassign the second-stage weights ${\displaystyle \pi _{j}={\frac {\omega _{j}}{\sum _{i=1}^{R}\omega _{i}}}}$ as the probabilities of the ${\displaystyle R}$ samples, where ${\displaystyle {\omega }_j=\frac{f(y_{t+1}{\alpha }_{t+1}^j)}{f(y_{t+1}{\mu }_{t+1}^j)}}$${\displaystyle$ $\j$$}={{j}={\frac {f(y_{t$+1}^{$j})}{f(y_{t+1$}^{j$}}}}{f(y_{t+1}){j}}}{$f(으)}{$t+1}^{j$$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\{$f(중량은 $μ$ ${\displaystyle {txplaystrawequot}_{}^{}}$. μ t${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}.$

• ${\displaystyle {마지막}_{}}$으로 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $R}$ 입자를$$ M$$ ${\$ 중량으로 다시 샘플링한다$.$

Following the procedure, we draw the ${\displaystyle R}$ samples from ${\displaystyle g(\alpha _{t+1},k Y_{t+1})}$. Since ${\displaystyle g(\alpha _{t+1},k Y_{t+1})}$ is closely related to the mean ${\displaystyle \mu _{t+1}^{k}}$,조건부 가능성이 높다.따라서 샘플링 절차가 더욱 효율적이며 값 $R{\displaystyle }$ ${\$디스플레이 $스타일 R}$을(를) 줄일 수 있다$$.

기타 관점

여과된 후방은 다음과 같은 M 가중 표본으로 설명된다고 가정한다.

${\displaystyle p(x_{t}z_{1:t}\sum _{i=1}^{M}\omega _{t}^{t}{t}^{t}}}\delta \left(x_-x_{t}^{t}^{t}}}}\rig)\right).}$

${\displaystyle \mathrm{그런}}$ 다음 알고리즘의 각 단계는 $먼저{\displaystyle }$ t -${\displaystyle }$1 ${\displaystyle t-1}$에서 새 단계 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$}(으$)로$$ 전파되는$$ 입자 $지수{\displaystyle }$k {\$displaystyle k}$의 샘플을 그리는 것으로 구성된다$.$이러한 인덱스는 중간 단계로서만 사용되는 보조 변수로서 알고리즘의 명칭이다.인덱스는 일부 기준점 ${\displaystyle {\mu t}_{}^{}}$($){\$의 가능성에 따라 그려지며, 어떤$$ 식으로든 전환 모델 $x{\displaystyle {}_{}}$ t ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$1 ${\$예: 평균, 샘플 등)과 관련이 있다.

${\displaystyle k^{{t}\심 P(i=k z_{t})\propto \omega_{t}^{t}p(z_{t} \mu_{t}^{{t}}}}}}}}}$

$이$는 i${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle \dots ,M}$ ${\displaystyle i=1,2,\dots,M}$에 대해 반복되며$,$ 이러한 인덱스를 사용하여 이제 조건부 샘플을 그릴 수 있다.

${\displaystyle x_{t}^{(i)}\심 p(x x_{t-1}^{k^{(i)}}}.}$

마지막으로 실제 샘플에서의 우도와 예측 지점 $\mu {\displaystyle {}_{}^{}}$ t ${\displaystyle {{}^{}}_{}^{}}$ ($){\$ :

${\displaystyle \omega_{t}^{{t}^{{t}{{t}^{i}}}{p(z_{t}^{{t}}}}}}}}{p(z_{t} \mu _{t}^{k^{i)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

참조

원천

• Pitt, M.K.; Shephard, N. (1999). "Filtering Via Simulation: Auxiliary Particle Filters". Journal of the American Statistical Association. American Statistical Association. 94 (446): 590–591. doi:10.2307/2670179. JSTOR 2670179. Archived from the original on 2007-10-16. Retrieved 2008-05-06.