점공정

통계학 및 확률론에서 점 과정 또는 점 필드는 실제 선이나 유클리드 공간과 같은 수학 공간에 임의로 위치한 수학 점의 집합이다.^[1][2] 포인트 프로세스는 공간 데이터 분석에 사용될 수 있으며,^[3][4] 이는 임업, 식물 생태학, 역학, 지리학, 지진학, 재료 과학, 천문학, 통신, 계산 신경 과학,^[5] 경제학^[6] 등과 같은 다양한 분야에 관심이 있다.

점 공정에 대한 수학적 해석은 무작위 계수 측정 또는 무작위 집합과 같다.^[7][8] 일부 저자들은 점 과정과 확률적 과정 간의 차이가 명확하지 않다고 언급했지만 점 과정이 확률적 과정으로부터 발생하거나 또는 확률적 과정과 연관된 무작위 객체라는 점에서 점 과정과 확률적 과정을 서로 다른 두 가지 대상으로 간주한다.^[9][10][10] 다른 이들은 점 공정을 실제 선 또는 n ${\displaystylen}$ - 차원$$ 유클리드 공간과 같이 공정이 정의된 기초 공간^[a] 집합에 의해 지수화되는 확률적 공정으로 간주한다.^[13][14] 갱신 및 계수 과정과 같은 기타 확률적 프로세스는 포인트 프로세스 이론에서 연구한다.^[15][10] 역사적으로 "프로세스"라는 단어가 시간적으로 일부 시스템의 진화를 나타내듯이 "포인트 프로세스"라는 용어가 선호되지 않을 때도 있으므로 포인트 프로세스를 무작위 포인트 필드라고도 한다.^[16]

실제 라인의 점 공정은 점들이 자연적인 방식으로 순서가 정해지고 전체 점 공정은 점들 사이의 (랜덤) 간격에 의해 완전히 설명될 수 있기 때문에 특히 연구하기 편한 중요한 특수한 경우를 형성한다.^[17] 이러한 포인트 프로세스는 고객이 큐에 도착(큐어링 이론), 뉴런에 임펄스(컴퓨팅 신경과학), 가이거 카운터의 입자, 통신 네트워크의 라디오^[18] 방송국 위치 또는 전 세계 웹 검색과 같은 무작위 이벤트의 모델로 자주 사용된다.

일반점공정이론

수학에서 점 과정은 임의 원소로, 그 값은 집합 S에서 "점 패턴"이다. 정확한 수학적 정의에서 점 패턴은 국소적으로 유한한 계수 측정으로 지정되지만, 점 패턴을 한계점이 없는 S의 계수 가능한 부분 집합으로 생각하는 것은 더 많은 적용 목적에 충분하다.^{[clarification needed]}

정의

To define general point processes, we start with a probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, and a measurable space ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ where ${\displaystyle S}$ is a locally compact second countable Hausdorff space and ${\displaystyle {\mathcal {S$$}}}}$은(는) 보렐 σ알게브라 입니다. Consider now an integer-valued locally finite kernel ${\displaystyle \xi }$ from ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ into ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$, that is, a mapping ${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {S}}\mapsto \mathbb {Z} _{+}}$ such that:

1. 모든 $\Omega {\displaystyle \mathrm{\Omega }}$에 대해 ${\displaystyle \omega \in \Oomega \$$in{\displaystyle }$ $\},$ ,${\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$ ,${\displaystyle }$⋅ )${\displaystyle \xi (\omega ,\cdot )}$는 $S{\displaystyle }$ ${\displaysty$ S$}$에 대해 국소적으로 유한한 측정이다$.$^{[clarification needed]}
2. ${\displaystyle 모든\mathcal{}}$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ S ${\$$\xi {\displaystyle (\cdot }$, ${\displaystyle B}$) :${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$Z +${\$$\Oomega \mapsto \mathb {Z} _{+}}$은(는) $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$+ ${\$에 대한 랜덤 변수다$.$

이 낟알은 다음과 같은 방법으로 무작위 측정을 정의한다. We would like to think of ${\displaystyle \xi }$ as defining a mapping which maps ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ to a measure ${\displaystyle \xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ (namely, ${\displaystyle \Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$), where ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ is the set of all locally finite measures on ${\displaystyle S}$. Now, to make this mapping measurable, we need to define a ${\displaystyle \sigma }$-field over ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$. 이 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ - 필드는$$ 최소 대수로서 구성되어 ${\displaystyle {\pi }_{}}$ B :${\displaystyle {}_{}\mathrm{\mu \mu }}$($){\displaystyle \$$pi$ $_{B}\mapsto \mu (B)}$ 형식의 모든 평가 맵을 측정할 수 있으며$,$ 여기서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle S\mathcal{}}$ ${\$은 비교적 컴팩트하다. $이{\displaystyle }$ $\sigma {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \sigma }$ -field를$$ 장착한 다음, $\xi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$\$xi$ \xi$$} -field를 장착한$$ $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$opega$},$,$ ${\$$displaystyle$ \$xi_$${\omega$ $\}\}$에 대한 국소적 유한 측정값$$.

이제 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 포인트 프로세스로서 우리는$$ 단순히 위에서와 같이 구성된$$ 정수 값의 랜덤 측정(또는 동등하게 정수 값의 커널) mean ${\displaystyle \xi$}을(를) 상태 공간 S의 가장 일반적인 예는 유클리드 공간 R 또는ⁿ 그 부분집합으로, 여기서 특히 흥미로운 특수 사례가 실제 하프라인[0,197]에 의해 주어진다. 단, 포인트 프로세스는 이러한 예에 한정되지 않으며 포인트 자체가 R의ⁿ 콤팩트 서브셋인 경우 다른 것 중에서도 사용될 수 있으며, 이 경우 ξ은 보통 입자프로세스라고 한다.

S가 실제 선의 부분집합이 아닌 경우 ξ이 확률적 과정임을 암시할 수 있기 때문에 용어 포인트 프로세스가 그다지 좋은 것은 아니라는 점에 주목해^{[citation needed]} 왔다. 그러나 일반적인 경우에도 용어가 잘 정립되어 있고 논쟁의 여지가 없다.

표현

점 프로세스 ξ의 모든 인스턴스(또는 이벤트)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i},}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta}$은 Dirac 측정값을 나타내며$$, n은 정수 값 랜덤 변수, ${\displaystyle X_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 S의 랜덤 요소다. $만약{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ i$${\$displaystyle X_$${i}$s가 거의 확실히 구별된다면$($${\displaystyle \mathrm{또는}}$ 동등하게, 거의 확실히 $x{\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \xi$$(x)\$$leq$ 1$}$에 대해$$ 포인트 $프로세스$가 간단하다고 알려져 있다.

사건(사건 공간의 사건, 즉 일련의 점)의 또 다른 다르지만 유용한 표현은 계수 표기법이며, 여기서 각 인스턴스는 정수 값을 갖는 연속 $함수$인${\displaystyle }$N$($ t ) {\$displaystyle$ N($t)}$ 함수로$$ 표현된다. ${\displaystyle N}$: ${\displaystyle R}$→ ${\displaystyle Z{\mathbb{}}^{}}$+ ${\$ N$:{\mathb {R}}\오른쪽$ 화살표 ${\mathb {Z}^{+}}$:

${\displaystyle N(t_{1},t_{2}}=\int _{t_{1}^{1}{{1}:{2}}:xi(t)\,dt}$

which is the number of events in the observation interval ${\displaystyle (t_{1},t_{2}]}$. It is sometimes denoted by ${\displaystyle N_{t_{1},t_{2}}}$, and ${\displaystyle N_{T}}$ or ${\displaystyle N(T)}$ mean ${\displaystyle N_{0,T}}$.

기대척도

점 공정 ξ의 기대 측정값 E ((평균 측정이라고도 함)은 S의 모든 Borel 부분 집합 B에 B의 예상 점 수를 할당하는 S에 대한 측정값이다. 그것은

$[\displaystyle E\xi(B):=E{\bigl (}\xi (B){\bigr )}\quad {\text{{{{{\mathcal {B}}마다.}$

라플라스 기능

점 공정 N의 Laplace 함수 ${\displaystyle {\psi }_{}}$ N ${\displaystyle {}_{}f}$) ${\displaystyle \PSI _{N}(f)}$은 N의 상태 공간에 대한 모든 양의 값 함수 집합에서 다음과 같이 정의된${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle [0,\infty )}$에 이르는 맵이다.

${\displaystyle \Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f)]}$

랜덤 변수의 특성 함수와 유사한 역할을 한다. 한 가지 중요한 정리는 다음과 같다: 두 점 공정은 그들의 라플라스 함수가 같다면 같은 법칙을 가지고 있다.

모멘트 측정

포인트 프로세스의 전원인$$,${\displaystyle n^{}}$, ${\displaystyle \xi ^{n}}$의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S^{$n}은(는) 다음과 같이$$ 제품 공간 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ S^{$n}$에 정의된다$$.

${\displaystyle \xi ^{n}(A_{1})\time \cdots \time A_{n}=\prod _{i=1}^{n}\xi(A_{i})}}$

단조로운 등급의 정리를 통해, 이것은 (${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n^{}}$, B${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}{S}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle (S^{n},B(S^{n})$에 대한 제품 측정을 고유하게 정의한다.$}$ 기대$$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\xi n}^{}}$ (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle E\xi ^{n}(\$$cdot$ $)}$을(를$)$ $순간{\displaystyle }$ 측정이라고 한다$$. 첫 번째 모멘트 척도는 평균 척도다.

Let $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ S$=\mathb {R} ^{d}}}.$ 포인트 프로세스 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi$} w$$.r.t. Lebesgue 측정치는 함수 ${\displaystyle {\rho }^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$k${\displaystyle }$) : ( ${\displaystyle {}^{}{}^{}{}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle k^{}}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaysty \rho ^{(k)}:(\mathb {R} ^{d})}$이다.$^{k}\to [0,\fty )}$에 대해, 분리 경계가 있는 보렐 $하위{\displaystyle {}_{}}$ 집합 B ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$

${\displaystyle E\left(\prod _{i}\xi(B_{i}\right)=\int_{B_{1}\times \cdots \times B_{k}\rho^{(k)}(x_{1},d_{k})\x_{k}.}$

점 공정의 경우 접합 강도가 항상 존재하는 것은 아니다. 랜덤 변수의 모멘트가 많은 경우 랜덤 변수를 결정한다는 점을 고려할 때, 접합 강도에도 유사한 결과가 예상된다. 실제로, 이것은 많은 경우에 보여졌다.^[2]

역학성

A point process ${\displaystyle \xi \subset \mathbb {R} ^{d}}$ is said to be stationary if ${\displaystyle \xi +x:=\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{i}+x}}$ has the same distribution as ${\displaystyle \xi }$ for all ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}.}$ For a stationary point process, the mean measure ${\displaystyle E\xi (\cdot )=\lambda \ \cdot \ }$ for some constant ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ and where ${\displaystyle \ \cdot \ }$ stands for the Lebesgue measure. 이 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$을(를) 포인트 프로세스의 강도라고 한다$$. $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 정지 점 프로세스는 거의 확실히 0 또는 총점 수가 무한하다$$. 정지 지점 프로세스와 랜덤 측정에 대한 자세한 내용은 Daley & Vere-Jones 12장을 참조하십시오.^[2] 스테이션패리티는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$d}}$보다 더 일반적인 공간에서 포인트 프로세스에 대해 정의되고 연구되었다$.$

점 프로세스의 예

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\dapplaystyle \mathb$ {$R}$ $^{$d}에서 점 프로세스의 몇 가지 예를 볼 수 있다.$}$

포아송 점 공정

점 프로세스의 가장 단순하고 보편적인 예는 포아송 점 과정으로, 포아송 과정의 공간 일반화다. 선의 포아송(카운팅) 공정은 두 가지 특성, 즉 분리 간격의 점(또는 사건) 수가 독립적이며 포아송 분포를 갖는 것으로 특징 지을 수 있다. 포아송 점 공정은 또한 이 두 가지 특성을 사용하여 정의할 수 있다. 즉, 다음의 두 조건이 유지된다면 포인트 프로세스 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$은(는) 포아송 포인트 프로세스라고$$ 한다.

1) $\xi {\displaystyle }$(${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle (B_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\$${\displaystyle {xi}_{}}$$(B_{n}})$는 분리형 하위 집합 ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$, , , , . . . . ${\displaystystyle B_{1},\ldots ,B_{n}$에 대해 독립적이다$$.$}$

2) 경계 $부분집합{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$에 대해$,$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle B}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle$$$\$xi (B)}$은(는) 매개 변수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle B\Vert }$, {\$displaysty$ \$lambda$\$B\ ,}$이(가) 있는 포아송 분포를 가지고 있으며$$, 여기서$\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Vert }$ ‖ $⋅ {\$displaystytebesignstyt$.$

${\displaystyle {두\mathrm{}}_{}}$ 조건을 조합하여 다음과 같이 작성할 수 있다: B $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 비$$ 음의 정수 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$, ${\displaystyle k_{}}$n ${\$${n}.$

${\displaystyle \Pr[\xi ({i})=k_{i},1\leq i\leq n]=\prod_{i}e^{-\lambda \\B_{i}\}}}{\frac {(\lambda \B_{i}\){k_{i}}{k_{i}{k_{i}!}}.}$

상수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$을(를) 포아송 점 프로세스의 강도라고 한다. 포아송 점 프로세스는 단일 매개변수 $\lambda {\displaystyle }$. ${\displaystyle \lambda .}$에 의해 특징지어진다는 점에 유의하십시오. 좀 더 구체적으로 말하면, 위의 점 과정을 동질적인 포아송 점 과정이라고 부른다. An inhomogeneous Poisson process is defined as above but by replacing ${\displaystyle \lambda \ B\ }$ with ${\displaystyle \int _{B}\lambda (x)\,dx}$ where ${\displaystyle \lambda }$ is a non-negative function on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.$$}$

콕스 포인트 프로세스

Cox 프로세스(David Cox 경의 이름을 딴 이름)는 ‖ B $‖$ {\$displaystyle \lambda$\ B$\$ } 대신 무작위 측정을 사용한다는 점에서 포아송 포인트 프로세스의 일반화다$.$ 보다 공식적으로 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Lambda }$을(으)로 한다. 랜덤 측정 ${\displaystyle \Lambda }$에 의해 구동되는 Cox 포인트 프로세스는 다음과 같은 두 가지 속성을 가진$$ 포인트 프로세스 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi$}이다$$.

1. $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$이(가) 주어진 경우,$$$\xi {\displaystyle }$(${\displaystyle B}$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$${\$$displaystyle$ $\xi (B)}$은 경계 서브셋 $B{\displaystyle }$ .${\displaystyle$ $\Lambda$($B$$)$에 대해$$ 매개 변수 \$과{\displaystyle \mathrm{}}$ 함께 분포된$$ 포아송이다$.$$}$
2. For any finite collection of disjoint subsets ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ and conditioned on ${\displaystyle \Lambda (B_{1}),\ldots ,\Lambda (B_{n}),}$ we have that ${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$ are independent.

포아송 점 공정(동종 및 비종종종)이 콕스 점 공정의 특수한 사례로 따르는 것을 쉽게 알 수 있다. Cox 포인트 프로세스의 평균 측정치는 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$ (${\displaystyle \cdot }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$ ${\displaystyle (\cdot }$) = E λ (⋅ ) ${\displaystyle E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot )}$이므로 포아송 포인트 프로세스의 특별한 경우 $\lambda {\displaystyle }$λ {$lambda \cdot \}$이다.

Cox 점 프로세스의 경우 $intensity{\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle \cdot }$ )${\displaystyle \Lambda (\cdot$ )}을$($를) 강도 측정이라고 한다$$. 또한 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$에 (랜덤) 밀도(Radon-Nikodim 파생 모델) $\lambda {\displaystyle (\cdot )}$ ${\displaysty \lambda (\cdot )},$ 즉$$$$,

${\displaystyle \Lambda(B)\,{\stackrel {\text{a.s.}}}{=}\,\int _{B}\lambda(x)\,dx,}$

그런 다음 $\lambda {\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$을(를) Cox point process의 강도 필드라고 한다$$. 강도 측정 또는 강도 필드의 역점성은 해당 Cox 점 프로세스의 역점성을 암시한다.

Cox point process의 구체적인 세분류는 다음과 같이 상세하게 연구되어 왔다.

• Log-Gaussian Cox 포인트 프로세스:^[19] 가우스 랜덤 필드 X${\displaystyle (\cdot )}$에 대한$$ $\lambda {\displaystyle (y}$)${\displaystyle =}$ $X(y)}}$ ${\displaystyle$ $\lambda(y)=\exp($$X)(으)}$
• Shot noise Cox point processes:,^[20] ${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$ for a Poisson point process ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ and kernel ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Generalised shot noise Cox point processes:^[21] ${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$ for a point process ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ and kernel ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Lévy based Cox point processes:^[22] ${\displaystyle \lambda (y)=\int h(x,y)L(dx)}$ for a Lévy basis ${\displaystyle L(\cdot )}$ and kernel ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$, and
• Permanental Cox point processes:^[23] ${\displaystyle \lambda (y)=X_{1}^{2}(y)+\cdots +X_{k}^{2}(y)}$ for k independent Gaussian random fields ${\displaystyle X_{i}(\cdot )}$'s
• Sigmoidal Gaussian Cox point processes:^[24] ${\displaystyle \lambda (y)=\lambda ^{\star }/(1+\exp(-X(y)))}$ for a Gaussian random field ${\displaystyle X(\cdot )}$ and random ${\displaystyle \lambda ^{\star }>0}$

젠슨의 불평등에 의해, 콕스 포인트 프로세스가 다음의 불평등을 만족하는지 검증할 수 있다: 모든 경계 보렐 하위 집합 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$에 대해서$.$

${\displaystyle \operatorname {Var}(\xi (B))\geq \operatorname {Var}(\xi _{\alpha }(B)),}$

여기서 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은(는) 강도 측정 $\alpha {\displaystyle (}$α${\displaystyle )}$ ${\displaystyle :=}$ E${\displaystyle \lambda }$( ${\displaystyle ()}$= ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathrm{\lambda }(\cdot )}$. ${\displaystyle \alpha(\cdot$)를 가진 포아송 점 과정을 의미한다$.$$=E\xi(\cdot )=E\Lambda(\cdot )}$$$ 따라서 점은 포아송 점 공정과 비교하여 Cox 점 공정에서 변동성이 더 큰 것으로 분포한다. 이를 Cox point process의 클러스터링 또는 매력적인 속성이라고도 한다.

결정점 공정

물리학, 랜덤 매트릭스 이론 및 조합에 대한 응용이 있는 포인트 프로세스의 중요한 클래스는 결정적인 포인트 프로세스의 클래스다.^[25]

호크스(자기 흥분) 프로세스

호크스 공정 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$라고도 하는$$호크스 공정은 조건부 강도를 다음과 같이 나타낼 수 있는 간단한 포인트 공정이다.

${\displaystyle {\begin}\lambda(t)&=\mu(t)+\int _{-\^{t}\nu(t-s)\,dN_{s}\\[5pt]&=\mu(t)+\sum _{T_{k}\nu(t_{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\{{{{{{{{{ned}}}}}}}$

where ${\displaystyle \nu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ is a kernel function which expresses the positive influence of past events ${\displaystyle T_{i}}$ on the current value of the intensity process ${\displaystyle \lambda (t)}$, ${\displaystyle \mu (t)}$ 강도및 {: < + } ${\$의 예상, 예측 가능 또는 결정론적 부분을 나타내는 비스테이션 함수일 수 있다.$T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathb {R}}$은(는) 프로세스의 i번째 이벤트가 발생한 시간이다.^[26]

기하학적 공정

Given a sequence of non-negative random variables ${\textstyle \{X_{k},k=1,2,\dots \}}$, if they are independent and the cdf of ${\displaystyle X_{k}}$ is given by ${\displaystyle F(a^{k-1}x)}$ for ${\displaystyle k=1,2,\dots }$, where ${\displaysty$$le$ a$}$이(가) 양의 상수인 다음 $\{{\displaystyle X}$ k${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots \}}$ ${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\ldots \}}}}$을(를) 기하학적 공정(GP)이라고 한다$$.^[27]

기하학적 공정은 α-계열 공정과^[28] 이중 기하학적 공정 등 여러 개의 확장이 있다.^[29]

실제 하프라인에서 포인트 프로세스

역사적으로 연구된 첫 번째 점 공정은 실제 반선₊ R = [0,920]을 주공간으로 가지고 있었는데, 이 맥락에서 보통 시간으로 해석된다. 이러한 연구들은 통신 시스템을 모형화하려는 바람에서 동기 부여되었는데,^[30] 그 원인에 의해 점들이 전화 교환에 대한 통화와 같이 제때에 사건을 나타내었다.

R에₊ 대한 점 프로세스는 일반적으로 (랜덤) 이벤트 간 시간(T₁, T₂, ...)의 시퀀스를 제공하여 설명되며, 여기서 이벤트 시간의 실제 시퀀스(X₁, X₂, ...)를 다음과 같이 얻을 수 있다.

${\displaystyle X_{k}=\sum _{j=1}^{k}}T_{j}\quad {\text{{}k\geq 1.}$

이벤트 간 시간이 독립적이고 동일하게 분포되어 있는 경우, 획득한 포인트 프로세스를 갱신 프로세스라고 한다.

점 공정 강도

여과 H에_t 대한 실제 하프라인에서 점 공정의 강도 λ(t H_t)은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \lambda(t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}\Pr({\text}{\text}One event interval}\,[t+\Delta t]\mid H_{t}),}}}}$

H는_t 시간 t 이전의 이벤트 포인트 시간의 이력을 나타낼 수 있지만 다른 오차에 해당할 수도 있다(예: Cox 프로세스의 경우).

$N{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle N(t)}$ -notation에서$$ 보다 컴팩트한 형식으로 기록할 수 있다.

${\displaystyle \lambda(t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t}.}$

이중 예측 가능한 투영이라고도 하는 점 프로세스의 보상자는 다음과 같이 정의되는 통합 조건부 강도 함수다.

${\displaystyle \Lambda(s,u)=\int _{s}^{u}\lambda(t\mid H_{t}),\mathrm {d}t}$

관련 기능

파판젤루 강도 함수

$n{\displaystyle }$ ${\displaystylen}$ -차원$$ 유클리드 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 있는$$ 점 프로세스 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 Papangelou 강도 함수는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle \lambda _{p}(x)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{ B_{\delta }(x) }}{P}\{{\text{One event occurs in }}\,B_{\delta }(x)\mid \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]\},}$

where ${\displaystyle B_{\delta }(x)}$ is the ball centered at ${\displaystyle x}$ of a radius ${\displaystyle \delta }$, and ${\displaystyle \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]}$ denotes the information of the point process ${\displaystyle N}$$$ $외부{\displaystyle {}_{}}$ B ${\displaystyle {\Delta }_{}}$(${\displaystyle x}$ )$${\$displaystyle B_{\delta }(x)}$.

우도함수

일부 관측된 데이터를 조건으로 한 매개변수화된 단순 점 프로세스의 로그우도는 다음과 같이 기록된다.

${\displaystyle \ln {\mathcal {L}(N)(t)_{t\in [0,T]}}=\int _{0}^{T}(s)\,ds+\int _{0}^{0}\ln \lambda(s)\,dN_{s}}}}$^[31]

공간 통계에서 점 프로세스

R의ⁿ 콤팩트 서브셋 S에서 점 패턴 데이터의 분석은 공간 통계 내에서 주요한 연구 대상이다. 그러한 데이터는 광범위한 분야에 나타나며,^[32] 그 중 다음과 같다.

• 임업 및 식물 생태(일반적으로 나무 또는 식물의 서식)
• 역학(감염 환자의 거주지)
• 동물학(동물의 서식지 또는 둥지)
• 지리(인류 거주지, 도시 또는 도시)
• 지진학(지진의 지진학)
• 재료 과학(산업 재료의 결함 조사)
• 천문학(별이나 은하의 관측)
• 컴퓨터 신경 과학(신경 세포)

이러한 종류의 데이터를 모델링하기 위해 포인트 프로세스를 사용할 필요성은 이들의 고유한 공간 구조에 있다. 따라서, 첫 번째 관심사는 종종 주어진 데이터가 공간집적이나 공간 억제를 나타내는 것과는 반대로 완전한 공간적 무작위성(즉, 공간적 포아송 과정의 실현)을 보이는가 하는 것이다.

대조적으로, 고전적인 다변량 통계에서 고려되는 많은 데이터 집합은 하나 또는 여러 공변량(일반적으로 비공간적)에 의해 지배될 수 있는 독립적으로 생성된 데이터 점으로 구성된다.

공간 통계에서의 응용과는 별개로, 점 과정은 확률 기하학에서 근본적인 대상들 중 하나이다. 연구는 또한 보로노이 테셀레이션스, 랜덤 기하 그래프, 부울 모델 등 포인트 프로세스를 기반으로 구축된 다양한 모델에 광범위하게 초점을 맞추고 있다.

참고 항목

• 경험적 척도
• 무작위 측정
• 점 공정 표기법
• 점공정작업
• 포아송 공정
• 갱신 이론
• 불변측정법
• 전송 연산자
• 콥만 연산자
• 시프트 연산자

메모들

참조