이징 모형

통계역학
열역학 운동 이론
입자 통계 스핀 통계 정리 동일 입자 맥스웰-볼츠만 보스-아인슈타인 페르미-디락 패러스타틱스 애니닉 통계 땋은 통계
열역학 앙상블 하지 않다 마이크로캐논ical NVT 표준 § VT 그랜드 캐노니컬 NPH 아이소엔탈픽-이소바릭 NPT 등온-등압
모델 데비 아인슈타인 이징 포트
가능성 내부 에너지 엔탈피 헬름홀츠 자유 에너지 깁스 자유 에너지 그랜드 퍼텐셜 / 란다우 프리 에너지
과학자 맥스웰 볼츠만 깁스 아인슈타인 에렌페스트 폰 노이만 톨만 데비 페르미 보스
v t

물리학자 에른스트 이싱과 빌헬름 렌츠의 이름을 딴 이싱 모형(독일어 발음: [iizzŋŋ])은 통계역학에서 강자성의 수학적 모형이다.모델은 두 가지 상태(+1 또는 -1) 중 하나에 있을 수 있는 원자 "스핀"의 자기 쌍극자 모멘트를 나타내는 이산 변수로 구성됩니다.스핀은 보통 격자(국소 구조가 모든 방향으로 주기적으로 반복되는 곳)인 그래프로 배열되어 각 스핀이 인접한 스핀과 상호작용할 수 있습니다.일치하는 인접한 회전은 그렇지 않은 회전보다 에너지가 낮습니다. 시스템은 가장 낮은 에너지를 사용하지만 열이 이러한 경향을 방해하므로 서로 다른 구조적 단계가 발생할 가능성이 있습니다.이 모델을 통해 위상 전이를 단순화된 현실 모델로 식별할 수 있습니다.2차원 사각격자 이징 모델은 위상 ^[1]전이를 보여주는 가장 단순한 통계 모델 중 하나입니다.

이싱 모델은 물리학자 빌헬름 렌츠에 의해 발명되었고, 그는 그의 제자 에른스트 이싱에게 문제를 주었다.1차원 이싱 모델은 이싱(1925)이 1924년 ^[2]논문에서 단독으로 풀었다.상전이 없다.2차원 사각격자 이싱 모델은 훨씬 더 어려우며, 훨씬 후에 라스 온사거(1944)에 의해 분석적인 기술이 제공되었을 뿐이다.이것은 양자장 이론과 더 관련이 있는 다른 접근법이 존재하지만 일반적으로 전달 매트릭스 방법으로 해결된다.

4보다 큰 치수에서는 Ising 모델의 위상 전이가 평균장 이론으로 설명됩니다.

외부 필드가 없는 Ising 문제는 조합 최적화를 통해 해결할 수 있는 그래프 최대 컷(Max-Cut) 문제와 동등하게 공식화할 수 있습니다.

정의.

각각 d차원 격자를 형성하는 인접 사이트 세트(예: 그래프)가 있는 격자 부위의 집합 δ를 고려한다.각 격자부위 k ∈ λ λ each each each each_k ' + + {+1, -1} 이 부위의 스핀을 나타내는 이산변수 such가_k 있다.스핀 구성, θ = (120_k)_{k ∈ Λ}는 각 격자 부위에 스핀 값을 할당한 것입니다.

임의의 2개의 인접 사이트 i, j δ δ에 대해 상호작용_ij J가 존재하며, 또한 사이트 j δ δ δ는 상호작용하는 외부 자기장_j h를 가진다.구성 δ의 에너지는 해밀턴 함수에 의해 주어진다.

$\displaystyle H(\sigma)=-\sum _{\sigma i~j\rangle}J_{ij}\sigma _{j}-\mu \sum _{j}h_{j}\sigma _{j}$

여기서 첫 번째 합계는 인접한 스핀 쌍을 초과합니다(각 쌍은 한 번 카운트됨).표기법 「ij」는 사이트 i와 j가 가장 가까운 네이버임을 나타냅니다.자기 모멘트는 µ로 주어진다.위의 해밀턴의 두 번째 항에서 부호는 실제로 양수여야 하는데, 이는 전자의 자기 모멘트가 스핀과 반평행하기 때문이다. 그러나 ^[3]음수 항은 관례적으로 사용된다.구성 확률은 역온도β 0 0의 볼츠만 분포로 구할 수 있다.

${\displaystyle P_{\beta }(\displaystyle)=frac {e^{-\beta H(\sigma)}}{Z_{\beta }}}}$

여기서 β = (kT_B)⁻¹ 및 정규화 상수

${\displaystyle Z_{\beta}=\sum _{\sum }e^{-\sigma H(\sigma)}}$

파티션 함수입니다.스핀의 함수 f("관측 가능")의 경우, 하나는 다음을 나타낸다.

$\displaystyle f\rangle _{\display}=\sum _{\sum }f(\display)P_{\beta }(\displaystyle)}$

f의 기대(평균) 값.

구성 확률_β P(θ)는 (평형상태에서) 시스템이 구성 θ 상태에 있을 확률을 나타낸다.

논의

해밀턴 함수 H(θ)의 각 항에 대한 마이너스 부호는 관례적이다.이 부호 규칙을 사용하여 Ising 모델을 상호작용 부호에 따라 분류할 수 있습니다. if, pair i, j의 경우

j> { $displaystyle J_{ij$} > $0$} 。 상호작용을 강자성이라고 합니다.

j < { $displaystyle J_{ij$} < $0$}, 이 상호작용을 반강자성이라고 합니다.

${\displaystyle {\mathrm{Ji}}_{}}$ j $=$({$displaystyle$J_{$ij$}=$0$ 스핀은 상호 작용하지 않습니다.

이 시스템은 모든 상호작용이 강자성 또는 반강자성인 경우 강자성 또는 반강자성이라고 불립니다.원래의 아이싱 모델은 강자성 모델이었고, 아직도 "아이싱 모델"은 강자성 아이싱 모델을 의미한다고 종종 추측된다.

강자성 Ising 모델에서는 스핀이 정렬되기를 원합니다. 인접한 스핀이 같은 부호를 갖는 구성이 더 높은 확률을 가집니다.반강자성 모형에서는 인접한 스핀이 반대 부호를 갖는 경향이 있습니다.

또한 H())의 부호 규칙은 스핀 사이트 j가 외부 장과 상호작용하는 방법을 설명한다.즉, 스핀 부위가 외부 장과 일직선을 이루려고 합니다.다음 경우:

j> { $displaystyle h$_ { j} > $0$}, 스핀 사이트 j는 양의 방향으로 정렬하기를 원합니다.

j < { $displaystyle h$_ { $j$} < $0$}, 스핀 사이트 j는 음의 방향으로 정렬하기를 원합니다.

${\displaystyle h_{}}$ j $=$ $({displaystyle h_{j$}=$0$ 스핀 부위에 대한 외부 영향은 없습니다.

심플화

Ising 모델은 종종 격자와 상호작용하는 외부 필드 없이 검사된다. 즉, 격자 δ의 모든 j에 대해 h = 0이다.이 단순화를 이용하여, 해밀토니안은

${\displaystyle H(\sigma)=-\sum _{\sum i~j\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$

외부 필드가 어디에서나 0(h = 0)인 경우, Ising 모형은 모든 격자 부위의 스핀 값을 전환할 때 대칭입니다. 0이 아닌 필드는 이 대칭성을 깰 수 있습니다.

또 하나의 일반적인 단순화는 가장 가까운 모든 네이버의 'ij'가 같은 상호작용 강도를 갖는다고 가정하는 것입니다.그러면 δ의 모든 쌍 i, j에 대해 J = J를 설정할_ij 수 있습니다.이 경우 해밀턴식은 더 단순화된다.

${\displaystyle H(\sigma)=-J\sum _{\sum i~j\rangle }\displaystyle _{i}\displaystyle _{j}.}$

그래프 최대 잘라내기 연결

가중치 무방향 그래프 G의 정점 집합 V(G)의 서브셋 S는 그래프 G의 S로의 절단과 그 상보 서브셋 G\S를 결정한다.절단 사이즈는 S와 G\S 사이의 가장자리 무게의 합이다. 최대 절단 사이즈는 적어도 다른 모든 다양한 S 절단 크기이다.

그래프 G에 외부 필드가 없는 이징 모델의 경우, 해밀턴 값은 그래프 모서리 E(G)에 걸쳐 다음과 같은 합이 됩니다.

$displaystyle$$G$$J_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j$

여기서 그래프의 각 정점 i는 스핀 값 ${\displaystyle i_{}}$ i $=$ ±$$ {$displaystyle \displaystyle$ _${i$$}=\$$pm$ 1$}$을$($를) 취하는 스핀 $사이트$입니다. 주어진 스핀 구성 ${\$ {\$displaystyle$$\displaystyle$ V${\displaystyle {(}^{}}$$G)}$는 +$disponet$으로$$두 개의 $정점{\displaystyle }$ $세트$를 분할합니다$$.$$({$displaystyle$ V$^{+})$ $및{\displaystyle {}^{}}$ 스핀다운${\displaystyle {}^{}}$V - $\{-\}$을$($를) 가진 V -$${-}. $2개$의 상보적인 정점 $서브셋{\displaystyle {}^{}}$V$$+ {\$style$$$V$^{+}$와${\displaystyle {}^{}}V{\displaystyle {}^{}}$ - $style$ V $-$를 연결하는 확장 에지$$ $세트$를 $($ (${\displaystyle {}^{}}$V$+$)로 나타냅니다$.$${\displaystyle 크기}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle }$) \ $displaystyle \ left$ \ $delta$($V$${\displaystyle {^}^{}}$ { + } \ $right }$ ( $V$ +$$) \ $displaystyle$\ $delta$($$V^ { +$$} )는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

$j$$$$W_{ij$

$여기$서 ${\displaystyle {\mathrm{Wi}}_{}}$j({$displaystyle W_{$$ij})$는 $ij$의 무게를$$ 나타내며, 스케일 1/2는 동일한 $무게$를 두 번 카운트하는 것을 보상하기 위해 도입되었습니다. ${\displaystyle {\mathrm{Wi}}_{}}$ j ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{ji}}_{}}$ ${$} $=$$W_{ji$

아이덴티티

$디스플레이 스타일H(\sigma)&=-\sum_{ij\in E(V^{+})}J_{ij}-\sum_{ij\in E(V^{-})}J_{ij}+\sum_{ij\in\delta(V^{+})}J_{ij}\&=-\sum_{ij\in E(G)}J_{ij}+2\sum_{ij\in\delta(V^{+})}J_{ij},\end{aligned}}$

여기서 첫 번째 기간의 총합은 ${\(\displaystyle$ \$sigma$$)$에 의존하지 않습니다.$즉$, ${\(\displaystyle$ \sigma$)$에서${\displaystyle }$H$(\displaystyle$ $H{\displaystyle }$(\sigma$$)를 최소화하는 것은${\displaystyle \underset{i}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ j$$ + ) $Ji$ j(\displaystyle$\sum_i\del^{\$del})를 최소화하는 것과 같습니다.$J_{ij$ 가장자리 무게 ${\displaystyle {\mathrm{Wij}}_{}}$ $=$ - ${\displaystyle {\mathrm{Jij}}_{}}$ {$displaystyle W_{ij$}=-$J_${ij$$$}}$을 정의하면 외부 필드가 없는 Ising 문제가 절단 크기${\displaystyle {}^{}}$(V +${\displaystyle }$) { $displaystyle \ left$ \ （$$V$$^ { + \ } } $}$to max maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim maxim

$\displaystyle H(\sigma)=\sum_{ij\in E(G)}W_{ij}-4\left \delta (V^{+})\right .}$

문의사항

이 모델에 대해 물어봐야 할 통계적 질문의 상당수는 스핀 수의 제한에 있습니다.

• 일반적인 구성에서는 대부분의 스핀이 +1입니까, 아니면 -1입니까, 아니면 균등하게 분할됩니까?
• 만약 주어진 위치 i에서의 스핀이 1이라면, 위치 j에서의 스핀도 1일 확률은 얼마입니까?
• β가 변화하면 상전이 있습니까?
• 격자 δ에서 +1 스핀의 큰 클러스터 모양의 프랙탈 치수는 얼마입니까?

기본 속성 및 이력

이징 모델에서 가장 많이 연구된 사례는 d차원 격자의 변환-감응성 강자성 제로장 모델, 즉 δ = Z^d, J_ij = 1, h = 0이다.

1924년 박사학위 논문에서 이싱은 d = 1 사례에 대한 모형을 풀었는데, 이것은 각 부위가 왼쪽 및 오른쪽 이웃과만 상호작용하는 선형 수평 격자로 생각할 수 있다.1차원에서 솔루션은 단계 ^[5]전이를 허용하지 않습니다.즉, 임의의 양의 β에 대해 상관관계 δθθ는_ij i - j에서 기하급수적으로 붕괴한다.

$(\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\leq C\exp {-c(\beta) i-j {big}}},$

시스템이 흐트러져 있습니다.이 결과에 기초하여, 그는 이 모형이 어떤 차원에서도 위상동작을 나타내지 않는다고 잘못 결론지었다.

Ising 모델은 2차원 이상에서 순서 있는 단계와 무질서한 단계 간의 위상 전환을 거칩니다.즉, 시스템이 작은 β에 대해서는 무질서한 반면, 큰 β에 대해서는 시스템이 강자성 질서를 나타낸다.

${\displaystyle \displayle _{i}\display_{j}\rangle _{\display}\geq c(\display)>0.}$

이것은 1936년 ^[6]루돌프 페이얼스에 의해 현재 피어스라고 불리는 주장을 사용하여 처음 증명되었다.

자기장이 없는 2차원 사각 격자의 이징 모델은 Lars Onsager(1944)에 의해 분석적으로 해결되었다.Onsager는 Ising 모델의 상관 함수와 자유 에너지가 비상호작용 격자 페르미온에 의해 결정된다는 것을 보여주었다.Onsager는 1949년 2차원 모델의 자연 자화 공식을 발표했지만 유도를 제시하지는 않았다.양(1952)은 Fredholm 결정식에 대한 한계 공식을 사용하여 이 공식의 첫 번째 공개된 증거를 제시했고, 1951년 Szeg in에 의해 Onsager의 ^[7]연구에 대한 직접 응답으로 증명되었다.

역사적 의의

원자론을 지지하는 데모크리투스의 주장 중 하나는 원자가 얼음이 녹아서 물이 증기로 변할 때처럼 물질에서^{[citation needed]} 관찰되는 날카로운 위상 경계를 자연스럽게 설명한다는 것이었다.그의 생각은 원자 규모의 특성에서 작은 변화가 집합체의 행동에 큰 변화를 가져올 것이라는 것이었다.다른 사람들은 물질은 원자가 아니라 본질적으로 연속적이며 물질의 대규모 특성은 기본적인 원자 성질로 환원될 수 없다고 믿었다.

화학 결합의 법칙이 19세기 화학자들에게 원자가 진짜라는 것을 분명히 한 반면, 물리학자들 사이에서 논쟁은 20세기 초반까지 계속되었다.원자론자들, 특히 James Clark Maxwell과 Ludwig Boltzmann은 뉴턴의 법칙에 대한 해밀턴의 공식을 큰 시스템에 적용했고, 원자의 통계적 행동이 실온 가스를 정확하게 묘사한다는 것을 발견했다.그러나 고전적인 통계 역학은 액체와 고체의 모든 특성이나 낮은 온도에서의 기체의 특성을 설명하지는 않았다.

일단 현대 양자역학을 공식화하자 원자론은 더 이상 실험과 충돌하지 않게 되었지만, 이것은 원자론을 넘어선 통계역학의 보편적 수용으로 이어지지 않았다.Josia Willard Gibbs는 역학의 법칙에서 열역학의 법칙을 재현하기 위해 완전한 형식주의를 주었다.그러나 통계 역학을 의심했던 19세기 이후 많은 잘못된 주장들이 살아남았다.직관력의 결여는 대부분 무한 통계 시스템의 한계에는 유한 시스템에 없는 많은 0-1 법칙이 있다는 사실에서 기인한다. 즉, 매개변수의 미세한 변화는 데모크리투스가 예상한 것처럼 전체적인 종합적 행동에 큰 차이를 가져올 수 있다.

유한 볼륨에서 위상 전환 없음

20세기 초반에는 다음과 같은 주장을 바탕으로 분할 함수가 절대 위상 전이를 설명할 수 없다고 믿었던 사람도 있었다.

1. 파티션 함수는 모든 구성에 대한 e의 합계입니다^−βE.
2. 지수함수는 β의 함수로서 모든 곳에서 분석된다.
3. 분석 함수의 합은 분석 함수입니다.

이 주장은 유한한 크기의 계의 자유 에너지에 특이점이 없다는 것을 정확하게 입증한다.열역학적 한계(즉, 무한 시스템의 경우)에 있는 시스템의 경우 무한합이 특이점을 초래할 수 있습니다.열역학적 한계로의 수렴이 빠르기 때문에 특이점이 시스템의 유한한 크기에 의해 평활화되더라도 위상 거동은 이미 비교적 작은 격자에서 나타납니다.

이것은 루돌프 페이얼스에 의해 이징 모델에서 처음 확립되었다.

피어스 물방울

Lenz와 Ising이 Ising 모델을 구축한 직후, Peierls는 위상 전이가 2차원에서 발생한다는 것을 명확하게 보여줄 수 있었습니다.

이를 위해 그는 고온 한계와 저온 한계를 비교했다.무한 온도(β = 0)에서는 모든 구성이 동일한 확률을 가집니다.각 스핀은 서로 완전히 독립적이며, 무한 온도의 일반적인 구성이 흑백으로 표시되도록 플롯되어 있으면 텔레비전 눈처럼 보입니다.무한대가 아닌 높은 온도의 경우 인접한 위치 간에 약간의 상관관계가 있으며, 눈은 약간 쌓이는 경향이 있지만, 화면은 랜덤하게 보이는 상태로 유지되며, 흑백의 순초과는 없습니다.

초과에 대한 정량적 척도는 스핀의 평균 값인 자화입니다.

${{displaystyle M=sigma frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}.}$

마지막 섹션의 인수와 유사한 가짜 인수는 Ising 모델의 자화가 항상 0임을 확립합니다.

1. 스핀의 모든 구성은 모든 스핀을 뒤집은 구성과 동일한 에너지를 가집니다.
2. 따라서 자화 M을 사용하는 모든 구성에 대해 동일한 확률의 자화 -M을 사용하는 구성이 있습니다.
3. 따라서 시스템은 자화 M을 사용하는 경우와 자화 M을 사용하는 경우와 동일한 시간을 사용해야 합니다.
4. 따라서 평균 자화(전체 시간)는 0입니다.

이전과 같이, 이것은 평균 자화가 유한 볼륨에서 0이라는 것만 증명합니다.무한 시스템의 경우 변동으로 인해 시스템을 거의 플러스 상태에서 0이 아닌 확률로 마이너스로 밀어낼 수 없을 수 있습니다.

매우 높은 온도의 경우 자화는 무한대의 온도에서 0이 됩니다.이를 위해 스핀 A와 스핀 B의 상관관계 θ가 작고, B가 C와 약하게 상관관계만 있지만, 그 외에는 C가 A와 독립되어 있으면 A와 C의 상관관계량은 θ와² 같다.거리 L로 구분된 2회전에서는 상관량은 θ이지만^L 상관관계가 이동할 수 있는 경로가 여러 개일 경우 경로 수만큼 증가됩니다.

d차원의 정사각형 격자에서 길이 L의 경로 수는 다음과 같습니다.

$({displaystyle N(L)=(2d)^{L})$

각 단계에서 어디로 갈지 2차원의 선택지가 있기 때문입니다.

전체 상관관계에 대한 경계는 두 점을 연결하는 모든 경로에 대한 합계를 함으로써 상관관계에 대한 기여에 의해 주어지며, 이는 길이 L의 모든 경로에 대한 합계로 위에서 경계된다.

${\displaystyle_{L}(2d)^{L}\varepsilon^{L}}$

is가 작을 때 0이 됩니다.

저온(β ≤ 1)에서는 모든 스핀이 플러스 또는 마이너스인 가장 낮은 에너지 구성에 근접합니다.피어스는 저온에서 모든 스핀 마이너스부터 시작하여 대부분의 스핀이 플러스인 상태로 변동하는 것이 통계적으로 가능한지 물었다.이를 위해서는 플러스 스핀의 물방울이 응고하여 플러스 상태가 되어야 합니다.

마이너스 배경에 있는 플러스 스핀 물방울의 에너지는 플러스 스핀과 마이너스 스핀이 서로 인접한 물방울 L의 둘레에 비례합니다.둘레가 L인 물방울의 경우 면적은 (L - 2)/2(직선)와 (L/4)(²사각형 상자) 사이입니다.액적을 도입하기 위한 확률 비용에는 e 요인이^−βL 있지만, 이는 파티션 함수에 길이 L의 총 경로 수보다 작은 둘레 L의 총 액적 수를 곱하는 데 기여합니다.

$(\displaystyle N(L) <4^{2L}).}$

따라서 각 부위가 별도의 물방울을 가질 수 있도록 허용함으로써 물방울의 총 스핀 기여는 위에 다음과 같이 제한된다.

$\displaystyle \sum _{L}L^{2}4^{2}L}e^{-4\beta L}$

β가 크면 0이 된다.β가 충분히 클 경우, 이것은 긴 루프를 지수적으로 억제하기 때문에 발생하지 않으며, 자화도 -1에서 너무 멀리 변동하지 않는다.

그래서 Peierls는 Ising 모델의 자화는 결국 유한 변동에 의해 연결되지 않는 영역을 분리한 슈퍼 선택 섹터를 정의한다는 것을 확립했습니다.

크래머스-워니어 이중성

Kramers와 Wannier는 모델의 고온 팽창과 저온 팽창이 자유 에너지의 전체적인 재스케일링과 동등하다는 것을 보여줄 수 있었다.이를 통해 (고유 임계점이 있다는 가정 하에) 2차원 모델의 위상 전이점을 정확하게 결정할 수 있었다.

Yang-Lee 0

Onsager의 솔루션 후, Yang과 Lee는 온도가 임계 온도에 가까워지면 칸막이 함수가 특이해지는 방법을 조사했다.

수치 시뮬레이션을 위한 몬테카를로 방법

정의들

Ising 모델은 시스템에 여러 상태가 있는 경우 수치적으로 평가하기가 어려울 수 있습니다.Ising 모델을 검토하다

L = δ : 격자상의 총 사이트 수,

σ_j {-1, +1} : 격자상의 개별 스핀 부위, j = 1, ..., L,

S † {-1, +1}:^L 시스템 상태.

모든 스핀 부위는 ±1 스핀이기 때문에 가능한 상태는 ^[8]두 가지가 있습니다^L.이것은 몬테카를로 ^[8]방법을 사용하여 이징 모델을 시뮬레이션해야 하는 이유를 자극한다.

몬테카를로 방법을 사용할 때 모델의 에너지를 나타내기 위해 일반적으로 사용되는 해밀턴식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle H(\sigma)=-J\sum _{\sum i~j\rangle }\sum _{i}\sum _{j}-h\sum _{j}\sum _{j}\sum _{j}\sum _{j}.}$

또한 모델을 사용하여 풀어야 할 많은 질문에 대해 외부 필드가 없어도 대답할 수 있으므로 외부 필드 h를 0으로 가정함으로써 해밀턴을 더욱 단순화한다.이를 통해 상태 θ에 대한 다음과 같은 에너지 방정식이 도출됩니다.

${\displaystyle H(\sigma)=-J\sum _{\sum i~j\rangle }\displaystyle _{i}\displaystyle _{j}.}$

이 해밀턴이 주어지면 특정 온도에서의 비열이나 자석의 자화 등의 관심량을 ^[8]계산할 수 있다.

메트로폴리스 알고리즘

개요

Metropolis-Hastings 알고리즘은 이징 모델 ^[8]추정 계산에 가장 일반적으로 사용되는 몬테카를로 알고리즘입니다.알고리즘은 우선 상태 μ에 있을 때 알고리즘에 의해 상태 θ가 선택될 확률을 나타내는 선택 확률 g(μ, θ)를 선택한다.합격 확률 A(μ, θ)를 사용하여 상세 밸런스를 만족시킨다.새로운 스테이트 「」가 받아들여지면, 그 스테이트로 이행해, 새로운 스테이트를 선택해 받아들이기로 하는 것으로 반복합니다.δ가 받아들여지지 않으면 μ에 머무릅니다.이 프로세스는 정지 기준이 충족될 때까지 반복됩니다.Ising 모델의 경우 격자가 강자성이 되는 경우가 많습니다.즉, 모든 사이트가 같은 방향을 ^[8]가리킵니다.

알고리즘을 구현할 때는 반드시 에르고디시티가 충족되도록 g(μ, θ)를 선택해야 한다.열평형 상태에서는 시스템의 에너지가 작은 ^[8]범위 내에서만 변동합니다.이것이 싱글 스핀 플립 다이내믹스 개념의 이면에 있는 동기부여입니다.이것은 각 전환에서 ^[8]격자상의 스핀부위 중 하나만 변경한다고 하는 것입니다.또한 단일 스핀 플립 역학을 사용하면 두 상태 간에 서로 다른 각 부위를 한 번에 하나씩 뒤집음으로써 모든 상태에서 다른 상태로 이동할 수 있다.

현재 상태의 에너지 H와_μ 가능한 새로운 상태의 에너지_ν H(단일 스핀 플립 다이내믹스 사용) 사이의 최대 변화량은 새로운 상태로 이동하기 위해 선택한 스핀과 그 스핀의 ^[8]인접 에너지 사이의 2J입니다.따라서 각 사이트에 두 개의 이웃(왼쪽과 오른쪽)이 있는 1D Ising 모델에서는 최대 에너지 차이는 4J입니다.

c는 격자 좌표 번호, 즉 격자 부지에 있는 가장 가까운 이웃의 수를 나타냅니다.정기적인 경계조건으로 ^[8]인해 모든 사이트에 동일한 수의 네이버가 존재하는 것으로 가정합니다.Metropolis-Hastings 알고리즘은 임계 속도 저하로 인해 임계점 주변에서는 제대로 작동하지 않는다는 점에 유의해야 합니다.임계점 근처에서 모델을 해결하려면 멀티그리드 방식, Nieder 알고리즘, Swendsen-Wang 알고리즘 또는 Wolff 알고리즘 등의 기타 기술이 필요합니다.이것은 시스템의 임계 지수를 결정하기 위한 요건입니다.

이러한 알고리즘을 구현하는 오픈 소스 패키지를 사용할 ^[9]수 있습니다.

사양

특히 Ising 모델의 경우 싱글 스핀 플립 다이내믹스를 사용하여 다음을 설정할 수 있습니다.

격자상에 L개의 토탈사이트가 있기 때문에 다른 상태로 이행하는 유일한 방법으로 싱글 스핀 플립을 사용하면 현재 상태 μ에서 총 L개의 새로운 상태 δ가 있음을 알 수 있다.이 알고리즘은 선택 확률이 L 상태 g(μ, θ) = 1/L과 같다고 가정한다.상세 밸런스는 다음 방정식이 유지되어야 함을 나타냅니다.

${\displaystyle {P(\frac {P(\nu,\nu)}{P(\nu,\nu)}=param frac {g(\nu,\nu)A(\nu)}=param frac {A(\mu,\nu)} =frac {A(\nu}}$

따라서, 우리는 우리의 알고리즘이 다음을 만족시킬 수 있는 합격 확률을 선택하고 싶다.

$({displaystyle {A(\frac {A(\mu,\nu})}})=e^{-\flash(H_{\nu}-H_{\mu})}).}$

H_ν > H이면_μ A(μ, μ) > A(μ, δ)이다.메트로폴리스에서는 A(μ, μ) 또는 A(μ, μ) 중 큰 것을 1로 한다.이 추론에 의해 수용 알고리즘은 다음과 같다.^[8]

${\displaystyle A(\mu,\nu)=cases}e^{-\displays(H_{\nu}-H_{\mu}}-H_{\mu}>0,\1&{\text{cases})\end {case}}$

알고리즘의 기본 형식은 다음과 같습니다.

1. 선택확률 g(μ, θ)를 이용하여 스핀부위를 선택하고 이 스핀에 관련된 에너지에 대한 기여도를 구한다.
2. 스핀 값을 뒤집고 새 기여도를 계산합니다.
3. 새 에너지가 작을 경우 반전된 값을 유지합니다.
4. 새로운 에너지가 더 많은 경우${\displaystyle {,}^{}}$ $확률{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle e^{}}$ -${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ( H${\displaystyle {{}_{}{\mu }_{}}^{}}$ -${\displaystyle {{}_{}}^{}}$Hμ$).$ (\$style$ e$^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })$로만 유지합니다.$}$
5. 따라하다.

에너지_ν H - H의_μ 변화는 스핀 및 가장 가까운 그래프 인접값에만 의존합니다.그래프가 너무 연결되지 않으면 알고리즘이 빠릅니다.이 프로세스를 통해 최종적으로 분포에서 선택 항목이 생성됩니다.

Ising 모델을 마르코프 체인으로 보기

Ising 모델을 마르코프 연쇄로 볼 수 있는데, 미래 상태로의 이행의 즉시 확률_β P(θ)는 현재 상태 μ에만 의존하기 때문이다.메트로폴리스 알고리즘은 실제로 마르코프 연쇄 몬테카를로 시뮬레이션의 버전이며, 메트로폴리스 알고리즘에서 단일 스핀 플립 역학을 사용하기 때문에, 모든 상태는 정확히 L개의 다른 상태에 대한 링크를 가진 것으로 볼 수 있습니다. 여기서 각 전환은 하나의 스핀 사이트를 반대 ^[10]값으로 플립하는 것과 일치합니다.또한 에너지 방정식_σ H의 변화는 가장 가까운 이웃의 상호작용 강도 J에만 의존하므로 이싱 모델과 그 변이체(Sznajd 모델 등)는 오피니언 다이내믹스를 위한 유권자 모델의 형태로 볼 수 있다.

일차원

열역학적 한계는 상호작용 붕괴가 J ${\displaystyle i_{}j}$ ~${\displaystyle }$i -${\displaystyle {}^j}$ -$$({$displaystyle J_{ij$}\$sim$ i-j ^{-\$alpha$})이고 α > ^[11]1이면 존재한다.

• 강자성 $상호작용{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$j ~${\displaystyle i}$ -${\displaystyle {}^j}$ -$$α { $displaystyle J_{ij}\sim i-j ^{-\alpha}}$가 1 < α < 2 }인$$ 경우, Dyson은 계층적 사례와 비교하여 충분히 작은 ^[12]온도에서 상전이 있음을 입증하였다.
• 강자성 $상호작용{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$j ~${\displaystyle i}$ -${\displaystyle {}^{}j}$ - ${\displaystyle 2^{}}$ $({$J_{$ij}\sim i-j$^{-$2$의 경우, Fröhlich와 Spencer는 충분히 작은 온도에서 상전이 있음을 증명하였다(계층적 ^[13]사례와 대조됨).
• (유한 범위 상호작용의 경우 포함) α > 2와의 $상호작용{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Ji}}_{}j}$ ~${\displaystyle i{}^{}}$- j -$$ { $displaystyle$ J_${ij$}\$sim$ i-j ^{-\alpha$$}}의$$ 경우, 임의의 양의 온도(즉 유한 β)에서는 자유 에너지가 해석되기 때문에 ^[11]상전이 없다.
• 가장 가까운 네이버인터랙션의 경우 E.Issing은 모델의 정확한 솔루션을 제공했습니다.임의의 양의 온도(즉 유한 β)에서 자유 에너지는 열역학 파라미터로 해석되며, 잘린 2점 스핀 상관관계는 기하급수적으로 빠르게 감소한다.제로 온도(즉 무한 β)에서는 자유 에너지가 무한하고 잘린 2점 스핀 상관관계가 붕괴하지 않는 2차 위상 전이가 있습니다(정수 유지).따라서 이 경우 T = 0이 임계 온도입니다.배율 계산식을 ^[14]만족합니다.

이싱의 정확한 해결책

가장 가까운 네이버의 경우(정기적인 경계조건 또는 빈 경계조건이 있는 경우)에는 정확한 솔루션을 사용할 수단은 다음과 같습니다.주기적 경계 조건을 가진 L 부위의 격자에 있는 1차원 이징 모델의 해밀턴식은

$\displaystyle H(\sigma)=-J\sum_{i=1,\ldots, L-1}\sigma_{i}\sigma_{i}-h\sum_{i}\sum_{i}$

여기서 J와 h는 임의의 숫자일 수 있다. 왜냐하면 이 단순화된 경우 J는 가장 가까운 이웃들 사이의 상호작용 강도를 나타내는 상수이고 h는 격자 부위에 적용되는 일정한 외부 자기장이기 때문이다.그러면 자유 에너지는

$\displaystyle f(\displaystyle,h)=-\lim _{L\to\infty}{\frac {1}\ln Z(\beta)=-{\frac {1}{\display }\ln \left(e J}\cosh \displaysty h+{\dism}\disp}\ln {\dism}{\h}J}$

스핀 스핀 상관(즉, 공분산)은

${\displaystyle \class_{i}\class_{i}\rangle\class_{i}\rangle=C(\beta)e^{-c(\class)i-j}}}$

여기서 C(β)와 c(β)는 T > 0에 대한 양의 함수이다. 단, T → 0에 대해서는 역상관 길이 c(β)가 사라진다.

증명

이 결과의 증거는 단순한 계산이다.

h = 0이면 자유 경계 조건의 경우, 즉 다음과 같은 자유 에너지를 얻는 것이 매우 쉽다.

$\displaystyle H(\sigma)=-J(\sigma _{1}\cdots +\cdots +\sigma _{L}).}$

그런 다음 모형이 변수의 변화에 따라 인수분해됩니다.

${\displaystyle '_{j}=\display_{j}\display_{j-1},\display j\geq 2.}$

이것으로 알 수 있다.

$\displaystyle Z(\beta)=\sum _{1},\ldots,\sum _{L} e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\cdots J\sigma _{L_1}_L_Sigma_Sigma}}$

따라서 자유 에너지는

$\displaystyle f(\displaystyle,0)=-{\frac {1}{\display }}\ln \left[e^{\display J}+e^{-\beta J}\right]}$

변수 변경이 동일한 경우

$\displaystyle \displaystyle _{j}\displaystyle _{j+N}\rangle =\left[{\frac {e^{\display J}-e^{\beta J}}+e^{-\beta J}}\right]^{N}$

따라서 T 0 0과 동시에 기하급수적으로 감소하지만, T = 0의 경우, 즉 한계 β → δ에서는 붕괴가 없다.

h 0 0일 경우 전송 매트릭스 방법이 필요합니다.주기적 경계 조건의 경우는 다음과 같다.파티션 함수는

$\displaystyle Z(\beta)=\sum _{1},\ldots,\sum _{L}}e^{\sigma J\sigma _{1}\sigma _{2}e^{\sigma J\sigma _{2}}_{\sigma J\sigma _{{\cdots}_{\cdots}_{{{{}}_{{cdots}}}_{{{{{cd}){},\syslog _{1}}.}.$

$계수{\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle {,}_{}}$ 、 ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ $（$ \ $displaystyle$V _ { \ $sigma$, \ $sigma$ '$$} ）는$$ 매트릭스의 엔트리로 볼 수 있습니다.다양한 선택지가 있습니다.편리한 선택(행렬이 대칭이기 때문에)은 다음과 같습니다.

${\displaystyle V_{\sigma,\sigma'}=e^{\frac {\sigma h}{\sigma }e^{\frac {\sigma h}{\sigma h}}\sigma '}}e^{\frac h}}}$

또는

${\displaystyle V=begin{bmatrix}e^{-\beta J}\e^{-\beta J}\e^{-\beta(h-J)}\end{bmatrix}}.}$

행렬 형식주의에서

${\displaystyle Z(\beta)=\operatorname {Tr} \left(V^{L}\오른쪽)=\lambda _{2}^{L}+\lambda _{2}^{L}\left[1+좌(\frac {\da}_{{Da}}}}}_lambda}_lambda_left({L})L}\right],}$

여기서 θ는₁ V의 가장 높은 고유값이고 θ는₂ 다른 고유값입니다.

$({displaystyle \displayda _{1}=e^{\display J}\cosh \displayrt {e^2\display H}(\sinh \display h)^{2}+e^{-2\display J}})$

및₂ < > 입니다₁.이것은 자유 에너지의 공식을 제공합니다.

평.

모든 스핀이 동일할 때 최저 상태의 에너지는 -JL입니다.기타 구성의 경우 추가 에너지는 구성을 왼쪽에서 오른쪽으로 스캔할 때 발생하는 부호 변경 수에 2J를 곱한 값과 같습니다.

구성의 부호 변화 수를 k로 지정하면 에너지 상태에서의 에너지 차이는 2k가 됩니다.에너지는 플립 횟수에 가법적이기 때문에 각 위치에서 스핀 플립을 가질 확률 p는 독립적입니다.플립을 찾을 확률과 찾지 못할 확률의 비율은 볼츠만 계수입니다.

${\displaystyle{\frac{p}{1-p}}=e^{J-2\beta}.}$

문제는 독립적인 편파 동전 던지기로 축소된다.이것으로 수학적인 설명이 완성됩니다.

독립 토스에 대한 설명을 통해 긴 라인에 대한 모델의 통계량을 이해할 수 있습니다.회선이 도메인으로 분할됩니다.각 도메인은 평균 길이 exp(2β)이다.플립이 발생할 확률은 일정하기 때문에 도메인의 길이는 기하급수적으로 분포됩니다.도메인이 무한해지는 일이 없기 때문에 긴 시스템은 자기화되지 않습니다.각 단계는 스핀과 그 인접 스핀 간의 상관관계를 p에 비례하는 양만큼 감소시키므로 상관관계가 기하급수적으로 감소합니다.

${\displaystyle\langle S_{나는}S_{j}\rangle\propto e^{-p i-j}.}.$

파티션 함수는 구성의 볼륨이며, 각 구성은 볼츠만 무게에 따라 가중치가 부여됩니다.각 설정은 부호 변경에 의해 설명되므로 파티션 함수는 다음과 같이 인수분해됩니다.

${\displaystyle Z=\sum _{\text{configs}}e^{\sum _{k}S_{k}}=\prod _{k}(1+p)=(1+p)^{L}}$

로그를 L로 나눈 값은 자유 에너지 밀도입니다.

$(\displaystyle \displaystyle f=\log(1+)=\log \left(1+{\frac {e^{-2\display J}}){1+e^{-2\beta J}}}\right})}}$

이것은 β = δ에서 분석적이다. 위상 전이의 신호는 비결정 자유 에너지이므로 1차원 모델에는 위상 전이가 없다.

가로 필드가 있는 1차원 솔루션

스핀의 양자역학적 설명을 사용하여 이징 해밀턴을 표현하기 위해 스핀 변수를 각각의 Pauli 행렬로 대체한다.그러나 자기장의 방향에 따라 가로장 또는 세로장 해밀턴을 생성할 수 있습니다.가로장 해밀턴식은 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle H(\sigma)=-J\sum _{i=1,\ldots, L}\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}-h\sum _{i}\sum _{i}^{x}.}$

가로장 모델은 J ~ h에서 순서와 무질서 상태 사이의 위상 전이를 경험한다.이것은 파울리 행렬의 매핑으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle_{n}^{z}=\display_{i=1}^{n}T_{i}^{x}}$

$\displaystyle _{n}^{x}=T_{n}^{z}T_{n+1}^{z}.}$

이 기저 변화 행렬의 관점에서 해밀턴을 다시 쓸 때, 우리는 다음을 얻는다.

${\displaystyle H(\sigma)=-h\sum _{i=1,\ldots,L}T_{i}^{z}T_{i+1}^{z}-J\sum _{i}T_{i}^{x}.}$

h와 J의 역할이 바뀌기 때문에, 해밀토니안은 J = ^[15]h에서 전이를 겪는다.

2차원

• 강자성의 경우 상전이 있습니다.저온에서 Peierls 인수는 가장 가까운 인접 케이스에 대해 양의 자화를 증명하고 그리피스의 부등식에 의해 더 긴 범위의 상호작용이 추가되었을 때도 마찬가지입니다.한편 고온에서는 클러스터 확장이 열역학 함수의 해석성을 제공합니다.
• 가장 가까운 이웃의 경우, 자유 에너지는 격자 위의 자유 페르미온과 모델의 등가성을 통해 Onsager에 의해 정확하게 계산되었다.스핀 스핀 상관 함수는 McCoy와 Wu에 의해 계산되었다.

Onsager의 정확한 솔루션

Onsager(1989)는 열역학적 한계에서 $자기장{\displaystyle }$ h ${\displaystyle =}$ $(\$$displaystyle$ h$=$$0{\displaystyle {}_{}}$$)$일 때 이방성 사각격자 위의 Ising 모델의 자유에너지에 대해 ${\displaystyle {다음}_{}}$과 같은 해석식을 얻었다$.$${\displaystyle {\mathrm{각각}}_{}}$2(\$displaystyle J_{2$

${\displaystyle -\cosh f=\ln 2+{8\pi ^{2}}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{1}\ln[\cosh(2\cosh_{1}\cosh(2)\beta_{1}\beta_{1}\int_{1}\int_bet J}}$

이 자유에너지 표현으로부터 적절한 도함수를 이용하여 모델의 모든 열역학 함수를 계산할 수 있다.2D Ising 모델은 양의 온도에서 연속적인 위상 전이를 보이는 최초의 모델입니다.$온도{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$c(\$displaystyle$ T_${c})$에서 발생하므로 방정식이 해결됩니다.

$\displaystyle \sinh \left({\frac {2J_{1}}}{k)T_{c}}\right)\sinh \left({\frac {2J_{2}}}{k)T_{c}}\right)=1.}$

수평 및 수직 상호작용 에너지가 ${\displaystyle {J\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {J\mathrm{}}_{}}$ 2 $=$ {\$display style$ J_${1$}=$J_{2$}=J}인$$등방성의 경우 $임계온도{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$c {\$display style$ T_${c}$는 다음 지점에서 발생한다.

${\displaystyle T_{c}=blac {2J}{k\ln(1+{\sqrt {2}}}}}$

상호 $작용{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {에너지\mathrm{}}_{}}$ J1$(\$1}),$$(\$displaystyle J_{$2})가 모두 음의 경우 Ising 모델이 반강자석이 됩니다.정사각형 격자는 쌍파타이트이므로 $자기장{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{h}}$ $=$ 0({$displaystyle h=$0$\})$일 때 이 변화하에서는 불변하므로 반강자성 케이스의 자유 에너지 및 임계 온도는 동일하다.쌍파타이트가 아닌 삼각격자에 대해서는 강자성 및 반강자성 Ising 모델이 현저하게 다르게 동작한다.

전송 매트릭스

양자역학에서 유추해 봅시다.긴 주기 격자의 이징 모델에는 분할 함수가 있습니다.

$\displaystyle \sum _{S\}\exp \biggl ( )\sum _{ij}S_{i,j}\left(S_{i,j+1}+S_{i+1,j}\right){\biggr}}.}$

i방향은 공간, j방향은 시간이라고 생각하자.이는 각 시간 슬라이스에서 스핀이 취할 수 있는 모든 값에 대한 독립적인 합계입니다.이것은 경로 적분의 한 유형으로, 모든 스핀 이력에 대한 합입니다.

경로 적분은 해밀턴식 진화로 다시 쓰여질 수 있습니다.Hamiltonian은 시간 t와 시간 t + δt 사이에서 단일 회전을 수행함으로써 시간을 거칩니다.

${\displaystyle U=e^{iH\Delta t}}$

U 행렬의 곱은 차례로 총 시간 진화 연산자로, 우리가 시작한 경로 적분입니다.

$(\displaystyle U^{N}=(e^{iH\Delta t})^{N}=\int DXe^{iL}}$

여기서 N은 시간 슬라이스 수입니다.모든 경로에 걸친 합계는 행렬의 곱에 의해 주어지며, 각 행렬 요소는 슬라이스에서 다음 슬라이스로의 전환 확률입니다.

마찬가지로 모든 파티션 함수 구성에 대한 합계를 슬라이스로 나눌 수 있습니다. 여기서 각 슬라이스는 시간 1의 1차원 구성입니다.이것에 의해, 전송 매트릭스가 됩니다.

$(\displaystyle T_{C_{1}C_{2}).}$

각 슬라이스의 구성은 스핀의 1차원 모음입니다.각 타임 슬라이스에서 T는 가까운 미래와 가까운 과거 두 스핀 구성 사이에 매트릭스 요소를 가진다.이 두 가지 구성은 C와₂ C이며₁ 모두 1차원 스핀 구성입니다.T가 작용하는 벡터 공간은 이러한 모든 복잡한 선형 조합이라고 생각할 수 있습니다.양자 역학적 표기법 사용:

${\displaystyle A\rangle =\sum _{S}A(S) S\rangle }$

여기서 각 기저 ${\displaystyle 벡터}$ S$†$ {$displaystyle$ S\$rangle}$는 1차원$$ 이싱 모델의 스핀 구성입니다.

해밀턴 행렬처럼 전달 행렬은 상태의 모든 선형 조합에 작용합니다.파티션 함수는 T의 매트릭스 함수이며, N단계 후 원래 구성으로 돌아오는 모든 이력의 합으로 정의됩니다.

${\displaystyle Z=\mathrm {tr}(T^{N}).}$

이것은 행렬식이기 때문에 어떤 기준으로도 평가할 수 있습니다.그래서 행렬 T를 대각선화할 수 있다면 Z를 찾을 수 있습니다.

파울리 행렬의 관점에서 T

슬라이스 상의 각 과거/미래 구성 쌍에 대한 파티션 함수에 대한 기여는 두 가지 용어의 합입니다.과거 슬라이스에는 스핀 플립 수가 있고 과거 슬라이스와 미래 슬라이스 사이에는 스핀 플립 수가 있습니다.사이트 i에서 스핀을 플립하는 연산자를 구성에 정의합니다.

$(\displaystyle_{i}^{x}).}$

일반적인 Ising 기준에서는 과거 구성의 선형 조합에 따라 동일한 선형 조합이 생성되지만 각 기본 벡터의 위치 i에서 스핀이 뒤집힙니다.

위치 i의 스핀에 따라 기본 벡터에 +1과 -1을 곱하는 두 번째 연산자를 정의합니다.

$(\displaystyle_{i}^{z}).}$

T는 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

$\displaystyle \sum _{i}A\sigma _{i}^{x}+B\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}$

여기서 A와 B는 분할 함수를 재현하기 위해 결정되는 상수이다.이 슬라이스의 통계 구성은 슬라이스의 스핀 플립 횟수와 위치 i의 스핀 플립 여부에 따라 달라집니다.

스핀 플립 생성 및 소멸 연산자

1차원 케이스와 마찬가지로 스핀에서 스핀 플립으로 시선을 옮깁니다.T의 δ^z 항은 스핀 플립 횟수를 카운트하며, 스핀 플립 생성 및 소멸 연산자의 관점에서 이를 기록할 수 있습니다.

${\displaystyle \sum C\psi _{i}^{\dagger}\psi _{i},}$

첫 번째 항은 스핀을 플립하므로 기준 상태에 따라 다음 중 하나를 나타냅니다.

1. 스핀 스핀을 오른쪽으로 한 단위 이동합니다.
2. 스핀 레버를 왼쪽으로 한 단위 이동합니다.
3. 인접 사이트에서 두 번의 스핀 플립을 생성합니다.
4. 이웃 사이트에서 두 번의 스핀 플립을 파괴합니다.

생성 및 소멸 연산자의 관점에서 이 내용을 기술합니다.

$\displaystyle _{i}^{x}=D{\psi ^{\psi}_{i}+D^{*}{\psi ^{\display }_{i}_{i-1}+C\psi _{i}\psi ^{i}}_{i+C^{i}{i }} ^{i }$

상수 계수를 무시하고 양식에 주의를 집중합니다.모두 2차입니다.계수가 일정하기 때문에 이는 T행렬이 푸리에 변환에 의해 대각화될 수 있음을 의미합니다.

대각화를 수행하면 Onsager 자유 에너지가 생성됩니다.

온사거의 자연 자화 공식

Onsager는 1948년 두 개의 다른 회의에서 2차원 이싱 강자석의 자발적 자화 M에 대해 다음과 같은 식을 발표했지만 증거는 없었다^[7].

${{displaystyle M=\left(1-\left[\sinh 2\sinh 2\sinh 2\sinh J_{2}\right]^{-2}\right)^{\frac {1}{8}}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 J 1$({$ 및$$ ${\displaystyle {J\mathrm{}}_{}}$2({$displaystyle J_{2})$는 수평 및 수직 상호 작용 에너지입니다.

완전한 도출은 1951년에야 전달 행렬 고유값의 제한 과정을 사용하여 양(1952)에 의해 제시되었다.이후 1963년 몬트롤, 포츠 및^[7] 워드가 자화를 상관 함수의 한계로 간주하여 토플리츠 결정 인자에 대한 Szeg formula의 한계 공식을 사용하여 증명을 크게 단순화했다.

최소 모델

임계점에서 2차원 이싱 모델은 2차원 컨포멀 필드 이론이다.스핀 및 에너지 상관 함수는 최소 모델로 설명되며, 이는 정확하게 해결되었습니다.

3차원

2차원과 마찬가지로 3차원에서 가장 많이 연구된 Ising 모델의 사례는 제로 자기장에서 가장 가까운 이웃 결합을 가진 입방체 격자의 변환 불변 모델이다.최고의 이론가들은^{[according to whom?]} 수십 년 동안 분석적인 3차원 해법을 찾았는데, 이것은 2차원 사례에서 ^[16]온사거의 해법과 유사할 것이다.현재까지는 그러한 해결책은 존재하지 않는다고 믿어지고^{[by whom?]} 있지만, 증거는 없다.

3차원에서, 이싱 모델은 알렉산더 폴랴코프와 블라디미르 도첸코에 의해 비상호작용 페르미온 현의 관점에서 표현되는 것으로 나타났습니다.이 구조는 격자 위에서 진행되었으며 임계점을 추측적으로 설명하는 연속체 한계는 알려지지 않았다.

일반 스핀 유리 모델에 대한 Istrail의 NP-완전성 결과

2000년 Sandia National Laboratories의 Sorin Istrail은 비평면 격자의 Ising 모델이 NP-완전임을 증명했다.즉, P is NP를 가정할 때 일반 스핀글라스 이징 모델은 평면 케이스에서만 정확히 용해 가능하므로 2 이상의 치수에 대한 해는 다루기 어렵다.^[17]Istrail의 결과는 공간적으로 다양한 커플링을 가진 스핀 글라스 모델에 대해서만 언급되며, 동일한 커플링을 가진 Issing의 원래 강자성 모델에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다.

상전이

2차원에서와 마찬가지로 3차원에서, Peierl의 주장은 위상 전이가 있음을 보여준다.이 위상 전이는 엄밀하게 연속적인 것으로 알려져 있으며(상관 길이가 분산되고 자화가 0이 된다는 의미), 임계점이라고 불립니다.임계점은 윌슨-카다노프 재규격화 그룹 변환의 재규격화 그룹 고정점에 의해 기술될 수 있다고 생각된다.또한 몬테카를로 시뮬레이션과^[18][19] 이론적 ^[20]논거에 의해 증명된 3차원 유니터리 컨포멀 필드 이론에 의해 위상 전이가 설명될 수 있다고 믿는다.엄격히 정규화 그룹 그림이나 등각장 이론 그림을 확립하는 것은 미해결 문제이지만, 이론 물리학자들은 실험과 몬테카를로 시뮬레이션에 일치하는 위상 전이의 임계 지수를 계산하기 위해 이 두 가지 방법을 사용했다.

3차원 Ising 임계점을 기술하는 이 컨포멀 필드 이론은 컨포멀 ^{[21][22][23][24]}부트스트랩 방법을 사용하여 활성 조사 중입니다.이 방법은 현재 임계 이론의 구조에 대한 가장 정확한 정보를 제공한다(Ising 임계 지수 참조).

4차원 이상

어떤 차원에서도 Ising 모델은 국소적으로 변화하는 평균 필드에 의해 생산적으로 설명될 수 있습니다.필드는 큰 영역에 걸친 평균 스핀 값으로 정의되지만 전체 시스템을 포함할 만큼 크지는 않습니다.필드에는 평균 볼륨이 이동함에 따라 포인트마다 변동 속도가 느립니다.이러한 장에서의 변동은 무한계 한계에서의 연속체 장 이론으로 설명됩니다.

로컬 필드

필드 H는 파장이 긴 한계에서 스핀 변수의 긴 파장 푸리에 성분으로 정의됩니다.높은 파장이 얼마나 잘리는지에 대한 세부 사항에 따라 긴 파장 평균을 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다.회전수가 아니라 H의 통계를 찾는 것이 목표이기 때문에 세부 사항은 그리 중요하지 않다.일단 H의 상관관계를 알게 되면 스핀들 사이의 장거리 상관관계는 H의 장거리 상관관계에 비례하게 됩니다.

천천히 변화하는 필드 H의 값에 대해 자유 에너지(log-probability)는 H와 그 구배의 국소 분석 함수이다.자유 에너지 F(H)는 장파장과 일치하는 모든 Ising 구성에 대한 합으로 정의됩니다.H는 대략적인 설명이기 때문에 일치에 대해 정확도가 너무 높지 않은 한 H의 각 값에 일치하는 Ising 설정이 많이 있습니다.

모든 영역에서 허용되는 스핀 값의 범위는 해당 영역에서 하나의 평균 부피 내의 H 값에만 의존하기 때문에 각 영역의 자유 에너지 기여는 해당 영역과 인접 영역의 H 값에만 의존합니다.따라서 F는 국지적 기여의 모든 지역에 걸친 합계이며, 이는 H와 그 파생상품에만 의존합니다.

H의 대칭에 의해, 짝수 힘만이 기여한다.정사각형 격자의 반사 대칭에 의해, 균등한 구배력만이 기여합니다.프리 에너지에서 처음 몇 가지 용어를 작성한다.

$\displaystyle F=\int d^{d}x\left[AH^{2}+\sum _{i=1}^{d}Z_{i}(\partial _{i}H)^{2}+\lambda H^{4}+\cdots \right]}$

정사각형 격자에서 대칭은 미분 항의 계수_i Z가 모두 동일함을 보장합니다.그러나 Z의 방향이_i 다른 이방성 Ising 모델의 경우에도 공간의 방향이 다른 좌표계에서 H의 변동은 등방성이다.

임의의 격자에서, 미분항은

$\displaystyle Z_{ij},\partial_{i}H,\partial_{j}H}$

는 양의 유한 2차 형식이며 공간의 메트릭을 정의하는 데 사용할 수 있습니다.따라서 모든 변환 불변 Ising 모형은 원거리에서 회전 불변하며, Z = θ가_ijij 되는 좌표에서 변합니다. 회전 대칭은 낮은 차수의 항이 별로 없다는 이유만으로 원거리에서 자연스럽게 나타납니다.고차 다분위점에서는 이 우발적인 대칭성이 상실됩니다.

βF는 공간적으로 천천히 변화하는 필드의 함수이므로 필드 구성의 확률은 다음과 같습니다.

$\displaystyle P(H)\propto e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z \nabla H^{2}+\lambda H^{4}\right]}.}$

H 항의 모든 제품의 통계 평균은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \langle H(x_{1})H(x_{2})\cdots H(x_{n})\rangle = defint DH,P(H)H(x_{1})H(x_{2})\cdots H(x_{n})\over \int DH,P(H)}.}.$

이 식에서 분모는 파티션 함수라고 불리며, H의 가능한 모든 값에 대한 적분은 통계 경로 적분입니다.스핀의 모든 장파장 푸리에 성분과 H의 모든 값에 exp(βF)를 적분합니다.F는 필드 H에 대한 유클리드 라그랑지안이며, 이것과 스칼라 필드의 양자장 이론 사이의 유일한 차이점은 모든 미분 항이 양의 부호로 들어가고, i의 전체 인자가 없다는 것이다.

$\displaystyle Z=\int DH,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z \nabla H^{2}+\lambda H^{4}\right]}$

치수 분석

F의 형식을 사용하여 차원 분석을 통해 어떤 항이 가장 중요한지 예측할 수 있습니다.치수 분석은 완전히 간단하지 않다. 왜냐하면 H의 스케일이 결정되어야 하기 때문이다.

일반적인 경우 H에 대한 스케일링 법칙을 선택하는 것은 간단합니다. 기여하는 유일한 용어가 첫 번째 용어이기 때문입니다.

${\displaystyle F=\int d^{d}x,AH^{2}}$

이 용어는 가장 의미 있지만 사소한 행동을 준다.자유 에너지의 이러한 형태는 초소형이며, 이는 각 지점에서 독립적인 기여의 합이라는 것을 의미합니다.이것은 1차원 이싱 모델의 스핀 플립과 같습니다.모든 점의 H 값은 다른 점의 값과 완전히 독립적으로 변동합니다.

필드의 척도는 계수 A를 흡수하도록 재정의할 수 있으며, 그런 다음 A가 변동의 전체 척도만 결정하는 것이 분명합니다.초초점 모델은 Ising 모델의 긴 파장 고온 거동을 설명합니다. 이 제한에서는 변동 평균이 지점마다 독립적이기 때문입니다.

임계점을 찾으려면 온도를 낮추십시오.온도가 내려가면 H의 변동은 더 상관관계가 있기 때문에 상승합니다.즉, 많은 스핀의 평균은 같은 경향이 있기 때문에 상관 없는 것처럼 빠르게 작아지지 않습니다.이는 H가 A를 흡수하지 않는 단위계에서 A를 감소시키는 것에 해당합니다.위상 전이는 F의 전위항이 기여할 수 있는 경우에만 발생할 수 있지만, 첫 번째 항이 먼 거리를 지배하기 때문에 계수 A를 0으로 조정해야 합니다.임계점은 다음과 같습니다.

$\displaystyle F=\int d^{d}x\left[t]H^{2}+\lambda H^{4}+Z(\nabla H)^{2}\right],}$

여기서 t는 트랜지션 시 0을 통과하는 파라미터입니다.

t가 사라지기 때문에 이 항을 사용하여 필드의 척도를 수정하면 다른 항이 폭발합니다.t가 작으면 H 항의⁴ 계수 또는 (θH)² 항의 계수를 1로 고정하도록 필드의 척도를 설정할 수 있습니다.

자화

자화를 구하려면 θ가 1이 되도록 H의 스케일을 고정합니다.필드 H는 차원 -d/4이므로 Hdx는^4d 차원 없음, Z는 차원 2 - d/2입니다.이 스케일링에서 구배항은 d ≤ 4에 대해 장거리에서만 중요하다. 4차원 이상의 긴 파장에서는 전체 자화는 초초점 항에 의해서만 영향을 받는다.

한 가지 미묘한 점이 있다.필드 H는 통계적으로 변동하고 있으며 변동은 t의 영점을 이동할 수 있습니다.방법을 확인하려면 다음 방법으로 H 분할을 검토합니다⁴.

${{displaystyle H(x)^{4}=-\langle H(x)^{2}\rangle ^{2}+\langle H(x)^{2}+\langle H(x)^{2}+\langle H(x)^{2}-\right)^{2}}}}$

첫 번째 항은 자유 에너지에 대한 지속적인 기여이며 무시할 수 있습니다.두 번째 항은 t의 유한 이동이다.세 번째 항은 장거리에서는 0까지 스케일링되는 양입니다.즉, 차원 분석에 의한 t의 스케일링을 분석할 때 중요한 것은 시프트 t임을 의미합니다.이것은 역사적으로 매우 혼란스러웠습니다. 왜냐하면 어떤 유한한 θ에서의 t의 이동은 유한하지만, 전이 t의 근처는 매우 작기 때문입니다.t의 부분적인 변화는 매우 크고 t가 고정된 단위에서는 이동이 무한해 보입니다.

자화는 자유 에너지의 최소값이며, 이것은 분석 방정식입니다.이동 t의 관점에서 보면,

${\displaystyle(tH^{2}+\lambda H^{4}\오른쪽)=2tH+4\lambda H^{3}=0}$

t < 0의 경우, 최소값은 t의 제곱근에 비례하는 H이다. 따라서 란다우의 대재앙 인수는 5보다 큰 차원으로 정확하다.5보다 큰 치수의 자화 지수는 평균 필드 값과 같습니다.

t가 음수이면 새 최소값에 대한 변동은 새 양의 2차 계수로 설명됩니다.이 용어는 항상 지배적이기 때문에, 전이 이하의 온도에서 변동은 원거리에서 다시 초중심으로 변한다.

변동

변동의 동작을 찾으려면 필드의 스케일을 조정하여 그라데이션 항을 수정합니다.그러면 필드의 길이 스케일링 치수가 1 - d/2가 됩니다.이제 필드는 모든 온도에서 일정한 2차 공간 변동을 가집니다.H항의² 스케일 치수는 2이고 H항의 스케일⁴ 치수는 4 - d이다.d < 4의 경우 H항은⁴ 양의 척도 치수를 갖는다.4보다 큰 치수의 경우 음의 스케일 치수를 가집니다.

이것이 본질적인 차이입니다.4보다 큰 치수에서는 구배항의 스케일을 고정하는 것은 파장이 길수록 H항의⁴ 계수가 점점 덜 중요함을 의미한다.비 4차 기여가 기여하기 시작하는 차원을 임계 차원이라고 한다.Ising 모델에서 임계 치수는 4입니다.

4 이상의 차원에서는 임계 변동은 장파장에서의 순수 2차 자유 에너지로 설명된다.즉, 상관 함수는 모두 가우스 평균으로 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle \dkle S(x)S(y)\rangle \propto \drangle H(x)H(y)\rangle = G(x-y)=\int {dk \over (2\pi)^{d}{e^{ik(x-y)}\over k^{2}+t}}$

x - y가 클 때 유효합니다.자유 에너지가 자유 스칼라장에 대한 양자장 작용의 분석 연속이기 때문에 함수 G(x - y)는 파인만 전파자의 상상 시간에 대한 분석 연속이다.5차원 이상의 경우, 장거리에서의 다른 모든 상관 함수는 Wick의 정리에 의해 결정됩니다.모든 홀수 모멘트는 ± 대칭으로 0입니다.짝수 모멘트는 각 쌍에 대한 G(x - y) 곱의 쌍으로 나누어진 모든 분할의 합입니다.

${\displaystyle \langle S(x_{1})S(x_{2})\cdots S(x_{2n})\rangle =C^{n}\sum G(x_{i1},x_{j1})G(x_{i2},x_{j2})\ldots G(x_{in},x_{jn})}$

where C is the proportionality constant. So knowing G is enough. It determines all the multipoint correlations of the field.

The critical two-point function

To determine the form of G, consider that the fields in a path integral obey the classical equations of motion derived by varying the free energy:

${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-\nabla _{x}^{2}+t\right)\langle H(x)H(y)\rangle &=0\\\rightarrow {}&&\nabla ^{2}G(x)+tG(x)&=0\end{aligned}}}$

This is valid at noncoincident points only, since the correlations of H are singular when points collide. H obeys classical equations of motion for the same reason that quantum mechanical operators obey them—its fluctuations are defined by a path integral.

At the critical point t = 0, this is Laplace's equation, which can be solved by Gauss's method from electrostatics. Define an electric field analog by

${\displaystyle E=\nabla G}$

Away from the origin:

${\displaystyle \nabla \cdot E=0}$

since G is spherically symmetric in d dimensions, and E is the radial gradient of G. Integrating over a large d − 1 dimensional sphere,

${\displaystyle \int d^{d-1}SE_{r}=\mathrm {constant} }$

This gives:

${\displaystyle E={C \over r^{d-1}}}$

and G can be found by integrating with respect to r.

${\displaystyle G(r)={C \over r^{d-2}}}$

The constant C fixes the overall normalization of the field.

G(r) away from the critical point

When t does not equal zero, so that H is fluctuating at a temperature slightly away from critical, the two point function decays at long distances. The equation it obeys is altered:

${\displaystyle \nabla ^{2}G+tG=0\to {1 \over r^{d-1}}{d \over dr}\left(r^{d-1}{dG \over dr}\right)+tG(r)=0}$

For r small compared with ${\displaystyle {\sqrt {t}}}$, the solution diverges exactly the same way as in the critical case, but the long distance behavior is modified.

To see how, it is convenient to represent the two point function as an integral, introduced by Schwinger in the quantum field theory context:

${\displaystyle G(x)=\int d\tau {1 \over \left({\sqrt {2\pi \tau }}\right)^{d}}e^{-{x^{2} \over 4\tau }-t\tau }}$

This is G, since the Fourier transform of this integral is easy. Each fixed τ contribution is a Gaussian in x, whose Fourier transform is another Gaussian of reciprocal width in k.

${\displaystyle G(k)=\int d\tau e^{-(k^{2}-t)\tau }={1 \over k^{2}-t}}$

This is the inverse of the operator ∇² − t in k-space, acting on the unit function in k-space, which is the Fourier transform of a delta function source localized at the origin. So it satisfies the same equation as G with the same boundary conditions that determine the strength of the divergence at 0.

The interpretation of the integral representation over the proper time τ is that the two point function is the sum over all random walk paths that link position 0 to position x over time τ. The density of these paths at time τ at position x is Gaussian, but the random walkers disappear at a steady rate proportional to t so that the Gaussian at time τ is diminished in height by a factor that decreases steadily exponentially. In the quantum field theory context, these are the paths of relativistically localized quanta in a formalism that follows the paths of individual particles. In the pure statistical context, these paths still appear by the mathematical correspondence with quantum fields, but their interpretation is less directly physical.

The integral representation immediately shows that G(r) is positive, since it is represented as a weighted sum of positive Gaussians. It also gives the rate of decay at large r, since the proper time for a random walk to reach position τ is r² and in this time, the Gaussian height has decayed by ${\displaystyle e^{-t\tau }=e^{-tr^{2}}}$. The decay factor appropriate for position r is therefore ${\displaystyle e^{-{\sqrt {t}}r}}$.

A heuristic approximation for G(r) is:

${\displaystyle G(r)\approx {e^{-{\sqrt {t}}r} \over r^{d-2}}}$

This is not an exact form, except in three dimensions, where interactions between paths become important. The exact forms in high dimensions are variants of Bessel functions.

Symanzik polymer interpretation

The interpretation of the correlations as fixed size quanta travelling along random walks gives a way of understanding why the critical dimension of the H⁴ interaction is 4. The term H⁴ can be thought of as the square of the density of the random walkers at any point. In order for such a term to alter the finite order correlation functions, which only introduce a few new random walks into the fluctuating environment, the new paths must intersect. Otherwise, the square of the density is just proportional to the density and only shifts the H² coefficient by a constant. But the intersection probability of random walks depends on the dimension, and random walks in dimension higher than 4 do not intersect.

The fractal dimension of an ordinary random walk is 2. The number of balls of size ε required to cover the path increase as ε⁻². Two objects of fractal dimension 2 will intersect with reasonable probability only in a space of dimension 4 or less, the same condition as for a generic pair of planes. Kurt Symanzik argued that this implies that the critical Ising fluctuations in dimensions higher than 4 should be described by a free field. This argument eventually became a mathematical proof.

4 − ε dimensions – renormalization group

The Ising model in four dimensions is described by a fluctuating field, but now the fluctuations are interacting. In the polymer representation, intersections of random walks are marginally possible. In the quantum field continuation, the quanta interact.

The negative logarithm of the probability of any field configuration H is the free energy function

${\displaystyle F=\int d^{4}x\left[{Z \over 2} \nabla H ^{2}+{t \over 2}H^{2}+{\lambda \over 4!}H^{4}\right]\,}$

The numerical factors are there to simplify the equations of motion. The goal is to understand the statistical fluctuations. Like any other non-quadratic path integral, the correlation functions have a Feynman expansion as particles travelling along random walks, splitting and rejoining at vertices. The interaction strength is parametrized by the classically dimensionless quantity λ.

Although dimensional analysis shows that both λ and Z are dimensionless, this is misleading. The long wavelength statistical fluctuations are not exactly scale invariant, and only become scale invariant when the interaction strength vanishes.

The reason is that there is a cutoff used to define H, and the cutoff defines the shortest wavelength. Fluctuations of H at wavelengths near the cutoff can affect the longer-wavelength fluctuations. If the system is scaled along with the cutoff, the parameters will scale by dimensional analysis, but then comparing parameters doesn't compare behavior because the rescaled system has more modes. If the system is rescaled in such a way that the short wavelength cutoff remains fixed, the long-wavelength fluctuations are modified.

Wilson renormalization

A quick heuristic way of studying the scaling is to cut off the H wavenumbers at a point λ. Fourier modes of H with wavenumbers larger than λ are not allowed to fluctuate. A rescaling of length that make the whole system smaller increases all wavenumbers, and moves some fluctuations above the cutoff.

To restore the old cutoff, perform a partial integration over all the wavenumbers which used to be forbidden, but are now fluctuating. In Feynman diagrams, integrating over a fluctuating mode at wavenumber k links up lines carrying momentum k in a correlation function in pairs, with a factor of the inverse propagator.

Under rescaling, when the system is shrunk by a factor of (1+b), the t coefficient scales up by a factor (1+b)² by dimensional analysis. The change in t for infinitesimal b is 2bt. The other two coefficients are dimensionless and do not change at all.

The lowest order effect of integrating out can be calculated from the equations of motion:

${\displaystyle \nabla ^{2}H+tH=-{\lambda \over 6}H^{3}.}$

This equation is an identity inside any correlation function away from other insertions. After integrating out the modes with Λ < k < (1+b)Λ, it will be a slightly different identity.

Since the form of the equation will be preserved, to find the change in coefficients it is sufficient to analyze the change in the H³ term. In a Feynman diagram expansion, the H³ term in a correlation function inside a correlation has three dangling lines. Joining two of them at large wavenumber k gives a change H³ with one dangling line, so proportional to H:

${\displaystyle \delta H^{3}=3H\int _{\Lambda < k <(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi )^{4}}{1 \over (k^{2}+t)}}$

The factor of 3 comes from the fact that the loop can be closed in three different ways.

The integral should be split into two parts:

${\displaystyle \int dk{1 \over k^{2}}-t\int dk{1 \over k^{2}(k^{2}+t)}=A\Lambda ^{2}b+Bbt}$

The first part is not proportional to t, and in the equation of motion it can be absorbed by a constant shift in t. It is caused by the fact that the H³ term has a linear part. Only the second term, which varies from t to t, contributes to the critical scaling.

This new linear term adds to the first term on the left hand side, changing t by an amount proportional to t. The total change in t is the sum of the term from dimensional analysis and this second term from operator products:

${\displaystyle \delta t=\left(2-{B\lambda \over 2}\right)bt}$

So t is rescaled, but its dimension is anomalous, it is changed by an amount proportional to the value of λ.

But λ also changes. The change in λ requires considering the lines splitting and then quickly rejoining. The lowest order process is one where one of the three lines from H³ splits into three, which quickly joins with one of the other lines from the same vertex. The correction to the vertex is

${\displaystyle \delta \lambda =-{3\lambda ^{2} \over 2}\int _{k}dk{1 \over (k^{2}+t)^{2}}=-{3\lambda ^{2} \over 2}b}$

The numerical factor is three times bigger because there is an extra factor of three in choosing which of the three new lines to contract. So

${\displaystyle \delta \lambda =-3B\lambda ^{2}b}$

These two equations together define the renormalization group equations in four dimensions:

${\displaystyle {\begin{aligned}{dt \over t}&=\left(2-{B\lambda \over 2}\right)b\\{d\lambda \over \lambda }&={-3B\lambda \over 2}b\end{aligned}}}$

The coefficient B is determined by the formula

${\displaystyle Bb=\int _{\Lambda < k <(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi )^{4}}{1 \over k^{4}}}$

and is proportional to the area of a three-dimensional sphere of radius λ, times the width of the integration region bΛ divided by Λ⁴:

${\displaystyle B=(2\pi ^{2}\Lambda ^{3}){1 \over (2\pi )^{4}}{b\Lambda }{1 \over b\Lambda ^{4}}={1 \over 8\pi ^{2}}}$

In other dimensions, the constant B changes, but the same constant appears both in the t flow and in the coupling flow. The reason is that the derivative with respect to t of the closed loop with a single vertex is a closed loop with two vertices. This means that the only difference between the scaling of the coupling and the t is the combinatorial factors from joining and splitting.

Wilson–Fisher fixed point

To investigate three dimensions starting from the four-dimensional theory should be possible, because the intersection probabilities of random walks depend continuously on the dimensionality of the space. In the language of Feynman graphs, the coupling does not change very much when the dimension is changed.

The process of continuing away from dimension 4 is not completely well defined without a prescription for how to do it. The prescription is only well defined on diagrams. It replaces the Schwinger representation in dimension 4 with the Schwinger representation in dimension 4 − ε defined by:

${\displaystyle G(x-y)=\int d\tau {1 \over t^{d \over 2}}e^{{x^{2} \over 2\tau }+t\tau }}$

In dimension 4 − ε, the coupling λ has positive scale dimension ε, and this must be added to the flow.

${\displaystyle {\begin{aligned}{d\lambda \over \lambda }&=\varepsilon -3B\lambda \\{dt \over t}&=2-\lambda B\end{aligned}}}$

The coefficient B is dimension dependent, but it will cancel. The fixed point for λ is no longer zero, but at:

${\displaystyle \lambda ={\varepsilon \over 3B}}$

where the scale dimensions of t is altered by an amount λB = ε/3.

The magnetization exponent is altered proportionately to:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(1-{\varepsilon \over 3}\right)}$

which is .333 in 3 dimensions (ε = 1) and .166 in 2 dimensions (ε = 2). This is not so far off from the measured exponent .308 and the Onsager two dimensional exponent .125.

Infinite dimensions – mean field

The behavior of an Ising model on a fully connected graph may be completely understood by mean-field theory. This type of description is appropriate to very-high-dimensional square lattices, because then each site has a very large number of neighbors.

The idea is that if each spin is connected to a large number of spins, only the average ratio of + spins to − spins is important, since the fluctuations about this mean will be small. The mean field H is the average fraction of spins which are + minus the average fraction of spins which are −. The energy cost of flipping a single spin in the mean field H is ±2JNH. It is convenient to redefine J to absorb the factor N, so that the limit N → ∞ is smooth. In terms of the new J, the energy cost for flipping a spin is ±2JH.

This energy cost gives the ratio of probability p that the spin is + to the probability 1−p that the spin is −. This ratio is the Boltzmann factor:

${\displaystyle {p \over 1-p}=e^{2\beta JH}}$

so that

${\displaystyle p={1 \over 1+e^{-2\beta JH}}}$

The mean value of the spin is given by averaging 1 and −1 with the weights p and 1 − p, so the mean value is 2p − 1. But this average is the same for all spins, and is therefore equal to H.

${\displaystyle H=2p-1={1-e^{-2\beta JH} \over 1+e^{-2\beta JH}}=\tanh(\beta JH)}$

The solutions to this equation are the possible consistent mean fields. For βJ < 1 there is only the one solution at H = 0. For bigger values of β there are three solutions, and the solution at H = 0 is unstable.

The instability means that increasing the mean field above zero a little bit produces a statistical fraction of spins which are + which is bigger than the value of the mean field. So a mean field which fluctuates above zero will produce an even greater mean field, and will eventually settle at the stable solution. This means that for temperatures below the critical value βJ = 1 the mean-field Ising model undergoes a phase transition in the limit of large N.

Above the critical temperature, fluctuations in H are damped because the mean field restores the fluctuation to zero field. Below the critical temperature, the mean field is driven to a new equilibrium value, which is either the positive H or negative H solution to the equation.

For βJ = 1 + ε, just below the critical temperature, the value of H can be calculated from the Taylor expansion of the hyperbolic tangent:

${\displaystyle H=\tanh(\beta JH)\approx (1+\varepsilon )H-{(1+\varepsilon )^{3}H^{3} \over 3}}$

Dividing by H to discard the unstable solution at H = 0, the stable solutions are:

${\displaystyle H={\sqrt {3\varepsilon }}}$

The spontaneous magnetization H grows near the critical point as the square root of the change in temperature. This is true whenever H can be calculated from the solution of an analytic equation which is symmetric between positive and negative values, which led Landau to suspect that all Ising type phase transitions in all dimensions should follow this law.

The mean-field exponent is universal because changes in the character of solutions of analytic equations are always described by catastrophes in the Taylor series, which is a polynomial equation. By symmetry, the equation for H must only have odd powers of H on the right hand side. Changing β should only smoothly change the coefficients. The transition happens when the coefficient of H on the right hand side is 1. Near the transition:

${\displaystyle H={\partial (\beta F) \over \partial h}=(1+A\varepsilon )H+BH^{3}+\cdots }$

Whatever A and B are, so long as neither of them is tuned to zero, the spontaneous magnetization will grow as the square root of ε. This argument can only fail if the free energy βF is either non-analytic or non-generic at the exact β where the transition occurs.

But the spontaneous magnetization in magnetic systems and the density in gasses near the critical point are measured very accurately. The density and the magnetization in three dimensions have the same power-law dependence on the temperature near the critical point, but the behavior from experiments is:

${\displaystyle H\propto \varepsilon ^{0.308}}$

The exponent is also universal, since it is the same in the Ising model as in the experimental magnet and gas, but it is not equal to the mean-field value. This was a great surprise.

This is also true in two dimensions, where

${\displaystyle H\propto \varepsilon ^{0.125}}$

But there it was not a surprise, because it was predicted by Onsager.

Low dimensions – block spins

In three dimensions, the perturbative series from the field theory is an expansion in a coupling constant λ which is not particularly small. The effective size of the coupling at the fixed point is one over the branching factor of the particle paths, so the expansion parameter is about 1/3. In two dimensions, the perturbative expansion parameter is 2/3.

But renormalization can also be productively applied to the spins directly, without passing to an average field. Historically, this approach is due to Leo Kadanoff and predated the perturbative ε expansion.

The idea is to integrate out lattice spins iteratively, generating a flow in couplings. But now the couplings are lattice energy coefficients. The fact that a continuum description exists guarantees that this iteration will converge to a fixed point when the temperature is tuned to criticality.

Migdal–Kadanoff renormalization

Write the two-dimensional Ising model with an infinite number of possible higher order interactions. To keep spin reflection symmetry, only even powers contribute:

${\displaystyle E=\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}+\sum J_{ijkl}S_{i}S_{j}S_{k}S_{l}\ldots .}$

By translation invariance, J_ij is only a function of i-j. By the accidental rotational symmetry, at large i and j its size only depends on the magnitude of the two-dimensional vector i − j. The higher order coefficients are also similarly restricted.

The renormalization iteration divides the lattice into two parts – even spins and odd spins. The odd spins live on the odd-checkerboard lattice positions, and the even ones on the even-checkerboard. When the spins are indexed by the position (i,j), the odd sites are those with i + j odd and the even sites those with i + j even, and even sites are only connected to odd sites.

The two possible values of the odd spins will be integrated out, by summing over both possible values. This will produce a new free energy function for the remaining even spins, with new adjusted couplings. The even spins are again in a lattice, with axes tilted at 45 degrees to the old ones. Unrotating the system restores the old configuration, but with new parameters. These parameters describe the interaction between spins at distances ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ larger.

Starting from the Ising model and repeating this iteration eventually changes all the couplings. When the temperature is higher than the critical temperature, the couplings will converge to zero, since the spins at large distances are uncorrelated. But when the temperature is critical, there will be nonzero coefficients linking spins at all orders. The flow can be approximated by only considering the first few terms. This truncated flow will produce better and better approximations to the critical exponents when more terms are included.

The simplest approximation is to keep only the usual J term, and discard everything else. This will generate a flow in J, analogous to the flow in t at the fixed point of λ in the ε expansion.

To find the change in J, consider the four neighbors of an odd site. These are the only spins which interact with it. The multiplicative contribution to the partition function from the sum over the two values of the spin at the odd site is:

${\displaystyle e^{J(N_{+}-N_{-})}+e^{J(N_{-}-N_{+})}=2\cosh(J[N_{+}-N_{-}])}$

where N_± is the number of neighbors which are ±. Ignoring the factor of 2, the free energy contribution from this odd site is:

${\displaystyle F=\log(\cosh[J(N_{+}-N_{-})]).}$

This includes nearest neighbor and next-nearest neighbor interactions, as expected, but also a four-spin interaction which is to be discarded. To truncate to nearest neighbor interactions, consider that the difference in energy between all spins the same and equal numbers + and – is:

${\displaystyle \Delta F=\ln(\cosh[4J]).}$

From nearest neighbor couplings, the difference in energy between all spins equal and staggered spins is 8J. The difference in energy between all spins equal and nonstaggered but net zero spin is 4J. Ignoring four-spin interactions, a reasonable truncation is the average of these two energies or 6J. Since each link will contribute to two odd spins, the right value to compare with the previous one is half that:

${\displaystyle 3J'=\ln(\cosh[4J]).}$

For small J, this quickly flows to zero coupling. Large J's flow to large couplings. The magnetization exponent is determined from the slope of the equation at the fixed point.

Variants of this method produce good numerical approximations for the critical exponents when many terms are included, in both two and three dimensions.

Applications

Magnetism

The original motivation for the model was the phenomenon of ferromagnetism. Iron is magnetic; once it is magnetized it stays magnetized for a long time compared to any atomic time.

In the 19th century, it was thought that magnetic fields are due to currents in matter, and Ampère postulated that permanent magnets are caused by permanent atomic currents. The motion of classical charged particles could not explain permanent currents though, as shown by Larmor. In order to have ferromagnetism, the atoms must have permanent magnetic moments which are not due to the motion of classical charges.

Once the electron's spin was discovered, it was clear that the magnetism should be due to a large number of electron spins all oriented in the same direction. It was natural to ask how the electrons' spins all know which direction to point in, because the electrons on one side of a magnet don't directly interact with the electrons on the other side. They can only influence their neighbors. The Ising model was designed to investigate whether a large fraction of the electron spins could be oriented in the same direction using only local forces.

Lattice gas

The Ising model can be reinterpreted as a statistical model for the motion of atoms. Since the kinetic energy depends only on momentum and not on position, while the statistics of the positions only depends on the potential energy, the thermodynamics of the gas only depends on the potential energy for each configuration of atoms.

A coarse model is to make space-time a lattice and imagine that each position either contains an atom or it doesn't. The space of configuration is that of independent bits B_i, where each bit is either 0 or 1 depending on whether the position is occupied or not. An attractive interaction reduces the energy of two nearby atoms. If the attraction is only between nearest neighbors, the energy is reduced by −4JB_iB_j for each occupied neighboring pair.

The density of the atoms can be controlled by adding a chemical potential, which is a multiplicative probability cost for adding one more atom. A multiplicative factor in probability can be reinterpreted as an additive term in the logarithm – the energy. The extra energy of a configuration with N atoms is changed by μN. The probability cost of one more atom is a factor of exp(−βμ).

So the energy of the lattice gas is:

${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }4JB_{i}B_{j}+\sum _{i}\mu B_{i}}$

Rewriting the bits in terms of spins, ${\displaystyle B_{i}=(S_{i}+1)/2.}$

${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }JS_{i}S_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i}(4J-\mu )S_{i}}$

For lattices where every site has an equal number of neighbors, this is the Ising model with a magnetic field h = (zJ − μ)/2, where z is the number of neighbors.

In biological systems, modified versions of the lattice gas model have been used to understand a range of binding behaviors. These include the binding of ligands to receptors in the cell surface,^[25] the binding of chemotaxis proteins to the flagellar motor,^[26] and the condensation of DNA.^[27]

Neuroscience

The activity of neurons in the brain can be modelled statistically. Each neuron at any time is either active + or inactive −. The active neurons are those that send an action potential down the axon in any given time window, and the inactive ones are those that do not. Because the neural activity at any one time is modelled by independent bits, Hopfield suggested that a dynamical Ising model would provide a first approximation to a neural network which is capable of learning.^[28]

Following the general approach of Jaynes,^[29][30] a recent interpretation of Schneidman, Berry, Segev and Bialek,^[31] is that the Ising model is useful for any model of neural function, because a statistical model for neural activity should be chosen using the principle of maximum entropy. Given a collection of neurons, a statistical model which can reproduce the average firing rate for each neuron introduces a Lagrange multiplier for each neuron:

${\displaystyle E=-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$

But the activity of each neuron in this model is statistically independent. To allow for pair correlations, when one neuron tends to fire (or not to fire) along with another, introduce pair-wise lagrange multipliers:

${\displaystyle E=-{\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$

where ${\displaystyle J_{ij}}$ are not restricted to neighbors. Note that this generalization of Ising model is sometimes called the quadratic exponential binary distribution in statistics. This energy function only introduces probability biases for a spin having a value and for a pair of spins having the same value. Higher order correlations are unconstrained by the multipliers. An activity pattern sampled from this distribution requires the largest number of bits to store in a computer, in the most efficient coding scheme imaginable, as compared with any other distribution with the same average activity and pairwise correlations. This means that Ising models are relevant to any system which is described by bits which are as random as possible, with constraints on the pairwise correlations and the average number of 1s, which frequently occurs in both the physical and social sciences.

Spin glasses

With the Ising model the so-called spin glasses can also be described, by the usual Hamiltonian ${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\,\sum J_{i,k}\,S_{i}\,S_{k},}$ where the S-variables describe the Ising spins, while the J_i,k are taken from a random distribution. For spin glasses a typical distribution chooses antiferromagnetic bonds with probability p and ferromagnetic bonds with probability 1 − p. These bonds stay fixed or "quenched" even in the presence of thermal fluctuations. When p = 0 we have the original Ising model. This system deserves interest in its own; particularly one has "non-ergodic" properties leading to strange relaxation behaviour. Much attention has been also attracted by the related bond and site dilute Ising model, especially in two dimensions, leading to intriguing critical behavior.^[32]

Sea ice

2D melt pond approximations can be created using the Ising model; sea ice topography data bears rather heavily on the results. The state variable is binary for a simple 2D approximation, being either water or ice.^[33]

See also

Footnotes

References

External links

• Ising model at The Net Advance of Physics
• Barry Arthur Cipra, "The Ising model is NP-complete", SIAM News, Vol. 33, No. 6; online edition (.pdf)
• Science World article on the Ising Model
• A dynamical 2D Ising java applet by UCSC
• A dynamical 2D Ising java applet
• A larger/more complicated 2D Ising java applet
• Ising Model simulation by Enrique Zeleny, the Wolfram Demonstrations Project
• Phase transitions on lattices
• Three-dimensional proof for Ising Model impossible, Sandia researcher claims
• Interactive Monte Carlo simulation of the Ising, XY and Heisenberg models with 3D graphics(requires WebGL compatible browser)
• Ising Model code , image denoising example with Ising Model
• David Tong's Lecture Notes provide a good introduction
• The Cartoon Picture of Magnets That Has Transformed Science - Quanta Magazine article about Ising model
• Simulation of the 2-dimensional Ising model in Julia: https://github.com/cossio/SquareIsingModel.jl