잭나이프 재샘플링

통계학에서 잭나이프는 치우침 및 분산 추정에 특히 유용한 재표본 추출 기법입니다.잭나이프는 부트스트랩과 같은 일반적인 다른 재샘플링 방법을 미리 기록합니다. $크기$ n $(\displaystyle$ n $n$ 의 샘플이 있는 경우 ^[1]잭나이프 추정기는 하나의 관측치를 생략하여 얻은 $(n-1)$ n $(n-1)$ - $(\displaystyle (n-1))$ 의 $(n-1)$ 각 서브샘플에서 파라미터 추정치를 집계하여 구축할 수 있습니다.

잭나이프 기술은 1949년부터 모리스 퀴누이(1924-1973)에 의해 개발되어 1956년에 개량되었다.John Tukey는 1958년에 이 기술을 확장하여 "잭나이프"라는 이름을 제안했는데, 이는 물리적인 잭나이프(콤팩트한 접이식 나이프)와 마찬가지로 ^[2]특정 문제를 목적에 맞게 보다 효율적으로 해결할 수 있지만 다양한 문제에 대한 해결책을 즉석에서 만들 수 있기 때문입니다.

잭나이프는 부트스트랩의 ^[2]선형 근사치입니다.

간단한 예: 평균 추정

매개변수의 잭나이프 추정기는 데이터 집합에서 각 관측치를 체계적으로 배제하고 나머지 관측치에 대한 매개변수 추정치를 계산한 다음 이러한 계산을 집계함으로써 찾을 수 있다.

예를 들어 추정할 파라미터가 랜덤 $변수$ x $({displaystyle$ x $x$ 의 모집단 평균인 경우 특정 i.i. $x_{1},...,x_{n}$ . $x_{1},...,x_{n}$ x $x_{1},...,x_{n}$ , $x_{1},...,x_{n}$ . . , x $x_{1},...,x_{n}$ ({ $style x_{1$ }..., $x_{$ n $x_{1},...,x_{n}$ }) 세트에 대해 자연 추정치는 샘플 평균입니다.

{x}=sum _{i=1}^{n}x_{i}=sum _{i\in [n]}x_{n}\sum _{i

여기서 마지막 합계는 $인덱스$ i $[n]=\{1,\ldots ,n\}$ $displaystyle$ i $}$ 가 $i$ 집합 [ $[n]=\{1,\ldots ,n\}$ $[n]=\{1,\ldots ,n\}$ { $[n]=\{1,\ldots ,n\}$ , $[n]=\{1,\ldots ,n\}$ $[n]=\{1,\ldots ,n\}$ $}$ { $display [$ n] = \ { $1,\ldots,n$ 위에 있음을 나타내기 위해 다른 방법으로 사용됩니다.

다음으로 다음과 같이 진행합니다.For each $i\in [n]$ we compute the mean ${\bar {x}}_{(i)}$ of the jackknife subsample consisting of all but the $i$ -th data point, and this is called the $i$ -th jackknife replicate:

{x}_{(i)}=sum _{j\in [n],j\neq i}x_{j},\sum \syslog i=1,\syslog,n

$이러한$ $n개의$ 잭나이프가 $n$ ${\bar {x}}_{(1)},\ldots ,{\bar {x}}_{(n)}$ ${\bar {x}}$ ${\bar {x}}_{(1)},\ldots ,{\bar {x}}_{(n)}$ ( 1 ${\bar {x}}_{(1)},\ldots ,{\bar {x}}_{(n)}$ ) ${\bar {x}}_{(1)},\ldots ,{\bar {x}}_{(n)}$ , ${\bar {x}}_{(1)},\ldots ,{\bar {x}}_{(n)}$ x ${\bar {x}}_{(1)},\ldots ,{\bar {x}}_{(n)}$ ( ${\bar {x}}_{(1)},\ldots ,{\bar {x}}_{(n)}$ n ${\bar {x}}_{(1)},\ldots ,{\bar {x}}_{(n)}$ ) { $displaystyle$ ${\bar {x}}$ ${ x$ } $_$ { { } , \ $ldots$ , { \ ${\bar {x}}$ $bar$ { $x$ ${\bar {x}}$ } $_$ { ${\bar {x}}_{(1)},\ldots ,{\bar {x}}_{(n)}$ ( n ) $}$ ${\bar {x}}$ $display$ $xdisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ 이 근사치가 더 나을 것입니다.마지막으로 잭나이프 추정기를 입수하기 위해 $n개$ 의 잭나이프 $n$ $복제$ 평균값을 구합니다 $.$

{\displaystyle {x}_{\mathrm {jack}=sum _{i=1}^{n}{\bar {x}_{(i)}}.}.

$x$ j a ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ c k의 바이어스 및 분산에 대해 질문할 수 있습니다 ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ j a c k의 정의에서는 잭나이프 복제의 평균으로서 x try ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ a c k { $display style$ { $x } _$ { \ $mathrm$ { jack ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ $}$ $}$ }의 ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ 에 따라 명시적으로 계산할 수 있으며, 바이어스는 사소한 계산입니다.잭나이프 리플리케이션은 독립적이지 않기 때문에 x4 ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ a ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ k { $display$ \ style { $x }$ _ { \ $mathrm$ { $jack }$ } ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ of of of since since since since since since since he 。

평균의 특수한 경우 잭나이프 추정치가 일반적인 추정치와 같다는 것을 명시적으로 보여줄 수 있습니다.

{{displaystyle {frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}_{(i)}={x}}.}

${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }={\bar {x}}$ 로써 아이덴티티 x x ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }={\bar {x}}$ j ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }={\bar {x}}$ ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }={\bar {x}}$ k ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }={\bar {x}}$ ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }={\bar {x}}$ ${\$ { $displaystyle$ \ $bar$ { $x$ } $_$ { \ $mathrm$ { $jack$ } = $bar$ { $x$ 가 확립됩니다. $E[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=E[{\bar {x}}]=E[x]$ 예상대로 $E[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=E[{\bar {x}}]=E[x]$ E [ $x$ j $E[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=E[{\bar {x}}]=E[x]$ c $E[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=E[{\bar {x}}]=E[x]$ ] $E[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=E[{\bar {x}}]=E[x]$ [ $E[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=E[{\bar {x}}]=E[x]$ ] $E[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=E[{\bar {x}}]=E[x]$ $E[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=E[{\bar {x}}]=E[x]$ [ x $]{$ $displaystyle$ E [ { \ $bar$ { x $}_{$ \ $mathrm$ { jack } } $=$ $E[{\bar {x}}}]=$ $E$ $[x$ ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ x ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ a ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ { $displaystyle$ { $x$ $}$ $V[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=V[{\bar {x}}]=V[x]/n$ ${\$ mathrm { $V[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=V[{\bar {x}}]=V[x]/n$ $}}$ 은 ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ (는) 치우침이 없습니다.분산을 취하면 $V[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=V[{\bar {x}}]=V[x]/n$ V [ $V[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=V[{\bar {x}}]=V[x]/n$ $V[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=V[{\bar {x}}]=V[x]/n$ $V[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=V[{\bar {x}}]=V[x]/n$ [ x $]$ / $V[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=V[{\bar {x}}]=V[x]/n$ { $displaystyle$ V [ \ $bar {x} } = {\mathrm$ { $jack$ }이) 됩니다. $V[x]/n$ 그러나 이러한 속성은 평균이 아닌 다른 매개 변수의 경우 일반적으로 유지되지 않습니다.

평균 추정의 경우 이 간단한 예는 잭나이프 추정기의 구성을 설명하기 위한 것일 뿐이며, 분포의 평균 또는 다른 함수보다 높은 모멘트와 같은 다른 모수를 추정하는 경우에는 실제 하위 요소(및 유용성)가 나타난다.

${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ a ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ { $display$ style $\ style$ { x } $_$ { \ $mathrm$ { jack ${\bar {x}}_{\mathrm {jack} }$ } ${\bar {x}}$ $}$ ${\bar {x}}$ ( 、 즉, ${\widehat {\operatorname {bias} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }=c({\bar {x}}_{\mathrm {jack} }-{\bar {x}})$ ( ${\widehat {\operatorname {bias} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }=c({\bar {x}}_{\mathrm {jack} }-{\bar {x}})$ ${\bar {x}}$ ${\widehat {\operatorname {bias} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }=c({\bar {x}}_{\mathrm {jack} }-{\bar {x}})$ ) ${\widehat {\operatorname {bias} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }=c({\bar {x}}_{\mathrm {jack} }-{\bar {x}})$ ${\widehat {\operatorname {bias} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }=c({\bar {x}}_{\mathrm {jack} }-{\bar {x}})$ ${\widehat {\operatorname {bias} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }=c({\bar {x}}_{\mathrm {jack} }-{\bar {x}})$ ${\widehat {\operatorname {bias} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }=c({\bar {x}}_{\mathrm {jack} }-{\bar {x}})$ ( ${\widehat {\operatorname {bias} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }=c({\bar {x}}_{\mathrm {jack} }-{\bar {x}})$ ${\widehat {\operatorname {bias} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }=c({\bar {x}}_{\mathrm {jack} }-{\bar {x}})$ ${\widehat {\operatorname {bias} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }=c({\bar {x}}_{\mathrm {jack} }-{\bar {x}})$ ${\widehat {\operatorname {bias} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }=c({\bar {x}}_{\mathrm {jack} }-{\bar {x}})$ - x $¯$ ){ $display$ $oper$ { $x$ ${\bar {x}}$ $} }$ 의 편향에 대한 경험적 견적을 작성하기 위해 $사용$ 할 수 있습니다.누군가 적당한 인자 c을과{)}})_{\mathrm{잭}}=c({\bar{x}}_{\mathrm{잭}}-{\bar{x}})};0{\displaystyle c>0}, 비록 이 경우에 우리가)¯ j ck=)¯{\displaystyle{\bar{)}}_{\mathrm{잭}}={\bar{)}}} 알고 있는 것이 이 건축, 그러나 그것은 reassur은 어떤 의미 있는 지식 더하지 않는다.에 왕이 값은 치우침(즉, 0)의 정확한 추정치를 제공합니다.

${\bar {x}}$ 의 분산에 $대한$ 잭나이프의 추정치는 x의 ( ${\bar {x}}_{(i)}$ ) ${\bar {x}}_{(i)}$ \ ${x}_{(i$ ^[3]^[4]의 ${\bar {x}}$ 분산에서 계산할 수 있습니다.

{\bar {var}}({\bar {x})_{\mathrm {jack}=sum _{i=1}^{n}({\bar {x}_{{(i)}-{\bar {x}_{\mathrm {jack})}{{n}}}{\sum _ frac} {{n

왼쪽 등식은 ${\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }$ var ${\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }$ ( ${\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }$ ${\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }$ ) ${\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }$ ${\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }$ ${\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }$ k ${\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }$ { $displaystyle { operatorname$ { $var }}({\bar {x})_{\mathrm {jack}}}$ 을 ${\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }$ 정의하고 오른쪽 등식은 직접 확인할 수 있는 식별입니다.예상대로라면 $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ E [ $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ ( x $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ ) $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ a $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ k $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ ] $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ [ $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ / $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ [ $]{$ $display$ E [ { \ $widehat \ operatorname$ { $var$ } } $}$ } ( { \ $bar$ { x $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ } ) $_{$ \ $mathrm$ { $jack$ } $=$ V [ x ] / n $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ = $V$ } { bar $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ } { bar } { bar } { $bar$ } $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ } } { bar } { $E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]$ } } } e } } 。

추정기의 치우침 추정

잭나이프 기법을 사용하여 전체 표본에 대해 계산된 추정기의 편향을 추정(수정)할 수 있습니다.

(\ $displaystyle \theta })$ 가 $\theta$ x(\ $displaystyle$ x $x$ $x$ 의 일부 함수라고 가정합니다 $x_{1},...,x_{n}$ x 1, . , $x_{1},...,x_{n}$ $x_{1},...,x_{n}$ displaystyle $x_{1$ } , $x_{n$ )의 $x$ 한 $x_{1},...,x_{n}$ $x_{1},...,x_{n}$ 를 바탕으로 x(\ $display$ $x)$ 의 i.id 복사본으로 구성된다고 가정합니다., ${\hat {\theta }}$ $^$ { $displaystyle {\theta$ }}이 ${\hat {\theta }}$ (가) 구성됩니다.

(\displaystyle {\hat {theta }}=f_{n}(x_{1},\ldots,x_{n}).}

${\hat {\theta }}$ ^ $displaystyle$ {\ $hat$ {\ $theta }}$ 값은 샘플에 따라 다르므로 이 값은 랜덤 샘플에서 다른 샘플로 변경됩니다.

$^(\$ 의 $\hat{\theta}$ 편향은 다음과 같습니다.

{\displaystyle{text}}({\hat {theta }})=E[{\hat {\theta }}-\theta.}

여러 표본에서 $^(\$ 의 $\hat{\theta}$ ${\hat {\theta }}$ 값을 계산하여 평균화하고 E $E[{\hat {\theta }}]$ [ $](\displaystyle$ E $[{\hat\theta$ 의 경험적 근사치를 계산하고자 할 수 있지만, 전체 $x_{1},...,x_{n}$ $x_{1},...,x_{n}$ 이 사용 가능한 경우 "기타 표본"이 없는 경우에는 불가능합니다. $x_{1},...,x_{n}$ . $x_{1},...,x_{n}$ . , $x_{1},...,x_{n}$ n { $display$ style $x$ _ { $1}$ , $x$ _ { $n$ ${\hat {\theta }}$ } ${\hat {\theta }}$ {\ ${\$ 。 $이런 상황에서는$ 잭나이프 재샘플링 기술이 도움이 될 수 있습니다.

잭나이프 복제를 구성합니다.

({displaystyle {\theta }}_{(1)}=f_{n-1}(x_{2},x_{3}\ldots,x_{n}))

{\hat }_{(2)}=f_{n-1}(x_{1},x_{3},\ldots,x_{n}

\displaystyle \vdots }

({displaystyle {\theta }}_{(n)}=f_{n-1}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1})

여기서 각 리플리케이트는 1개의 데이터 포인트를 제외한 모든 데이터 포인트로 구성된 잭나이프 서브샘플에 기초한 "단일 배제" 추정치입니다.

{\hat }_{(i)}=f_{n-1}(x_{1},x_{i+1},x_{n},\ldots,x_{n},\displays i=1,\displays,n.

다음으로 평균값을 정의합니다.

{\theta }_{\mathrm {jack}=sum _{i=1}^{n}{\hat {\theta }}_{(i)}

$displaystyle\hat\theta})$ 의 $\hat{\theta}$ 편향에 대한 잭나이프 추정치는 다음과 같습니다 $.$

{\displaystyle\widehat{text}({\hat {theta })_{\mathrm {jack}=(n-1)_{\hat {jack}-{\hat {theta}}}}}}

$\theta$ 결과 $§(\displaystyle \theta)$ 의 $\theta$ 바이어스 변형 잭나이프 추정치는 다음과 같습니다.

{\theta }_{\text{jack}={\hat {theta }-{\theta }}_{\mathrm {jack}=nhat {\theta }-(n-1){\theta }{\mathrm {jack} } } =nhat {jack} } 。

그러면 편향이 O $O(n^{-1})$ - 1 $O(n^{-1})$ 인 $특수$ 한 $O(n^{-1})$ 에는 편향이 제거되고 다른 경우에는 ^[2]O $(n$ $O(n^{-2})$ 로 $O(n^{-2})$ 됩니다 $O(n^{-2})$ $.$

추정기의 분산 추정

잭나이프 기법은 전체 표본에 대해 계산된 추정기의 분산을 추정하는 데도 사용할 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

누락 오류

문학.

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메모들

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[FOOTNOTECameronTrivedi2005375-2] Cameron & Trivedi 2005, 375페이지

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[4] McIntosh, Avery I. "The Jackknife Estimation Method" (PDF). Boston University. Avery I. McIntosh. Retrieved 2016-04-30.: 페이지 3

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