수리금융

Mathematical finance

양적 금융과 금융 수학으로도 알려진 수학적 금융은 금융 시장의 수학적 모델링과 관련된 응용 수학의 한 분야이다.

일반적으로 고급 정량적 기법을 필요로 하는 금융 부문은 파생상품 가격 설정과 [1]리스크포트폴리오 관리 두 가지가 있습니다.수학 금융은 컴퓨터 금융 및 금융 공학 분야와 크게 겹칩니다.후자는 종종 확률적 자산 모델의 도움을 받아 애플리케이션과 모델링에 초점을 맞추고, 전자는 분석 외에도 모델에 대한 구현 도구 구축에 초점을 맞추고 있습니다.또한 포트폴리오관리할 때 기존기본 분석과 달리 통계 및 수치 모델(그리고 최근에는 기계 학습)에 의존하는 정량적 투자도 관련이 있습니다.

프랑스 수학자 루이 바첼리에는 1900년에 출판된 수학 금융에 관한 최초의 학술적 연구의 저자로 여겨진다.그러나 1970년대에 피셔 블랙, 마이런 스콜스, 로버트 머튼이 옵션 가격 이론을 연구하면서 수학 금융이 하나의 학문으로 부상했다.수학 투자는 통계적 방법을 사용하여 블랙잭카드 카운팅을 처음 발명하고 그 원리를 현대식 체계적인 [2]투자에 적용한 수학자 에드워드 소프의 연구에서 비롯되었다.

이 과목은 금융 수학에 관련된 많은 기본 이론과 관련된 금융 경제학 분야와 밀접한 관계가 있습니다.일반적으로 수리금융은 관측된 시장 가격을 입력으로 하여 금융 이론과의 연결을 확립하지 않고 수학적 또는 수치적 모델을 도출하고 확장한다.자세한 내용은 옵션 평가, 재무 모델링, 자산 가격 책정 등을 참조하십시오.차익거래 없는 가격의 기본 정리는 수리 금융의 핵심 이론 중 하나이며, 블랙-숄즈 방정식과 공식은 핵심 [3]결과 중 하나이다.

오늘날 많은 대학들이 수학 재정학 학위 및 연구 프로그램을 제공하고 있다.

이력: Q 대 P

고도의 정량적 기법을 필요로 하는 금융 부문은 파생상품 가격 책정, 리스크 및 포트폴리오 관리 등 두 가지가 있습니다.주요 차이점 중 하나는 "Q"로 표시된 위험 중립 확률(또는 차익거래 가격 확률)과 "P"로 표시된 실제(또는 보험수리적) 확률과 같은 다른 확률을 사용한다는 것이다.

파생상품 가격: Q World

Q월드
목표 "현재를 파괴하다"
환경 위험 중립 Q(\
과정 연속 시간 마르팅갈레스
치수 낮다
도구들 이토 미적분, PDE
과제들 눈금 매기기
비지니스 판매측의

파생상품 가격 결정의 목표는 공급과 수요의 법칙에 따라 가격이 결정되는 유동성 증권의 관점에서 주어진 증권의 공정한 가격을 결정하는 것이다.물론 '공정'의 의미는 유가증권의 매입과 매각 중 어느 쪽을 고려하느냐에 달려 있다.가격이 매겨지는 유가증권의 예로는 플레인 바닐라 옵션과 이색 옵션, 전환사채 등이 있다.

일단 적정가격이 결정되면 매도측 트레이더는 증권에 대한 시장을 형성할 수 있다.따라서 파생상품 가격은 증권의 현재 시장가치를 정의하기 위한 복잡한 "파생" 활동이며, 이는 매도측 커뮤니티에 의해 사용된다.양적 파생상품 가격은 루이 바첼리에가 투기 이론("Théorie de la spéculation")에서 시작하였으며, 가장 기본적이고 가장 영향력 있는 과정인 브라운 운동과 옵션의 [4][5]가격 결정에 대한 그것의 적용을 소개하였다.브라운 운동은 랑게뱅 방정식과 이산 랜덤 [6]워크를 사용하여 도출된다.바첼리어는 주가 로그시계열 변화를 단기 변동에 유한한 변동이 있는 랜덤 워크로 모델링했다.이로 인해 장기적인 변화가 가우스 [7]분포를 따르게 됩니다.

이론은 로버트 C에 의한 근본적인 공헌과 함께 피셔 블랙과 마이런 스콜스까지 잠자고 있었다. Merton은 두 번째로 영향력 있는 과정인 기하학적 브라운 운동옵션 가격에 적용했습니다.이 M을 위해서.스콜스와 R.머튼은 1997년 노벨 경제학상을 받았다.블랙은 1995년에 [8]사망했기 때문에 수상 자격이 없었다.

다음 중요한 단계는 Harrison과 Pliska(1981)에 의한 자산가격의 기본정리였으며, 이에 따라 적절히 정규화된 유가증권의 현재가격0 P는 차익거래가 없으며, 따라서 미래의 [9]진화를 설명하는 일정한 기대가치를 갖는 확률적 프로세스t P가 존재하는 경우에만 진정으로 공정하다.

(1)

(1)을 만족시키는 과정을 "마티게일"이라고 한다.마티게일은 위험을 보상하지 않는다.따라서 정규화된 보안 가격 프로세스의 확률을 "위험 중립"이라고 하며, 일반적으로 칠판 글꼴 문자 \{Q로 나타냅니다.

(1) 관계는 항상 유지되어야 한다. 따라서 파생상품 가격 결정에 사용되는 과정은 자연스럽게 연속적인 시간에 결정된다.

Q세계 파생상품 가격 책정에 종사하는 쿼트는 자신이 모델링하는 특정 상품에 대한 깊은 지식을 가진 전문가입니다.

유가증권은 개별적으로 가격이 매겨지기 때문에 Q세계의 문제는 본질적으로 저차원적이다.보정은 Q세계의 주요 과제 중 하나입니다. (1)과 같은 관계를 통해 거래된 유가증권의 집합에 대해 연속시간 파라미터 프로세스가 보정되면 새로운 파생상품의 가격을 정의하기 위해 유사한 관계가 사용됩니다.

연속 시간 Q-과정을 처리하는 데 필요한 주요 정량적 도구는 이토의 확률적 계산, 시뮬레이션 편미분 방정식(PDE)이다.[10]

리스크 및 포트폴리오 관리: P월드

P월드
목표 "미래의 모델"
환경 실제 P(\
과정 이산 시계열
치수 큰.
도구들 다변량 통계량
과제들 견적
비지니스 매수측의

위험 및 포트폴리오 관리는 주어진 미래 투자 관점에서 모든 유가증권의 시장가격에 대한 통계적으로 도출된 확률분포를 모델링하는 것을 목표로 한다.
이러한 시장 가격의 "실제" 확률 분포는 파생상품 가격 책정에 사용되는 "위험 중립" 확률(\와는 대조적으로 일반적으로 칠판 글꼴 문자 "{로 표시된다.P분포에 기초하여 매수측 커뮤니티는 포트폴리오로 간주되는 포지션의 예상 손익프로파일을 개선하기 위해 어떤 유가증권을 매수할 것인지를 결정한다.이 프로세스의 요소는 점점 자동화되고 있습니다.관련 기사의 일람에 대해서는 재무 개요 for 양적 투자를 참조해 주십시오.

마코위츠샤프는 그들의 선구적인 업적으로 머튼 밀러와 함께 1990년 노벨 경제학상을 공동 수상했습니다.이는 금융 분야 업적으로 사상 처음으로 수상된 것입니다.

마코위츠와 샤프의 포트폴리오 선정 작업은 투자운용에 수학을 도입했다.시간이 지남에 따라 수학은 더욱 정교해졌다.로버트 머튼과 폴 새뮤얼슨 덕분에, 1주기 모델은 연속 시간, 브라운 운동 모델로 대체되었고, 평균-분산 최적화에 내재된 2차 효용 함수는 보다 일반적인 증가 오목 효용 [11]함수로 대체되었다.또한 최근에는 고급 시계열 분석만으로 시장 [12]매개변수의 완전한 정확한 추정치를 제공할 수 있다고 잘못 가정하는 위험, 즉 추정 위험으로 초점이 이동했다.재무리스크관리 invest투자관리를 참조하십시오.

금융 시장과 시간에 따라 가격이 어떻게 달라지는지에 대한 연구에 많은 노력이 투입되었다.다우 존스 & 컴퍼니월스트리트 저널의 창시자 중 한 명인 찰스 다우(Charles Dow)는 현재 다우 이론이라고 불리는 이 주제에 대한 일련의 생각을 분명히 했다.이것이 미래의 변화를 예측하는 이른바 기술 분석 방법의 기초이다."기술 분석"의 신조 중 하나는 시장 추세가 적어도 단기적으로는 미래를 암시한다는 이다.기술 분석가들의 주장은 많은 [citation needed]학자들에 의해 논란이 되고 있다.

비판

수년에 걸쳐 점점 더 정교한 수학적 모델과 파생상품 가격 전략이 개발되었지만, 2007-2010년의 금융 위기로 인해 신뢰성이 손상되었다.현대 수리금융은 폴 윌모트나심 니콜라스 탈렙의 저서 '검은 백조'[13]에서 특히 이 분야의 인물들로부터 비판을 받아왔다.Taleb은 금융자산의 가격은 현재 사용되는 단순한 모델로는 특징지어질 수 없으며, 기껏해야 현재의 관행의 많은 부분이 관련이 없으며, 최악의 경우, 위험할 정도로 오해를 불러일으킬 수 있다고 주장한다.Wilmott와 Emanuel Derman은 2009년 1월에[14] 가장 심각한 우려 사항 중 몇 가지를 다루는 Financial Modelers' Manifesto를 발표했습니다.새로운 경제 사고 연구소와 같은 단체들은 현재 새로운 이론과 [15]방법을 개발하려고 시도하고 있다.

일반적으로 분산이 유한한 분포에 의한 변화를 모델링하는 것은 [16]부적절하다는 평을 점점 더 많이 받고 있다.1960년대에 Benoit Mandelbrot는 가격 변화가 가우스 분포를 따르지 않고 오히려 레비 알파 안정 [17]분포에 의해 더 잘 모델링된다는 것을 발견했다.변화의 규모(휘발성)는 1/2보다 약간 큰 전력에 대한 시간 간격의 길이에 따라 달라집니다.상향 또는 하향의 큰 변화는 추정 표준 편차가 있는 가우스 분포를 사용하여 계산하는 것보다 더 가능성이 높습니다.그러나 문제는 이것이 매개 변수화를 훨씬 더 어렵게 만들고 위험 제어의 [13]신뢰성을 떨어뜨리기 때문에 문제를 해결하지 못한다는 것입니다.

「 」를 참조해 주세요.

수학 도구

파생상품 가격 설정

포트폴리오 모델링

다른.

메모들

  1. ^ "Quantitative Finance". About.com. Retrieved 28 March 2014.
  2. ^ Lam, Leslie P. Norton and Dan. "Why Edward Thorp Owns Only Berkshire Hathaway". www.barrons.com. Retrieved 2021-06-06.
  3. ^ Johnson, Tim (1 September 2009). "What is financial mathematics?". +Plus Magazine. Retrieved 1 March 2021.
  4. ^ E., Shreve, Steven (2004). Stochastic calculus for finance. New York: Springer. ISBN 9780387401003. OCLC 53289874.
  5. ^ Stephen., Blyth (2013). Introduction to Quantitative Finance. Oxford University Press, USA. p. 157. ISBN 9780199666591. OCLC 868286679.
  6. ^ B., Schmidt, Anatoly (2005). Quantitative finance for physicists : an introduction. San Diego, Calif.: Elsevier Academic Press. ISBN 9780080492209. OCLC 57743436.
  7. ^ Bachelir, Louis. "The Theory of Speculation". Retrieved 28 March 2014.
  8. ^ Lindbeck, Assar. "The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1969-2007". Nobel Prize. Retrieved 28 March 2014.
  9. ^ Brown, Angus (1 Dec 2008). "A risky business: How to price derivatives". Price+ Magazine. Retrieved 28 March 2014.
  10. ^ 설문조사는 Michael Mastro(2013)의 "재무 모델"을 참조하십시오.Financial Derivative and Energy Market Valuation, John Wiley & Sons.ISBN 978-1118487716
  11. ^ Karatzas, Ioannis; Shreve, Steve (1998). Methods of Mathematical Finance. Secaucus, NJ, USA: Springer-Verlag New York, Incorporated. ISBN 9780387948393.
  12. ^ Meucci, Attilio (2005). Risk and Asset Allocation. Springer. ISBN 9783642009648.
  13. ^ a b Taleb, Nassim Nicholas (2007). The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable. Random House Trade. ISBN 978-1-4000-6351-2.
  14. ^ "Financial Modelers' Manifesto". Paul Wilmott's Blog. January 8, 2009. Archived from the original on September 8, 2014. Retrieved June 1, 2012.
  15. ^ Gillian Tett (April 15, 2010). "Mathematicians must get out of their ivory towers". Financial Times.
  16. ^ Svetlozar T. Rachev; Frank J. Fabozzi; Christian Menn (2005). Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions: Implications for Risk Management, Portfolio Selection, and Option Pricing. John Wiley and Sons. ISBN 978-0471718864.
  17. ^ B. 만델브로트, "특정 투기 가격의 변동", 1963년 비즈니스 저널

추가 정보