랜덤 필드
Random field물리학과 수학에서 임의의 영역(보통 n R과 같은 다차원 공간)에 대한 임의의 함수다. 즉, 각 지점 {\x또는 일부 다른 도메인)에서 랜덤 값을 차지하는 f) 이다. 그것은 또한 때때로 그것의 지수를 어느 정도 제한하는 확률적 과정의 동의어로 생각되기도 한다.[1] 즉, 현대적 정의에 의해 무작위 장은 기본 매개변수가 더 이상 실제 또는 정수가 아닌 "시간"으로 평가될 필요가 없고 대신 일부 다지관의 다차원 벡터 또는 점인 값을 취할 수 있는 확률적 과정의 일반화다.[2]
형식 정의
확률 공간, , ) 이 주어진X 값 랜덤 필드는 위상학적 공간 T의 요소에 의해 색인된 X 값 랜덤 변수 모음입니다. 즉, 임의의 필드 F는 집합이다.
여기서 각 는 X 값 랜덤 변수다.
예
이산형 버전에서 랜덤 필드는 지수를 공간의 이산형 점 집합(예: n-차원 유클리드 공간)으로 식별하는 난수 목록이다. 2D 그리드에 각각 (0,0,0,2,2,2), 그리드에 위치하는 {\ 3{\ {\ 등4개의 랜덤 변수가 있다고 가정합시다. 각 랜덤 변수가 -1 또는 1의 값을 가질 수 있으며, 각 랜덤 변수의 값의 확률은 바로 인접한 인접 지역에 따라 다르다고 가정하자. 이것은 별개의 무작위 필드의 간단한 예다.
보다 일반적으로 각 가 취할 수 있는 값은 연속적인 도메인에 걸쳐 정의될 수 있다. 더 큰 그리드에서, 무작위 필드를 위에서 설명한 것처럼 "기능 평가" 랜덤 변수로 생각하는 것도 유용할 수 있다. 양자장 이론에서 개념은 함수의 공간에 걸쳐 랜덤 값을 갖는 임의 함수로 일반화된다(Feynman 적분 참조).
여러 종류의 랜덤 필드가 존재하며, 그 중에서도 마르코프 랜덤 필드(MRF), Gibbs 랜덤 필드, 조건 랜덤 필드(CRF), 가우스 랜덤 필드가 있다. 1974년에 줄리안 베삭은 MRF와 Gibbs RF의 관계에 의존하는 근사법을 제안했다.[citation needed]
예제 속성
MRF는 마르코프 속성을 나타낸다.
각 선택 값 j) 에 대해 그리고 각 는 i 의 인접 집합이다 즉, 임의 변수가 값을 가정할 확률은 인접한 인접 랜덤 변수에 따라 달라진다. MRF에서 랜덤 변수의 확률은 다음과 같다.
합(적분할 수 있음)이 가능한 k 값을 초과하는 경우. 이 수량을 정확히 계산하는 것은 때때로 어렵다.
적용들
자연과학에서 사용될 때, 무작위 분야의 값은 공간적으로 상관되는 경우가 많다. 예를 들어 인접 값(즉 인접 지수를 갖는 값)은 더 멀리 떨어져 있는 값만큼 차이가 없다. 이것은 공분산 구조의 한 예로서, 다양한 유형의 공분산 구조를 무작위 필드에서 모델링할 수 있다. 한 예는 때때로 가장 가까운 이웃 상호작용이 모델을 더 잘 이해하기 위한 단순화로서만 포함되는 Ising 모델이다.
무작위 필드의 일반적인 용도는 컴퓨터 그래픽, 특히 물과 지구와 같은 자연 표면을 모방하는 그래픽의 생성에 있다.
신경과학에서, 특히 PET나 fMRI를 이용한 직무관련 기능 뇌영상 연구에서, 무작위 분야의 통계적 분석은 정말로 유의미한 활성화가 있는 지역을 찾기 위한 다중 비교를 위한 교정의 하나의 일반적인 대안이다.[3]
또한 기계 학습 애플리케이션에도 사용된다(그래픽 모델 참조).
텐서 값 랜덤 필드
무작위 필드는 무작위 필드가 자연적으로 공간적으로 변화하는 특성에 대응하는 몬테카를로 방법에 의해 자연 과정을 연구하는데 매우 유용하다. 이는 통계적 볼륨 요소(SVE)가 핵심 역할을 수행하는 텐서 값 무작위 필드로 이어진다. SVE가 충분히 커지면 그 특성이 결정론적이 되고 결정론적 연속체 물리학의 대표적인 볼륨 요소(RVE)를 회복한다. 연속체 이론에 나타나는 두 번째 유형의 무작위 장은 의존적인 양(온도, 변위, 속도, 변형, 회전, 신체 및 표면 힘, 스트레스 등)[4]이다.
참고 항목
참조
- ^ "Random Fields" (PDF).
- ^ Vanmarcke, Erik (2010). Random Fields: Analysis and Synthesis. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812563538.
- ^ Worsley, K. J.; Evans, A. C.; Marrett, S.; Neelin, P. (November 1992). "A Three-Dimensional Statistical Analysis for CBF Activation Studies in Human Brain". Journal of Cerebral Blood Flow & Metabolism. 12 (6): 900–918. doi:10.1038/jcbfm.1992.127. ISSN 0271-678X. PMID 1400644.
- ^ Malyarenko, Anatoliy; Ostoja-Starzewski, Martin (2019). Tensor-Valued Random Fields for Continuum Physics. Cambridge University Press. ISBN 9781108429856.
추가 읽기
- Adler, R. J. & Taylor, Jonathan (2007). Random Fields and Geometry. Springer. ISBN 978-0-387-48112-8.
- Besag, J. E. (1974). "Spatial Interaction and the Statistical Analysis of Lattice Systems". Journal of the Royal Statistical Society. Series B. 36 (2): 192–236. doi:10.1111/j.2517-6161.1974.tb00999.x.
- Griffeath, David (1976). "Random Fields". In Kemeny, John G.; Snell, Laurie; Knapp, Anthony W. (eds.). Denumerable Markov Chains (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-90177-9.
- Khoshnevisan (2002). Multiparameter Processes : An Introduction to Random Fields. Springer. ISBN 0-387-95459-7.