유체 큐

큐잉 이론에서, 확률의 수학적 이론, 유체 큐(유체 모델,^[1] 유체 흐름^[2] 모델 또는 확률적 유체^[3] 모델) 내의 부문은 임의로 결정되는 충전 및 비우기 기간의 대상이 되는 저장소의 유체 레벨을 기술하기 위해 사용되는 수학 모델이다.댐 이론이라는 용어는 이러한 모델에 대한 초기 문헌에서 사용되었다.이 모델은 이산 모델 근사, ^[4]산불 확산 모델링, 파괴^[5] 이론 및 고속 데이터 ^[6]네트워크 모델링에 사용되었습니다.모델은 누출 버킷 알고리즘을 확률적 소스에 적용합니다.

이 모델은 1954년 팻 모란(Pat Moran)에 의해 이산 시간 모델이 ^[7][8][9]고려되었다.유체 큐를 사용하면 M/M/1 및 M/G/1 큐와 같은 모델에서처럼 개별 도착이 아닌 연속 도착이 가능합니다.

유체 큐는 네트워크 스위치,^[10] 라우터,^[11] IEEE 802.11 프로토콜,^[12] 비동기 전송 모드(B-ISDN의 ^[13][14]의도된 기술), 피어 투 피어 파일 공유,^[15] 광버스트 ^[16]스위칭 등의 성능을 모델링하기 위해 사용되었으며 ^[17]댐을 설계할 때 토목 공학에서 응용 프로그램을 사용합니다.이 과정은 효율적인 해결 방법이 알려진 ^[18][19]준생사 과정과 밀접하게 연관되어 있다.

모델 설명

유체 큐는 보통 무한 용량으로 가정되는 대형 탱크로 볼 수 있으며, 탱크에 오일을 주입하는 일련의 파이프와 탱크에서 유체를 제거하는 일련의 펌프에 연결됩니다.오퍼레이터는 파이프와 펌프를 제어하여 유체가 버퍼로 유입되는 속도와 유체가 이탈하는 속도를 제어합니다.오퍼레이터가 시스템을 상태 i로 전환하면 이 상태의 순 유체 도착 속도에 r이 표시됩니다_i(입력에서 출력을 뺀 값).버퍼에 유체가 포함되어 있는 경우, 시간 ^[20]t의 유체 레벨에 대해 X(t)를 표시하면,

${\displaystyle {\frac {d} X(t)}{\mathrm {d} t}=sys {cases}r_{i}&{\text{if}X(t)>0\max(r_{i},0)&{\text{if}X(t)=0.\end {case}}$

연산자는 연속 시간 마르코프 사슬이며, 일반적으로 환경 과정, 백그라운드^[21] 과정 또는 주행 ^[6]과정이라고 불립니다.프로세스 X는 버퍼 내의 유체 레벨을 나타내므로 음이 아닌 값만 취할 수 있습니다.

이 모델은 부분적 결정론적 마르코프 과정의 특정 유형이며 경계 조건을 가진 마르코프 보상 모델로 볼 수도 있다.

고정 분포

정상 분포는 아스무센에서^[22] 최초로 나타낸 위상형 분포로^[2] 매트릭스 분석 ^[10]방법을 사용하여 계산할 수 있습니다.

가법 분해 방법은 수치적으로 안정적이며 Schur ^[23][24]분해를 사용하여 계산에 필요한 고유값을 분리합니다.

온/오프 모델

서비스가 일정한 레이트 μ를 가지며, 발생기 행렬을 가진 연속 시간 마르코프 사슬에 따라 레이트 δ와 0(각각 상태 1과 2) 사이에서 도착이 변동하는 단순 시스템

$\displaystyle Q=begin{pmatrix}-\alpha &\alpha \\displaystyle \end {pmatrix}$

정상 분포는 명시적으로 계산될 수 있으며 다음과 같이 주어진다^[6].

${\displaystyle F(x,1)=frac {\alpha +\light}}\left(1-e^{\leftfrac}{\mu}}-{\frac {\frac {\alpha}{\mu }}\right}}$

$({displaystyle F(x,2)=frac {\alpha +\mu }-{\frac \left (\frak \left da -\mu \right)}{\alpha +\frac }{\frac }-{\frac {\left display style }}{\fright }$

평균 유체 수준^[25]

$(\displaystyle\frac {\fracda -\mu}{(\alpha +\faceda)-\faceda \faceda )}(\mu,\facda -\mu).}$

바쁜 기간

비지 기간은 유체가 버퍼에 처음 도착한 순간(X(t)가 0이 아님)부터 버퍼가 다시 비워질 때까지(X(t)가 0으로 돌아올 때까지의 시간입니다.초기 문헌에서는 이를 (댐의)^[26] 습기라고 부르기도 했다.비지 기간 분포의 Laplace-Stieltjes 변환은 무한 버퍼를^[27][28][29] 가진 유체 큐와 유한 버퍼의 경우 예상되는 비지 기간에 대해 알려져 있으며 순간 ^[26]점프로 착신합니다.

일정한 서비스 레이트가 μ이고 레이트 θ와 0으로 도착하는 무한 버퍼의 경우 파라미터에 의한 연속 시간 마르코프 체인에 의해 변조됩니다.

$\displaystyle Q=begin{pmatrix}-\alpha &\alpha \\displaystyle \end {pmatrix}$

비지^[29] 기간 분포의 Laplace-Stieltjes 변환에 W*를 쓴다.

$(\displaystyle W^{\ast}(s)=harcfrac \mu +\alpha \mu - {\harcrt {4\harceda \mu }+(\harcda -\harcda )^{2}}{\harcla\ht})$

그것은 평균적인 바쁜^[30] 시기를 준다.

$(\displaystyle \mathbb {E} (W)=parcfrac {\parcda } {\alpha \mu +\parces (\parcda -\mu ) } 。}$

이 경우, 단일 온/오프 소스에서 비지 기간 분포는 감소 실패율 함수라고 알려져 있습니다. 즉, 비지 기간이 오래 지속될수록 더 ^[31]오래 지속될 가능성이 높습니다.

일반적으로 스펙트럼 분해 또는 반복 반복 ^[32]반복 방법을 사용하여 바쁜 기간을 해결하는 두 가지 주요 방법이 있다.변환점을 계산하기 위한 2차 수렴 알고리즘은 안철수와 라마스와미에 ^[33]의해 발표되었다.

예

예를 들어, 서비스 레이트가 μ = 2인 유체 큐가 파라미터α = 2, β = 1, β = 3인 온/오프 소스에 의해 공급될 경우 유체 큐는 평균 1 및 분산 5/3의 비지 기간을 가진다.

손실률

유한 버퍼에서는 Laplace-Stieltjes ^[34]변환을 사용하여 유체가 손실되는 속도(풀 버퍼로 인해 시스템에서 거부됨)를 계산할 수 있습니다.

산악 공정

산악 프로세스라는 용어는 사용량이 많은 기간 동안 달성된 최대 버퍼 내용 프로세스 값을 나타내기 위해 만들어졌으며 G/M/1 ^[35][36]큐의 결과를 사용하여 계산할 수 있습니다.

유체 큐 네트워크

2개의 탠덤 유체 큐의 정상 분포가 계산되어 중요하지 않은 ^{[25][30][37][38][39]}경우에는 제품 형태의 정상 분포를 나타내지 않는 것으로 나타났다.

피드백 유체 큐

피드백 유체 큐는 모델 파라미터(전이율 매트릭스 및 드리프트 벡터)가 버퍼 함량에 어느 정도 의존할 수 있는 모델이다.일반적으로 버퍼 콘텐츠는 분할되며 파라미터는 버퍼 콘텐츠프로세스가 ^[40]속한 파티션에 따라 달라집니다.순서화된 Schur 인수분해를 사용하여 이러한 ^[41]모형의 정상 분포를 효율적으로 계산할 수 있습니다.

2차 유체 큐

2차 유체 큐(마코프 변조 확산 프로세스 또는 브라운 노이즈가^[42] 있는 유체 큐라고도 함)는 마르코프 ^[22][43]프로세스에 의해 제어되는 매개변수를 가진 반사 브라운 운동을 고려합니다.일반적으로 흡수 및 ^[44]반사라는 두 가지 유형의 경계 조건이 고려된다.

외부 링크

• 위의 결과 중 일부를 MATLAB, Python 및 Mathematica로 구현한 BuTools.
• PevaTools, 다중 영역 모델용 MATLAB 코드
• MAM8의 V. Ramaswami의 유체 흐름 모델 튜토리얼

레퍼런스