마팅게일(확률론)

확률론에서 마팅게일은 무작위 변수의 순서(즉, 확률적 과정)로서, 특정한 시기에 그 순서의 다음 값에 대한 조건부 기대치가 모든 이전 값에 관계없이 현재 값과 동일하다.

역사

원래 마팅게일은 18세기 프랑스에서 유행했던 베팅 전략의 한 부류를 가리켰다.^[1][2] 이러한 전략 중 가장 간단한 것은 코인이 앞면이 나오면 도박꾼이 지분을 얻고, 뒷면이 나오면 코인을 잃는 게임을 위해 고안된 것이다. 이 전략은 도박사가 패할 때마다 내기를 두 배로 늘려 첫 승으로 이전의 모든 패배를 만회하고 원래 지분에 해당하는 이익을 얻도록 했다. 도박꾼의 부와 가용 시간이 무한대에 공동으로 접근함에 따라 결국 고개를 돌릴 확률은 1에 가까워져 마팅게일 베팅 전략이 확실한 것처럼 보인다. 그러나, 내기의 기하급수적인 성장은 결국 제한된 자금 운용 때문에 사용자들을 파산시킨다. 마팅게일 과정인 스톱브라운 모션은 이런 게임의 궤적을 모형화하는 데 사용할 수 있다.

확률론에서 마팅게일의 개념은 폴 레비(Paul Lévy)가 1934년에 도입했지만, 이름을 붙이지 않았다. "마팅게일"이라는 용어는 빌(1939)에 의해 나중에 소개되었는데, 빌은 또한 이 정의를 지속적인 마팅게일로 확장하였다. 그 이론의 원래 발달의 대부분은 다른 것들 중에서도 조셉 레오 두브에 의해 이루어졌다. 그 일의 동기의 일부는 우연한 게임에서 성공적인 베팅 전략이 불가능하다는 것을 보여주기 위함이었다.

정의들

이산 시간 마팅게일의 기본 정의는 이산 시간 확률적 공정(즉, 랜덤 변수의 시퀀스) X₁, X₂, X₃, X, ...이며, 이 공정은 임의의 시간 n,

${\displaystyle \mathbf {E}(\vert X_{n}\vert )<\infully }$

${\displaystyle \mathbf {E}(X_{n+1}\mid X_{1},\ldots,X_{n}=X_{n}).}$

즉, 모든 과거 관측치를 감안할 때 다음 관측치의 조건부 기대값은 가장 최근의 관측치와 동일하다.

다른 시퀀스에 대한 마팅게일 시퀀스

보다 일반적으로 sequence Y₁, Y₂ ...는₃ 다른 sequence X₁, X, X₂₃ ...에 관해서 마팅게일이라고 한다. 만약 모든 n에 대해서.

${\displaystyle \mathbf {E}(\vert Y_{n}\vert )<\infully }$

${\displaystyle \mathbf {E}(Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}=Y_{n}}$

마찬가지로, 확률적 공정 X에_t 관한 연속 시간 마팅게일은 모든 공정에 대해 다음과 같은 확률적 공정 Y이다_t.

${\displaystyle \mathbf {E}(\vert Y_{t}\vert )<\infully }$

${\displaystyle \mathbf {E}(Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\}=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}$

이것은 시간 $[\displaystyle s$까지의 모든 관측치를 감안할 때 시간 t에서의 관측치에 대한 조건부 기대치가 시간 s(물론, 해당 ≤ t)의 관측치와 같다는 속성을 나타낸다. 두 번째 속성은 X ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$… ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$$displaystyle Y_{n}}$에 $대해{\displaystyle {}_{}}$ Y ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle X_{1}\dots X_{n}}}$을(를$$) 측정할 수 있음을 암시한다는 점에 유의하십시오$.$

일반적 정의

완전 일반성에서 확률적 공정 $Y{\displaystyle }$: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y:$Banach 공간 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 값을$$ 얻는 $T\time \Oomega \to S}$은(는) 여과 $ration{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\$ _${*}$와(일$$ 경우) 및 확률 측정 $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 관련된 마팅게일 것이다.

• σ은_∗ 기본 확률 공간의 여과(Ω, ,, $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$P}}$ );
• Y는 여과 σ에_∗ 적응한다. 즉, 지수 세트 T의 각 t에 대해 랜덤 변수 Y는_t σ 측정_t 가능한 함수다.
• 각 t에 대해 Y는_t L 공간^p L¹(Ω, σ_t, $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$; S)에 위치한다.

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathb {P}}(Y_{t})(<+\inflt;})}$

• s < t와 모든 F ∈ σ이_s 있는 모든 s와 t에 대하여,

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathb {P}}\왼쪽([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\오른쪽)=0,}$

여기서 χ은_F 이벤트 F의 표시기 기능을 나타낸다. 그림메트와 스터자커의 확률과 무작위 프로세스에서 이 마지막 조건은 다음과 같이 표시된다.

${\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathb {P} }(Y_{t}\mid \Sigma _{s}),}$

그것은 일반적인 형태의 조건부 기대다.^[3]

마팅게일이 되는 특성은 여과와 확률 측정(기대되는 것에 관한 것)을 모두 포함한다는 점에 유의해야 한다. Y가 하나의 척도에 대해서는 마팅게일이 될 수 있지만 다른 척도에 대해서는 그렇지 않을 수 있다; Girsanov 정리는 이토 과정이 마팅게일이라는 것에 관한 척도를 찾는 방법을 제공한다.

마팅게일의 예

• 편향되지 않은 무작위 보행(어떤 치수든)은 마팅게일의 예다.
• 도박꾼의 재산(자본)은 도박꾼들이 하는 모든 베팅게임이 공평하다면 마팅게일이다. 좀 더 구체적으로 말하자면: X가_n 공정한 동전을 던지면 도박꾼의 재산이라고 가정하면, 도박꾼은 앞면이 나오면 1달러를 얻고 뒷면이 나오면 1달러를 잃는다. 다음 재판 후 도박꾼의 조건부 기대 재산은 이력을 감안할 때 현재 재산과 맞먹는다. 이 순서는 따라서 마팅게일이다.
• Y_n = X_n² - n 여기서 X는_n 앞의 예에서 도박꾼의 재산이다. 그러면_n { Y : n = 1, 2, 3, ... {}은(는) 마팅게일이다. 이것은 도박꾼의 총 손익이 단계 수의 제곱근에 플러스 마이너스 사이에 대략적으로 다르다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다.
• (De Moivre's martingale) 이제 동전이 불공평하다고 가정해 봅시다. 즉, 편향된, 머리 위로 올라갈 확률 p와 꼬리가 나올 확률 q = 1 - p 꼬리가 있다고 가정합시다. 내버려두다

${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1}$

"머리"의 경우 "+"로, "꼬리"의 경우 "-"로 표시한다. 내버려두다

${\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}$

그러면 { Y_n : n = 1, 2, 3, ... {}은(는) {X_n : n = 1, 2, 3, ...}에 대한 마팅게일. 이를 보여주기 위해

${\displaystyle {\reasoned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aigned}}}$

• Polya의 항아리는 여러 가지 다른 색깔의 대리석을 포함하고 있다. 각각의 반복마다 항아리에서 대리석을 무작위로 선택하고 같은 색상의 몇 개 더 많은 대리석으로 대체한다. 특정 색상의 경우, 해당 색상이 있는 항아리의 대리석 분율은 마팅게일이다. 예를 들어, 만약 현재 대리석의 95%가 빨강이라면, 다음 번 반복이 다른 색상보다 빨강 대리석을 추가할 가능성이 더 높지만, 이 편향은 정확히 같은 수의 비-빨강 대리석을 추가하는 것보다 훨씬 덜 유의하게 분율을 변화시킨다는 사실에 의해 균형을 이룬다.
• (통계에서의 우도-비율 검정) 랜덤 변수 X는 확률 밀도 f 또는 다른 확률 밀도 g에 따라 분포된다고 생각된다. 랜덤 표본 X₁, ..., X를_n 추출한다. Y를_n "우도 비율"으로 설정

${\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i}}){f(X_{i})}{f(X_{i})}}}}$

X가 실제로 g에 따른 것이 아니라 밀도 f에 따라 분포되어 있다면, { Y_n : n = 1, 2, 3, ... }}은(는) {X_n : n = 1, 2, 3, ...}에 대한 마팅게일이다.

• 생태 공동체(특정 영양 수준에 있는 종의 집단, 국지적으로 유사한 자원을 놓고 경쟁)에서, 특정 종의 고정된 크기의 개체 수는 시간의 함수로서, 무작위 변수의 연속이라고 볼 수 있다. 이 순서는 생물다양성과 생물지리학의 통일된 중립 이론에 따른 마팅게일이다.
• { N_t : t ≥ 0 }이(가) 강도 λ의 포아송 공정인 경우, 보정된 포아송 공정 { N - λt_t : t ≥ 0 }은(는) 우측 연속/좌측 한계 샘플 경로를 가진 연속 시간 마팅게일이다.

• 월즈 마팅게일

하위종목, 수퍼마틴종목 및 조화함수와의 관계

현재 관측치 X가_n 미래의 조건부 기대치 E[X_n+1 X_1n, ..., X]와 반드시 같지 않고 대신 조건부 기대치에 대한 상한 또는 하한인 경우를 포함하는 마팅게일의 일반적인 두 가지가 있다. 이러한 정의들은 조화함수의 연구인 마팅게일 이론과 전위 이론의 관계를 반영한다. 연속 시간 마팅게일이 E[X_t {X_τ : τ ≤ s}] - X = 0_s ∀s ≤ t를 만족하는 것처럼 조화 함수 f는 부분 미분 방정식 Δf = 0을 만족하며 여기서 Δ는 라플라시안 연산자다. 브라운 모션 프로세스 W와_t 고조파 함수 f를 감안할 때, 결과 프로세스 f(W_t)도 마팅게일이다.

• 이산 시간 하위 섹션은 X $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$X ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$…${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$을(를) 만족하는 시퀀스입니다.

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots, X_{n}]\geq X_{n}.}$

마찬가지로, 연속 시간 하위 작업물도 만족한다.

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}\tau \leq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

전위 이론에서 하위 조화 함수 f는 Δf f 0을 만족한다. 공의 경계에 있는 모든 포인트에 대해 조화 함수에 의해 위에서 경계되는 모든 하위 고조파 함수는 공 안의 모든 포인트에 대한 고조파 함수에 의해 경계된다. 마찬가지로, 하위목록과 마팅게일이 주어진 시간에 동등한 기대를 갖는다면, 하위목록의 역사는 마팅게일의 역사에 의해 위쪽으로 경계가 되는 경향이 있다. 대략 현재 관측치 X가_n 조건부 기대치 E[X_n+1 X₁,..., X_n]보다 작거나 같기 때문에 접두사 "sub-"가 일치한다. 따라서 현재의 관측은 미래의 조건부 기대 이하에서 지원을 제공하며, 그 과정은 미래 시간에 증가하는 경향이 있다.

• 유사하게, 이산 시간 슈퍼마팅게일이 만족한다.

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots, X_{n}]\leq X_{n}.}$

마찬가지로, 연속 시간 슈퍼마팅게일은 만족한다.

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

전위 이론에서 초화함수 f는 Δf ≤ 0을 만족한다. 공의 경계에 있는 모든 포인트에 대해 조화 함수에 의해 아래에 경계되는 초화함수는 볼 내부의 모든 포인트에 대한 조화 함수에 의해 아래에 경계된다. 마찬가지로 슈퍼마팅게일과 마팅게일이 주어진 시간에 동등한 기대를 갖는다면, 슈퍼마팅게일의 역사는 마팅게일의 역사에 의해 아래로 경계가 되는 경향이 있다. 대략적으로 현재 관측치_n X가 조건부 기대치 E[X_n+11 X,..., X_n]보다 크거나 같기 때문에 "super-" 접두사가 일치한다. 따라서 현재의 관측은 미래의 조건부 기대 이상의 지지를 제공하며, 그 과정은 미래 시간에 감소하는 경향이 있다.

하위 판매 및 수퍼마팅 판매의 예

• 모든 마팅게일은 또한 서브마팅게일과 슈퍼마팅게일이다. 반대로, 서브마틴데일과 슈퍼마틴데일 둘 다 마틴데일이다.
• 동전이 나올 때 1달러를 얻고 동전이 나올 때 1달러를 잃는 도박꾼을 다시 생각해 보라. 지금 동전이 편향되어 있을 수 있으므로 확률 p가 나온다고 가정하자.
  • p가 2분의 1과 같다면 평균적으로 도박꾼은 이기지 못하고 손해 보지 않으며, 시간 경과에 따른 도박꾼의 재산은 마팅게일이다.
  • p가 2분의 1 미만일 경우 도박꾼은 평균적으로 손해를 보고, 시간이 흐를수록 도박꾼의 재산은 슈퍼마팅게일이다.
  • p가 1/2보다 크면 도박사는 평균적으로 돈을 따고, 시간이 흐를수록 도박사의 재산은 하위종목이다.
• 마팅게일의 볼록함수는 옌센의 불평등에 의한 서브마팅게일이다. 예를 들어, 페어 코인 게임에서 도박꾼의 재산의 제곱은 서브마틴데일(X_n² - n도 마틴데일이라는 사실에서도 따라온다)이다. 마찬가지로 마팅게일의 오목함수는 슈퍼마팅게일이다.

마팅게일 및 정지 시간

속성을 각 t동안, 사건의 발생이나 non-occurrence τ)에선 X1, X2, X,..., Xt의 가치에 달려 있고 확률 변수 X1, X2, X, 시퀀스에 관련된 정지 시간은 확률 변수 τ.정의를 뒤에 있는 직관은 어떤 특정한 시간 t에서, 당신은 염기 서열을 너무 멀리, 볼 수 있다. 이제 그만할 시간이다. 실생활에서 한 예로 도박꾼이 도박대를 떠나는 시기가 있을 수 있는데, 그것은 이전의 승부의 함수일 수도 있다(예를 들어, 그는 파산할 때만 떠날 수도 있다). 그러나 그는 아직 행해지지 않은 게임의 결과에 따라 가거나 머무르는 것을 선택할 수 없다.

어떤 맥락에서 정지 시간의 개념은 사건의 발생 또는 미발생만이 X_{t + 1}, X_{t + 2}, ...와 확률적으로 독립적이지만, 그것이 시간 t까지의 과정의 이력에 의해 완전히 결정되는 것은 아니다. 그것은 위의 단락에 나오는 것보다 약한 조건이지만, 정지 시간이 사용되는 일부 증거에 기여할 수 있을 만큼 충분히 강하다.

어느 martingales의 기본 속성의 t을(Xtτ)는, 만약(Xt)t>0{\displaystyle(X_{t})_{t>0}}은(sub-/super-)martingale과τ{\displaystyle \tau}은 정지 시간은 저와의 연락을 끊었습니다 과정;0{\displaystyle(X_{t}^{\tau})_{t>0}}X에선 τ에 의해 정의된다. := X분${\displaystyle {\{}_{}}$ ${\displaystyle {\tau ,}_{}}$ ${\displaystyle {t\}}_{}}$ ${\$도 마팅게일(sub-/super-)이다$$.

정지 마팅게일의 개념은 예를 들어, 정지 시간에서 마팅게일의 기대값이 초기 값과 같다는 선택적 정지 정리를 포함하여 일련의 중요한 이론으로 이어진다.

참고 항목

메모들

참조

• "Martingale", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "The Splendors and Miseries of Martingales". Electronic Journal for History of Probability and Statistics. 5 (1). June 2009. 전체 이슈는 Martingale 확률 이론에 집중되어 있다.
• Williams, David (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40605-5.
• Kleinert, Hagen (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (4th ed.). Singapore: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.
• Siminelakis, Paris (2010). "Martingales and Stopping Times: Use of martingales in obtaining bounds and analyzing algorithms" (PDF). University of Athens. Archived from the original (PDF) on 2018-02-19. Retrieved 2010-06-18.
• Ville, Jean (1939). "Étude critique de la notion de collectif". Bulletin of the American Mathematical Society. Monographies des Probabilités (in French). Paris. 3 (11): 824–825. doi:10.1090/S0002-9904-1939-07089-4. Zbl 0021.14601. Review by Doob.