연립 방정식 모형

연립 방정식 모형은 종속 변수가 단순한 독립 ^[1]변수가 아닌 다른 종속 변수의 함수인 통계 모형의 한 유형입니다.이는 일부 설명 변수가 종속 변수와 공동으로 결정된다는 것을 의미하며, 경제학에서는 일반적으로 일부 기초 평형 메커니즘의 결과이다.전형적인 공급과 수요 모델을 취한다.일반적으로 시장에 의해 정해진 가격의 함수로 공급되고 요구되는 수량을 결정하지만, 생산자가 소비자가 요구하는 수량을 관찰한 ^[2]후 가격을 설정하는 경우, 그 반대의 경우도 가능하다.

회귀체의 엄격한 이질성에 대한 가우스-마코프 가정이 위반되기 때문에 동시성은 관심 통계 매개변수의 추정에 어려움을 제기한다.모든 연립 방정식을 동시에 추정하는 것은 당연하지만, 이는 가장 단순한 선형 ^[3]방정식 시스템에서도 종종 계산 비용이 많이 드는 비선형 최적화 문제로 이어집니다.이러한 상황은 1940년대와 1950년대에 ^[4]카울스 위원회가 주도하여 모델 세리아팀 내의 각 방정식을 추정하는 다양한 기술, 특히 제한된 정보 최대 가능성과 2단계 최소 ^[5]제곱의 개발을 촉진시켰다.

구조적이고 축소된 형태

다음과 같은 형식의 회귀 방정식이 m개 있다고 가정합니다.

\displaystyle y_{it}=y_{-i,t}'\display_{i}+x_{it}\!\display_{i}+u_{it}\display i=1,\ldots,m,}

여기서 i는 방정식 숫자이고 t = 1, ..., T는 관측 지수입니다.이 식에서_it x는 외생변수의 k_i×1 벡터, y는_it 의존변수, y는_−i,t 오른쪽에 있는^th i방정식에 들어가는 다른 모든 내생변수의 n×1_i_it 벡터, u는 오차항이다."i" 표기법은 벡터_−i,t y가 y를 제외한_it 임의의 y를 포함할 수 있음을 나타냅니다(이미 왼쪽에 존재하므로).회귀 계수_i β 및 θ는_i 각각 k×1_i 및 n×1 치수를_i 가진다.i^th 방정식에 해당하는 T 관측치를 수직으로 쌓으면, 우리는 각 방정식을 벡터 형태로 다음과 같이 쓸 수 있다.

y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\beta i=1,\ldots,m,

여기서_i y와_i u는 T×1 벡터이고_i, X는 외생 퇴행기의 T×k_i 행렬이며_−i, Y는 i 방정식의^th 오른쪽에 있는 내생 퇴행기의 T×n_i 행렬이다.마지막으로, 우리는 모든 내생 변수를 왼쪽으로 이동하고 벡터 형태로 m 방정식을 함께 쓸 수 있습니다.

({displaystyle Y\Gamma=X\mathrm {B} + U,})

이 표현은 구조 형태라고 알려져 있습니다.이 방정식에서 Y = [y₁₂ y ... y_m]는 종속 변수의 T×m 행렬입니다.각_−i 행렬 Y는 사실상 이 Y의 n색_i 서브매트릭스이다.종속 변수 간의 관계를 기술하는 m×m 행렬 δ는 복잡한 구조를 가지고 있다.대각선에는 1이 있고, 각 열_−i i의 다른 모든 요소는 행렬 Y에 포함된 Y의 열에 따라 벡터 -θ_i 또는 0의 성분입니다.T×k 행렬 X는 모든 방정식의 모든 외부 회귀체를 포함하지만 반복은 포함하지 않습니다(즉, 행렬 X는 완전 순위여야 합니다).따라서_i 각 X는 X의 k-색소_i 서브매트릭스이다. 매트릭스 β는 크기가 k×m이며, 각 열은 X로부터의 회귀체 중 어떤 것이 포함되거나 X로부터 제외되었는지에_i 따라 벡터_i β와 0의 성분으로 구성된다.마지막으로 U = [u₁₂ u...] u]는_m 오차항의 T×m 행렬입니다.

구조 방정식에 δ를⁻¹ 곱하면 시스템은 다음과 같이 축소된 형태로 작성될 수 있다.

({displaystyle Y=X\mathrm {B}\Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi+V.,})

이것은 이미 단순한 일반 선형 모형이며, 예를 들어 일반 최소 제곱으로 추정할 수 있습니다.그러나 추정행렬 $\scriptstyle {\hat {\Pi }}$ $^$ \ $displaystyle \scriptstyle$ \hat $\hat$ \ $Pi }$ 을 $\scriptstyle {\hat \Pi }$ 개별인자 β 및 δ로⁻¹ 분해하는 작업은 상당히 복잡하므로 축소된 형태가 추론이 아닌 예측에 적합하다.

전제 조건

첫째, 외부 회귀 분석기의 매트릭스 X의 순위는 유한 표본과 T → ∞의 한계치 모두에서 k와 같아야 한다(이 이후의 요구사항은 $\scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X$ 에서는 $\scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X$ T $\scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X$ X \script $style \frac$ {1 $}{}).$ $T}}X'\!X}$ 는 $\scriptstyle {\frac 1T}X'\!X$ 비감소 k×k 행렬로 수렴해야 합니다.매트릭스 δ도 비퇴행으로 간주됩니다.

둘째, 오차항은 순차적으로 독립적이며 동일한 분포를 갖는 것으로 가정한다.즉, 행렬 U의 t 행이^th u로 표시되는_(t) 경우 벡터 {u_(t)}의 시퀀스는 평균이 0이고 일부 공분산 행렬 δ(알 수 없음)가 있는 iid여야 합니다.특히, 이것은 E[U] = 0, E[U]U] = T Ω임을 의미합니다.

마지막으로 식별을 위해 가정이 필요합니다.

신분증

식별 조건에서는 알 수 없는 파라미터에 대해 선형 방정식 시스템이 해결 가능해야 합니다.

보다 구체적으로, 식별을 위한 필수 조건인 순서 조건은 각 $방정식 i k i$ + n $µ$ k에 대해 "제외 외생 변수의 수가 포함된 내생 변수의 수보다 크거나 같다"고 표현될 수 있다.

등급조건은 $δ$ 의_i0 순위가 $n$ 과_i 같으며, $여기$ 서_i0 δ는 제외된 내생변수에 해당하는 열과 포함된 외생변수에 해당하는 행을 지우고 $δ$ 에서 얻은 ( $k i$ - k $)\times n i$ 행렬이다.

식별을 위한 교차 제한 사용

연립 방정식 모델에서 식별을 달성하는 가장 일반적인 방법은 등가 내 파라미터 ^[6]제한을 부과하는 것입니다.그러나 교차 방정식 제한을 사용하여 식별도 가능하다.

식별에 교차 방정식 제한을 사용하는 방법을 설명하기 위해 Wooldridge의^[6] 다음 예를 고려하십시오.

{displaystyle {aligned}y_{1}+\display_{12}z_{1}+\display_{13}z_{3}+u_{1}}\\y_{2}&=\param _{21}+\param _{21)z_{1}+\param _{22}z_{2}+u_{2}}\end {aligned}

여기서 z는 u와 관련이 없고 y는 내생 변수입니다.추가 제한 없이 첫 번째 방정식은 제외된 외부 발생 변수가 없기 때문에 식별되지 않는다.두 번째 방정식은 $δ0$ 일₁₃ 경우 확인되며, 이는 나머지 논의에서 참이라고 가정된다.

이제 $=$ 의₁₂₂₂ 교차방정식 제한을 가합니다.두 번째 방정식이 확인되었으므로 of를 식별 $목적$ 으로₁₂ 알려진 것으로 취급할 수 있다.그 후 첫 번째 방정식은 다음과 같습니다.

\displaystyle y_{1}-\display _{12}z_{2}=\display _{12}y_{2}+\display _{11}z_{1}+\display _{13}z_{3}+u_{1}}

그리고 오른쪽에는 1개의 내생변수( $y 2$ )와 1개의 제외 $외생변수 3$ ( $z 2$ $)$ 가₂ 있으므로 위의 방정식의 계수를 추정하기 위한 도구로 $사용$ 할₁수 있습니다.따라서 동격 내 제한 대신 교차 방정식 제한으로 식별을 달성할 수 있다.

견적

2단계 최소 제곱(2SLS)

연립 방정식 모델에 대한 가장 단순하고 일반적인 추정 방법은 테일(1953) harvtht 오류에 의해 독립적으로 개발된 이른바 2단계 ^[7]최소 제곱법이다: ) 및 바스만(1957)^[8]^[9]이것은 방정식별 기법이며, 각 방정식의 오른쪽에 있는 내생 회귀기는 다른 모든 방정식의 회귀기 X로 계측됩니다.이 방법은 다음 ^[7]두 단계로 추정을 수행하므로 "2단계"라고 합니다.

스텝 1: Y를 X로 회귀시켜_−i

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

Y

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

-

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

i \

scriptstyle

\{hat

{Y}}_{\!-i

를 구한다.

스텝 2: Y

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

-

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

i \

displaystyle \script style

\

script

style {

Y

}

_

{ \ ! -

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

} 、 X_i

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

least_i on_i on on on on on on on on on on on on, squares_i the on on on on on on on on on on reg reg reg reg reg reg reg reg reg reg reg reg reg reg reg reg

모형의^th i 방정식이 다음과 같이 쓰여 있는 경우

y_{i}=pmatrixY_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}\gamma_{i}\beta_{i}\end{pmatrix}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta_{i

여기서_i Z는 i 방정식에서^th 내인성 및 외인성 회귀기의 T×(n_i + k_i) 행렬이고, θ는_i 회귀 계수의 (n_i + k_i)차원 벡터이며, θ의_i 2SLS 추정기는 다음과^[7] 같이 주어진다.

{\hat {Z}}_{i}{\hat {Z}_{i}{\big}}{-1}{\hat {Z}}_{i}_{i}=big(}Z'_{i}_{i})=big(\hat {\hat {z}_i})^{-1}^{{{1

여기서 P = X(X xX)⁻¹X ′는 외생 회귀기 X에 의해 확장된 선형 공간에 투영 행렬이다.

간접 최소 제곱

간접 최소 제곱은 연립 방정식 모델의 계수를 일반 최소 ^[10]^[11]제곱을 사용하여 축소된 형식 모델에서 추정하는 계량경제학 접근법이다.이를 위해 먼저 방정식의 구조계를 축소 형태로 변환한다.계수가 추정되면 모델은 구조 형태로 돌아갑니다.

제한된 정보 최대우도(LIML)

"^[12]제한된 정보" 최대우도 방법은 1947년에 M. A. Girshick이 제안되었고 1949년에 ^[13]T. W. Anderson과 H. Rubin에 의해 공식화되었다.한 번에 하나의 구조 방정식을 추정하는 데 관심이 있을 때(따라서 제한된 정보의 이름), 예를 들어 관측 i:

y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i}

나머지 내생 변수_−i Y에 대한 구조 방정식은 지정되지 않았으며 축소된 형식으로 제공됩니다.

Y_{-i}=X\Pi +U_{-i}

이 컨텍스트의 표기법은 단순한 IV의 경우와 다릅니다.다음 중 하나가 있습니다.

$Y_{-i}$ - i \ $displaystyle$ Y $_$ { - i $}$ ] : $Y_{-i}$ 변수.
$X_{-i}$ - $X_{-i}$ i ( \ $display style$ X _ { - $i$ } ) :외생 변수
$(\displaystyle$ X $X$ 기기(종종 Z $(\displaystyle$ Z $Z$ 로 $Z$ 됨)

LIML의 명시적 공식은 다음과 같습니다.^[14]

{\hat }_{i}= big （ }Z'_{i}(I-\lambda M)Z_{i}(I-\lambda M)y_{i

여기서 M = I - X(X xX)⁻¹X ′, is는 행렬의 최소 특성 루트이다.

\ displaystyle \ big ( \ begin { bmatrix } y _ { i } \Y_{-i}\end {bmatrix}M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}{\Big}}{\Bigin{bmatrix}y_{i}\\\Y_{-i}\end {bmatrix}M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}{\Big}}^{\!-1}

여기서, 유사한 방법으로 M = I - X_i (X_i_i'X_i)⁻¹X이다_i.

즉, θ는 일반화 고유값 문제의 최소 해법입니다. Theil(1971, 페이지 503)을 참조하십시오.

{\displaystyle\Big}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end {bmatrix}}'M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end {bmatrix}-\lambda {begin {bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end {bmatrix}}'M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big }=0}

K 클래스 추정기

LIML은 K-클래스 ^[15]추정기의 특수한 경우입니다.

(\displaystyle {\hat } = (\kappa M)Z{\Big}^{!-1}Z'(I-\kappa M)y,}

포함:

$(\displaystyle\displaystyle=display{bmatrix}\display_{i}&\display_{i}\end{bmatrix})$
$Z=begin{bmatrix}X_{i}&Y_{-i}\end {bmatrix}$

이 클래스에는 다음과 같은 몇 가지 추정 변수가 속합니다.

==0: OLS
= = 1 : 2SLS. $I-\kappa M=I-M=P$ 경우 I $I-\kappa M=I-M=P$ - $I-\kappa M=I-M=P$ M $I-\kappa M=I-M=P$ - $I-\kappa M=I-M=P$ $I-\kappa M=I-M=P$ { $displaystyle I-\kappa$ M $=I-M=P}$ 는 2SLS의 $I-\kappa M=I-M=P$ 일반적인 투영 매트릭스입니다.
= 파일 : LIML
θ=color - α (n-K):Fuller(1977년) 추정기.^[16]여기서 K는 계측기 수, n 샘플 크기, α는 지정할 양의 상수입니다.α=1의 값은 ^[15]대략적으로 치우치지 않은 추정치를 산출합니다.

3단계 최소 제곱(3SLS)

3단계 최소 제곱 추정기는 젤너 & 테일(1962)^[17]^[18]에 의해 도입되었다.이는 계측 변수 세트가 ^[19]모든 방정식에 공통인 다중 방정식 GMM의 특수한 경우로 볼 수 있습니다.모든 회귀 분석기가 실제로 미리 결정된 경우 3SLS는 관련이 없어 보이는 회귀 분석(SUR)으로 감소합니다.따라서 SUR와 2단 최소 제곱(2SLS)의 조합으로도 볼 수 있다.

사회과학에서의 응용

여러 분야와 분야에 걸쳐 동시 방정식 모델이 다양한 관측 현상에 적용됩니다.이러한 방정식은 현상이 상호 인과 관계라고 가정할 때 적용된다.전형적인 예가 경제학의 수요와 공급이다.다른 분야에서는 후보 평가, 정당 식별^[20] 또는 정치학에서의 ^[21]^[22]여론과 사회 정책, ^[23]지리학에서의 도로 투자와 여행 수요, 사회학이나 ^[24]인구학에서의 교육 성취와 부모로서의 입문 등의 예가 있다.연립 방정식 모델은 X에 대한 Y의 인과적 효과를 일정하게 유지하는 동안 Y에 대한 X의 인과적 효과에 관심이 있는 방정식의 일방적인 '블록'과 반대로 동시 피드백으로 추정해야 하는 경우, 또는 R이 X에 대한 인과적 영향을 포함하는 특수 특징을 포함하는 상호 인과관계 이론을 필요로 한다.esearcher는 각 인과 효과가 발생하는 데 걸리는 정확한 시간, 즉 인과적 지연의 길이를 알고 있다.지연된 효과 대신, 동시 피드백은 X와 Y가 서로에게 미치는 동시적이고 영구적인 영향을 추정하는 것을 의미합니다.이것은 인과관계가 시간에 동시에 발생하거나 너무 복잡해서 동시에 행동하는 것처럼 보인다는 이론을 필요로 한다; 일반적인 ^[25]예는 룸메이트의 기분이다.동시 피드백 모델을 추정하기 위해서는 균형 이론이 필요하다. 즉, X와 Y가 비교적 안정된 상태에 있거나 비교적 안정된 ^[26]상태에 있는 시스템(사회, 시장, 교실)의 일부라는 것이다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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추가 정보

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외부 링크

Mark Thoma의 YouTube에서의 2SLS에서의 식별문제와 예측에 관한 강의

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