두브의 마팅게일 수렴 정리

수학에서 – 특히 확률 과정 이론에서 – 두브의 마르팅게일 수렴 정리는 미국 수학자 조셉 L. 두브의 이름을 딴 슈퍼마팅게일의 극한에 대한 결과 모음입니다.^[1] 비공식적으로 마팅게일 수렴 정리는 일반적으로 특정 유계 조건을 만족하는 모든 슈퍼 마팅게일이 수렴해야 하는 결과를 나타냅니다. 슈퍼마팅게일을 증가하지 않는 시퀀스의 랜덤 변수 유사체로 생각할 수 있습니다. 이러한 관점에서 마팅게일 수렴 정리는 제한된 모노톤 시퀀스가 수렴한다는 모노톤 수렴 정리의 랜덤 변수 유사체입니다. 하위 마팅게일에 대한 대칭 결과가 있으며, 이는 감소하지 않는 시퀀스와 유사합니다.

이산 시간 마팅게일에 대한 문

이산 시간 마팅게일에 대한 마팅게일 수렴 정리의 일반적인 공식은 다음과 같습니다. $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ X ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$… ${\displaystyle X_{1}, X_{2}, X_{3},\dots}$를 슈퍼마팅게일이라고 가정합니다. 슈퍼마팅게일이 다음과 같은 의미에서 경계를 이룬다고 가정하자.

${\displaystyle \sup_{t\in \mathbf {N}}\operatorname {E} [X_{t}^{-}]<\infty}$

여기서 ${\displaystyle {Xt}_{}^{}}$- ${\displaystyle X_{t}^{-}$는 ${\displaystyle {Xt}_{}}$${}_{}^{}$${\displaystyle X_{t}$의 음의 $부분$으로$,$ ${Xt}_{}^{}$ - = - $min$ (${}_{}$ $t_{}$0) {\textstyle X_{t}^{-}=-\min(X_{t}, 0)}으로 정의됩니다. 그런 다음 시퀀스는 유한 기대를 갖는$$ 랜덤 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$로 거의 확실하게 수렴합니다.

양의 부분에 대한 기대를 갖는 부분 마팅게일에 대한 대칭 문이 있습니다. 슈퍼마팅게일은 증가하지 않는 시퀀스의 확률적 유사체이며, 정리의 조건은 시퀀스가 아래로부터 경계지어지는 모노톤 수렴 정리의 조건과 유사합니다. 마팅게일이 경계를 이룬다는 조건은 필수적입니다. 예를 들어, 편향되지 않은${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \pm$ 1$}$ 랜덤$$ 워크는 마팅게일이지만 수렴되지 않습니다.

직관적으로, 수열이 수렴하지 못할 수 있는 두 가지 이유가 있습니다. 무한대로 갈 수도 있고 진동할 수도 있습니다. 경계 조건은 전자가 발생하지 않도록 합니다. 후자는 "도박" 논쟁으로 불가능합니다. 구체적으로, 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$\}$에서 주식의 $가격$이 ${\displaystyle {Xt}_{}}$ ${\$인 주식 시장 게임을 생각해 보십시오$.$ 시간이 지남에 따라 주식을 사고팔 수 있는 전략은 없으며 항상 마이너스가 아닌 양의 주식을 보유하고 있어 이 게임에서 긍정적인 기대 이익을 얻을 수 있습니다. 그 이유는 각 시점에서 과거의 모든 정보가 주어졌을 때 예상되는 주가의 변화는 최대 0이기 때문입니다(슈퍼마팅게일의 정의에 따라). 그러나 가격이 수렴하지 않고 진동한다면, 예상 이익이 긍정적인 전략이 있을 것입니다. 느슨하게, 낮게 구매하고, 높게 판매하는 것입니다. 이 주장은 결과를 증명하기 위해 엄격하게 이루어질 수 있습니다.

증명스케치

증명은 슈퍼마팅게일이 균일하게 경계를 이루고 있다는 (더 강한) 가정으로 단순화됩니다. 즉, ${\displaystyle X_{}}$ n$≤$ ${\displaystyle M}$ {\$displaystyle X_{n} \leq M}$이 항상$$ 유지되도록$$ $일정$한 M ${\displaystyle M}$이 있습니다. ${\displaystyle {시퀀스\mathrm{}}_{}}$ $X{\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$… ${\displaystyle X_{1}, X_{2},\dots}$가 수렴되지$$ 않는 경우, ${\displaystyle {Liminf}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\$과 ${\displaystyle Limsup}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 다릅니다$$. 시퀀스가 경계를 이루는 경우, 실수 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $a$$}$ 및 $b$ ${\displaystyle$ b$}$가$$ 있어 < ${\displaystyle$ a< b$}$이고 시퀀스가 간격${\displaystyle }$[${\displaystyle a,}$ b${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,$ b$]]$을 무한히 자주 가로지릅니다. 즉, 시퀀스는 결국 ${\displaystyle a}$보다 작으며$,$ 이후 $시간$에는$$b {\$displaystyle$b}를 초과하고$,$ 이후 시간에는 ${\displaystyle a}$보다 작으며$,$ 무한대입니다. $시퀀스$가 ${\displaystyle a}$ 아래에서 시작되고$$ 나중에 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ b$}$를 초과하는 기간을 "위 교차"라고 합니다$$.

시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$\}$에서 가격 ${\displaystyle {Xt}_{}}$ ${\$에 해당 주식의 주식을 매매할 수 있는 주식 시장 게임을 생각해 보십시오$.$ 한편으로, 슈퍼마팅게일의 정의를 통해 \$mathbf$ {N$}의$의 $N$∈ N ${\displaystyle$ N\에 대해 N ${\display$ N} 단계에$$대해 이 $게임$을 플레이한 후 음이 아닌 양의 재고를 유지하고 양의 기대 이익을 갖는 전략이 없음을 알 수 있습니다. 반면에 가격이 일정 간격$[{\displaystyle a,}$ b${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,$ b$]}$을 자주$$ 넘는다면, 가격이 ${\displaystyle$ a$}$ $아래$로 떨어질 때 주식을 사고$,$ 가격이 $b{\displaystyle }${\$displaystyle b}$를 초과할 때 팔아야 합니다$.$ 실제로, if ${\displaystyle u_{N}}$ is the number of upcrossings in the sequence by time ${\displaystyle N}$, then the profit at time ${\displaystyle N}$ is at least ${\displaystyle (b-a)u_{N}-2M}$: each upcrossing provides at least ${\displaystyle b-a}$ profit, 그리고 마지막 조치가 "매수"였다면 최악의 경우 구매 가격은 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a\leq$ M$}$이고 현재 ${\displaystyle \mathrm{가격}}$은${\displaystyle }$- M ${\displaystyle$ - $M}$입니다$.$ 그러나 어떤 전략이든 최대 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 0$}$의 이익을 예상하므로 반드시 필요합니다$.$

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}u_{N}{\big]}\leq {\frac {2M}{b-a}}$

기대에 대한 단조 수렴 정리에 의해, 이것은 다음을 의미합니다.

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}\lim_{N\to \infty}u_{N}{\big]}\leq {\frac {2M}{b-a}}$

따라서 전체 시퀀스에서 예상되는 교차 수는 유한합니다. 따라서 간격${\displaystyle }$[${\displaystyle a,}$ b${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,$ b$]$에 대한 무한 교차 이벤트가 $확률{\displaystyle \mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle$ 0$}$에서 발생합니다$.$ 확률 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 1$}$인 $모든{\displaystyle }$ 유리 $\displaystyle a}$ 및 b$$ ${\displaystyle$ b$}$ 위에 결합된 결합에 의해 무한히 자주 교차되는 간격은 존재하지 않습니다$.$ $모든$ $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ∈ Q ${\displaystyle$a,$b\$in $\mathbf$ {Q}에 대하여${\displaystyle \mathrm{구간}}$[a$,b] {\displaystyle$[a,b]}의 상향 교차가 무한히 많으므로, 수열의 최하와 최하의 극한이 일치해야 하므로 수열이 수렴해야 합니다. 이는 마팅게일이 확률 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$과(와) 수렴함을 보여줍니다$.$

평균 수렴 실패

위에 주어진 마팅게일 수렴 정리 조건에서, 슈퍼마팅게일 (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $n$∈ N {\$displaystyle (X_{n})_${n\$in \mathbf {$N}}가 평균(즉, 평균)으로 수렴한다는 것이 반드시 사실일 필요는 없습니다. 해당 ${\displaystyle \underset{}{한계}}$ → ∞ ${\displaystyle E}$ ⁡ [X n -$$ ] = 0${\displaystyle$ \lim_{n\to \infty}\operatorname {E} [X_{n}-X ]=0}).

As an example,^[2] let ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ be a ${\displaystyle \pm 1}$ random walk with ${\displaystyle X_{0}=1}$. Let ${\displaystyle N}$ be the first time when ${\displaystyle X_{n}=0}$, ${\displaystyle {그리고}_{}}$$$(${\displaystyle {Yn}_{}}$ $n$∈ N ${\displaystyle (Y_{n})$_{n$\in \mathbf {$N}}}을 Y:= $N,$ n) {\displaystyle Y_{n}:= X_{\min(N, n)}로 ${\displaystyle {정의}_{}}$된 확률적 과정이라고 합니다. 그러면 $N$ ${\displaystyle$ N$}$은$$마팅게일$$($X$n${\displaystyle {}_{}}$ $n$∈ N ${\displaystyle$ ($X_{n$})_$n\$in \mathbf$${N}}}에 대한${\displaystyle {}_{}{정지시간}_{}}$이므로$,$ (Y n)$n$∈$$N${\displaystyle$ (Y_${n})$_{n\in \mathbf {N}}도 마팅게일이며, 이를 정지 마팅게일이라고 합니다. 특히$,$ (${\displaystyle {Yn}_{}}$ $n$∈ N {\$displaystyle (Y_{n})_${n\$in \mathbf {$N}}}은 아래에 경계가 있는 슈퍼마팅게일이므로 마팅게일 수렴 정리에 의해 거의 확실하게 랜덤$변수$ Y ${\displaystyle$Y}로 점별 수렴됩니다. 그러나 > {\$displaystyle Y_{n}> 0}$인 $경우$ ${\displaystyle {Yn}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$=$$± 1 {\displaystyle Y_{n+1} =$Y_{n}\pm1$이므로 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$는 거의 확실하게 0입니다$$.

${\displaystyle \mathrm{이}}$는 $E$ ⁡ [Y] = 0${\displaystyle$ $\operatorname${E} [Y]=0}임을 의미합니다$.$ 그러나 N개의 ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}마다 E ⁡ [Y] = 1 {\displaystyle \operatorname {E} [Y_{n}] = 1}, $({\displaystyle Y_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$ $n$∈ N ${\displaystyle(Y_{n})_${n\$in \mathbf {$N}}}은 1 ${\displaystyle$ 1}에서$시작$하여 평균 0 이동을 하는 랜덤 워크이므로(또는, $E$ ⁡ [Y${\displaystyle }$n] = E ⁡ [$Y$0] = 1 {\displaystyle \operatorname {E} [Y_{n}] =\operatorname {E} [Y_{0}] = 1} 이므로 (Y n) n ∈ N {\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N}}은 마팅게일)입니다. 따라서$$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $n$∈ N {\$displaystyle (Y_{n})_${n\$in \mathbf${N}}}은 Y ${\displaystyle$ Y}로 평균$수렴$할 수 없습니다. 또한$$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $n$∈ N {\$displaystyle (Y_{n})_${n\$in \mathbb {$N}}}이 임의의 랜덤$변수$ R ${\display$R}로 평균 수렴된다면, 일부 후속 시퀀스는 거의 확실하게 R ${\display$ R}로$수렴$됩니다. 따라서 위의 인수 $R$ = ${\displaystyle 0}$ ${\$displaystyle R = 0}에 의해 거의 확실하게 평균 수렴과 모순됩니다.

일반적인 경우에 대한 진술

${\displaystyle {\mathrm{다음}}_{}}$에서 $($∗ ${\displaystyle }$ω${\displaystyle {}_{}}$ F, F ∗, P) ${\displaystyle$(\$Omega, F,$F_{*},\mathbf {P})}는 필터링된${\displaystyle {}_{}}확률$ 공간이며${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$서 F ≥= (${\displaystyle \mathrm{F}}$ t) $t$ ∞$0 {\displaystyle$F_{*}= (F_${\displaystyle \{}$t${\displaystyle \})}$_{${\displaystyle \mathrm{t}}$\geq 0},$$ : [0, ω) × → { R {\displaystyle N:[0,$\infty)\times \Omega$\ $to \mathbf {R} }$는 $여과$ F $∗$ {\$displaystyle$F_{*}에 대하여 오른쪽 연속 슈퍼마팅게일이 됩니다. 즉 $모든$ s $t$ < + $∞$${\displaystyle 0\leq$sleq t<+\infty}에 ,

${\displaystyle N_{s}\geq \operatorname {E} {\big [}N_{t}\mid F_{s}{\big]}$

두브의 첫 번째 마르팅게일 수렴 정리

두브의 첫 번째 마팅게일 수렴 정리는 랜덤 변수 ${\displaystyle {Nt}_{}}$ ${\displaystyle N_{t}$가 점적 의미에서 t →${\displaystyle }$+ ∞ ${\displaystyle$ t\$to$+\infty}로 한계를 가질 수 있는 충분한 조건을 제공합니다. 즉$,$ $샘플$ $공간$ω {\displaystyle \Omega}의$$각 ω ${\displaystyle$ \Omega}에 대해 개별적으로 $한계$를 갖습니다.

≥$0$ {\$displaystyle$ t$\$geq 0}에 대해 Nt - = max ( - Nt, 0) {\displaystyle N_{t}^{-}=\max(-N_{t}, 0)}라고 하고 다음을 가정합니다.

${\displaystyle \sup_{t>0}\operatorname {E} {\big [}N_{t}^{-}{\big]}<+\infty.}$

그러면 점별 한계.

${\displaystyle N(\omega )=\lim _{t\to +\infty}N_{t}(\omega )}$

P ${\displaystyle \mathbf {P}$ - \Omega }의 거의 모든 ω ∈ ω {\displaystyle \omega \.

두브의 두 번째 마르팅게일 수렴 정리

두브의 첫 번째 마르팅게일 수렴 정리에서 수렴은 균일하지 않고 점적이며 평균 제곱에서의 수렴, 또는 실제로 어떤 L^p 공간에서의 수렴과 관련이 없다는 점에 유의해야 합니다. L에서의¹ 수렴(즉, 평균에서의 수렴)을 얻기 위해서는 확률 변수 ${\displaystyle {Nt}_{}}$ ${\$의 균일한 적분이 필요합니다$.$ 체비셰프의 부등식에 의해 L에서의¹ 수렴은 확률에서의 수렴과 분포에서의 수렴을 의미합니다.

다음은 동등합니다.

• t> ${\$는 균일하게 적분할 수 있습니다.

${\displaystyle \lim_{C\to \infty}\sup_{t>0}\int_{\{\omega \in \,\mid \, N_{t}(\omega) >C\}\left N_{t}(\omega)\right \,\mathrm {d} \mathbf {P}(\omega)=0;}$

• there exists an integrable random variable ${\displaystyle N\in L^{1}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$ such that ${\displaystyle N_{t}\to N}$ as ${\displaystyle t\to \infty }$ both ${\displaystyle \mathbf {P} }$-almost surely and in ${\displaystyle L^1(\mathrm{\Omega },}$${\displaystyle \mathbf{P};}$ ${\displaystyle R\mathbf{})}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega,\mathbf {P};\mathbf {R$ 즉.

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left N_{t}-N\right \right]=\int_{\Omega}\left N_{t}(\omega)-N(\omega)\right \,\mathrm {d} \mathbf {P}(\omega)\to 0{\text{}\to +\infty.}$

두브의 상반된 부등식

두브의 상향등식 부등식 또는 때로는 두브의 상향등식 보조정리라고 불리는 다음 결과가 두브의 마르팅게일 수렴 정리를 증명하는 데 사용됩니다.^[3] "도박" 논법은 균일하게 경계지어진 슈퍼마팅게일의 경우, 상향 교차의 수가 경계지어짐을 보여줍니다. 상향 교차 보조정리는 부정적인 부분에 대한 경계지어진 기대와 함께 이 논법을 슈퍼마팅게일로 일반화합니다.

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ N$}$을 자연수라고 합니다. Let ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ be a supermartingale with respect to a filtration ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$. Let ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ be two real numbers with ${\displaystyle a<b}$. Define the random variables ${\displaystyle (U_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ so that ${\displaystyle U_{n}}$ is the maximum number of disjoint intervals ${\displaystyle [n_{i_{1}},n_{i_{2}}]}$ with ${\displaystyle n_{i_{2}}\leq n}$, < < b< X 2 ${\$ style $X_{n_{i_{1}}}$ < $a$< $b$< $X_{n_{i_{2}}}$가 되도록 합니다 구간${\displaystyle }$[${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b]}$ ${\displaystyle [a,$ b$]}$에 대한 상향 교차라고 합니다$.$ 그러면

${\displaystyle (b-a)\operatorname {E} [U_{n}]\leq \operatorname {E} [(X_{n}-a)^{-}].\quad }$

여기서 $X{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle X^{-}}$는 $X$ ${\displaystyle$ X$}$의 음수 부분이며$,$ $X{}^{}$- =$$- $min$($X,$ $)$ {\textstyle X^{-} = -\min (X, 0)}으로 정의됩니다.

적용들

L의^p 수렴

$M{\displaystyle :}$[${\displaystyle 0,}$∞) × ω → $R {\displaystyle$M:[$0,\infty)\times \Omega$\to \mathbf {R}를 연속 마팅게일이라 하자.

${\displaystyle \sup_{t>0}\operatorname {E} {\big[}{\big}M_{t}{\big}^{p}{\big]}<+\infty}$

일부 > ${\displaystyle p$> 1$}$에 대해 Then there exists a random variable ${\displaystyle M\in L^{p}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$ such that ${\displaystyle M_{t}\to M}$ as ${\displaystyle t\to +\infty }$ both ${\displaystyle \mathbf {P} }$-almost surely and in ${\displaystyle L^p(\mathrm{\Omega },}$${\displaystyle \mathbf{P};}$ ${\displaystyle R\mathbf{}}$) ${\displaystyle L^{p}(\Omega,\mathbf {P};\mathbf {R$

이산 시간 마팅게일에 대한 문장은 본질적으로 동일하며 연속성 가정이 더 이상 필요하지 않다는 분명한 차이가 있습니다.

레비의 0-1 법칙

두브의 마팅게일 수렴 정리는 조건부 기대도 수렴성을 갖는다는 것을 의미합니다.

Let ${\displaystyle (\Omega ,F,\mathbf {P} )}$ be a probability space and let ${\displaystyle X}$ be a random variable in ${\displaystyle L^{1}}$. Let ${\displaystyle F_{*}=(F_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$ be any filtration of ${\displaystyle F}$, $그리고$ F ∞ {\$displaystyle$ F_${\$infty}}를$$($Fk$) k ∈ $N {\displaystyle (F_{$k$\})$_{k\in \mathbf {N}}에 의해${\displaystyle {생성}_{}}$된 최소 σ 대수로 정의합니다. 그러면

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{k}{\big]}\to \operatorname {\big [}X\mid F_{\infty}{\big]}{\text{ as }k\to \infty}$

$P{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ - 거의$$ 확실하며 ${\displaystyle {L1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{1}}$입니다$.$

이 결과를 보통 레비의 0-1 법칙 또는 레비의 상향 정리라고 합니다. 이름이 붙은 이유는 $만약$ A$${\$displaystyle$ A$}$가 F$$∞ ${\displaystyle$ F_${\$infty}}의 사건이라면, ${\displaystyle {}_{}}$에 ${\displaystyle {따르면}_{}}$P [A ∣ $k]$ →$1$ A ${\displaystyle \mathbf$ {$P}$ [A\mid$F_{k}]\$to \mathbf {1} _{A} 거의 확실하게, 즉 확률의 극한은 0 또는 1입니다. 쉬운 언어로, 만약 우리가 사건의 결과를 결정하는 모든 정보를 점진적으로 배우고 있다면, 우리는 결과가 무엇인지 점차 확신하게 될 것입니다. 이것은 거의 동의어처럼 들리지만 결과는 여전히 사소하지 않습니다. 예를 들어, 이것은 콜모고로프의 0-1 법칙을 쉽게 암시하는데, 이것은 임의의 꼬리 사건 A에 대하여 우리가 $P{\displaystyle [{}_{}}$] = ${\displaystyle {}_{}}$A {\$displaystyle$ \$mathbf$${$P$}$ [A] =\$mathbf${1} _{A} 이므로, \{0,1\}에서 P [A] ∈ {0,1} {\displaystyle \mathbf {P} [A]\"입니다.

마찬가지로 우리는 레비의 하향 정리를 가지고 있습니다.

$({\displaystyle }$ω${\displaystyle ,}$ F$,$ P) ${\displaystyle$(\$Omega,$ F$,\mathbf {$P})}를 확률 공간으로$하고$ X ${\displaystyle$ X}를 $L1$ {\$displaystyle$L^{1$}}$의 랜덤 ${\displaystyle {변수}^{}}$라고 합니다. $({\displaystyle F_{}}$ $k$∈ N {\$displaystyle (F_{k})$_{k$\in \mathbf {$N}}}을 F ${\displaystyle$F}의 서브 시그마$대수$의 감소 순서라고 하고, F ∞ ${\displaystyle$F_{\infty}를 교점으로$정의$합니다. 그리고나서

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{k}{\big]}\to \operatorname {\big [}X\mid F_{\infty}{\big]}{\text{ as }k\to \infty}$

$P{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ - 거의$$ 확실하며 ${\displaystyle {L1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{1}}$입니다$.$

참고 항목

• 역마팅게일 수렴 정리^[6]

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참고문헌

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (부록 C 참조)