깁스 치수

수학에서, 조시아 윌러드 깁스의 이름을 딴 깁스 측정은 확률 이론과 통계 역학의 많은 문제에서 자주 볼 수 있는 확률 측정이다. 그것은 무한한 시스템에 대한 표준적인 앙상블의 일반화다. 표준 앙상블은 시스템 X가 상태 x에 있을 확률을 (동등하게, 값을 x로 하는 임의 변수 X의)로서 제공한다.

P(X=x)={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp(-\beta E(x)).

여기서 $E (x)$ 는 상태공간에서 실제 숫자에 이르는 함수인데, 물리학 응용에서 $E (x)$ 는 구성 x의 에너지로 해석된다. 매개변수 $β$ 는 자유 매개변수로서 물리학에서는 역온이다. 정규화 상수 $Z (β)$ 는 파티션 함수다. 그러나 무한계통에서 총 에너지는 더 이상 한정된 숫자가 아니며, 정합적 앙상블의 확률분포의 전통적 구성에는 사용할 수 없다. 통계물리학의 전통적인 접근법은 유한계통의 크기가 무한대(열역학적 한계)에 가까워짐에 따라 집약적인 성질의 한계를 연구하였다. 에너지 함수를 각각 유한 서브시스템의 변수만을 포함하는 용어의 합으로 작성할 수 있는 경우, Gibbs 측정의 개념은 대안적 접근법을 제공한다. 깁스 대책은 도브루신, 란포드, 루엘 등 확률 이론가들이 제안해 유한계통의 한계를 택하는 대신 무한계통을 직접 연구할 수 있는 틀을 제공했다.

측정은 각 유한 서브시스템에 대해 유도하는 조건부 확률이 일관성 조건을 만족하는 경우 Gibbs 측정값이다. 유한 서브시스템 외부의 모든 자유도가 동결된 경우, 이러한 경계조건의 대상 서브시스템에 대한 표준 앙상블은 동결 d를 조건으로 한 Gibbs 측정의 확률과 일치한다.자유의 이기

해머슬리-클리포드 정리는 마르코프 특성을 만족하는 확률 측정은 (로컬로 정의된) 에너지 함수의 적절한 선택을 위한 깁스 측정이라는 것을 암시한다. 그러므로 깁스 측정은 홉필드 네트워크, 마르코프 네트워크, 마르코프 논리 네트워크, 게임 이론과 경제학에서 한정적으로 합리적인 잠재적 게임과 같은 물리 외의 광범위한 문제에 적용된다. 국소(마이너마이트 범위) 상호작용이 있는 시스템의 깁스 측정은 주어진 예상 에너지 밀도에 대한 엔트로피 밀도를 최대화하거나 동등하게 자유 에너지 밀도를 최소화한다.

무한계통의 깁스 측도는 고유한 유한계통의 표준 앙상블과는 대조적으로 반드시 고유하지는 않다. 둘 이상의 Gibbs 측정치가 존재한다는 것은 대칭 파괴와 위상공존과 같은 통계적 현상과 관련이 있다.

통계물리학

시스템에 대한 깁스 조치의 집합은 항상 ^[1]볼록하므로 독특한 깁스 조치(이 경우 시스템이 "에어로디컬"이라고 한다)가 있거나, 무한히 많다(그리고 시스템을 "비에어로디컬"이라고 한다)가 있다. 비전기적 사례에서 깁스 측정은 "순수 상태"라고 알려진 훨씬 적은 수의 특수 깁스 측정치의 볼록 결합 집합으로 표현될 수 있다(양자역학에서 관련되지만 뚜렷한 순수 상태의 개념과 혼동되지 않는다). 물리적 응용에서 해밀턴어(에너지 함수)는 대개 어느 정도 국소성을 가지고 있으며, 순수 상태는 "멀리 분리된 서브시스템"이 독립된 클러스터 분해 특성을 가지고 있다. 실제로, 물리적으로 현실적인 시스템은 이러한 순수한 상태들 중 하나에서 발견된다.

해밀턴이 대칭을 가지고 있다면, 독특한 (즉, 에고딕) 깁스 측정은 대칭하에서는 반드시 불변할 것이다. 그러나 복수의 (즉, 비에르고딕) 기브스 측정의 경우, 해밀턴의 대칭하에서는 일반적으로 순수 상태가 불변하지 않다. 예를 들어 임계 온도 이하의 무한 강자성 이싱 모델에는 두 $\mathbb {Z} _{2}$ 순수 상태, 즉 $\mathbb {Z} _{2}$ 2 ${\$ 대칭에 $\mathbb {Z} _{2}$ 따라 상호 교환되는 "가장 위" 상태와 "가장 아래" 상태가 있다.

마르코프 속성

마르코프 속성의 예는 이싱 모델의 기브스 측도에서 볼 수 있다. 주어진 스핀 $σ$ 이_k 상태일 확률은 원칙적으로 시스템의 다른 모든 스핀의 상태에 따라 달라질 수 있다. 따라서, 우리는 확률을 다음과 같이 쓸 수 있다.

P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)

P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)

k

P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)

=

P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)

P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)

P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)

j

P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)

P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)

P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)

k

P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)

)

{\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\j\neq k

그러나 유한 범위 상호작용(예: 가장 가까운 교호작용)만 있는 Ising 모델에서는 실제로

P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)=P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\in N_{k})

,

여기서 $N$ 은_k 사이트 $k$ 의 이웃이다. 즉, 현장 $k$ 에서의 확률은 유한한 동네의 회전에만 의존한다. 이 마지막 방정식은 지역 마르코프 속성의 형식이다. 이 속성을 가진 측정치를 마르코프 랜덤 필드라고도 한다. 더욱 강하게, 그 반대의 경우도 사실이다: 마르코프 특성을 갖는 모든 양의 확률 분포(모든 곳의 0 밀도)는 적절한 에너지 함수에 대한 Gibbs 측정으로 나타낼 수 있다.^[2] 이것이 해머슬리-클리포드 정리다.

격자 정의

다음은 격자 위의 무작위 필드의 특수한 경우에 대한 공식적 정의다. 그러나 깁스 조치의 생각은 이것보다 훨씬 일반적이다.

격자의 Gibbs 무작위 필드를 정의하려면 다음과 같은 몇 가지 용어가 필요하다.

격자: Countable set $\mathbb {L}$ ${\$ $\mathbb {L}$
단일 스핀 공간: 확률 공간 $(S,{\mathcal {S}},\lambda )$ , S , $(S,{\mathcal {S}},\lambda )$ , $(S,{\mathcal {S}},\lambda )$ ) ${\displaystyle(S$ ,{\ $mathcal {S$ },\ $lambda$ $(S,{\mathcal {S}},\lambda )$
The configuration space: $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ , where $\Omega =S^{\mathbb {L} }$ and ${\mathcal {F}}={\mathcal {S}}^{\mathbb {L} }$ .
구성 $Ω Ω$ 과 하위 집합 subset $\Lambda \subset \mathbb {L}$ L {\ $displaystyle \Lambda \subset \mathb$ {L $}}}$ 이(가) 지정될 경우, $\Lambda \subset \mathbb {L}$ $Ω$ 을 $\omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }$ = $\omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }$ ( $\omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }$ ( $\omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }$ ) $\omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }$ $\omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }$ ∈ $\$ {\ $lambda }=}(오메가바이트)$ 로 제한된다. $_{t\in \Lambda }}$ . If $\Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}=\emptyset$ and $\Lambda _{1}\cup \Lambda _{2}=\mathbb {L}$ , then the configuration $\omega _{\Lambda _{1}}\omega _{\Lambda _{2}}$ is the configuration wh $λ$ 과₁ $λ$ 에₂ 대한 ose 제한은 각각 $\omega _{\Lambda _{1}}$ $\omega _{\Lambda _{1}}$ ${\$ 과 $\omega_{\Lambda_1}$ $\omega _{\Lambda _{2}}$ $\omega _{\Lambda _{2}}$ $\omega _{\Lambda _{2}}$ ${\$ }이다 $\omega _{\Lambda _{2}}$
$\mathbb {L}$ ${\$ $displaystyle {\mathcal {L}$ 의 모든 유한 부분 집합에 대해 ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}$ 된 L ${\$ $displaystyle \mathb {L$
For each subset $\Lambda \subset \mathbb {L}$ , ${\mathcal {F}}_{\Lambda }$ is the $σ$ -algebra generated by the family of functions ${\displaystyle (\sigma (t))$ $_{t\in \Lambda$ $(\sigma (t))_{t\in \Lambda }$ 여기서 $\sigma (t)(\omega )=\omega (t)$ ) $\sigma (t)(\omega )=\omega (t)$ = $\sigma (t)(\omega )=\omega (t)$ ) ${\displaystyle \sigma(t)(\omega)=\omega(t$ ${\mathcal {L}}$ ${\$ displaystyle $\Lambda}$ 에 따라 $\Lambda$ 달라지는 이러한 σ-알게브라의 조합은 ${\mathcal {L}}$ 격자 위의 실린더 세트의 대수다.
잠재력: 가족 $\Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}$ = ( $\Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}$ $\Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}$ ) $\Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}$ $\Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}$ $\Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}$ ${\$ 함수 $φ$ 의_A $A$ : $Ω$ → $R$ .
1. 각 $A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}$ $A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}$ $A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}$ 에 대해, $A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}$ $A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}$ ${\$ 은(는 $)$ ${\mathcal {F}}_{A}$ A {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {F}_{$ A} - 측정 ${\mathcal {F}}_{A}$ 가능한데 $A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}$ , 이는 제한 $\omega _{A}$ ${\$ 에만 의존한다는 것을 의미한다. $\omega _{A}$
2. 모든 $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ ${\$ 및 $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ $Ω Ω$ 에 대해 다음과 같은 시리즈가 존재한다.^{[when defined as?]}

H_{\lambda }^{\Phi }(\omega )=\sum _{A\in {\mathcal {L},A\cap \lambda \neq \emptyset }\Phi _{A}(\omega).

우리는 Ⅱ를 $A$ 유한 집합 A의 모든 점들 사이의 상호작용과 관련된 총 에너지(해밀턴어)에 대한 기여로 해석한다. $H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )$ 다음 $H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )$ ( $H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )$ ( $H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )$ ) ${\displaystyle H_{\lambda }^{\$ $\Lambda$ $}(\omega$ })은 $}$ {\ $displaystyle \Lambda$ }을(를) 충족하는 모든 유한 집합 A에 대한 기여로서 $H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )$ , 총 에너지는 일반적으로 무한하지만, 각 $\$ {\ $displaystyle$ \ $Lambda }$ 에 "지역화"할 $\Lambda$ 때 유한할 수 있기를 바란다 $\Lambda$

경계 $\Lambda\in\mathcal{L}$ 조건이 ${\bar {\omega }}$ 인 ${\bar {\omega }}$ $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ ${\$ ${\mathcal$ $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ { $L}}$ 의 잠재적 $φ$ 에 대한 해밀턴ian은 다음과 같이 정의된다 ${\bar {\omega }}$

H_{\lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})=H_{\람바 }^{\Phi }\왼쪽(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }_{\Lambda ^{c}\오른쪽)

여기서

\Lambda ^{c}=\mathbb {L} \setminus \Lambda

\Lambda ^{c}=\mathbb {L} \setminus \Lambda

=

\Lambda ^{c}=\mathbb {L} \setminus \Lambda

\Lambda ^{c}=\mathbb {L} \setminus \Lambda

\

{\displaystyle \Lambda ^{c}=\mathb {L} \setminus \Lambda

\Lambda ^{c}=\mathbb {L} \setminus \Lambda

경계 조건이 ${\bar {\omega }}$ 인 ${\bar {\omega }}$ $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ ${\$ $displaystyle$ $\lambda \in$ ${\$ $mathcal {L$ $},$ 역 온도 ${\bar {\omega }}$ $β$ > $0$ (잠재 $potential$ $및$ ${\bar {\omega }}$ $λ$ )의 $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ 파티션 함수는 다음과 같이 정의된다.

Z_{\lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})=\int \lambda ^{\lambda }}(\mathrm {d}\mathrm {d}\matema )\exp(-\beta H_{\lambda }^{}\\\\\\\\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }),

어디에

\dmatrm {d} \lambda ^{\lambda }(\mathrm {d}\omega )=\prod _{t\in \lambda(\matrmatrm {d}\omega(t)),}

제품 측정값이다

Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})

λ은 Z

Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})

(

Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})

ω

Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})

{\

displaystyle

Z_{\

lambda

}^{\}\일 경우 λ-admit 허용된다.

Phi }({\bar {\omega }})

은 모든

\Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega

\Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega

\Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega

,

\Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega

{\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L},{\bar {\omega }}\

in

\Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega

β

>

0

에 대해 유한하다

Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})

.

A probability measure

μ

on

(\Omega ,{\mathcal {F}})

is a Gibbs measure for a

λ

-admissible potential

Φ

if it satisfies the Dobrushin–Lanford–Ruelle (DLR) equation

\\dmatrm {d} {\bar {\omega }}Z_{\lambda }^{\\Phi }({\bar {\\omega }})^{-1}\int \lambda ^{\lambda }(\mathrm {d}\mathrm {d}\open(-\beta H_{\lambda }}^{}\\\\)Phi }(\omega \mid {\bar {\\bar {\\omega })1_{A}(\omega _{\lambda }}{\bar {\omega }}}{\lambda ^{c}}}}=\mu(A),}}

for all

A\in {\mathcal {F}}

and

\Lambda \in {\mathcal {L}}

.

An example

To help understand the above definitions, here are the corresponding quantities in the important example of the Ising model with nearest-neighbor interactions (coupling constant $J$ ) and a magnetic field ( $h$ ), on $Z d$ :

The lattice is simply $\mathbb {L} =\mathbf {Z} ^{d}$ .
The single-spin space is $S = {-1, 1}.$
The potential is given by

\Phi _{A}(\omega )={\begin{cases}-J\,\omega (t_{1})\omega (t_{2})&{\text{if }}A=\{t_{1},t_{2}\}{\text{ with }}\ t_{2}-t_{1}\ _{1}=1\\-h\,\omega (t)&{\text{if }}A=\{t\}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

References

^ "Gibbs measures" (PDF).
^ Ross Kindermann and J. Laurie Snell, Markov Random Fields and Their Applications (1980) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-5001-6

v t Stochastic processes
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	첨가공정 베셀 공정 출생-사망 과정 순산 브라운 운동 브릿지 소풍 분수 기하학 므안데르 코시 공정 접촉공정 연속 시간 무작위 보행 콕스 공정 확산공정 경험적 과정 펠러 공정 플레밍-비오트 공정 감마공정 기하학적 공정 호크스 공정 헌트 프로세스 상호작용 입자 시스템 이타 확산 Itô 공정 점프 확산 점프 프로세스 레비 공정 현지 시간 마르코프 가법 맥킨-블라소프 프로세스 올슈타인-울렌벡 공정 포아송 공정 화합물 비균질 슈람-루너 진화 세미마팅게일 시그마마팅게일 안정공정 슈퍼프로세스 전보공정 분산 감마 공정 위너 공정 비너 소시지
둘 다	분기공정 갈베스-뢰케르바흐 모델 가우스 과정 Hidden Markov 모델(HM) 마르코프 과정 마팅게일 차이점. 국부적 서브- 슈퍼- 무작위 역학 시스템 재생공정 갱신공정 가변 길이 메모리를 가진 확률적 체인 화이트 노이즈
필드 및 기타	디리클레 공정 가우스 랜덤 필드 깁스 치수 홉필드 모형 이싱 모형 포츠 모형 부울 네트워크 마르코프 랜덤 필드 퍼콜레이션 피트만-요르 프로세스 점공정 콕스 포아송 랜덤 필드 랜덤 그래프
시계열 모델	자기 회귀 조건부 이성애(ARCH) 모형 자기 회귀 통합 이동 평균(ARIMA) 모형 자기 회귀(AR) 모형 자기 회귀-이동 평균(ARMA) 모형 일반화된 자기 회귀 조건부 이질성(GARCH) 모형 이동 평균(MA) 모형
금융모델	이항 옵션 가격 책정 모델 블랙-더만-장난감 블랙-카라신스키 블랙-숄즈 첸 일정한 분산 탄력성(CEV) 콕스-잉거솔-크로스(CIR) 가르만-콜하겐 히스로-자로우-모턴(HJM) 헤스턴 호-리 헐-화이트 LIBOR 시장 렌들먼-바터 SABR 변동성 바시체크 윌키
보험수리적 모형	불만 크렘레-룬드베르크 리스크 프로세스 스파레-앤더슨
모델 대기 중	벌크 유체 일반화 대기열 네트워크 M/G/1 M/M/1 M/M/c
특성.	카들래그길 연속 연속경로 에르고딕 교환가능 펠러-연속성 가우스마르코프 마르코프 믹싱 조각 결정론 예측 가능한 점진적으로 측정 가능 자기 유사성 고정된 시간역전성
한계 정리	중앙 한계 정리 돈스커의 정리 두브의 마탱게일 융합 이론 에르고딕 정리 피셔-티펫-그네덴코 정리 큰편차원리 대수의 법칙(약한/강한) 반복 로그의 법칙 최대 에고딕 정리 사노프의 정리 제로원 법칙(블루멘탈 , 보렐-칸텔리, 엥겔베르트-슈미트, 휴이트-사비지, 콜모고로프, 레비)
불평등	버크홀더-데이비스-건디 두브 마팅게일 Dob's upcrossing 쿠니타-와타나베
도구들	캐머런-마틴 공식 랜덤 변수의 수렴 돌리언스데이드 지수 두브 분해 정리 Dob-Meyer 분해 정리 두브의 선택적 정지 정리 딘킨 공식 파인만-카크 공식 여과 기르사노프 정리 최소 생성기 Itô 적분 It le의 보조정리 카루넨-로이브 정리 콜모고로프 연속성 정리 콜모고로프 확장 정리 레비-프로호로프 미터법 말리아빈 미적분학 마팅게일 표현 정리 선택적 정지 정리 프로호로프의 정리 이차변동 반영원리 스코로크호드 적분 스코로크호드의 표현 정리 스코로크호드 공간 스넬 봉투 확률 미분 방정식 다나카 정지시간 스트라토노비치 적분 균일 통합성 일반적인 가설 위너 스페이스 고전적인 추상적
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