극단적 가치 이론

극단적 가치 이론은 1755년 리스본 지진과 같은 극단적이고 드문 사건의 위험을 모델링하기 위해 사용된다.

극단값 이론 또는 극단값 분석(EVA)은 확률 분포의 중위수에서 극단적으로 벗어난 것을 다루는 통계량의 한 분야입니다.주어진 랜덤 변수의 주어진 순서 표본에서 이전에 관측된 사건보다 극단적인 사건의 확률을 평가하려고 합니다.극단적 가치 분석은 구조 공학, 금융, 지구 과학, 교통 예측 및 지질 공학 등 많은 분야에서 널리 사용됩니다.예를 들어 EVA는 수문학 분야에서 100년 홍수와 같은 비정상적으로 큰 홍수 사건의 확률을 추정하기 위해 사용될 수 있다.마찬가지로, 방파제 설계의 경우 해안 엔지니어는 50년 파동을 추정하고 그에 따라 구조물을 설계하려고 한다.

데이터 분석

실제 극단값 분석을 위한 두 가지 주요 접근법이 있습니다.

첫 번째 방법은 예비 단계로 블록 최대(minima) 시리즈를 도출하는 데 의존합니다.많은 상황에서 연간 최대값(minima)을 추출하여 "연간 최대값 시리즈"(AMS)를 생성하는 것이 관례적이고 편리합니다.

두 번째 방법은 값이 특정 임계값(특정 임계값 미만)을 초과하는 기간에 도달한 피크 값을 연속 레코드에서 추출하는 것입니다.이 방법은 일반적으로 "Peak Over Threshold"^[1] 방식(POT)이라고 합니다.

AMS 데이터의 경우, 분석은 부분적으로 피셔-티펫-네덴코 정리의 결과에 의존할 수 있으며,^[2]^[3] 따라서 일반화된 극단값 분포가 적합을 위해 선택된다.그러나 실제로는 다양한 절차가 적용되어 광범위한 분포 중에서 선택할 수 있습니다.여기서의 정리는 동일한 분포에서 나온 매우 큰 독립 랜덤 변수 집합의 최소 또는 최대에 대한 제한 분포와 관련이 있다.1년 내 관련 무작위 사건 수가 다소 제한적일 수 있다는 점을 고려할 때, 관측된 AMS 데이터의 분석이 일반 극단값 분포(GEVD)를 ^[4]제외한 분포로 이어지는 것은 놀랄 일이 아니다.

POT 데이터의 경우 분석에는 고려된 기간의 사건 발생 횟수에 대한 분포와 초과 크기에 대한 분포의 두 가지 분포 적합이 포함될 수 있습니다.

첫 번째에 대한 일반적인 가정은 포아송 분포이며, 초과에 일반화된 파레토 분포가 사용됩니다.꼬리 맞춤은 피칸드-발케마-데 하안 ^[5]^[6]정리에 기초할 수 있다.

Novak은^[7] "POT 방법"이라는 용어를 임계값이 랜덤이 아닌 경우에 한정하여 랜덤 임계값의 초과를 다루는 경우와 구분한다.

적용들

극단값 이론의 적용에는 다음과 같은 확률 분포 예측이 포함됩니다.

극심한 홍수이상한 파도의 크기
토네이도^[8] 발생
최대 생태 집단^[9] 크기
약물의 부작용(예: 시멜라가트란)
거액의 보험 손실액
주식 리스크, 일상적인 시장 리스크
진화 중 돌연변이 이벤트
대형^[10] 산불
구조물에^[11] 대한 환경
인간이 100m^[12] 스프린트를 달릴 수 있는 가장 빠른 시간과 다른 운동^[13]^[14] 종목의 성과를 추정한다.
피팅 부식으로 인한 파이프라인 고장
비정상적인 IT 네트워크 트래픽으로 공격자가 중요한 데이터에 접근할 수 없음
도로 안전^[15]^[16] 분석
무선 통신^[17]
전염병^[18]
신경생물학^[19]

역사

극단적 가치 이론의 분야는 레오나드 티펫(1902–1985)에 의해 개척되었다.Tippett은 영국 면화 산업 연구 협회에 고용되어 면사를 더 튼튼하게 만들기 위해 일했다.그의 연구에서, 그는 실의 강도가 가장 약한 섬유의 강도에 의해 조절된다는 것을 깨달았다.R.A.의 도움으로. Fisher, Tippet은 독립 변수를 가정하는 극단값의 분포를 설명하는 세 가지 점근 한계를 얻었습니다.에밀 줄리어스 검벨은 1958년 그의 책인 Statistics of Extremes에서 그의 이름을 딴 검벨 분포를 포함하여 이 이론을 성문화했다.이러한 결과는 변수 간에 약간의 상관 관계를 허용하도록 확장할 수 있지만, 고전 이론은 분산 차수의 강한 상관 관계까지 확장되지 않습니다.특히 관심 있는 보편성 클래스는 로그 상관 필드의 클래스이며, 여기서 상관관계는 거리에 따라 대수적으로 감소한다.

일변량 이론

$X_{1},\dots ,X_{n}$ 1, $X_{1},\dots ,X_{n}$ $X_{1},\dots ,X_{n}$ {\ $displaystyle X_{1},\dots,$ $M_{n}=\max(X_{1},\dots ,X_{n})$ ${n}}$ 을 $X_{1},\dots ,X_{n}$ 누적분포함수가 F인 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수 시퀀스라고 $X_{1},\dots ,X_{n}$ 하고 M $M_{n}=\max(X_{1},\dots ,X_{n})$ $M_{n}=\max(X_{1},\dots ,X_{n})$ max ( $M_{n}=\max(X_{1},\dots ,X_{n})$ , $M_{n}=\max(X_{1},\dots ,X_{n})$ , $M_{n}=\max(X_{1},\dots ,X_{n})$ n ) \ $displaystyle M_{ n$ } = \ $max$ ( $X$ _ { 1 \ $dots$ ) , { { n $}$ , { X } , .

이론적으로 최대값의 정확한 분포를 도출할 수 있습니다.

{ aligned}\Pr(M_{n}\leq z)&=Pr(X_{n}\leq z)\Pr(X_{1}\leq z)\cdots \Pr(X_{n}\leq z)=Z(F)\end { aligned}

관련 지시계 $I_{n}=I(M_{n}>z)$ $I_{n}=I(M_{n}>z)$ $=$ ( $I_{n}=I(M_{n}>z)$ $I_{n}=I(M_{n}>z)$ > $I_{n}=I(M_{n}>z)$ $){$ $displaystyle I_{n$ }= $I(M_{n}>z}$ 는 $I_{n}=I(M_{n}>z)$ $p(z)=1-(F(z))^{n}$ ( $p(z)=1-(F(z))^{n}$ $=$ 1 $p(z)=1-(F(z))^{n}$ - ( $)$ n {{ $displaystyle$ p $($ z) $=$ 1 - $(F($ z)} $n{$ displaystyle p(z)^{n})} n $p(z)=1-(F(z))^{n}$ {n}}}} n 표시방식에 따라 $z$ 가 달라지는 베르누이 프로세스입니다.따라서 n{ $display style$ n $}$ 시행 $n$ $n$ 의 극한 이벤트 수는 이항 분포를 따르며 이벤트가 발생할 때까지 시행 횟수는 동일한 순서 $O(1/p(z))$ (1 $O(1/p(z))$ / $p ( z )$ 의 $기대치$ 와 표준 편차를 갖는 기하 분포를 따릅니다 $O(1/p(z))$

실제로는 분포 $함수$ F(\ $displaystyle$ F $)$ 가 $F$ 없을 수 있지만, 피셔-티펫-제네덴코 정리가 점근적 결과를 제공한다.\ $mathbb {R}$ 에 $a_{n}>0$ $b_{n}\in \mathbb {R}$ $b_{n}\in \mathbb {R}$ a $a_{n}>0$ > $a_{n}>0$ {\ $displaystyle a_{n}$ > $0$ } 및 $b_{n}\in \mathbb {R}$ n $b_{n}\in \mathbb {R}$ R {\ $displaystyle b_{n}\$ 의 $a_{n}>0$ 시퀀스가 존재하는 경우 다음과 같습니다 $.$

\displaystyle \Pr\{(M_{n}-b_{n})/a_{n}\leq z\}\오른쪽 화살표 G(z)}

n $n\rightarrow \infty$ $"\displaystyle$ n $\rightarrow\infty"$ 로 $n\rightarrow \infty$ $n\rightarrow \infty$ 됩니다.

({displaystyle G(z)\propto \exp \left[-(1+\zeta z)^{-1/\zeta }\right])

$\zeta$ 서 ${\(\displaystyle \zeta)$ 는 $\zeta$ 분포의 꼬리 모양에 따라 달라집니다.정규화된 경우 G는 다음 비퇴화 분포 패밀리 중 하나에 속합니다.

때 M의 유통 n. 와이블 법:G(z)){exp ⁡{−(−(z− b는))α}z<>bz1z≥ b∈ R(\left\{-\left(-\left({\frac{z-b}{}}\right)\right)^{\alpha}\right\}&z<, b\\1&, z\geq b\end{경우}}{\text{에}}}\mathbb{R}z\in{\display $스타일$ M_ ${n}$ 에는 $M_{n}$ 유한한 상한을 가진 가벼운 꼬리가 있습니다.타입 3이라고도 합니다.

$G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ 의 법칙: $G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ ( $G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ z ) $G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ $G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ { - exp $G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ （ $G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ - $G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ ( $G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ - $G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ b a ) $G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ } { { $display style$ G ( $z$ - b ) = \ $exp$ \ left \ $exp$ \ left \ $frac$ { $G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ z - b } { z - $b }$ \ right $G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}$ } } } $g$ g g g g 。 $M_{n}$ { $n g$ g g g $g$ 。타입 1이라고도 합니다.

프레셰 법:G(z)){0z≤ bexp ⁡{−(z− b는)− α}z>b{\displaystyle G(z)={\begin{경우}0&, z\leq b\\\exp \left\{-\left({\frac{z-b}{}}\right)^{-\alpha}\right\}&z>, b\end{경우}}} 때 Mn{\displaystyle M_{n}의 분포}다항식을 포함한 무거운 꼬리를(다. 붕괴).타입 2라고도 합니다.

Weibull 및 Fréchet 법률의 $\alpha >0$ α $\alpha >0$ > $\alpha >0$ (\ $displaystyle \alpha$ > 0 ) $\alpha >0$ 。

다변량 이론

둘 이상의 변수에서 극단적 가치 이론은 해결해야 할 추가적인 문제를 야기합니다.발생하는 한 가지 문제는 무엇이 극단적인 ^[20]사건을 구성하는지 명시해야 한다는 것이다.일변량의 경우 이는 간단하지만 다변량의 경우 이를 수행하는 명확한 방법은 없습니다.근본적인 문제는 실수 집합의 순서를 매길 수 있지만 벡터 집합의 순서를 매길 수 있는 자연스러운 방법이 없다는 것입니다.

예를 들어, 일변량의 경우, 일련의 $x_{i}$ $x_{i}$ i $x_{i}$ {\ $displaystyle x_{i}$ 가 $x_{i}$ 주어지면 단순히 관측치의 최대(또는 최소)를 취함으로써 가장 극단적인 사건을 찾는 것이 간단하다.그러나 이변량의 경우 일련의 $(x_{i},y_{i})$ ( $(x_{i},y_{i})$ $)$ { $displaystyle(x_{i,y_{i$ 을(를) 고려할 때 가장 극단적인 사건을 찾는 방법은 명확하지 않습니다.특정 시각에 $(3,4)$ 값( $(3,4)$ $)\$ $(5,2)$ $(3$ (5 $(5,2)$ 2 $)\displaystyle(5,$ 2)을 측정했다고 $(5,2)$ 가정합니다.다음 중 어떤 사건이 더 극단적인 것으로 간주됩니까?이 질문에 대한 보편적인 답은 없다.

다변량 사례의 또 다른 문제는 한계 모형이 일변량 사례만큼 완전히 규정되지 않았다는 것입니다.일변량의 경우 모형(GEV 분포)에는 이론에 의해 예측되지 않는 값이 세 개의 모수가 포함되어 있으므로 분포를 데이터에 적합시켜 얻어야 합니다.다변량의 경우 모형에는 알려지지 않은 매개변수뿐만 아니라 정확한 형태가 이론에 의해 규정되지 않은 함수도 포함됩니다.단, 이 함수는 특정 ^[21]^[22]제약조건을 준수해야 합니다.

응용의 예로서, 이변량 극치가론이 해양 ^[20]^[23]연구에 적용되었다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

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소프트웨어

R의 극단값 통계량 - R의 극단값 통계량을 위한 패키지
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외부 링크

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[22] Coles, Stuart (2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer Series in Statistics. doi:10.1007/978-1-4471-3675-0. ISBN 978-1-84996-874-4. ISSN 0172-7397.

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