스넬 봉투

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스넬 봉투는 확률론이나 수학적 금융에 사용되며, 확률론적 과정을 지배하는 가장 작은 슈퍼마틴 제품이다. 스넬 봉투는 제임스 로리 스넬의 이름을 따서 명명되었다.

정의

Given a filtered probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},\mathbb {P} )}$ and an absolutely continuous probability measure ${\displaystyle \mathbb {Q} \ll \mathbb {P} }$ then an adapted process ${\displaystyle U=(U_t{)}_{t\in [}}$${\displaystyle U=(U_{t})_{t\in [0,T]}}$ is the Snell envelope with respect to ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ of the process ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}$ if

1. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$은(는) $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ -supermartingale임$$
2. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 지배한다$.$ ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle t_{}}$ ${\$${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ - 거의$$ 모든 $시간{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$∈${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ T ${\displaystyle ]}$ ${\displaystytyt\in [0,T]}$
3. $V{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$[ ${\displaystyle {0,}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {]}_{}}$ ${\$ V$=(V_{t})_{t\in [0,T]}}}}}}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$을(를) 지배하는 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$\}\}\}\}\}$인 경우, $V{\displaystyle }$$${\$displaystystystystystystystystystyplaystystystystyt$ 스타일 V$}$이(으(으(으$)$를 $지배$한다$.$^[1]

건설

Given a (discrete) filtered probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n=0}^{N},\mathbb {P} )}$ and an absolutely continuous probability measure ${\displaystyle \mathbb {Q} \ll \mathbb {P} }$ then the Snell envelope ${\displaystyle (U_n{)}_{n=0}^{}}$${\displaystyle {}_{\mathrm{프로세스}}^{}}$$({\displaystyle {Xn}_{}{}_{}^{}}$)의 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle \mathb{Q}}}}$에 대한$$ N ${\$$displaystyle$$$($X_{n}){n=0}^{N}}}$은(는) 재귀적 방법에 의해 부여된다$$.

${\displaystyle U_{N}=X_{N}}$

${\displaystyle U_{n}:=X_{n}\lor \mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[U_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n}]}$ for ${\displaystyle n=N-1,...,0}$

여기서 $▼{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lor$}이$($가) 조인(이 경우 두 랜덤 변수의 최대값과 같음)^[1]

적용

• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Snell $엔벨롭{\displaystyle }$U {\$displaystyle U}$에 대한 미국식 옵션 할인 지급인$$ 경우, ${\displaystyle U_{}}$ t ${\$는 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyt t}$에서 만료일까지$$ $}$을(를) $위험회피$하기 위한 $최소$ 자본 요건이다$$.^[1]

참조