랜덤 그래프

수학에서 랜덤 그래프는 그래프에 대한 확률 분포를 나타내는 일반적인 용어입니다.랜덤 그래프는 단순히 확률 분포 또는 ^[1]^[2]랜덤 그래프를 생성하는 프로세스에 의해 설명될 수 있습니다.랜덤 그래프의 이론은 그래프 이론과 확률 이론의 교차점에 있다.수학적 관점에서 랜덤 그래프는 전형적인 그래프의 속성에 대한 질문에 답하기 위해 사용됩니다.복잡한 네트워크를 모델링할 필요가 있는 모든 영역에서 실용적인 응용 프로그램을 찾을 수 있습니다.따라서 다양한 영역에서 발생하는 다양한 유형의 복잡한 네트워크를 반영하는 많은 랜덤 그래프 모델이 알려져 있습니다.수학적 맥락에서 랜덤 그래프는 거의 전적으로 Erdős-Rényi 랜덤 그래프 모델을 참조한다.다른 상황에서는 임의의 그래프 모델을 랜덤 그래프라고 부릅니다.

모델

랜덤 그래프는 n개의 고립된 정점 세트로 시작하여 이들 사이에 랜덤으로 연속된 에지를 추가함으로써 얻을 수 있다.이 분야의 연구의 목적은 그래프의 특정 특성이 ^[3]발생할 가능성이 있는 단계를 결정하는 것이다.랜덤 그래프 모형이 다르면 그래프에 서로 다른 확률 분포가 생성됩니다.가장 일반적으로 연구되는 것은 G(n,p)로 불리는 Edgar Gilbert가 제안한 것으로, 가능한 모든 에지는 확률 0 < p < 1로 독립적으로 발생한다.m개의 모서리를 가진 특정 $p^{m}(1-p)^{N-m}$ 그래프를 얻을 $p^{m}(1-p)^{N-m}$ 은 N $N={\tbinom {n}{2}}$ ( $N={\tbinom {n}{2}}$ ) $N={\tbinom {n}{2}}$ { $display$ N $p^{m}(1-p)^{N-m}$ $=$ ( n ) { $N={\tbinom {n}{2}}$ } {display $tbinom {n}$ {2 $}}$ $N={\tbinom {n}{2}}$ ^[4] $style$ p $^{p}}$ 입니다 $p^{m}(1-p)^{N-m}$ $p^{m}(1-p)^{N-m}$

밀접하게 관련된 모델인 G(n,M)로 표기된 Erdss-Rényi 모델은 정확히 M개의 가장자리를 가진 모든 그래프에 동일한 확률을 할당한다.0 m M n N의 경우 G(n, M)에는 ${\tbinom {N}{M}}$ ( ${\tbinom {N}{M}}$ M $)$ 의 ${\tbinom {N}{M}}$ 요소가 있으며 모든 요소는 $1/{\tbinom {N}{M}}$ 1 $1/{\tbinom {N}{M}}$ / ( $1/{\tbinom {N}{M}}$ M $1/{\tbinom {N}{M}}$ )의 1 / ( \ $displaystyle$ 1 $/{\tbinom {N}{M$ ^[3]의 값으로 발생합니다.후자의 모델은 랜덤 그래프 ${\tilde {G}}_{n}$ G ~ $($ 의 특정 시간(M)의 스냅샷으로 볼 수 있습니다. 랜덤 그래프 프로세스는 n개의 정점으로 시작되며 에지는 없으며 각 단계에서 누락된 에지 집합에서 균일하게 선택된 하나의 새로운 에지를 추가합니다.

대신 무한의 정점 집합에서 시작하여 가능한 모든 에지가 확률 0 < p < 1로 독립적으로 발생하도록 하면 무한 랜덤 그래프라고 하는 객체 G가 생성됩니다.p가 0 또는 1인 사소한 경우를 제외하고, 이러한 G는 거의 확실히 다음 특성을 가집니다.

n + m $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{m}\in V$ $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{m}\in V$ 1, $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{m}\in V$ n $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{m}\in V$ $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{m}\in V$ , $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{m}\in V$ $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{m}\in V$ $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{m}\in V$ {\ $displaystyle$ $a_{$ $1}, a_{n}, b_{1},$ \ $ldots, b_{m}\in$ V $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{m}\in V$ 가 지정되면 V에는 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ …, $a_{1},\ldots ,a_{n}$ …, …, …, …, …, …, …, { $}의 각각에$ 인접한 정점 C가 $있습니다$ . $,b_{m$

정점 집합이 계산 가능한 경우, 동형사상까지는 이 특성을 가진 단일 그래프, 즉 Rado 그래프만 있는 것으로 나타났습니다.따라서 계산상 무한 랜덤 그래프는 거의 확실히 Rado 그래프이며, 이러한 이유로 단순히 랜덤 그래프라고 불리기도 합니다.그러나 위의 특성을 충족하는 (비동형) 그래프가 많은 셀 수 없는 그래프에는 유사한 결과가 적용되지 않습니다.

Gilbert의 랜덤 그래프 모형을 일반화하는 또 다른 모형은 랜덤 도트 제품 모형입니다.랜덤 도트 곱 그래프는 각 정점과 실제 벡터를 관련짓습니다.어떤 정점 u와 v 사이의 가장자리 uv의 확률은 각각의 벡터의 도트 곱 u • v의 일부 함수이다.

네트워크 확률 매트릭스는 지정된 기간 동안 특정 $e_{i,j}$ $e_{i,j}$ $\$ $displaystyle e_{i,j}$ 가 $p_{i,j}$ $e_{i,j}$ $p_{i,j}$ 할 $p_{i,j}$ 을 $p_{i,j}$ 에지 확률을 통해 랜덤 그래프를 모델링합니다.이 모델은 방향 및 무방향, 가중 및 무가중, 정적 또는 동적 그래프 구조로 확장 가능하다.

여기서 N은 가능한 최대 에지 수인 M µ pN의 경우, 가장 널리 사용되는 두 모델인 G(n,M)와 G(n,p)는 거의 ^[5]교환 가능합니다.

랜덤 규칙 그래프는 일반적인 랜덤 그래프와 다를 수 있는 특성을 가진 특수한 경우를 형성합니다.

랜덤 그래프 모형이 만들어지면 그래프의 모든 함수는 랜덤 변수가 됩니다.이 모형의 연구는 속성이 ^[4]발생할 가능성을 판단하거나 최소한 추정하는 것입니다.

용어.

랜덤 그래프의 맥락에서 '거의 모든'이라는 용어는 오류 확률이 ^[4]0이 되는 경향이 있는 일련의 공간과 확률을 의미한다.

특성.

랜덤 그래프 이론은 특정 분포에서 도출된 그래프에 대해 높은 확률로 유지되는 랜덤 그래프의 일반적인 특성을 연구합니다.예를 들어 n $(displaystyle$ n $)$ 과 $n$ $($ $displaystyle$ p $)$ 의 $p$ $n$ 을 지정하면 G $(n,$ 가 연결될 $G(n,p)$ $G(n,p)$ 이 얼마나 됩니까?이러한 질문을 연구할 때 연구자들은 종종 랜덤 그래프의 점근적 행동(n $\displaystyle$ n $}$ 이 $n$ 매우 커짐에 따라 $n$ 한 확률이 수렴되는 값)에 초점을 맞춘다.침투 이론은 랜덤 그래프, 특히 무한히 큰 그래프의 연결성을 특징짓습니다.

침투는 그래프(네트워크라고도 함)의 견고성과 관련이 있습니다.n개의노드(\ $displaystyle$ n $)$ 와 $n$ 평균도 $displaystyle \langle$ k $\rangle$ )를 랜덤으로 지정하면 노드 1 $1-p$ - $1-p$ (\ $displaystyle 1-p)$ 는 $1-p$ 랜덤하게 삭제하고 p(\ $displaystyle$ p $p$ 만 남깁니다.There exists a critical percolation threshold $p_{c}={\tfrac {1}{\langle k\rangle }}$ below which the network becomes fragmented while above $p_{c}$ a giant connected component exists.^[1]^[5]^[6]^[7]^[8]

현지화된 침투란 노드의 네이버, 다음으로 가까운 네이버 등을 삭제하는 것을 말합니다.1 $1-p$ - $1-p$ (\ $displaystyle$ 1-p $)$ 의 $1-p$ 노드가 네트워크에서 제거될 때까지 계속됩니다. $p_{c}={\tfrac {1}{\langle k\rangle }}$ $p_{c}={\tfrac {1}{\langle k\rangle }}$ 가 p $p_{c}={\tfrac {1}{\langle k\rangle }}$ $=$ 1 $p_{c}={\tfrac {1}{\langle k\rangle }}$ k $p_{c}={\tfrac {1}{\langle k\rangle }}$ { $displaystyle p_{c$ }= t $tfrac {1}{\displayle$ k $\rangle }}$ 인 $p_{c}={\tfrac {1}{\langle k\rangle }}$ 랜덤 그래프의 경우 랜덤 제거와 동일하게 나타났다.

랜덤 그래프는 확률론적 방법에서 널리 사용되며, 이 방법에서는 특정 특성을 가진 그래프의 존재를 증명하려고 한다.랜덤 그래프에 속성이 존재한다는 것은 종종 Szemerédi 규칙성 보조항목을 통해 거의 모든 그래프에 해당 속성이 존재한다는 것을 암시할 수 있다.

임의의 규칙적인 그래프에서는 r의, G(, r− re감속){G(n,r-reg)\displaystyle}는 세트{r\displaystyle}r)r(n)과-regular 그래프{\displaystyle r=r(n)}가 n{n\displaystyle}과 m{m\displaystyle}는 자연적인 숫자, 3≤ r<>n{\displaystyle 3\leq r<, n}, rn=2m.{\d $isplaystyle rn=2m}$ 은 $rn=2m$ (^[3]는) 짝수입니다.

$(\$ G $^{n})$ 의 $G^{n}$ $그래프$ G(\ $displaystyle$ G $)$ 의 $G$ 정도 시퀀스는 세트의^[3] 가장자리 수에만 의존합니다.

\displaystyle V_{n}^{(2)=\leq j\leq n,i\neq j\right\}\display V^{(2)},\qquad i=1,\cdots,n}

랜덤 그래프에서 $모서리$ M $({displaystyle$ M}), $({$ $M})$ 이 $M$ $G_{M}$ 거의 $G_{M}$ $({$ G_{M})이 $G_{M}$ 최소 1 이상일 경우 거의 $G_{M}$ $({$ style $G_{M})$ 이 $G_{M}$ 연결되고 n $({display$ n})이 $n$ 거의 $G_{M}$ GM $G_{M}$ 이 최소 1 이상일 경우,\ $displaystyle G_{M}}$ 은 $G_{M}$ (는) 완벽하게 매치되어 있습니다 $.$ 특히, 마지막 고립된 정점이 거의 모든 랜덤 그래프에서 사라지는 순간 그래프는 연결된다.^[3]

가장자리가 최소 도수를 1로 올리는 짝수 정점의 거의 모든 그래프 처리 또는 $(\displaystyle {tfrac {n}$ { $4}}\log(n)}$ 개의 ${\tfrac {n}{4}}\log(n)$ 가장자리가 약간 ${\tfrac {n}{4}}\log(n)$ 랜덤 그래프에서 1개의 정점을 제외하고 그래프에 완전한 일치가 보장됩니다.

$c$ 한c {\ $displaystyle$ c $c$ 의 $n$ 경우 $n개의$ 정점과 $cn\log(n)$ log $cn\log(n)$ θ ( $cn\log(n)$ $){displaystyle$ cn $\log(n)}$ 의 $cn\log(n)$ 가장자리가 $있는$ 레이블이 지정된 거의 모든 그래프는 해밀턴입니다.확률이 1인 경우, 최소 도수를 2로 증가시키는 특정 모서리가 그래프를 해밀턴으로 만듭니다.

그래프 변환에서 랜덤 그래프의 속성은 변경되거나 변경되지 않을 수 있습니다.예를 들어, Mashaghi A. 등은 랜덤 그래프를 에지-이중 그래프(또는 선 그래프)로 변환하는 변환이 거의 동일한 정도 분포의 그래프 앙상블을 생성하지만 정도 상관과 상당히 높은 클러스터링 ^[9]계수를 갖는 그래프를 생성한다는 것을 입증했다.

색칠

색수에 대한 탐욕 알고리즘에 의해 정점 V(G) = {1, ..., n}의 순서 n의 랜덤 그래프 G가 주어졌을 때, 정점은 색 1, 2, ...로 색칠할 수 있다(정점 1에 인접하지 않으면 정점 2가 색칠되고, 그렇지 않으면 색칠된다).^[3]색다항식이라고 불리는 q개의 색상이 주어진 랜덤 그래프의 적절한 색채의 수는 지금까지 알려지지 않았다.매개 변수 n과 에지 수 m 또는 연결 확률 p를 가진 랜덤 그래프의 색다항식의 0 스케일링은 기호 패턴 ^[10]매칭에 기초한 알고리즘을 사용하여 경험적으로 연구되었다.

랜덤 트리

랜덤 트리는 확률적 과정에 의해 형성되는 나무 또는 수목이다.순서 n 및 크기 M(n)의 광범위한 랜덤 그래프에서 순서 k의 나무 성분 수 분포는 점근 포아송입니다.랜덤 트리의 유형에는 균일한 스패닝트리, 랜덤 최소 스패닝트리, 랜덤바이너리 트리, 트레이프, 랜덤트리의 고속 탐색, 브라운 트리, 랜덤 포레스트가 있습니다.

조건부 랜덤 그래프

확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ )(\ $displaystyle(\Omega,$ {\ $mathcal$ ${$ $F}, P)})$ 에 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 정의된 특정 랜덤 그래프 모델을 ${\mathcal {P}}(G):\Omega \rightarrow R^{m}$ 하여 P ${\mathcal {P}}(G):\Omega \rightarrow R^{m}$ : ${\mathcal {P}}(G):\Omega \rightarrow R^{m}$ ${\mathcal {P}}(G):\Omega \rightarrow R^{m}$ ${\mathcal {P}}(G):\Omega \rightarrow R^{m}$ $(\$ $\Omega$ \ $rightarrow$ R $^{m}$ 은 ${\mathcal {P}}(G):\Omega \rightarrow R^{m}$ $\Omega$ \ $displaystyle \Omega의$ 각 그래프에 m 속성의 벡터를 할당하는 실제 값 함수입니다 $.$ $\mathbf {p} \in R^{m}$ p $\mathbf {p} \in R^{m}$ $m$ {\ $displaystyle$ \ $mathbf$ {p} \ $in$ R $^{m$ 의 경우 조건부 랜덤 그래프는 ${\mathcal {P}}(G)\neq \mathbf {p}$ $측도$ P ${\mathcal {P}}(G)\neq \mathbf {p}$ $displaystyle$ P $}$ ${\mathcal {P}}(G)\neq \mathbf {p}$ p {\ $displaystyle {P}}\neq$ \ $mathbf {p$ 과 같은 모든 그래프에 0 확률을 할당하는 모델입니다.

특수한 경우는 조건부로 균일한 랜덤 그래프입니다. $P$ 서P(\ $displaystyle$ P)는 $P$ 지정된 속성을 가진 모든 그래프에 동일한 확률을 할당합니다.조건화 정보가 반드시 모서리 수 M이 아니라 기타 임의의 ${\mathcal {P}}(G)$ 속성 $G)\$ displaystyle\mathcal {P $}($ G ${\mathcal {P}}(G)$ displaystyle $\mathcal {P$ }( $G)}$ 인 경우, 이는 Erd ands-Rényi 모델 G(n,M)의 일반화라고 볼 수 있다. 이 경우 사용 가능한 분석 결과와 시뮬레이션이 거의 필요하지 않다.평균 속성의 분포.

역사

랜덤 그래프 모델을 최초로 사용한 것은 1938년 헬렌 홀 제닝스와 제이콥 모레노에 의해 네트워크 데이터의 왕복 링크 ^[11]비율을 랜덤 모델과 비교하는 데 "찬스 소시오그램"(유향 Erdős-Rényi 모델)이 고려되었다."랜덤 네트"라는 이름 아래, 1951년 Solomonoff와 Rapoport에 의해 다른 ^[12]정점에 고정 외도 및 무작위로 부착된 유향 그래프의 모델을 사용했다.

무작위 그래프의 Erdrs-Rényi 모델은 Paul Erdss와 Alfréd Rényi에 의해 1959년 논문 "랜덤 그래프"^[8]^[6]에서 처음 정의되었고 길버트에 의해 그의 논문 "랜덤 그래프"에서 독립적으로 정의되었다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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이산 시간	베르누이 과정 분기 프로세스 중식당 과정 골턴-왓슨 과정 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수 마르코프 연쇄 모란법 랜덤 워크 루프 소거 자기 회피 편향된 최대 엔트로피
연속 시간	가법법 베셀법 출생-사망 과정 순생 브라운 운동 다리 Excursion(익스커전) 프랙셔널 기하학 굽이굽이 코시 과정 연락 프로세스 연속 시간 랜덤 워크 콕스 과정 확산 과정 경험적 과정 펠러법 플레밍-비오트 과정 감마 과정 기하학적 과정 호크스 과정 헌트 프로세스 상호작용 입자계 이토 확산 이토 과정 점프 확산 점프 프로세스 레비 과정 현지 시간 마르코프 가법 과정 맥킨-블라소프 과정 오른스타인움렌벡법 포아송 과정 컴파운드 비균질 슈람-뢰너 진화 세미마트게일 시그마 마티게일 안정된 프로세스 슈퍼프로세스 전신 처리 분산 감마 과정 위너법 위너 소시지
둘다요.	분기 프로세스 갈베스-뢰체르바흐 모형 가우스 과정 숨겨진 마르코프 모델(HM) 마르코프 과정 마티게일 차이점. 현지의 서브- 슈퍼- 랜덤 다이내믹 시스템 재생 프로세스 갱신 프로세스 가변 길이의 메모리를 가진 확률적 연쇄 화이트 노이즈
필드 및 기타	디리클레 과정 가우스 랜덤 필드 깁스 측도 홉필드 모델 이징 모형 포츠 모형 부울 네트워크 마르코프 랜덤 필드 퍼콜레이션 피트만-요르 과정 포인트 프로세스 콕스 포아송 랜덤 필드 랜덤 그래프
시계열 모델	자기 회귀 조건부 이색 탄성(ARCH) 모형 자기 회귀 통합 이동 평균(ARIMA) 모형 자기 회귀(AR) 모형 자기 회귀 이동 평균(ARMA) 모델 GARCH(Generalized Autrogressive Conditional Hetheroskedasticity) 모델 이동평균(MA) 모델
재무 모델	이항 옵션 가격 설정 모형 블랙-더맨-장난감 블랙-카라신스키 블랙-숄즈 Chan-Karolyi-Longstaff-Sanders(CKLS) 첸 일정 탄성 분산(CEV) 콕스-잉거솔-로스(CIR) 가르만-콜하겐 Heath-Jarrow-Morton (HJM) 헤스톤 호리 헐-흰색 LIBOR 시장 렌들먼-바터 SABR의 변동성 바시체크 윌키
보험 수리 모델	뷸만 크라메르-룬드베르크 리스크 프로세스 스파르앤더슨
큐잉 모델	벌크 유체 범용 큐잉 네트워크 M/G/1 M/M/1 M/M/c
특성.	카들라그 패스 계속되는 연속 경로 에르고딕 교환 가능 펠러 연속 가우스마르코프 마르코프 믹싱 부분적 결정론 예측 가능한 점진적 측정 가능 자기유사 문방구 시간 되돌리기 가능
한계 정리	중심 한계 정리 돈스커의 정리 두브 마티게일 수렴 정리 에르고딕 정리 피셔-티펫-네덴코 정리 대편차원리 대수의 법칙(약함/강함) 반복 로그의 법칙 최대 에르고딕 정리 사노프의 정리 제로-1 법칙(Blumenthal , Borel-Cantelli, Engelbert-Schmidt, Hewitt-Savage, Kolmogorov, Levy )
불평등	버크홀더-데이비스-건디 두브마티게일 두브가 업크로스 하고 있다. 구니타와타나베 마르킨키에비치-지그문트
도구들	카메론-마틴 공식 랜덤 변수의 수렴 돌리안 데이드 지수 두브 분해 정리 두브-마이어 분해 정리 두브의 선택적 정지 정리 다이킨 공식 파인만-케이크 공식 여과 기르사노프 정리 무한소 생성기 이토 적분 이토의 보조군 카르후넨-뢰브 정리 콜모고로프 연속성 정리 콜모고로프 확장 정리 레비-프로호로프 메트릭 말리아빈 미적분 마티게일 표현 정리 선택적 정지 정리 프로호로프의 정리 이차 변동 반사원리 스코로호트 적분 스코로호트의 표현 정리 스코로호드 공간 스넬 봉투 확률 미분 방정식 다나카 정지 시간 스트라토노비치 적분 균일한 통합성 통상 가설 위너 공간 고전적인 추상적인
부문	보험 수리 수학 제어 이론 계량경제학 에르고딕 이론 극치가론(EVT) 대편차 이론 수리금융 수리통계학 확률론 큐잉 이론 갱신 이론 파멸론 신호 처리 통계 정보 확률적 분석 시계열 분석 기계 학습
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