첨가공정

확률 이론에서 가법적 과정은 독립적인 증분을 갖는 확률 확률 확률적 과정에서 연속적인 캐드래그입니다.가법적인 공정은 레비 공정을 일반화하는 것입니다(레비 공정은 점증분이 동일하게 분포된 가법적인 공정입니다).레비 과정이 아닌 가산 과정의 예로는 시간 의존적 드리프트를 갖는 브라운 운동이 있습니다.^[1]첨가 공정은 1937년 폴 레비(Paul Levy)에 의해 소개되었습니다.^[2]

정량적 재무^[3](이 프로세스 계열은 잠재된 변동성의 중요한 특징을 포착할 수 있음)와 디지털 이미지 처리에 부가 프로세스를 적용할 수 있습니다.^[4]

정의.

가산 공정은 동일하게 분포된 증분의 가설을 완화하는 Levy 공정의 일반화입니다.이 기능 덕분에 가산 프로세스는 레비 프로세스보다 복잡한 현상을 설명할 수 있습니다.

확률적 프로세스$${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$가 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}^{d}}$에서 ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle \{t}\}_{t\geq$ 0$}}$을(를) ≥하면${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle 0}$ = 0 {\$displaystyle$X_{0}= $0}$이(가) 거의 확실합니다.

1. 독립적인 증분을 갖습니다.
2. 그것은 확률상 연속적입니다.^[1]

주요속성

독립 증분

확률적 프로세스$${ X ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ≥ 0 ${\displaystyle \{X_$$}\}_{t\geq 0}$에 대해 임의 $X$${\displaystyle t_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ s$$${\$$displaystyle$ $0\leq$ p$<r\leq$ s$<$$t}}$가 임의 $변수$ X r${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {X\_}_{}}$${s$$}$와 독립적인 경우에만 확률적 프로세스 { ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$} {\$displaystyle$ X_{$r}$ - X_{$p}$

확률연속성

확률적 프로세스$${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$≥ ${\displaystyle 0_{}}${\$displaystyle$\{$X_{t}\}_{t\geq$ 0$}$은(는) $임의$의 > 0 ${\displaystyle$ t > $0}$인 경우에만 연속입니다.

${\displaystyle \lim _{s\to t^{-}}\Pr \left ({\big}X_{s}-X_{t}{\big}}\geq \varepsilon \right)=0.}$^[5]

레비-킨트차인 표기법

가산 공정과 무한히 분할 가능한 분포 사이에는 강한 연관성이 있습니다.시간 $t${\$displaystyle t}$의 가산 프로세스는 생성 삼중항$($γ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {At}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ν ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle(\gamma_{t})$으로 구성되는 무한히 분할 가능한 분포를 갖습니다.$A_{t},\nu _{t}}.$ t ${\displaystyle \$$gamma$$_{t}$는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}$^{$d$$}}$의 벡터이고$,$ ${\displaystyle {At}_{}}${\$displaystyle A_{t}$는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle d^{}}${\$displaystyle$$$\$mathbb {R} ^{d\times$d}의 행렬이고, $ν$$$t {\$displaystyle$ \$nu _{t$}는$$Rd {\$displaystyle$ \$mathbb${R} ^{$d}$의 측도이며, 이는 ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle (\{0\})}$$=$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \nu _{t}(\{0$\}) $=$ 0$}$및 $ν$이 되도록 합니다. ) ( )< ∞ ${\displaystyle \int _{\mathbb {R}^{d}}(1\wedge x^{2})\nu$ _${t}(dx)<\infty$

${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle \gamma _{t}}$를 드리프트 항, ${\displaystyle {At}_{}}$ ${\displaystyle A_{t}$ 공분산${\displaystyle {}_{}}$행렬, ν t ${\displaystyle \nu$ _${t}$ Levy measure라고 합니다.Levy-Khintchine 공식을 사용하여 첨가 공정 특성 함수를 명시적으로 작성할 수 있습니다.

${\displaystyle \varphi _{X}(u)(t):=\operatorname {E} \left[e^{iu'X_{t}}\right]=\exp \left(u'\gamma_{t}i-{\frac {1}}u'A_{t}u+\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(e^{u'x}-1-i'x\mathbf {I} _{ x <1}\right)\,\nu _{t}(dx)\right),}$

여기서 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 벡터이고, ${\displaystyle {IC\mathbf{}}_{}}${\$displaystyle \mathbf {I_{C}}$는 $집합{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$의 지시 함수입니다$.$^[7]

Lèvy 공정 특성 함수의 구조는 동일하지만 γ t = ${\displaystyle t}$ γ,${\displaystyle }$ν ${\displaystyle t_{}}$ = ${\displaystyle t}$ ν ${\displaystyle$\gamma $_{t$}= t$\$gamma$,\nu _{t$}= $t\nu},$ ${\displaystyle {At}_{}}$ = ${\displaystyle \mathrm{At}}$ ${\$$displaystyle$$A_{t$}= $At$γ$$gamma {\$displaystyle$ \$mathb {R}^{d},$${\displaystyle A^{}}$ ${\displaystyle$ $A}$${\displaystyle {}^{}}$R x d {\displaystyle $\mathbb {R}$의 양의 정행렬$^{d\times$ d$}}$ 및$$ν$${\$displaystyle \nu$}은$($는) Rd$${\$displaystyle \mathbb {R}^{d}$의$측도$입니다.

첨가공정의 법칙에서 존재와 고유성

다음 결과는 Levy-Khintchine 공식과 함께 첨가 공정을 특징짓습니다.

$\{{\displaystyle {Xt}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ≥ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq$ 0$}$을 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {R}^{d}}$에 대한 덧셈 프로세스라고 하자$.$ 그러면 무한히 분할 가능한 분포는 다음과 같습니다.

1. $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 대해$$At$${\$displaystyle A_{$}는$$ 양의 정행렬입니다.
2. ${\displayst$$A\_$${0}=0,\nu_{0$}$=0}$이며${\displaystyle ,}$ 모든 $s$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ t ${\displaystyle s,t}$는 s< ${\displaystyle s<t$ ${\displaystyle {at}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle A_{t}-A_{s}}$가 양의 정행렬이고 $ν$ t${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle B)}$$≥ ν$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle$$\nu$ _${t}(B$$)\$$geq \nu _{s}($${\displaystyle {}^{})\}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbb {R}^{d})}$입니다$.$
3. $s$ → ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s\t}$ γ → t γ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {as}_{}}$ → ${\displaystyle {at}_{}}$ ${\displaystyle \$gamma$_{s}\to \$gamma$_{t}$인 경우$A\_$${s}\to A_{t}}$ 및 $ν$ s (${\displaystyle B}$${\displaystyle )}$${\displaystyle }$$→$ $ν$ t${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle B)}$ ${\displaystyle$$\nu _$${$$s}(B)\to \nu$ _${t}($${\displaystyle {}^{}}$$)$ ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbb {R}^{d}},$$0$ $∉$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 0\not \in$ B$}.$

반대로, 생성 삼중항 ( γ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {At}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ν ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle (\gamma _{t})$을 특징으로 하는 무한히 분할 가능한 분포 계열의 경우.1, 2, 3을 만족하는 $A_{t},\nu_{t}},$ 이 분포를 가진 추가 프로세스 {${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ $≥$ 0 ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}$가 존재합니다.

첨가공정의 하위등급

가법 로지스틱 공정

일반화된 로지스틱 분포를 가진 가법 공정 계열입니다.그들의 5개의 파라미터 특징 함수는

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuX_{t}}\right]=\left({\frac {B(\alpha_{t}+i\sigma_{t}u,\beta_{t}-i\sigma u)}{B(\alpha_{t},\beta_{t}}}\right)^{\delta_{t}}^{i\mu_{t}u}\;\;\;.$

가법 로지스틱 프로세스의 두 가지 하위 경우는 표준 로지스틱 분포를 ${\displaystyle \mathrm{사용}}$하는 대칭 로지스틱 가산 프로세스($$ ${\displaystyle t_{}}$ = 1 ${\displaystyle \alpha _{t$}=$1},$$\beta$ ${\displaystyle t_{}}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$\beta $_{t$}=$1},$δ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ = 1 ${\displaystyle$\delta $_{t$}=$1$와 다검 분포를 사용하는 공액-출력 다검 가산 프로세스($$ ${\displaystyle t_{}}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha _{t})$입니다.$=$$1$$\},$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ t $=$ 1 -${\displaystyle }$$σ$$($ ${\displaystyle \$$beta$$_{t}$$=$$\$ \$alpha_{t}$$=$$},$ α t $=$ 1 {\$displaystyle$ \$alpha_${t}$=$1$}).$

함수 ${\$를 항상 선택할 수 있습니다$$. 가산 프로세스는 마팅게일입니다.^[11]

첨가제 일반 강화 안정 공정

Levy 정규 강화 안정 프로세스의 확장; 일부 잘 알려진 Levy 정규 강화 안정 프로세스는 정규 역 가우스 분포와 분산-감마 분포를 가지고 있습니다.첨가 노멀 강화 안정 프로세스는 레비 노멀 강화 안정 프로세스의 특징 기능은 동일하지만 시간에 따라 매개변수가 σ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}($휘발성 수준), k ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle k_{t}($점프의 변화), η t ${\displaystyle \eta _{t}($스큐에 연결):

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuX_{t}}\right]={\cal {L}_{t}\left(iu\left({\frac {1}{2}}+\eta_{t}\right)\sigma_{t}+{t}\right)\sigma_{t}^{2};\;k_{t},\;\alpha \right)e^{iu\varphi_{t}}}$

어디에

${\displaystyle \ln {\cal {L}}_{t}\left(u;\;k_{t},\;\alpha \right):={\begin{case}}\displaystyle {\frac {t}{k_{t}}\displaystyle {\frac {1-\alpha}}\left\{1-\left(1+{\frac {u\;k_{t}}{1-\alpha}}\right)^{\alpha}\right\},\{\mbox{if}}\;0<\alpha <1\[4mm]\displaystyle -{\frac {t}{k_{t}}\ln \left(1+u\;k_{t}\right)&{\mbox{if}}\;\alpha =0\end{case}}$

함수 φ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle \varphi _{t}}$를 항상 선택할 수 있습니다. 가산 프로세스는 마팅게일입니다.

가법 종속자

$값$이$$R {\$displaystyle$ \$mathbb${R$}}$인 양의 감소하지 않는 덧셈 프로세스$${${\displaystyle {St}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ≥ 0 ${\displaystyle \{S_{t}\}_{t\geq 0}}$은(는) 덧셈 종속 변수입니다.가법 종속자는 세미마팅게일이며(감소하지 않는 사실 덕분에) 라플라스 변환을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-usS_{t}}\right]=\exp \left(ub_{t}+\int_{\mathbb {R}^{d}} ^{d}}(e^{iux}-1)\nu _{t}(dx)\right)}$^[13]

첨가제 종속자를 사용하여 새로운 종류의 첨가제 공정을 얻는 Levy 공정을 시간 변경할 수 있습니다.^[14]

사토 프로세스

추가적인 자체 유사 프로세스$${${\displaystyle {Zt}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ≥ 0$${\$displaystyle \{Z_{t}\}_{$t\$geq$ 0$}$을(를) Sato 프로세스라고 합니다.${\displaystyle {Levy}_{}}$ 프로세스 { X ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ≥ 0 ${\$$displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$에서 사토 프로세스를 구성하여 Z t {\$displaystyle$ $Z_$${t}}$의 ${\displaystyle {법칙}_{}}$이 같도록 할 수 있습니다$.$

예를 들어 분산 감마 프로세스에서 시작하여 얻은 Sato 프로세스인 분산 감마 SSD를 들 수 있습니다.

시간 $t$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$t = $1}$에서 분산 감마의 특성 함수는

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuX_{1}}\right]=\left({\frac {1}{1-iu\theta \nu +0.5\sigma ^{2}\nu ^{2}}\right)^{1/\nu }}$

여기서 θ${\displaystyle ,}$ ν ${\displaystyle \theta,\nu}$ 및 σ${\displaystyle$\sigma }은(는) 양의 상수입니다.

분산 감마 SSD의 특징적인 함수는

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuZ_{t}}\right]=\left({\frac {1}{1-iut^{h}\theta \nu +0.5\sigma ^{2}\nu ^{2}t^{2}h}\right)^{1/\nu }}$^[16]

시뮬레이션

첨가제 시뮬레이션은 증분의 독립성 덕분에 계산적으로 효율적입니다.추가적인 공정 증가분을 별도로 시뮬레이션할 수 있으며 시뮬레이션을 병렬화할 수도 있습니다.^[17]

점프 시뮬레이션

점프 시뮬레이션은 Levy 프로세스를 위해 개발된 점프 시뮬레이션 기법의 가산 프로세스 클래스에 대한 일반화입니다.이 방법은 작은 점프를 특정 임계값 아래로 잘라내고 독립 점프의 유한한 수를 시뮬레이션하는 것을 기반으로 합니다.또한 가우스 근사는 작은 점프를 확산항으로 대체하기 위해 적용될 수 있습니다.Ziggurat 알고리즘을 사용하여 점프 시뮬레이션 속도를 높이는 것도 가능합니다.^[18]

특성함수 반전

특성 함수 반전을 통한 레비 프로세스 시뮬레이션은 문헌에서 잘 확립된 기술입니다.^[19]이 기술은 적층 공정으로 확장될 수 있습니다.핵심 아이디어는 특성 함수를 반전시켜 누적 분포 함수(CDF)의 근사치를 구하는 것입니다.Fast Fourier 변환을 사용하면 반전 속도가 향상됩니다.CDF 근사치를 사용할 수 있게 되면 균일 랜덤 변수를 모의실험하는 것만으로 추가 공정 증분을 모의실험할 수 있습니다.이 방법은 표준 기하 브라운 운동을 시뮬레이션하는 것과 비슷한 계산 비용을 가집니다.^[20]

적용들

정량금융

레비 프로세스는 시장 가격의 로그 수익률을 모델링하는 데 사용됩니다.안타깝게도, 증가분의 안정성은 시장 데이터를 정확하게 재현하지 못합니다.Levy 프로세스는 단일 만기일에 콜옵션과 풋옵션 가격(잠정 변동성)을 잘 맞추지만 만기가 다른 옵션 가격(변동성 표면)에는 맞출 수 없습니다.가산 공정은 모든 유효 기간에 적합하도록 하는 결정론적 비정규성을 도입합니다.^[3]

4개 모수 Sato 공정(자기 유사 가산 공정)은 변동성 표면을 올바르게 재현할 수 있습니다(S&P 500 주식 시장에서 3% 오차).이러한 오차 크기 순서는 일반적으로 시장 데이터에 적합하도록 6-10개의 모수를 갖는 모형을 사용하여 구합니다.^[21]자기 유사 공정은 평평한 왜도와 과잉 첨도 때문에 시장 데이터를 정확하게 설명합니다. 경험적 연구에서는 시장 왜도와 과잉 첨도에서 이러한 행동이 관찰되었습니다.^[22]옵션 가격에 3%의 오차를 갖는 공정 중 일부는 분산 감마 공정, 정상 역가우시안 공정 및 Mixner 공정에서 얻은 VGSD, NIGSSD, MXNRSSD입니다.^[23]

추가 정상 강화 안정 공정은 주식 시장 데이터에 정확히 적합하며(S&P 500 주식 시장에서 0.8% 미만의 오차), 특히 단기 만기에 적합합니다.이러한 프로세스 계열은 또한 주식 시장의 잠재적 변동성 왜곡을 매우 잘 재현합니다.또한 보정된 매개 변수 $k$ ${\displaystyle t_{}}$ = ${\displaystyle k}$ ¯ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\beta }^{}}$ ${\displaystyle k_{t$}={\$bar {k}}t^{\$beta }, η ${\displaystyle t_{}}$ = η ¯ ${\displaystyle \stackrel{}{t}}$ δ ${\displaystyle \eta _{t$}={\$bar {\eta}}t^{\$delta }.$$β = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$\beta =$1},$ δ = -${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle$\delta =-$1/2}$이라는 통계적 증거가 있습니다$.$

레비 종속은 새로운 레비 프로세스(예: 분산 감마 프로세스 및 정상 역가우시안 프로세스)를 구성하는 데 사용됩니다.Levy 종속에 의해 구성된 프로세스의 재정적인 적용은 매우 많습니다.부가적 종속을 통해 구축된 부가 프로세스는 Levy 종속을 통해 구축된 프로세스의 분석적 추적성을 유지하지만 시장 데이터의 시간적 동질성 구조를 더 잘 반영합니다.^[25]상품 시장과^[26] VIX 옵션에 부가적 종속이 적용됩니다.^[27]

디지털 영상 처리

가산 공정의 최소값에 기초한 추정기는 영상 처리에 적용될 수 있습니다.이러한 추정기는 픽처 픽셀에서 실제 신호와 노이즈를 구별하는 것을 목표로 합니다.^[4]

참고문헌

원천

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