파멸 이론

보험수리적 과학과 적용확률에서 파멸 이론(때로는 위험 이론이나^[1] 집합적 위험 이론)은 보험자가 지급불능/부실에 취약하다는 것을 기술하기 위해 수학적 모델을 사용한다. 그러한 모델에서 주요 관심사는 붕괴 확률, 붕괴 직전 잉여금 분배, 붕괴 시점의 적자 등이다.

클래식 모델

Cramér-Lundberg 모델(또는 고전적 복합-Poisson 위험 모델, 고전적 위험 프로세스^[2] 또는 포아송 위험 프로세스)으로 알려진 파멸 이론의 이론적 토대는 1903년 스웨덴의 악덕인 Filip Lundberg에 의해 도입되었다.^[3] 룬드버그의 작품은 1930년대에 하랄드 크라메르에 의해 다시 출판되었다.^[4]

이 모델은 들어오는 현금 보험료와 나가는 보험금이라는 두 가지 상반된 현금흐름을 경험하는 보험회사를 묘사하고 있다. 프리미엄은 고객으로부터 일정한 비율 c > 0에 도달하고 클레임은 강도 λ으로 포아송 ${\displaystyle {공정}_{}}$ $N{\displaystyle {}_{}}$ t ${\$에 따라 도착하며, 분포 F와 평균 μ(복합 포아송 공정)로$$ 독립적이고 동일하게 분포된 비 음의 무작위 변수 ${\displaystyle {\xi }_{}}$ i$${\$displaysty \xi_{$i}{$i}$이다. 따라서 최초잉여금 x로 시작하는 보험자의 경우 총자산 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 다음과 같이 제공된다$$.^[5]

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{{N_{t}\xi_{i}\{i}\quad {\text{ t}: t}\geq.}$

이 모델의 중심 목적은 보험자의 잉여수준이 결국 영(0) 이하로 떨어질 확률을 조사하는 것이다. 궁극적인 파멸의 확률이라고 불리는 이 양은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \psi(x)=\mathb {P}^{x}\{\tau <\fty \}}}$

는 ∅)∞{\displaystyle \inf=\infty \varnothing}inf은 관습에 어디에 파괴의 시간은τ= inf({\displaystyle\tau =\inf\{t>, 0\,:\,X(t)<, 0\}}. 이것이 바로(화근이 기능 의 꼬리 기능 까지 Pollaczek–Khinchine 공식 as[6]을 사용하여 계산할 수 있다. dist 정지M/G/1 대기열에서^[7] 대기 시간 변경)

${\displaystyle \psi(x)=\좌(1-{\frac {\lambda \mu }{c}\우)\sum _{n=0}^{n=0}^{\n}{c}\lambda \right)^{n}{n(x)}$

여기서 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$는 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 꼬리 분포의 변환이다$.$

${\displaystyle F_{l}(x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}\왼쪽(1-F(u)\오른쪽){\text{d}u}}}}}$

및 $\cdot {\displaystyle {}^{}}$ $∗$ ${\$ \$cdot$^{\$ast n}}$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -fold$$ convolution을 나타낸다$$. 청구 규모가 기하급수적으로 분산되는 경우, 다음과^[7] 같이 단순화된다.

${\displaystyle \frac (x)={\frac \\frac \mu \}{c}e^{-\leftflat\frac {1}{\fracta }{c}\right)x}}$

스파레 안데르센 모델

E. 스파레 안데르센은 1957년에^[8] 도착간 클레임 시간을 임의의 분포 함수를 갖도록 허용함으로써 고전 모델을 확장했다.^[9]

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi_{i}\{i}\quad {\text{{}{}}}}}}$

여기서 클레임 번호 프로세스$({\displaystyle N_{}}$ t${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 0 ${\$ 0$}})$는 갱신 프로세스고 (${\displaystyle {\xi }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {i\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$}_{i$\in$\in \$mathb{N}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$은 독립적이고 동일하게 모델은 또한 > ${\displaystyle \xi _{i}}0}$ 거의 확실하고${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}{}_{}{t}_{}}$ ) ${\displaystyle {t0}_{}}$ 0$${\$displaystyle (N_{t})_{t\geq$ 0$}$ 및$$ ( ${\displaystyle i_{}{}_{}}$i ) ${\displaystyle i_{}}$n ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}${\$displaystystyle (\xi _{i}_${i}_{$n}$_{n})_${i\in$\in $\$i\n$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 이 모델은 갱신 위험 모델로도 알려져 있다.

예상할인 페널티 기능

마이클 R. 파워스와^[10] 게르버, 슈는^[11] 예상할인형벌금 기능을 통해 보험사의 잉여금 행태를 분석했는데, 이는 흔히 파멸 문헌에서 게르버-슈 기능이라고 한다. 파워스의 기여로 파워스-게르버-쉬우 함수로 불렸어야 하는지는 논쟁의 여지가 있다.^[10]

파워스의 표기법에서 이것은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle m}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {\Delta }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\tau }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m(x)=\mathb {E}^{x}[e^{-\delta \tau }}K_{\tau$ $\}\}\}\}\},$

여기서 ${\displaystyle \delta}$은(는) 관심의 할인력$$, K ${\displaystyle {\tau }_{}}$ ${\$$tau }}}$은(는) 파멸 당시 보험자에게 경제적 원가를 반영하는 일반적인$$ 벌칙함수로$$, $기대{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ E ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$}$에 $해당$한다.$ystyle \mathb {P} ^{x$ 그 기능은 파워스에 의해 기대되는 부실의 할인된 비용이라고 불린다.^[10]

게르버와 슈의 표기법에는 다음과 같이 표기되어 있다.

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }w(X_{\tau -},X_{\tau })\mathbb {I} (\tau <\infty )]}$,

where ${\displaystyle \delta }$ is the discounting force of interest and ${\displaystyle w(X_{\tau -},X_{\tau })}$ is a penalty function capturing the economic costs to the insurer at the time of ruin (assumed to depend on the surplus prior to ruin ${\displaystyle X_{\tau -}}$ and the deficit 를 망치다 X에서(}),과 기대 속 E={\displaystyle \mathbb{E}^{)}}그인 확률 측정 P)}{\displaystyle \mathbb{P}^{)}해당합니다. 여기 나는}{\displaystyle \mathbb{나는}(\tau<>\infty)(τ<>∞)가 기능이 제도 exer을 강조한다{\displaystyle X_{\tau}.cised 오직 파멸이 일어날 때에만

예상되는 할인된 벌칙 기능을 해석하는 것은 상당히 직관적이다. 함수는 $\tau {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\tau$ $\}$에서 발생하는 벌칙의 보험수리적 현재가치를 측정하므로 벌칙함수에 $할인율{\displaystyle {}^{}}$ e -${\displaystyle {\Delta }^{}}$ ${\displaystyle {\tau }^{}}$ ${\$ e$^{-\delta$ $\tau }}}}$을 곱한 후 대기시간 확률분포에서 평균을 $구한다.$ 게르버와 시우는^[11] 이 기능을 고전적인 화합물-포아송 모델에 적용했고, 파워스는^[10] 보험사의 잉여금은 확산 과정 계열에 의해 더 잘 모델링된다고 주장했다.

예상할인할인 페널티 기능의 범주에 포함되는 파멸 관련 수량은 매우 다양하다.

특수 케이스	수학적 표현	페널티 기능 선택
궁극적 파멸의 확률	${\displaystyle \mathb{P} ^{x}\{\tau <\inful \}}}$	${\displaystyle \property =0,w(x_{1},x_{2}=1}$
초과적립액과 적자의 공동(불량)분포	${\displaystyle \mathb {P}^{x}\{X_{\tau -}<X,X_{\tau }}<y\}}}$	${\displaystyle \delta =0,w(x_{1},x_{2})=\mathb {I}(x_{1}<x,x_{2}<y)}$
폐해를 야기하는 클레임의 잘못된 분포	${\displaystyle \mathb {P}^{x}\{X_{\tau -}-X_{\tau }<z\}}}$	${\displaystyle \delta =0,w(x_{1},x_{2})=\mathb {I}(x_{1}+x_{2})$
시간, 잉여 및 결손의 3변형 라플라스 변환	${\displaystyle \mathb {E}^{x}[e^{-\delta \tau -sX_{\tau -}-zX_{\tau }}}}}$	${\displaystyle w(x_{1},x_{2})=e^{-sx_{1}-zx_{2}}:}$
잉여와 적자의 공동모멘트	${\displaystyle \mathb {E}^{x}[X_{\tau -}^{j}X_{\tau }^{k}]}}$	${\displaystyle \cHB =0,w(x_{1},x_{2})=x_{1}^{j}x_{2}^{k}}}}$

기대 할인된 벌칙 함수의 등급에 속하는 기타 금융 관련 수량에는 영구적인 미국 풋 옵션,^[12] 최적의 연습 시간에 우발적 클레임 등이 포함된다.

최근 개발

• 지속적인 관심을 갖는 복합 포아송 위험 모형
• 확률적 관심을 갖는 복합 포아송 위험 모델
• 브라운-모션 위험 모델
• 일반 확산 프로세스 모델
• 마르코프 변조 위험 모델
• 사고 확률 인자(APF) 계산기 – 위험 분석 모델(@SBH)

참고 항목

• 재무위험
• 볼테라 적분 방정식#루인 이론

참조

추가 읽기

• Gerber, H.U. (1979). An Introduction to Mathematical Risk Theory. Philadelphia: S.S. Heubner Foundation Monograph Series 8.
• Asmussen S. (2000). Ruin Probabilities. Singapore: World Scientific Publishing Co.