클래식 위너 공간

수학에서 고전적인 위너 공간은 주어진 영역(대개 실선의 하위 중간)에 있는 모든 연속함수의 집합으로, 미터법 공간(대개 n차원 유클리드 공간)에서 값을 취한다. 고전적인 위너 공간은 샘플 경로가 연속적인 기능인 확률적 과정의 연구에 유용하다. 그것은 미국의 수학자 노르베르트 비너의 이름을 따서 지어졌다.

정의

E ⊆ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 및$$ⁿ 메트릭 공간(M, d)을 고려하십시오. 고전적인 위너 공간 C(E; M)는 E의 모든 고정 t에 대한 모든 연속함수의 공간 f : E → M. 즉,

${\displaystyle \mathrm{d}}$( ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle f}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ 0 ${\displaystyle d(f(s),f(t)\to 0}($${\displaystyle s}$)로 s${\displaystyle }$- t${\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle s-t \to.}$

In almost all applications, one takes E = [0, T] or [0, +∞) and M = ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ⁿ for some n in ${\displaystyle \mathbb {N} }$. For brevity, write C for C([0, T]; ${\displaystyle \mathbb {R} }$ⁿ); this is a vector space. 설정된 E의 최소값에서 값을 0으로 취하는 함수로만 구성된 선형 하위 공간에 대해₀ C를 쓰십시오. 많은 저자들이 C를₀ "클래식 위너 스페이스"라고 부른다.

클래식한 위너 공간의 특성

균일 위상

벡터 공간 C는 균일한 규범을 갖출 수 있다.

${\displaystyle \ f\ :=\sup _{t\in [0,T]} f(t) }$

표준 벡터 공간(사실 Banach 공간)으로 변환. 이 표준은 일반적인 방법으로 C에 대한 메트릭스를 유도한다: $d{\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle f}$- ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle d(f,g):$$=\ f-g\$ $\}.$ 이 메트릭의 열린 집합에 의해 생성되는 위상은 [0, T]에 대한 균일한 수렴의 위상 또는 균일한 위상이다.

도메인 [0, T]을 "시간"으로, 범위 R을ⁿ "공간"으로 생각한다면, 균일한 위상에 대한 직관적인 견해는 우리가 "공간을 조금 흔들 수 있다"고 할 수 있고 f의 그래프를 g의 그래프 위에 놓으면서 시간을 고정시킨 채로 둘 수 있다면 두 가지 기능이 "접합"된다는 것이다. 이를 스코로크호드 위상(Skorokhod topology)과 비교해 보십시오. 이 위상은 공간과 시간 모두를 "위그글"할 수 있습니다.

분리성과 완전성

균일한 측정기준과 관련하여 C는 분리 가능한 공간이자 완전한 공간이다.

• 분리성은 스톤-바이어스트라스 정리의 결과물이다.
• 완전성은 연속적인 기능의 연속적인 한계 그 자체가 연속적이라는 사실의 결과물이다.

분리가 가능하고 완전하기 때문에 C는 폴란드 공간이다.

클래식한 위너 공간의 조임성

함수 f : [0, T] → R에ⁿ 대한 연속성 계수는 다음과 같이 정의되어 있음을 상기한다.

${\displaystyle \omega _{f}(\properties ):=\supp \left\{f(s)-f(t) \left s,t\in [0,T], s-t \leq \delta \right.\right\}}$

이 정의는 f가 연속성이 아니라도 타당하며, f의 연속성 계수가 Δ → 0으로 0이 되는 경향이 있는 경우에만 연속성이 있음을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ∆}$ ${\displaystyle C\Omega {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$(${\displaystyle \Delta }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0}$ Δ → 0.

아르젤라-아스콜리 정리의 적용에 의해, 고전적인 위너 공간 C에 대한 확률 측정의 시퀀스$({\displaystyle {\mu n}_{}^{}{}_{}{}_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$n = ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}${\$displaystyle$(\$mu _{n})_{n=1}^{\inflt }}}}}}}}$이(가) 다음과 같은 조건을 모두 만족하는 경우에만 타이트함을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle \underset{}{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{a}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ 림 ${\displaystyle \underset{}{supp}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→${\displaystyle \underset{}{\mathrm{}}{\mu n}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}f\underset{}{}{}_{}}$ {f ${\displaystyle \mathrm{\mu n}}$(${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle a}$} = ${\displaystyle 0,}${\$displaystyle \lim _{a\to \infty }\mu_{n}\$in C f$(0) \geq$ a$\=0, 그리고$

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C \omega _{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0}$ for all ε > 0.

고전적 위너 척도

C에는 고전적인 위너 측정(또는 단순히 위너 측정)으로₀ 알려진 "표준" 측정치가 있다. Wiener 측정값에는 (적어도) 두 개의 등가 특성화가 있다.

브라운 운동을 Markov 확률론적 프로세스 B : [0, T] × Ω → Rⁿ, 원점에서 시작하여 거의 확실히 연속 경로와 독립적인 증분으로 정의한다면

${\displaystyle B_{t}-B_{s}\sim \mathrm {Normal} \left(0, t-s \right),}$

그렇다면 고전적인 위너 측정법 γ은 프로세스 B의 법칙이다.

또는 C에₀ 해당하는 카메론-마틴 힐버트 공간에 대한 표준 가우스 실린더 세트 측정값의 라돈화인 추상적인 위너 공간 구조를 사용할 수 있다.

고전적인 위너 측정은 가우스 측도인데, 특히 엄밀히 말하면 양의 확률 측정이다.

고전적인 위너 측정값 γ on C에₀ 대한 γ을 감안할 때, 제품 측정값 γⁿ × γ은 C에 대한 확률 측정값으로, 여기서 γ은ⁿ R에ⁿ 대한 표준 가우스 측정값을 나타낸다.

참고 항목

• 기능 불연속화가 가능한 클래식 위너 공간의 일반화인 스코로크호드 공간
• 추상 위너 공간
• 위너 공정