연속 시간 무작위 보행

수학에서 연속시간 랜덤워크(CTRW)는 유랑입자가 점프 사이에 무작위 시간을 기다리는 랜덤워크를 일반화한 것이다. 점프 길이와 대기 시간이 임의로 분포된 확률적인 점프 과정이다.^[1][2][3] 더 일반적으로는 마코프 갱신 과정의 특별한 경우라고 볼 수 있다.

동기

CTRW는 몬트롤과 와이스가 물리적^[4] 확산 과정의 일반화로서, 변칙적인 확산, 즉 초·하위 확산 사례를 효과적으로 기술하기 위해 도입하였다. CTRW의 등가 공식은 일반화된 마스터 방정식에 의해 제시된다.^[5] CTRW와 분수 시간 파생상품과의 확산방정식 사이의 연관성이 확립되었다.^[6] 이와 유사하게, 시간 공간 부분확산 방정식은 연속적으로 분포된 점프나 격자의 CTRW 근사치를 갖는 CTRW로 간주할 수 있다.^[7]

공식화

CTRW의 간단한 공식은 다음에 의해 정의된$$ 확률적 $공정{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ X$(t)}$을 고려하는 것이다.

${\displaystyle X(t)=X_{0}+\sum _{i=1}^{N(t)}\Delta X_{i}}}$

whose increments ${\displaystyle \Delta X_{i}}$ are iid random variables taking values in a domain ${\displaystyle \Omega }$ and ${\displaystyle N(t)}$ is the number of jumps in the interval ${\displaystyle (0,t)}$. The probability for the process taking the value ${\displaystyle X}$ at 그런 $다음{\displaystyle }$ 시간$$t {\$displaystyle$ t$}$이(가) 제공됨$$

${\displaystyle P(X,t)=\sum _{n=0}^{\p(n,t)P_{n}(X)}$

여기서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n{}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle P_{n}(X)}$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 점프$$ 후$$ 프로세스가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 값을 취할 확률이고$,$ $P{\displaystyle }$($n$ $t$) ${\$$displaystyt$$}$은 $t{\displaystyle }$ ${\displaystystyt}$ 이후에 n$}$ 점프를$$ $가질{\displaystyle }$ 확률이다$.$

몬트롤-바이스 공식

$N{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle N(t)}$의 두 점프 사이의 대기$$ 시간과 $distribution$ (${\displaystyle \tau )}$ ${\displaystyle \psi$(\$tau )}$ 분포의$\tau$을 by으로 나타낸다. $\psi {\displaystyle }$ (${\displaystyle \tau }$ ) ${\displaystyle \psi (\tau )}$의 Laplace 변환은 다음에 의해 정의된다$$.

${\displaystyle {\tilde{\\tau}=\int _{0}^{\nothy \,e^{-\tau s}\tau(\tau).}$

마찬가지로 점프 분배 $f{\displaystyle (\mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle$ f$(\Delta X)}$의 특성 함수는 푸리에 변환에 의해 다음과 같이 지정된다$$.

${\displaystyle {\f}(k)=\int_{\Oomega}d(\Delta X)\, e^{ik\Delta X}f(\Delta X).}$

라플라스호-라는 것을 보여줄 수 있다.확률 $P{\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle P(X,t)}$의 푸리에 변환은 다음에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle {\hat {\tilde {P}(k,s)={\frac {1-{\\tilde{\psi }}{1-{\psi }{\f}}}}{\frac {1}{\filde{\f}}}}}}.}$

위의 것을 몽톨-롤-이라고 한다.와이스 공식.

예

참조