쿠르토시스

확률론과 통계학에서, 첨도(kurtos, kyrtos, kurtos, "곡선, 아치"를 뜻하는 그리스어에서)는 실수값 랜덤 변수의 확률 분포의 "꼬리도"에 대한 척도이다.왜도와 마찬가지로 첨도는 확률 분포의 형태를 나타내며 이론적인 분포에 대해 이를 수량화하는 다양한 방법 및 모집단의 표본에서 이를 추정하는 해당 방법이 있습니다.첨도의 측도에 따라 해석이 다를 수 있습니다.

Karl ^[1]Pearson에서 시작된 분포 첨도의 표준 측도는 분포의 네 번째 모멘트를 축척한 것입니다.이 숫자는 ^[2]피크가 아니라 분포의 꼬리와 관련이 있으므로 첨도의 특성을 "피크니스"로 잘못 해석할 수 있습니다.이 측정의 경우 첨도가 높을수록 평균 근처의 데이터 구성이 아니라 편차의 극단(또는 특이치)이 커집니다.

일반적으로 분포의 과잉 첨도(아래 정의)를 일변량 정규 분포의 초과 첨도인 0과 비교합니다.음의 과잉 첨도가 있는 분포는 평탄한 분포라고 하지만, 이것이 때때로 언급되는 것처럼 분포가 "평탄한" 분포를 의미하지는 않습니다.오히려 분포가 정규 분포보다 특이치를 더 적게 생성하거나 극단값보다 적게 생성한다는 것을 의미합니다.평판 분포의 예로는 특이치를 생성하지 않는 균일한 분포가 있습니다.양의 과잉 첨도가 있는 분포는 렙토쿠르틱이라고 합니다.렙토쿠르틱 분포의 예로는 가우스 분포보다 점근적으로 더 느리게 0에 접근하는 꼬리를 가진 라플라스 분포가 있으며, 따라서 정규 분포보다 더 많은 특이치를 생성합니다.정규 분포와 단순 비교하기 위해 Pearson의 첨도 - 3으로 정의된 과도한 첨도를 사용하는 것이 일반적입니다.일부 저자 및 소프트웨어 패키지는 과도한 첨도를 나타내기 위해 그 자체로 "커토시스"를 사용합니다.그러나 명확성과 일반성을 위해, 이 글은 과도한 첨도의 의미가 없는 곳을 명시적으로 제시한다.

첨도의 대안적 척도는 네 번째 L 모멘트의 스케일 버전인 L-커토시스; 네 개의 모집단 또는 표본 ^[3]분위수에 기반한 측정값이다.이는 일반적인 ^[3]모멘트를 기반으로 하지 않는 왜도의 대체 측정과 유사합니다.

피어슨 모멘트

첨도는 다음과 같이 정의된 네 번째 표준화된 순간입니다.

\operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[\frac {X-\mu} {\fright } =parac {E} \left[(X-\mu)^4\right] {\operatorname} \ } \

여기서₄ μ는 네 번째 중심 모멘트이고 μ는 표준 편차입니다.문헌에는 첨도를 나타내기 위해 여러 글자가 사용된다.매우 일반적인 선택지는 ,입니다.적란제를 참조하지 않는 것이 명확하면 됩니다.다른 선택지로는 왜도₂ 표기법과 비슷한 ,이 있는데, 이는 과도한 첨도를 위해 예약되는 경우도 있습니다.

첨도는 제곱 왜도 + ^[4]^{: 432}1로 아래 경계를 이룹니다.

{\frac _ {4} {\frac ^{4}} \ geq \ leftfrac \ frac } {\frac ^ {3} } \ right ^2} + 1,

여기서₃ μ는 세 번째 중심 모멘트입니다.하한은 베르누이 분포에 의해 실현됩니다.일반 확률 분포의 첨도에는 상한이 없으며 무한할 수 있습니다.

일부 작가들이 과도한 첨도를 선호하는 이유는 적층액이 광범위하기 때문이다.광범위한 속성과 관련된 공식은 과도한 첨도의 관점에서 보다 자연스럽게 표현됩니다.예를 들어, X, ..., X가_n 네 번째 모멘트가 존재하는 독립 랜덤 변수이고 Y가 X의_i 합으로 정의된 랜덤 변수라고 가정합니다₁.Y의 과잉 첨도는

{\displaystyle \operatorname {Kurt} [Y]-3=param frac {1} {\left(\sum _{j=1}^{n}\param _{i}^{n}\param _{i}^4}\cdot \[KURT]

여기서 $\sigma _{i}$ i $\sigma _{i}$ \ $displaystyle$ \ $sigma$ _ { $\sigma _{i}$ $i$ }는 $\sigma _{i}$ $Xi$ 의 표준편차입니다.특히 모든 X의_i 분산이 같은 경우 이 값은 다음과 같습니다.

(\displaystyle \operatorname {Kurt} [Y]-3={1 \over n^{2}}\sum _{i=1}^{n}\left (\operatorname {Kurt}\left [X_{i}\right]-3\right)}

3을 빼지 않는 이유는 특히 독립성이 가정되지 않은 경우 마지막 네 번째 모멘트가 다변량 분포로 더 잘 일반화되기 때문입니다.변수 쌍 사이의 코쿠르토시스는 4 텐서 차수입니다.이변량 정규 분포의 경우, 코쿠르토시스 텐서는 일반적으로 0도 3도 아닌 엇대각 항을 가지므로 초과에 대해 "수정"하려고 하면 혼란스러울 수 있습니다.그러나 다변량 정규 분포에서 2보다 큰 차수의 결합 누적량이 0인 것은 사실입니다.

두 랜덤 변수인 X와 Y의 경우, 반드시 독립적일 필요는 없으며, 합계의 첨도인 X + Y는 다음과 같습니다.

{\displaystyle\operatorname{Kurt}[X+Y]={1\over\class_{X+}Y}^{4}{\big (}&\sigma _{X}^4}\operatorname {Kurt}[X]+4\sigma _{X}^{3}\sigma _{Y}\operatorname {Cokurt}[X,X,Y]\\Sigma {X}_2}_Sigma}\end { aligned}}

위의 방정식에 이항 계수가 표시됩니다.

해석

첨도의 피어슨 측도에 대한 정확한 해석(또는 과잉 첨도의 해석)은 과거에는 논란이 많았지만 지금은 해결되었습니다.웨스트폴이 2014년에^[2] 지적한 바와 같이, "...모호한 해석은 꼬리 끝의 관점에서만 가능하다. 즉, (표본 첨도의 경우) 기존 특이치 또는 (확률 분포의 첨도의 경우) 특이치를 생성하는 성향이다.논리는 간단합니다. 첨도는 네 번째 거듭제곱에 대한 표준화된 데이터의 평균(또는 기대치)입니다.1보다 작은 표준화된 값(즉, "피크"가 있는 평균의 표준 편차 내의 데이터)은 1보다 작은 숫자를 4제곱하면 0에 가깝기 때문에 첨도에 거의 기여하지 않습니다.유의한 방식으로 첨도에 기여하는 유일한 데이터 값(관측 또는 관측 가능)은 피크 영역 외부에 있는 값, 즉 특이치입니다.따라서 첨도는 특이치만 측정하며 "피크"에 대해서는 측정하지 않습니다.

첨도의 개념을 포함하는 첨도에 대한 많은 잘못된 해석들이 제시되었다.하나는 첨도가 분포의 "피크함"과 ^[5]꼬리의 무게를 모두 측정한다는 것입니다."어깨 부족" ("어깨"는 피크와 꼬리 사이의 면적으로 모호하게 정의되거나 더 구체적으로 평균에서 표준 편차가 약 1개인 면적으로 정의됨) 또는 "양면성"^[6]과 같은 다양한 잘못된 해석이 제안되었다.Balanda와 MacGillivray는 첨도의 표준 정의가 ^[5]^{: 114}"분포의 첨도, 정점 또는 꼬리 무게의 형편없는 측정"이라고 주장하고 대신 "분포의 어깨에서 그 중심과 ^[5]꼬리로 확률 질량의 위치 및 스케일 없는 움직임으로서 막연히 첨도를 정의할 것"을 제안한다.

무어의 해석

1986년에 무어스는 ^[7]첨도의 해석을 내놓았다.허락하다

Z=mu frac {X-\mu}{\display }

여기서 X는 랜덤 변수, μ는 평균, θ는 표준 편차입니다.

이제 첨도의 $\kappa$ ${\$ \ $displaystyle$ \ $kappa$ 및 $E\left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+[E[V]]^{2},$ $E\left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+[E[V]]^{2},$ $E\left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+[E[V]]^{2},$ E [ $E\left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+[E[V]]^{2},$ 2 ] $=$ $E\left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+[E[V]]^{2},$ [ $E\left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+[E[V]]^{2},$ [ V $E\left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+[E[V]]^{2},$ [ E [ $E\left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+[E[V]]^{2},$ ]2, \ $displaystyle E \ left$ [ $V ^$ { 2 \ right $E\left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+[E[V]]^{2},$ ]= \ $operatorname$ { var $}$ [ $V$ ]+ $[E[V]^{2}}$

]+

[E\left [Z^{2}\right]^{2}=\operatorname {var}

\

left [Z^{2}\right]+[\operatorname {var}[Z]=\operatorname {var}

\

left

[Z

^{2}\right

}

이제 첨도는 Z의 예상² 주변 산포를 측정하는 것으로 볼 수 있습니다.또는 +1 및 -1 주위의 Z 분산의 척도로 볼 수 있습니다.θ는 대칭 2점 분포에서 최소값을 구합니다.원래 변수 X의 관점에서 첨도는 두 값 μ ± µ 주위에 분산된 X의 측정값이다.

circumst의 높은 값은 다음 두 가지 상황에서 발생합니다.

확률 질량이 평균 주위에 집중되고 데이터 생성 프로세스가 평균에서 멀리 떨어진 값을 생성하는 경우,
여기서 확률 질량이 분포의 끝에 집중됩니다.

과잉 첨도

과도한 첨도는 첨도 - 3으로 정의됩니다.아래에 설명된 바와 같이 3가지 다른 체제가 있습니다.

1. 중농성 2.렙토쿠르틱 3플래티쿠르틱

중추골의

과잉 첨도가 0인 분포를 중경련 또는 중경련이라고 합니다.메소쿠르틱 분포의 가장 두드러진 예는 모수 값에 관계없이 정규 분포 패밀리입니다.파라미터 값에 따라 다른 몇 가지 잘 알려진 분포가 메소쿠르틱할 수 있습니다.예를 들어 이항 $p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}$ 는 p $p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}$ 1 $p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}$ / $p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}$ ± $p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}$ / $p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}$ {\ $displaystyle$ p $= 1$ / $2$ \ pm { 1 / $12}$ $p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}$ 입니다.

렙토쿠르틱

양성의 과잉 첨도가 있는 분포를 렙토쿠르틱 또는 렙토쿠르토틱이라고 합니다."렙토-"는 "슬렌더"^[8]를 의미한다.모양에 관해서는 렙토쿠르틱 분포가 더 뚱뚱한 꼬리를 가지고 있습니다.렙토쿠르틱 분포의 예로는 학생의 t-분포, 레일리 분포, Laplace 분포, 지수 분포, 포아송 분포 및 로지스틱 분포가 있습니다.이러한 분포를 슈퍼가우스 ^[9]분포라고 부르기도 한다.

플래티쿠르틱

동전 던지기는 가장 평탄한 분포입니다.

음의 과잉 첨도가 있는 분포를 편평성 또는 편평성이라고 합니다."Platy-"는 "넓다"^[10]는 뜻이다.모양 면에서 평판 분포는 꼬리가 더 얇습니다.플래티커틱 분포의 예로는 연속 및 이산 균일한 분포와 상승 코사인 분포가 있습니다.가장 평탄한 분포는 p = 1/2인 베르누이 분포(예를 들어 동전을 한 번 던질 때 앞면이 나오는 횟수, 동전 던지기)이며, 초과 첨도는 -2이다.

그래픽스 예시

Pearson 유형 VII 패밀리

무한대(빨간색), 2(파란색) 및 0(검은색)의 과다 첨도가 있는 Pearson 유형 VII 분포에 대한 pdf

무한대를 초과하는 첨도가 있는 Pearson 유형 VII 분포에 대한 log-pdf(빨간색), 2(파란색), 1, 1/2, 1/4, 1/8 및 1/16(회색) 및 0(검은색)

첨도의 효과는 낮은 차수의 모멘트와 적분을 일정하게 유지하면서 첨도를 조정할 수 있는 모수 분포 패밀리를 사용하여 설명합니다.대칭 밀도로 제한된 Pearson 유형 IV 제품군의 특수한 경우인 Pearson 유형 VII 제품군을 생각해 보십시오.확률 밀도 함수는 다음과 같이 주어진다.

f(x;a,m)=pic frac {a,\gamma},{\gamrt {pi },\Gamma (m-1/2)}}}}\left [1+\left\frac {x}{a}\right]^{-m},\!

여기서 a는 척도 모수이고 m은 형상 모수입니다.

이 패밀리의 모든 밀도는 대칭입니다.m > (k + 1)/2일 경우 k번째 모멘트는 존재합니다.첨도가 존재하려면 m > 5/2가 필요합니다.그러면 평균과 왜도가 존재하며 둘 다 0입니다.a² = 2m - 3으로 설정하면 분산이 단일성과 같아집니다.그런 다음 자유 매개변수는 m이며, 이는 네 번째 모멘트(및 누적)와 첨도를 제어합니다. $m=5/2+3/\gamma _{2}$ $m=5/2+3/\gamma _{2}$ $m=5/2+3/\gamma _{2}$ / $m=5/2+3/\gamma _{2}$ + $m=5/2+3/\gamma _{2}$ / $m=5/2+3/\gamma _{2}$ 2 { { $displaystyle$ m $= 5$ / $2$ + $3$ / \ $display _ {$ } $m=5/2+3/\gamma _{2}$ （ $\gamma _{2}$ ）。 $\gamma _{2}$ 서 $style$ 2 { $displaystyle$ \ $display$ _ { $}$ 는 $\gamma _{2}$ 위에서 정의한 과도한 첨도이다.따라서 평균이 0, 단위 분산, 왜도 0 및 음수가 아닌 임의의 과잉 첨도를 갖는 단일 모수 렙토쿠르틱 패밀리가 생성됩니다.재매개된 밀도는

({displaystyle g(x;\flac _{2})=f\left(x;\;a=blacrt {2+{\flac {6}{\flac _{2}}}}},\m=blac {5}{2}}+{\flac {3}{\flac {2}}}}\오른쪽).\!}

$\gamma _{2}\to \infty$ 2 $\gamma _{2}\to \infty$ ${\$ \ $displaystyle$ \ $displaystyle$ _ { $2}$ \ $to$ \ $infty }$ 인 $\gamma_2 \to \infty$ 한계에서는 밀도를 구한다.

g(x)=3\left(2+x^{2)}\right)^{-{\frac {5}{2}},\!

오른쪽 이미지에서 빨간색 곡선으로 표시됩니다.

θ $\gamma _{2}\to 0$ $\gamma _{2}\to 0$ (\ $displaystyle$ \ $displaystyle _$ { $2}\to$ 0 $)$ 과 $\gamma_2 \to 0$ 같은 다른 방향에서는 검정곡선으로 표시된 한계분포로서 표준정규밀도를 구한다.

오른쪽 그림에서 파란색 곡선은 과도한 첨도가 2인 $x\mapsto g(x;2)$ x $x\mapsto g(x;2)$ g ( $x\mapsto g(x;2)$ ; $x\mapsto g(x;2)$ ) $x\mapsto g(x;2)$ { $displaystyle$ x $\mapsto$ g $(x;2)}$ 를 $x \mapsto g(x; 2)$ 나타냅니다.위 이미지는 이 패밀리의 렙토쿠르틱 밀도가 중절 정규 밀도보다 더 높은 피크를 가지지만, 이 결론은 선택된 분포 패밀리에 대해서만 유효합니다.렙토쿠르틱 밀도의 비교적 뚱뚱한 꼬리는 피어슨 타입 VII 밀도의 자연 로그를 나타내는 두 번째 이미지에 나타나 있습니다. 검은색 곡선은 포물선인 표준 법선 밀도의 로그입니다.렙토쿠르틱 피어슨 타입 VII 밀도의 청색 곡선과 비교하여 정규 밀도는 평균("얇은 꼬리를 가지고 있다")에서 멀리 떨어진 영역에 확률 질량을 거의 할당하지 않는다는 것을 알 수 있다.파란색 곡선과 검은색 사이에는 θ₂ = 1, 1/2, 1/4, 1/8 및 1/16인 다른 Pearson 유형 VII 밀도가 있습니다.빨간색 곡선은 Pearson 유형 VII 제품군의 상한을 $\gamma _{2}=\infty$ 2 $\gamma _{2}=\infty$ ${\$ { $displaystyle$ \ $display$ _ ${$ 2} = \ $infty$ }(엄밀히 말하면 네 번째 모멘트가 존재하지 않음을 의미)로 다시 표시합니다.빨간색 곡선은 원점에서 바깥쪽으로 이동할 때("뚱뚱한 꼬리가 있다") 가장 느리게 감소합니다.

기타 잘 알려진 배포

평균 0, 분산 1 및 다른 초과 첨도를 가진 선택된 분포에 대한 확률 밀도 함수

평균 0, 분산 1 및 서로 다른 초과 첨도를 갖는 선택된 분포에 대한 확률 밀도 함수의 로그

여기서는 서로 다른 모수 패밀리의 잘 알려진 몇 가지 유니모달 및 대칭 분포를 비교합니다.각각 평균과 왜도는 0입니다.각 경우에서 분산을 1로 만들기 위해 모수가 선택되었습니다.오른쪽 이미지는 선형 척도와 로그 척도로 다음 7가지 밀도에 대한 곡선을 보여 줍니다.

D: 이중 지수 분포라고도 하는 라플라스 분포, 적색 곡선(로그 척도 그림에서 두 직선), 과잉 첨도 = 3
S: 쌍곡선 Secant 분포, 주황색 곡선, 과잉 첨도 = 2
L: 로지스틱 분포, 녹색 곡선, 과잉 첨도 = 1.2
N: 정규 분포, 검정 곡선(로그 척도 그림의 포물선 포함), 과잉 첨도 = 0
C: 상승된 코사인 분포, 시안 곡선, 초과 첨도 = -0.593762...
W: 위그너 반원 분포, 파란색 곡선, 과잉 첨도 = -1
U: 균일한 분포, 자홍색 곡선(두 이미지에서 직사각형으로 선명하게 표시됨), 과도한 첨도 = -1.2.

이러한 경우 플래티커틱 밀도는 유계 지지대를 가지며, 양의 또는 0의 초과 첨도를 가진 밀도는 전체 실제 라인에서 지지된다.

높은 첨도 분포 또는 낮은 첨도 분포가 이러한 예에서 나타내는 특성을 가지고 있다고 추론할 수 없습니다.무한한 지지력을 가진 플래티커틱 밀도가 존재합니다.

예: 형상 매개변수가 충분히 큰 지수 전력 분포 b

한정된 지지력을 가진 렙토쿠르틱 밀도가 존재합니다.

예를 들어 -3과 -0.3 사이, -0.3과 0.3 사이, 0.3과 3 사이의 균일한 분포로, (-3, -0.3) 구간과 (0.3, 0.3) 구간에서는 밀도가 동일하지만 (-0.3, 0.3) 구간에서는 밀도가 -0.3, 0.3)

또한 무한 피크의 플라티커트 밀도도 존재합니다.

예를 들어, 0.5와 1의 모수를 가진 베타 분포의 동일한 혼합물(반사 약 0.0)

렙토쿠르틱 밀도는 평탄하게 보이지만

예를 들어, 혼합 확률이 0.999와 0.001인 T(4.00001) 학생의 t-분포를 사용하여 -1과 1 사이에 균일한 분포의 혼합물입니다.

샘플 첨도

정의들

자연스럽지만 편향된 추정치

n개의 값의 표본에 대해 모집단 과잉 첨도의 모멘트 추정기는 다음과 같이 정의할 수 있다.

{{displaystyle g_{2}=subfrac {m_{2}^{2}}-3=subfrac {\tfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x})^4}{\left[\tfrac {1}{n}{n}_sum_sum}_sum_sum

여기서₄ ${\overline {x}}$ m은 평균에 대한 네 번째 샘플 모멘트이고₂, m은 평균에 대한 두 번째 샘플 모멘트(샘플 분산), x는_i i 값^th, ${\overline {x}}$ ${\({$ 평균입니다.

이 공식은 더 쉽게 표현됩니다.

g_{2}=sum frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}z_{i}^{4}-3

$z_{i}$ 서 z i $\$ 값은 $z_{i}$ 분모에서 n - 1이 아닌 n을 사용하여 정의된 표준 편차를 사용하여 표준화된 데이터 값입니다.

예를 들어, 데이터 값이 0, 3, 4, 1, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 2, 0, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 999라고 가정합니다.

$z_{i}$ 으로 $z_{i}$ zi $(\$ 값은 -0.239, -0.225, -0.234, -0.223, -0.225, -0.230, -0.230, -0.230, -0.230, -0.230, -0.230입니다.

$z_{i}^{4}$ $({$ 값은 $z_{i}^{4}$ 0.003, 0.002, 0.003, 0.003, 0.003, 0.003, 0.003, 0.003입니다.

이러한 값의 평균은 18.05이고 따라서 초과 첨도는 18.05 - 3 = 15.05입니다.이 예제에서는 분포의 "중간" 또는 "피크" 근처에 있는 데이터가 첨도 통계량에 기여하지 않으므로 첨도가 "피크함"을 측정하지 않음을 나타냅니다.이 예에서는 특이치 999에 대한 측정값일 뿐입니다.

표준 비편향 추정기

모집단에서 추출한 샘플의 하위 집합에서 위의 샘플 초과 첨도 $g_{2}$ 2 $(\$ 는 $g_{2}$ 모집단 초과 첨도의 편향된 추정치이다.정규 분포의 랜덤 표본에서 치우치지 않는 모집단 초과 첨도의 대체 추정치는 ^[3]다음과 같이 정의됩니다.

디스플레이 스타일G_{2}&=snfrac {k_{2}^{2}\\[6pt]&=snfrac {n^{2},[(n+1),m_{4}-3,(n-1),m_{2}{2}}{(n-1)},{{n-1)}{{{n-1)},n-2)\fr-3}{{{n-3}}}{{{{n-3}}}}}}}}{{{{{{n-3}}}}}}}}}}}}}}}}}{n-1}}}}}}}}}\[6pt]&=snfrac {n-1}{(n-2),(n-3)}}}\left[(n+1),g_{2}+6\right]\교육}}}

두번째 cumulant(표본 표준 편차의 불편 추정치와 동일한)4cumulant의 어디 k4은 독특한 대칭 불편 추정량., k2은 공정한 추정은 의미하는지 m4은 네번째 표본 순간, 나쁜 말은 자이는 ith 가치에 대해 m2들은 두번째 표본 순간, ¯{\displaystyle{\bar{)}}}. 살을 있e 표본 평균.이 수정된 Fisher-Pearson 표준화 $G_{2}$ $G_{2}$ G 2({ $displaystyle G_{$ 2 $G_{2}$ })는 Excel과 Minitab, SAS 및 ^[11]SPSS를 포함한 여러 통계 패키지에 있는 버전입니다.

불행히도 비정상 $G_{2}$ $({$ 에서는 $G_{2}$ 그 자체가 일반적으로 편향되어 있습니다.

상한

n(n > 2) 실수의^[12] 표본 첨도의 상한은 다음과 같다.

{{displaystyle g_{2}\leq {frac {1}{2}}{\frac {n-3}{n-2}g_{1}^{2}+{\frac {n}{2}}-3.}

$g_{1}=m_{3}/m_{2}^{3/2}$ 서 g 1 $=$ $g_{1}=m_{3}/m_{2}^{3/2}$ 3 / $g_{1}=m_{3}/m_{2}^{3/2}$ 2 $g_{1}=m_{3}/m_{2}^{3/2}$ / $g_{1}=m_{3}/m_{2}^{3/2}$ ({ $displaystyle g_{1$ }= $m_{3}/m_{2}^3/2})$ 는 $g_{1}=m_{3}/m_{2}^{3/2}$ 대응하는 샘플 왜도입니다.

정규성 아래의 분산

정규 분포에서^[13] 크기가 n인 표본의 표본 첨도의 분산은 다음과 같습니다.

{{displaystyle \operatorname {var}(g_{2})=snfrac {24n(n-1)^{2}}{(n-3)(n+3)(n+5)}}

달리 말하면, 기본 $랜덤$ 변수X(\ $displaystyle$ X $)$ 가 $X$ 정규 분포를 따른다고 가정하면, ${\sqrt {n}}g_{2}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}(0,24)$ ${\sqrt {n}}g_{2}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}(0,24)$ 2 ${\sqrt {n}}g_{2}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}(0,24)$ ${\sqrt {n}}g_{2}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}(0,24)$ N ( ${\sqrt {n}}g_{2}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}(0,24)$ , ${\sqrt {n}}g_{2}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}(0,24)$ ) { displaystyle ${\xrightarrow {d} {\mathcal$ { $N} ($ 0 , $24$ ) ${\sqrt {n}}g_{2}{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}(0,24)$ ^[14]^{: Page number needed}} 이라고 표시할 수 있습니다.

적용들

표본 첨도는 데이터 집합의 특이치에 문제가 있는지 여부를 나타내는 유용한 측도입니다.첨도가 클수록 특이치 문제가 심각함을 나타내므로 연구자가 다른 통계 방법을 선택해야 할 수 있습니다.

D'Agostino의 K-제곱 검정은 정규성에 대한 Jarque-Bera 검정과 마찬가지로 표본 왜도와 표본 첨도의 조합을 기반으로 하는 적합도 정규성 검정입니다.

비정규 표본의 경우 표본 분산의 분산은 첨도에 따라 달라집니다. 자세한 내용은 분산을 참조하십시오.

첨도에 대한 Pearson의 정의는 ^[15]난류의 간헐성을 나타내는 지표로 사용됩니다.또한 비가우스 확산을 ^[16]정량화하기 위해 자기공명영상에도 사용됩니다.

그는, 장, 장에 의핸 구체적인 예는 다음과 같은 단어의 기본형:[17]다 기대 E[X]= μ{E[X]=\mu\displaystyle}, 가변성 E=[(X− μ x2]σ 2{\displaystyle E\left[(X-\mu)^{2}\right]=\sigma ^{2}}과 첨 κ=1σ 4E는 경우에는(X− μ)이 무작위로 변수 X{X\displaystyle}를 취하다 4 $]$ ${{displaystyle$ \ $kappa$ {1 $}{\display tfrac {4}}E\left[(X-\mu)^{4}\right$ $n={\tfrac {2{\sqrt {3}}+3}{3}}\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }}$ $n={\tfrac {2{\sqrt {3}}+3}{3}}\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }}$ $n={\tfrac {2{\sqrt {3}}+3}{3}}\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }}$ 3 + $n={\tfrac {2{\sqrt {3}}+3}{3}}\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }}$ $n={\tfrac {2{\sqrt {3}}+3}{3}}\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }}$ log $n={\tfrac {2{\sqrt {3}}+3}{3}}\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }}$ 1 $n={\tfrac {2{\sqrt {3}}+3}{3}}\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }}$ { $displaystyle$ n = 2 $displaytfrac { 2 lt$ { $3$ } + $3$ } { 3 } { 3 }}} { 3 }} { $3$ } { 3 } $}}\kappa \log\tfrac$ { $1}{\$ frac $n={\tfrac {2{\sqrt {3}}+3}{3}}\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }}$ }}개의 $n={\tfrac {2{\sqrt {3}}+3}{3}}\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }}$ 독립된 복사본이 있습니다.그리고나서

\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta

[

\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta

i

\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta

\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta

\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta

\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta

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]

\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta

pr pr pr

\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta

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\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta

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\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta

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\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta

、

\

display

style \

Pr

\ left [ \

max

_ { i

\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta

=

1

}^{

n

} X

_

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i

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\ pright q \

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\

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\ pright pr \ \ prleft \ pri \ pr \ prleftleftleftleftleftleft

이는 $\Theta (\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }})$ ( $\Theta (\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }})$ log $1-\delta$ $\Theta (\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }})$ 1 $\Theta (\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }})$ $displaystyle \Theta$ ( \ $kappa$ \ log \ $tfrac {$ { \ $delta$ )}}의 $\Theta (\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }})$ 샘플이 많으면 기대 이상의 샘플이 $1-\delta$ 됩니다 $.즉$ , kurtosis의 $값$ 이 모두 클 수 있습니다.

첨도 수렴

디지털 영상에 밴드 통과 필터를 적용하면 첨도 값은 필터 범위와 무관하게 균일한 경향이 있습니다.첨도 수렴이라고 하는 이 동작을 사용하여 법의학 ^[18]분석에서 이미지 스플라이싱을 탐지할 수 있습니다.

기타 조치

일반적인 ^[19]^[20]순간 대신 L-모멘트를 사용함으로써 "커토시스"의 다른 측정이 제공됩니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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추가 정보

Kim, Tae-Hwan; White, Halbert (2003). "On More Robust Estimation of Skewness and Kurtosis: Simulation and Application to the S&P500 Index". Finance Research Letters. 1: 56–70. doi:10.1016/S1544-6123(03)00003-5. 대체 출처(첨도 추정치의 비교)
Seier, E.; Bonett, D.G. (2003). "Two families of kurtosis measures". Metrika. 58: 59–70. doi:10.1007/s001840200223. S2CID 115990880.

외부 링크

"Excess coefficient", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
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