추상 위너 공간

추상적인 위너 공간의 개념은 레오나드 그로스(Leonard Gross)가 무한 차원 공간에 대한 가우스 조치의 구조를 이해하기 위해 개발한 수학적인 구성이다. 이 공사는 카메론-마틴 우주가 수행하는 근본적인 역할을 강조하고 있다. 고전적인 위너 공간은 원형적인 예다.

가우스 측정에 대한 구조 정리는 모든 가우스 측정이 추상적인 위너 우주구축으로 대표될 수 있다고 명시하고 있다.

동기

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을(를) 무한 치수 및 분리가 가능한 실제 힐버트 공간이 되도록$$ 하십시오. 물리학 문헌에서, 종종 형태의 통합과 마주친다.

${\displaystyle {\frac {1}{Z}\int _{H}f(v)e^{-{\frac {1}{1}2}}\Vvert ^{2}}Dv,}$

여기서 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$은(는) 정규화 상수여야 하며, $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Dv}$은(는) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에 존재하지 않는 르베그 측정이어야 한다$.$ 이러한 통합은 특히 양자장 이론의 유클리드 경로-적 통합적 공식화의 맥락에서 발생한다. 수학적 수준에서 그러한 적분은 원래 $Hilbert{\displaystyle }$ 공간 H$${\$displaystyle$H}에 대한 측정에 대한 통합으로 해석될 수 없다$.$ $반면$에$$B {\$displaystyle B}$이(가) 밀도 있는 하위 공간으로$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을(를) 포함하는 Banach 공간이라고$$ 가정하자. $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H$보다 "충분히 큰" 경우, 위의 적분은 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 대해 잘 정의된 (가우스) 측정에 대한 통합으로 해석될 수 있다$.$ 이 경우$,$ 쌍$({\displaystyle H,}$ $B) {\displaystal$ Wiener 공간이라고$$ 한다.

The prototypical example is the classical Wiener space, in which ${\displaystyle H}$ is the Hilbert space of real-valued functions ${\displaystyle b}$ on an interval ${\displaystyle [0,T]}$ having one derivative in ${\displaystyle L^{2}}$ and satisfying ${\displaystyle b(0)=0}$, with t에 의해 주어지는 규범이다.

${\displaystyle \left\b\right\Vert ^{2}=\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt.}$

이 경우 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은$({\displaystyle }$는) [0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,T]$의 연속함수의 바나흐 공간으로 간주할 수 있다$$. 이 경우 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 대한 측정은 원점에서 시작하는 브라운 운동을 설명하는 Wiener 측정이다. 원래의 서브 $스페이스{\displaystyle }$ H${\displaystyle }$b ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H\subset B$}은(는) 카메론-마틴 공간이라고 불리며, 위너 측정에 관해서 측정치 0의 집합을 형성한다.

앞의 예시가 의미하는 것은 우리가 위너 측정에 대해 형식적인 표현을 가지고 있다는 것이다.

${\displaystyle d\mu (b)={\frac {1}{Z}\exp \left\{-\frac {1}{1}2}}\int_{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt\right\}\,Db.}$

위너 측정이 T ( t) < ${\displaystyle \int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt<\ft }}}}$이(가) 있는 경로의 공간에서 살아야 한다는 것을 암시하지만 실제로는 그렇지 않다.(브라운 경로는 확률 1과 어디에서도 다를 수 없는 것으로 알려져 있다.)

Gross의 추상적인 Wiener 공간구성은 고전적인 Wiener 공간의 상황을 추상화하고 B {\$displaystyle B}$에 가우스 측정이 존재하기 위해 필요하고도 충분한 (확인하기 어려울 경우) 조건을 제공한다$.$ 비록 가우스 측량 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$은 B ${\displaystystyle B}$rath에$$ 살고$$ 있지만.$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$보다,$$$\mu$의 성질을 제어하는 것은$$ $B{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle B}$이 아니라 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 기하학이다$.$ 그로스 자신의 표현대로^[1] "그러나 그것은 I.E의 작업과 함께 명백해졌다. 실제 힐버트 공간의 정규 분포를 다루는 시걸, $힐버트{\displaystyle }$ $공간{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$의 역할이 정말로 중심적이었고$$, B ${\displaystyle B}$에 대한 분석에 관한$$ 한, $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 역할 자체가 카메론과 마틴의 많은 이론에 보조적 역할을 하고 있다는 것, 그리고 일부 인스탄트에서는.ces는 불필요한 것조차 그로스(Gross)의 추상적인 Wiener 공간구축의 매력적 특징 중 $하나$는 H$(\displaystyle H)$를 출발점으로 삼고$$ $(\displaystyle B)$를 보조$$ 물체로 취급한다는 점이다.

본 섹션의 앞부분에서 나타나는$$ $\mu$의 형식적 표현 ${\$$displaystyle \mu }$은(는) 순수하게 형식적인 물리식 표현이지만, $\mu$의 속성을 이해하는 데 매우 유용하다$.$ 특히, 이러한 표현들을 쉽게 사용하여 번역 밀도에 대한 (정확!) 공식을 도출할 수 있다.$d$${\displaystyle (b}$+ h${\displaystyle }$) ${\displaystyle d\mu(b+h)}$을(를$)$ ${\displaystyle \mathrm{d\mu }(b}$) ${\displaystyle d\$$mu(b)}$에$$대해 측정한다$($Cameron-Martin 정리 참조).

수학적 설명

H에 대한 실린더 설정값

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을(를) 실제 숫자에 걸쳐 정의한 힐버트 공간으로, 무한 치수 및 분리가 가능하다고 가정한다. $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $H$$}$에 설정된 실린더는 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에 대한 유한한 선형 함수 집합의 관점에서 정의된 집합이다$.$ 구체적으로 ${\displaystyle {\varphi \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {\varphi }_{}}$ n ${\$은 $H{\displaystyle }$ ${\displaystylaystyline}$및 $E$ {n$}$에 연속 선형 함수라고 가정한다.$E}$은(는) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 설정된 보렐이다$.$ 그러면 세트를 고려해 볼 수 있다.

${\displaystyle C=\왼쪽\{v\in H(\phi _{1}(v),\ldots,\phi _{n}(v)\in E\right\}.}$

이 타입의 어떤 세트도 실린더 세트라고 불린다. 모든 실린더 세트의 집합은 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에서 집합의 대수적 형태를 이루지만$$ $but{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ -algebra는 아니다.

실린더 세트에 다음과 같이 "측정"을 정의하는 자연스러운 방법이 있다. By the Riesz theorem, the linear functionals ${\displaystyle \phi _{1},\ldots \phi _{n}}$ are given as the inner product with vectors ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ in ${\displaystyle H}$. In light of the Gram–Schmidt procedure, it is harmless to assume that ${\displaystyle v_1,\dots ,v_{}}$${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 정형이다. 이 경우 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n ${\$ $C$$}$에 대한 표준 가우스 측정에 대한 $E$ ${\displaystyle E}$의 측정치를 위에 정의된 실린더 $세트{\displaystyle }$ C ${\$$displaystyle$ C$}$에 연결할 수 있다$.$ 즉$,$ 우리는 정의한다.

${\displaystyle \mu(C)=(2\pi )^{-n/2}\int _{E\subset \mathb {R}^{n}^{n}e^{-\vert x\vert ^{2}/2}\,dx,}$

여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle dx}$은(는) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle \mathb {R}$^{n$\}\}$에 대한 표준 가우스 측정값의 제품 구조 $때문$에 μ$${\$displaystyle \mathb$${R} ^{n$$}}}$이(가)가 잘 정의되어$$ 있음을 보여주는 것은 어렵지 않다. 즉, 동일한 $세트{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$을(를) 둘 이상의 방식으로 설정된 실린더로 나타낼 수 있지만$$ $\mu {\displaystyle (C}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mu(C)}$의 값은 항상 동일하다$$.

H에 대한 측정값의 불포함

설정된 기능 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}을$($를) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$에 대한 표준 가우스 실린더 세트 측정이라고 한다$.$ ($우리$가 하는 대로) H ${\displaystyle H}$을(를$)$ 무한 치수라고 가정하면 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ -algebra에$$ 대한 계수적으로 확장되지 않는다. $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 실린더 세트 수집에 의해$.$ R ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {R} ^{n}}$에 대한$$ 표준 가우스 측도의 동작을 고려하여 난이도를 이해할 수 있다.

${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}e^{-\\vert x\vert ^{2}/2}\,dx.}$

이 조치에 대한 표준 제곱의 기대값은 다음과 같이 기초 가우스 적분으로 계산된다.

${\displaystyle (2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Vert x\Vert ^{2}e^{-\Vert x\Vert ^{2}/2}\,dx=(2\pi )^{-n/2}\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {R} }x_{i}^{2}e^{-x_{i}^{2}/2}\,dx_{i}=n.}$

즉, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 표준 가우스 측정에 따라 무작위로 선택한 벡터의 원점으로부터의 일반적인 $거리$는 n.${\displaystyle {\sqrt {n}$이다.$}$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $n$$}$이(가) 무한대로 기울기$$ 때문에$,$ 이 전형적인 $거리$는 무한대로 되어,$$H {\$displaystyle$ H$}$에 대해 잘 정의된 "표준 가우스" 측정이 없음을 나타낸다.(원점으로부터의 일반적인 거리는 무한하므로, 측정치가 실제로 공간 $H{\displaystyle }$ ${\displaysty$ H$}$에 살지 않을 것이다.)$$

B에 대한 조치의 존재

$이제{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$이(가) 분리 가능한 Banach $공간$이고 i${\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle$ i$:$$H\wrightarrow B}$은(는) 주입식 연속 선형 지도로, $이미지$가 B ${\displaystyle B}$에 밀도 있는$$H ${\displaystyle H}$을(를) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B$$}$ 안에 있는 $이미지$로 식별하는$$ 것은 무해하며, $따라서{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$을 $}$의 밀집된 하위 집합으로$$ 간주하면 된다$.$ 그러면 우리는 다음과 같다.t 실린더 세트 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C\subset B$$}$의 측정을 이전에 $정의$된 C ${\displaystyle \cap }$ H ${\displaystyle$ C$\cap$ H}의$$실린더 세트 측정값으로 정의하여$$$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $H$$\}$에 실린더 세트 측정값.

추상적인 Wiener 공간구축의 개념은 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $H}$보다 충분히 크면$,$ $H{\displaystyle }${\$displa$에 대한 실린더 세트 측정과는 $달리{\displaystyle }$ B$${\$displa}$에 대한 실린더 세트 측정치가 $생성$된 {$${\$displa$}에 대한 누적된 측정치로 확장된다는 것이다.$ystyle \sigma }$ -complete$$. Gross의^[2] 원본 논문은 B ${\displaystyle B}$에 필요하고도 충분한 조건을 제시하여 이것이 그러하도록 한다$$. $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 대한 측정을 가우스 측정이라고 하고$$, 하위 $공간{\displaystyle }$ H${\displaystyle }$⊂ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H\subset B$}을(를) 카메론-마틴 공간이라고 한다$$. 가우스 측정이 $H{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $H}$이(가) $아닌{\displaystyle }$ $B{\displaystyle }$ {\$displaystyle B}$에만 존재함을$$ 강조하면서$,$ $H{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ H$}$ 안에 측정값 0 집합을 형성한다는$$ 것을 강조하는 것이 중요하다$.$

이 전체 논의의 결론은 동기 섹션에서 설명하는 종류의 가우스적 통합은 엄격한 수학적 해석을 가지고 있지만, 형식적 표현의 지수에서 규범이 발생하는 공간에 살지 않는다는 것이다. 오히려, 그들은 더 큰 공간에서 산다.

건설의 보편성

추상적인 위너 공간구축은 단순히 가우스 조치들을 건설하는 하나의 방법이 아니다. 오히려 무한 차원 바나흐 공간에 대한 가우스 측도는 모두 이런 식으로 일어난다.(가우스 측정에 대한 구조 정리 참조) That is, given a Gaussian measure ${\displaystyle \mu }$ on an infinite-dimensional, separable Banach space (over ${\displaystyle \mathbb {R} }$), one can identify a Cameron–Martin subspace ${\displaystyle H\subset B}$, at which point the pair ${\displaystyle (H,B)}$ becomes an abstract Wiener space and $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 관련 가우스 측정값이다.

특성.

• $[\displaystyle \mu }$은(는) 보렐 측정값으로, B의 열린 하위 집합에 의해 생성된 보렐 σ-알게브라에 정의된다.
• $[\displaystyle \mu }$은(는_∗) 모든 선형 기능 f ∈ B^∗, f ≠ 0에 대해 f($[\displaystyle \mu$ $\})$가 R에 대한 가우스 측도라는 의미에서 가우스 측도다.
• 따라서 $[\displaystyle \mu }$은(는) 엄격히 양성이며$$ 국소적으로 유한하다.
• 번역 중인$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$의 행동은 카메론-마틴 정리(Cameron-Martin organization)에 의해 설명된다.
• 추상적인 Wiener₁ 공간₁ i : H → B₁, i₂ : H₂ → B₂ 두 개를 주어 볼 때 $one{\displaystyle {}_{}{12}_{}}$ = ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle \gamma _{12}=\gamma _${1$}\otimes \gamma _{1}.$ 전체$:$

${\displaystyle (i_{1}\time i_{2})_{*}(\mu ^{1}\time H_{2}}:\}=(i_{1})=(i_{1}{1}}\mu ^{1}}\{1}\right)\otimes (i_{{{{H_{2}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{2}}:}오른쪽)}}}), 왼쪽}),$

즉, 카르테시안 제품 B₁ × B에₂ 대한$$ 추상 Wiener 측정 ${\$는 두 요인₁ B와₂ B에 대한 추상 Wiener 측정의 산물이다.

• H(및 B)가 무한 치수인 경우 H의 이미지는 0을 측정한다. 이 사실은 콜모고로프의 제로원 법칙의 결과다.

예: 클래식 위너 공간

추상적인 Wiener 공간의 원형적인 예는 연속적인 경로의 공간이며, 고전적인 Wiener 공간으로 알려져 있다. $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$이(가) 주어지는$$ 추상적인 Wiener 공간이다.

${\displaystyle H:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathb {R}^{n}):=\{\{\text{properties}0부터 시작하는 사각 통합형 첫 번째 파생 모델}\}}$

에 의해 주어지는

${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\angle _{L_{0}^{2,1}:=\int _{0}^{0}^{0}}}}}{2,1}:}}}}T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t), {\dot {\sigma }}{2}(t)}\angle _{\mathb {R} ^{n}\,\mathrm {d} t,}$

및 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) ${\displaystyle {}^{}}$부터 $시작$하여 R n ${\$까지${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,T]}$의 연속 맵 공간이며, 균일한 표준이다. 이 경우 가우스 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 위너 측정치로, 원점에서부터 시작되는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 브라운 운동을 설명한다.

$이{\displaystyle }$ 경우$$ H ${\displaystyle H}$이($가{\displaystyle }$) μ$[\displaystyle \mu }$에 대해 일련의 측정치를 형성한다는$$ 일반적인 결과는 전혀 다를 수 없는 것으로 알려진 전형적인 브라운 경로의 거칠기를 반영한다. 이는 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 경로에 대한 가정된 차이성과는 대조적이다$.$

참고 항목

• 가우스 측정에 대한 구조 정리
• 무한한 차원의 르베그 측도는 없다.

참조

• Bell, Denis R. (2006). The Malliavin calculus. Mineola, NY: Dover Publications Inc. p. x+113. ISBN 0-486-44994-7. MR 2250060. (섹션 1.1 참조)
• Gross, Leonard (1967). "Abstract Wiener spaces". Proc. Fifth Berkeley Sympos. Math. Statist. and Probability (Berkeley, Calif., 1965/66), Vol. II: Contributions to Probability Theory, Part 1. Berkeley, Calif.: Univ. California Press. pp. 31–42. MR 0212152.
• Kuo, Hui-Hsiung (1975). Gaussian measures in Banach spaces. Berlin–New York: Springer. p. 232. ISBN 978-1419645808.