선택적 정지 정리

확률론에서 선택적 정지정리(또는 Dub의 선택적 샘플링 정리)는 특정 조건에서 정지시간에 마팅게일의 기대치가 초기 기대치와 동일하다고 말한다. 마팅칼레스는 공정한 게임에 참여하는 도박꾼의 부를 모형화하는 데 사용될 수 있기 때문에 선택적 정지 정리는 지금까지 얻을 수 있는 정보(즉, 미래를 보지 않고)에 근거한 놀이를 중지함으로써 평균적으로 아무것도 얻을 수 없다고 말하고 있다. 이 결과가 참되려면 일정한 조건이 필요하다. 특히 이중화 전략에는 정리가 적용된다.

선택적 정지정리는 자산가격 결정의 근본적인 정리의 맥락에서 수학적 금융의 중요한 도구다.

성명서

정리의 이산 시간 버전은 다음과 같다.

여과(F_t)와 관련하여 X = (X_t)_{t∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0}를 이산 시간 마팅게일로 하고, $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$∪$$₀ {}}의 값을 갖는 정지 시간을 τ한다._{t∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0} 다음 세 가지 조건 중 하나가 유지된다고 가정하십시오.

(a) 정지 시간 τ은 거의 확실하게 경계되어 있다. 즉, $일정$한 c ∈ N ${\$가) 존재하며, 이러한$$ c τ a c a.s.

(b)그 정지 시간 τ 한정된 기대와 그 가슴 걸이 증가의 절대 값의 조건부 기대 거의 확실하게, 더 정확하게 뛰었다, E[τ]<>∞{\displaystyle \mathbb{E}[\tau]<, \infty}과 지속적인 c가 E는 경우 Xt+1− X에게 F톤 존재하 ]${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathb {E} {\bigl [}X_{t+1}-X_{t} \{\big \ft}{F}{t}{\bigr ]}\leq$ c$}$은(는) 모든 t ∈ $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 거의$$ 확실하다$.$₀

(c) $모든{\displaystyle \mathbb{}}$ t ∈ N ${\$에 대해_t∧τ X ≤ c.s.와 같은 상수 c가 존재하며, 여기서$$₀ ∧은 최소 연산자를 나타낸다.

그렇다면 X는_τ 거의 확실하게 정의된 임의변수와 $E{\displaystyle \mathbb{}}$[ X ${\displaystyle {\tau }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= E${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}_{}}$ . ${\displaystyle \mathb {E}[X_{\tau }]=\mathb {E}[X_{0}]]$이다.$}$

마찬가지로, 확률적 공정 X = (X_t)_{t∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0}가 서브마틴데일 또는 슈퍼마틴데일이고 위의 조건 중 하나가 유지된다면,

${\displaystyle \mathb {E} [X_{\tau }]\geq \mathb {E} [X_{0}],}$

잠수함을 위해, 그리고

${\displaystyle \mathb {E} [X_{\tau }]\leq \mathb {E} [X_{0}],}$

슈퍼마틴세일을 위해

비고

조건 (c)에서는 τ = ∞이 양의 확률로 발생할 수 있다. 이 이벤트에서 X는_τ (X)_{t∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0}의_t 거의 확실히 존재하는 포인트별 한계로 정의된다. 자세한 내용은 아래 증거를 참조하십시오.

적용들

• 선택적 정지 정리는 한정된 수명을 가진 도박꾼의 성공적인 베팅 전략의 불가능성을 증명하는 데 사용될 수 있다(조건 (a) 또는 내기에 대한 주택 제한(조건 (b)). 도박꾼은 1, 2, 3회 등 시간에 페어 코인 플립으로 최대 c달러까지 내기를 할 수 있으며, 코인이 앞면이 나오면 내기를 하고, 뒷면이 나오면 내기를 잃을 수 있다고 가정해 보자. 더 나아가 그가 원할 때마다 그만둘 수는 있지만, 아직 일어나지 않은 도박의 결과를 예측할 수는 없다고 가정하자. 그러면 시간이 흐르면서 도박꾼의 재산은 마팅게일이고, 그가 그만두기로 결심하는 시간 τ은 정지 시간이다(혹은 파산하여 그만두어야 하는 시간). 그래서 정리에는 E[X_τ] = E[X₀]라고 되어 있다. 도박꾼은 시작할 때와 평균적으로 같은 액수의 돈을 가지고 떠난다는 얘기다. (같은 결과는 도박꾼들이 개인 내기에 대한 주택 한도를 갖는 대신 신용 한도나 부채의 범위가 한정되어 있다면, 이것이 다른 버전의 정리를 가지고 보여주기 더 쉽지만)
• 각 단계에서 동일한 확률로 1씩 상승 또는 하강하는 that 0에서 시작하는 무작위 보행을 가정해 보십시오. 0 또는 m ≥ a에 도달하면 보행이 중지된다고 가정해 보십시오. 이 시간이 처음 발생하는 시간은 정지 시간입니다. 걷기가 끝나는 예상 시간이 유한하다는 것이 알려진 경우(예: 마르코프 연쇄 이론으로부터), 선택적 정지 정리는 예상 정지 위치가 초기 위치 a와 동일하다고 예측한다. 0보다 먼저 걷기가 m에 도달할 확률 p에 대해 a = pm + (1 – p)0을 풀면 p = a/m이 된다.
• 이제 0에서 시작하여 –m 또는 +m에 도달하면 정지하는 임의의 워크 X를 고려하고 예시 섹션의_n Y = X_n² – n 마팅게일을 사용하십시오. X가 처음 ±m에 도달하는 시간이라면, 0 = E[Y₀] = E[Y_τ] = M² – E[11]이다. 이것은 E[τ] = m을² 준다.
• 그러나 정리의 조건 중 하나가 유지되도록 주의를 기울여야 한다. 예를 들어, 마지막 예제가 대신 '일측' 정지 시간을 사용했다고 가정해, 정지 시간은 -m이 아니라 +m에서만 발생했다고 가정해 보자. 따라서 이 정지 시간에 X의 값은 m이 될 것이다. 따라서 기대값 E[X_τ]도 m이어야 하며, 겉보기에는_τ E[X] = 0을 나타내는 정리를 위반해야 한다. 선택적 정지정리의 실패는 세 가지 조건이 모두 실패한다는 것을 보여준다.

증명

X가^τ 중지된 과정을 나타내도록 하자, 그것은 또한 마팅게일(또는 각각 서브마트팅게일 또는 슈퍼마팅게일)이다. 조건 (a) 또는 (b)에서는 랜덤 변수 X가_τ 잘 정의된다. 조건 (c)에서는 정지된 공정 X가^τ 경계되므로 Dob의 마팅게일 수렴 정리에 의해 a.s.를 점으로 수렴하며, 이를 X라고_τ 부른다.

조건 (c)이 유지되면 정지된 공정 X는^τ 상수 랜덤 변수 M := c에 의해 경계된다. 그렇지 않으면 중지된 프로세스를 다음과 같이 기록하십시오.

${\displaystyle X_{t}^{}^{}=X_{0}+\sum _{s}^{\tau -1\land t-1}(X_{s+1}-X_}),\quad t\in {\mathb {}{N}_{0}}}}}}}$

$모든{\displaystyle \mathbb{}}$ t ∈ N ${\$에 대해_t^τ X ≤ M을 부여한다$.$₀ 여기서

${\displaystyle M:= X_{0} +\sum _{s=0}^{\tau -1} X_{s+1}-X_{s} = X_{0} +\sum _{s=0}^{\infty } X_{s+1}-X_{s} \cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}}$.

단조로운 정리에 의해.

${\displaystyle \mathbb {E} [M]=\mathbb {E} [ X_{0} ]+\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {E} {\bigl [} X_{s+1}-X_{s} \cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}{\bigr ]}}$.

조건 (a)이 유지되는 경우 이 시리즈는 0이 아닌 한정된 수의 항만 가지므로 M은 통합할 수 있다.

조건 (b)이 유지되면 조건부 기대치를 삽입하고 시간 s에 사건 {τ > s}이(가) 알려져 있다는 것을 사용하여 계속한다(주: filt은 여과와 관련하여 정지 시간으로 가정됨).

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbb{E}[M]&, =\mathbb{E}[X_{0}]+\sum _{s=0}^{\infty}\mathbb{E}{\bigl[}\underbrace{\mathbb{E}{\bigl[}X_{s+1}-X_{s}{}\big{\mathcal{F}}_{s}{\bigr]}\cdot \mathbf{1}_{){\tau>s\}}}_{\leq \,c\,\mathbf{1}_{){\tau>s\}}{(b)에 의해 \text{a.s.}}}{\bigr]}\\&, \leq \mathbb{E}[X_{0}]+c\sum다.{s=0}^{\infty }}\mathb {P}(\tau >s)\\&=\mathb {E} [ X_{0} ]+c\,\mathb {E} [\tau ]<\inflit,\\ended}}}$

여기서 비 음수 정수 값 랜덤 변수의 기대값의 표현을 마지막 동일성에 사용한다.

따라서 정리의 세 가지 조건 중 어느 하나에서든 정지된 프로세스는 통합 가능한 임의 변수 M에 의해 지배된다. 정지된 공정 X는^τ 거의 확실히 X로_τ 수렴되기 때문에 지배적인 수렴 정리는 암시한다.

${\displaystyle \mathb {E} [X_{\tau }]=\lim_{t\to \infit }\mathb {E}[X_{t}^{\tau }]}$

정지된 공정의 마팅게일 재산에 의해

${\displaystyle \mathb {E}[X_{t}^{\tau }]=\mathb {E}[X_{0}],\quad t\in {\mathb {}{0},}$

이 때문에

${\displaystyle \mathb {E} [X_{\tau }]=\mathb {E}[X_{0}]}$

마찬가지로 X가 각각 하위격차 또는 슈퍼마틴차일이라면 마지막 두 공식의 동등성을 적절한 불평등으로 바꾼다.

참조

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1. Grimmett, Geoffrey R.; Stirzaker, David R. (2001). Probability and Random Processes (3rd ed.). Oxford University Press. pp. 491–495. ISBN 9780198572220.
2. Bhattacharya, Rabi; Waymire, Edward C. (2007). A Basic Course in Probability Theory. Springer. pp. 43–45. ISBN 978-0-387-71939-9.

외부 링크

• 두브의 선택적 정지 정리