요율함수

수학에서 - 특히 큰 편차 이론에서 - 비율 함수는 희귀 사건의 확률을 계량화하는 데 사용되는 함수다.큰 편차 원리의 형성에 도움이 되는 몇 가지 특성이 필요하다.^{[clarification needed]}어떤 의미에서 큰 편차 원리는 확률 측정의 약한 수렴의 아날로그지만, 희귀 사건이 얼마나 잘 작용하는지를 고려한 원리다.

요금 함수는 스웨덴의 확률론자 하랄드 크래머의 이름을 따서 크래머 함수라고도 불린다.

정의들

Rate function Hausdorff 위상학적 공간 X에 정의된 확장된 실질 가치 함수 I : X → [0, +∞]가 동일하지 않고 낮은 반연속성, 즉 모든 하위 수준 집합인 경우 Rate function이라고 한다.

{\displaystyle \{x\in X\mid I(x)\leq c\}{\mbox{{}{{}c\geq 0}용

X로 마감되어 있다.더 나아가, 그것들이 작다면, 나는 좋은 요금 기능이라고 한다.

X에 대한 확률 측정(μ_δ)_{δ > 0} 계열은 모든 닫힌 집합 F ⊆ X와 모든 열린 집합 G ⊆ X에 대해 비율 함수 I : X → [0, +³ (및 비율 1 ½ Δ)로 큰 편차 원리를 만족한다고 한다.

{\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(F)\leq -\inf _{x\inF}I(x) 및\quad {\mbox{(U)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"

\delta \liminf _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(G)\geq -\inf _{x\inf _{x\in G}I(x).\quad {\mbox{(L)}}}

(폐쇄 대신) 콤팩트만을 위해 상한(U)을 잡으면 (μ_δ)_δ>0는 약한 큰 편차 원리를 만족한다고 한다(율 1 ½ Δ, 약률 함수 I).

언급

큰 편차 원리에서 열린 집합과 닫힌 집합의 역할은 확률 측정의 약한 수렴에서 그들의 역할과 유사하다: (μ_δ)_{δ > 0}는 닫힌 집합 F ⊆ X와 열린 집합 G ⊆ X 각각에 대해 μ에 약하게 수렴된다고 하는 것을 상기한다.

\limsup _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(F)\leq \mu(F),

\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(G)\geq \mu(G).}

문헌에 사용된 명칭에는 약간의 변화가 있다. 예를 들어, Den Hollander(2000년)는 단순히 뎀보 & Zeituni(1998년)에 이어 이 기사가 "좋은 비율 함수"와 "취약 비율 함수"를 사용하는 "요율 함수"를 사용한다.비율 함수에 사용되는 명칭과 상관없이 상한 불평등(U)이 닫힘 또는 콤팩트 세트로 고정되어야 하는지 여부를 검사하면 사용 중인 큰 편차 원리가 강한지 약한지를 알 수 있다.

특성.

유니크함

위의 일반적인 프레임워크의 다소 추상적인 설정을 볼 때, 당연히 물어봐야 할 질문은 요금 함수가 고유한가 하는 것이다.이것이 그 경우인 것으로 밝혀졌다: 두 가지 비율 함수 I와 J에 대한 큰 편차 원리를 만족하는 X에 대한 확률 측정(μ_δ)_δ>0의 순서를 보면, 모든 x ∈ X에 대해 I(x) = J(x)가 뒤따른다.

지수타이트성

약한 큰 편차 원리를 충분히 빨리 수렴하면 강한 편차로 전환할 수 있다.콤팩트 세트 F에 대한 상한 홀드와 측정 순서(μ_δ)_δ>0가 기하급수적으로 팽팽한 경우, 닫힌 세트 F에 대해서도 상한 홀드가 유지된다.즉 기하급수적으로 긴밀하면 약한 큰 편차 원리를 강한 원리로 전환할 수 있다.

연속성

Naïvely는 모든 보렐이 S ⊆ X를 설정한다는 단일 요건으로 두 불평등(U)과 (L)을 대체하려고 할 수 있다.

\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(S)=-\inf _{x\inf _{x\in S}I(x).\quad {\mbox{(E)}}}

많은 흥미로운 예들이 (U)와 (L)을 만족하지만 (E)는 만족하지 않기 때문에 평등 (E)은 너무 제한적이다.예를 들어, 측정_δ μ는 모든 Δ에 대해 원자성이 아닐 수 있으므로, 정의에서 허용되지 않는 동일한 +1200인 경우에만 동등(E)이 S = {x}을(를) 지탱할 수 있다.그러나, 불평등(U)과 (L)은 소위 I-연속 집합 S x X에 대한 동등(E)을 의미하며, 그러한 동등성은 다음과 같다.

I{\big(}{\stackrel {\circle }{S}{S}}\big )}=I{\big (}{\bar {S}{\big )}

여기서 $∘{\$ 및 ${\stackrel {\circ }{S}}$ ${{\$ { $S}}$ 은(는) 각각 X에서 S의 내부와 폐쇄를 나타낸다 ${\bar {S}}$ .많은 예에서 관심 있는 많은 집합/이벤트는 I-연속적이다.예를 들어, 만약 내가 연속적인 함수라면, 모든 것은 다음과 같이 S를 설정한다.

S\subseteq {\bar {\stackrel {\circle }{S}}}}}

I-연속적이다. 예를 들어, 모든 열린 집합은 이 격납을 충족한다.

큰 편차 원리의 변환

한 공간에 큰 편차 원리를 부여하면 다른 공간에 큰 편차 원리를 구성할 수 있다는 점이 관심거리인 경우가 많다.이 영역에는 다음과 같은 몇 가지 결과가 있다.

수축 원리는 한 공간의 큰 편차 원리가 (확률 측정의 푸시 포워드를 통해) 연속 함수를 통해 다른 공간의 큰 편차 원리에 어떻게 도달하는지 알려준다.
도슨-게르트너 정리는 일련의 공간들에 대한 일련의 큰 편차 원리가 어떻게 투영 한계로 지나가는지를 말해준다.
기울어진 큰 편차 원리는 지수 함수의 통합에 큰 편차 원리를 제공한다.
기하급수적으로 동등한 척도는 동일한 큰 편차 원칙을 가지고 있다.

역사와 기초 발전

요율함수의 개념은 1930년대에 스웨덴의 수학자 하랄드 크래머의 일련의 i.i.d. 난수변수(Z_i)에 대한 연구와 함께 나타났다._{i∈ $\mathbb {N}$}즉, 스케일링의 일부 고려사항 중 Cramér는 평균 X ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ = ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ ∑ i ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ = ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ ${\$ {1 $}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}}$ 의 분포 동작을 n→^[1]n→n으로 ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ 연구했다.그는 e−nλ())으로 Xn의 분포의 꼬리를 썩고 기하 급수적으로 그cumulant-generating 기능의 Z(t)=log이런 이유로 ⁡ E⁡ e 있어 Z.{\displaystyle \Psi_{Z}(t)=\log\operatorname{E}e^{tZ}.}이 파 Ψ이 지수에는 주는 요소 λ())은 Legendre–Fenchel 대해 변환(는 볼록 켤레 a.k.a.)을 발견했다.ticular 함수 λ(x)는 Cramér 함수라고도 불린다.이 글에서 위에서 정의한 비율 함수는 무작위 변수의 상태 공간보다는 확률 공간에 더 추상적으로 정의되는 크레이머의 개념을 광범위하게 일반화한 것이다.

참고 항목

극값 이론

참조

^ Cramér, Harald (1938). "Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités". Colloque consacré à la théorie des probabilités, Part 3, Actualités scientifiques et industrielles (in French). 731: 5–23.

Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Large deviations techniques and applications. Applications of Mathematics (New York) 38 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. 미스터1619036
den Hollander, Frank (2000). Large deviations. Fields Institute Monographs 14. Providence, RI: American Mathematical Society. p. x+143. ISBN 0-8218-1989-5. 미스터1739680

[1] Cramér, Harald (1938). "Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités". Colloque consacré à la théorie des probabilités, Part 3, Actualités scientifiques et industrielles (in French). 731: 5–23.

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