부분 브라운 운동

확률론에서, 프랙탈 브라운 운동(fBm)은 브라운 운동의 일반화이다.기존의 브라운 운동과 달리 fBm의 증가는 독립적일 필요가 없다. fBm은 [0, T]의 연속 시간 가우스 프로세스_H B(t)이며, 0에서 시작되며 [0, T]의 모든 t에 대한 기대치가 0이며 다음과 같은 공분산 함수를 가진다.

{\displaystyle E[B_{H)(t)B_{H}(s)]=tfrac {1}{2}}(t^{2)H}+초^{2H}- t-s^{2H } ) )

여기서 H는 (0, 1)의 실수이며, 부분 브라운 운동과 관련된 허스트 지수 또는 허스트 매개변수라고 한다.허스트 지수는 결과 모션이 거칠어졌다는 것을 나타내며, 값이 높을수록 모션이 부드러워집니다.그것은 만델브로트와 반 네스에 의해 소개되었다.

H 값은 fBm의 종류를 결정합니다.

H = 1/2이면 이 과정은 사실상 브라운 운동 또는 위너 과정이다.
H > 1/2인 경우 프로세스의 증분은 양의 상관관계가 있습니다.
H < 1/2이면 공정의 증분은 음의 상관관계가 있습니다.

증분 프로세스 X(t_H) = B(t+1_H) - B(t)는 부분 가우스 노이즈로 알려져 있습니다.

또한 부분 브라운 운동의 일반화가 있습니다.n차 부분 브라운 운동은 n-fBm으로 ^[1]약칭됩니다.n-fBm은 순서 n의 증분이 정지된 자기 유사 비정상 과정입니다.n = 1의 경우 n-fBm은 고전적인 fBm입니다.

일반화된 브라운 운동처럼, 부분 브라운 운동은 19세기 생물학자 로버트 브라운의 이름을 따 명명되었고, 부분 가우스 잡음은 수학자 칼 프리드리히 가우스의 이름을 따 명명되었습니다.

배경과 정의

분수 브라운 운동의 도입 전에, Levy(1953)는 과정을 정의하기 위해 리만-리우빌 분수 적분을 사용했다.

B_{H}(t)=secfrac {1}{\Gamma(H+1/2)}}\int _{0}^{t}(t-s)^{H-1/2},dB(s)

여기서 통합은 백색 소음 측정 dB(s)에 관한 것이다.이 적분은 출처를 지나치게 강조하기 때문에 부분 브라운 운동 적용에 적합하지 않은 것으로 밝혀졌다(Mandelbrot & van Ness 1968, 페이지 424).

대신 화이트 노이즈의 다른 부분 적분을 사용하여 프로세스를 정의하는 것입니다: Weyl 적분

{\displaystyle B_{H}(t)=B_{H}(0)+{\Frac {1}{\Gamma(H+1/2)}}\left\{\int _{-\infty }{0}\left[(t-s)^{H-1/(-s)\D)}, 오른쪽

t > 0 의 경우(및 t < 0 의 경우도 마찬가지).

부분 브라운 운동과 규칙 브라운 운동 사이의 주요 차이점은 브라운 운동의 증가는 독립적이지만 부분 브라운 운동의 증가는 독립적이지 않다는 것이다.H > 1/2 의 경우는 양의 자기 상관 관계가 있습니다.이전 단계에서 패턴이 증가하면 현재의 스텝도 증가하게 될 가능성이 있습니다.H < 1/2일 경우 자기상관은 음수입니다.

특성.

자기유사성

공정은 확률 분포 측면에서 다음과 비슷합니다.

B_{H}(at)\sim a ^{H}B_{H}(t)

이 속성은 공분산 함수가 2H 차수와 균질하고 프랙탈 속성으로 간주될 수 있기 때문입니다.FBm은 또한 고유 평균 제로 가우스 프로세스로 정의할 수 있으며, 원점에서는 늘이며, 정지 및 자기 유사 증분입니다.

고정 증분

다음과 같이 고정 증분이 있습니다.

\displaystyle B_{H}(t)-B_{H}(s)\;\sim \;B_{H}(t-s)}

장기 의존성

H > the의 경우 프로세스는 장기 의존성을 나타냅니다.

\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}E[B_{H}(1)(n+1)-B_{H}(n)]=\infty.}

규칙성

샘플 패스는 거의 구별되지 않습니다.그러나 거의 모든 궤적은 H보다 엄밀하게 작은 차수의 로컬 Hölder 연속이다. 이러한 각 궤적에 대해 모든 T > 0 및 모든 θ > 0에 대해 다음과 같은 (랜덤) 상수 c가 존재한다.

\displaystyle B_{H)(t)-B_{H}(s)\leq c t-s^{H-\varepsilon }}

0 < s , t < T 0 。

치수

확률 1의 경우, B(t)의_H 그래프는 하우스도르프^[2] 치수와 박스^{[citation needed]} 치수가 2-H이다.

통합

규칙적인 브라운 운동과 관련하여, 보통 "분할 확률 적분"이라고 불리는 부분 브라운 운동과 관련하여 확률 적분을 정의할 수 있다.그러나 일반적으로, 규칙적인 브라운 운동과 관련된 적분과는 달리, 부분 확률 적분은 반직렬이 아니다.

주파수 영역 해석

브라운 운동 $\omega ^{-1}$ Brownian motion)은 $\omega ^{-1}$ $\omega ^{-H-1/2}$ - $\omega ^{-1}$ (\ $displaystyle \obega$ ^{- $1})$ 로 필터링된 백색 노이즈로 볼 수 있듯이, 부분 브라운 운동( $\omega ^{-H-1/2}$ motion)은 θ - H - 1 / 2 $(\displaystyle$ \obe ^{- $H-1/2}}($ 부분 적분에 해당)로 필터링된 백색 노이즈이다.

샘플 패스

fBm의 실제적인 컴퓨터 실현은 유한한 근사치에 불과하지만 ^[3]생성될 수 있다.선택된 표본 경로는 fBm 공정에서 이산 표본 추출된 점을 보여주는 것으로 간주할 수 있습니다.아래에는 세 가지 실현이 나와 있으며, 각각 1000개의 fBm 포인트가 Hurst 파라미터 0.75로 표시되어 있습니다.

"H" = 0.75 실현 1

"H" = 0.75 실현 2

"H" = 0.75 실현 3

아래에 세 가지 다른 유형의 fBm 실현을 보여 줍니다. 각각 1000개의 포인트가 표시됩니다.첫 번째는 Hurst 파라미터 0.15, 두 번째는 Hurst 파라미터 0.55 및 세 번째는 Hurst 파라미터 0.95입니다.허스트 매개변수가 높을수록 곡선이 더 부드러워집니다.

"H" = 0.15

"H" = 0.55

"H" = 0.95

시뮬레이션 방법 1

알려진 공분산 함수를 사용하여 정지된 가우스 프로세스를 생성하는 방법을 사용하여 fBm의 샘플 경로를 시뮬레이션할 수 있습니다.가장 간단한 방법은 크기 $n$ 의 격자(\ $displaystyle$ n $)$ 에서 $n$ $displaystyle$ O $(n^{3$ 의 복잡성을 갖는 공분산 행렬(아래 설명)의 콜레스키 분해 방법에 의존한다. 더 복잡하지만 계산적으로 더 빠른 방법은 Dietrich & News(1997년)의 순환 매립 방법이다.

콜레스키 분해법을 사용하여 $t_{1},\ldots ,t_{n}$ , $t_{1},\ldots ,t_{n}$ $(\$ })의 $t_{1},\ldots ,t_{n}$ fBM 값을 시뮬레이션한다고 가정합니다.

행렬 $\Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}$ $\Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}$ ( $\Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}$ ( $\Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}$ i , $\Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}$ ) , $\Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}$ , $\Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}$ $\Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}$ $\Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}$ , $\Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}$ , $\Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}$ ) $({displaystyle$ \ $Gamma =$ 1, $t_{j}$ , $i$ , j $= 1$ , \ $ldots$ , , , $n440bigr$ ) ）。 $\,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2$ 서 $\Gamma=\bigl(R(t_i,\, t_j), i,j=1,\ldots,\, n\bigr)$ $\,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2$ R ( $\,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2$ $,$ $\,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2$ ) $\,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2$ $\,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2$ + $\,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2$ . $H}+t^{2H}-t-s^{2H}/2$
컴퓨팅 $\,\Sigma$ $(\$ $displaystyle\Sigma)$ $\,\Gamma$ (\ $displaystyle\Gamma$ 의 $\,\Sigma$ 제곱근 행렬, 즉 $\,\Sigma ^{2}=\Gamma$ 2 $=$ $(\displaystyle\,\Sigma ^{2$ }=\ $Gamma$ 。개요하게 $,$ $display$ {\displaystyle\sigma} $매트릭스$ 는 $\,\Sigma$ 표준 편차입니다 $.$
표준 가우스 분포에 따라 독립적으로 그려진 n개의 숫자로 구성된 $\,v$ v {\ $displaystyle \,v}$ 를 $\,v$ 구성합니다.
$\,u=\Sigma v$ = ${\ v$ \ displaystyle ,u=\ $Sigma$ v 를 $\,u$ 하면 $u$ \ displaystyle $\,u$ 는 $\,u$ fBm의 샘플 경로를 생성합니다.

$\,\Sigma$ \ $display$ \ $Sigma$ $\,\Sigma$ 를 계산하기 위해서는 예를 들어 콜레스키 분해법을 사용할 수 있습니다.다른 방법으로는 $\displaystyle\Gamma$ 의 고유값을 사용합니다.

$\,\Gamma$ { $display$ $style$ $\,\Gamma$ } , \ $Gamma$ $\,\Gamma$ } 은 $\,\Gamma$ $\,\lambda _{i}$ $\,\Gamma$ 대칭의 양의 행렬이므로 $\,\Gamma$ $display$ { $displaystyle$ } 의 모든 $\,\lambda _{i}$ $i=1,\dots ,n$ i $>$ $\,\lambda _{i}>0$ { $displaystyle$ $i=1,\dots ,n$ } , \ $displayda$ $_$ { $i$ $i=1,\dots ,n$ $\,\lambda _{i}>0$ , $1$ .
$\,\Lambda$ { $displaystyle$ $\,\Lambda$ \,\ $Lambda}$ 를 $\,\Lambda$ 고유값의 대각 행렬로 합니다. 즉, $\delta _{ij}$ $\Lambda _{ij}=\lambda _{i}\,\delta _{ij}$ $\Lambda _{ij}=\lambda _{i}\,\delta _{ij}$ \ $displaystyle \Lambda$ _ ${ij}=\displayda$ _{ $i},\display$ $\delta _{ij}$ $\lambda$ $\Lambda _{ij}=\lambda _{i}\,\delta _{ij}$ _ ${ij}}$ 는 $\Lambda_{ij} = \lambda_i\,\delta_{ij}$ $\delta _{ij}$ krcrone입니다. $\delta _{ij}$ 서 $\delta _{ij}$ 。 $\Lambda ^{1/2}$ 1/ $({$ 2})를 $\Lambda ^{1/2}$ 항목 $\lambda _{i}^{1/2}$ $/$ ({ $displaystyle$ \ $lambda _{i}^2$ 가 있는 대각선 행렬로 정의합니다. 즉, $\Lambda _{ij}^{1/2}=\lambda _{i}^{1/2}\,\delta _{ij}$ $\Lambda _{ij}^{1/2}=\lambda _{i}^{1/2}\,\delta _{ij}$ 1/ $\Lambda _{ij}^{1/2}=\lambda _{i}^{1/2}\,\delta _{ij}$ (\ $displaystyle \Lambda$ _ ${i}^1/2$ }) $=^$ 2(^2).

결과는 " $\lambda _{i}>0$ > $\displaystyle \lambda$ _ ${i}>0$ 이므로 실제 값임을 유의하십시오.

$\,v_{i}$ $\,v_{i}$ \ $displaystyle$ \ , $v$ _ { $i$ } $\,\lambda _{i}$ $\,\lambda _{i}$ value $\,\lambda _{i}$ value i \ $display$ style \ , \ $lambda _$ { $\,\lambda _{i}$ i $\,\lambda _{i}$ define define define $。P$ { $displaystyle$ $\,P$ i $}$ - 컬럼이 $i$ $고유$ $\,v_{i}$ vi ${$ \ $displaystyle$ \ v $_$ i $\,v_{i}$ 인 매트릭스로서 P를 $\,P$ 합니다.

고유 벡터는 선형 독립적이므로 $\,P$ P $(\displaystyle \,P)$ 는 $\,P$ 반전됩니다.

따라서 $\Sigma =P\,\Lambda ^{1/2}\,P^{-1}$ $\Sigma =P\,\Lambda ^{1/2}\,P^{-1}$ $\Sigma =P\,\Lambda ^{1/2}\,P^{-1}$ = $\Sigma =P\,\Lambda ^{1/2}\,P^{-1}$ / $\Sigma =P\,\Lambda ^{1/2}\,P^{-1}$ P - $\Sigma =P\,\Lambda ^{1/2}\,P^{-1}$ {\ $displaystyle \Sigma = P$ ,\ $Lambda ^{1/2},P^{-1}$ 이 $\Sigma = P\,\Lambda^{1/2}\,P^{-1}$ 됩니다. 왜냐하면 $\Gamma =P\,\Lambda \,P^{-1}$ $\Gamma =P\,\Lambda \,P^{-1}$ $\Gamma =P\,\Lambda \,P^{-1}$ - $\Gamma =P\,\Lambda \,P^{-1}$ { $displaystyle \Gamma =P,\BDA-1}$ 1 {\Displaystyleda },

시뮬레이션 방법 2

라고도 알려져 있다

B_{H}(t)=\int _{0}^{t}K_{H}(t,s),dB(s)

여기서 B는 표준 브라운 운동이고

K_{H}(t,s)=paramfrac {(t-s)^{H-{\frac {1}{2}}}}}{\Gamma(H+{\frac {1}{2}}}}}}}}}}\;_{2}}F_{1}\left(H-{\frac {1}{2}};,{\frac {1}{2}}-H;\;H+{\frac {1}{2}};,1-{\frac {t}{s}}\right.

$_{2}F_{1}$ 서 2 $_{2}F_{1}$ 1 $({$ _ ${2}F_{1})$ 은 $_{2}F_{1}$ 오일러 초기하 적분입니다.

$0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T$ $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T$ $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T$ 0 < $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T$ 1 < $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T$ < $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T$ $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T$ $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T$ { $displaystyle$ 0 = $t$ _ { $0$ } < $t_{1}$ <\ $cdots$ < $t_{n$ } = $T$ 에서 fBm을 시뮬레이트한다고 합니다.

표준 가우스 분포에 따라 그려진 n개의 숫자의 벡터를 생성한다.
성분별로 δT/n을 곱하여 [0, T]에 대한 브라운 운동 증분을 구한다.이 벡터는 (' $(\delta B_{1},\ldots ,\delta B_{n})$ 1, $(\delta B_{1},\ldots ,\delta B_{n})$ ' $(\delta B_{1},\ldots ,\delta B_{n})$ n $')$ { $displaystyle (\delta B_{1},\ldots,\delta B_{n$ 로 나타냅니다.
$t_{j}$ $(\$ 에 대해 계산,

B_{H}(t_{j})=param frac {n}{T}}\sum _{i=0}^{j-1}\int _{t_{i+1}}K_{H}(t_{j},s),ds\\\sum B_{i}.

적분은 가우스 직교로 효율적으로 계산할 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Perrin et al., 2001.
^ Orey, 1970년.
^ Kroese, D.P.; Botev, Z.I. (2014). "Spatial Process Generation". Lectures on Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields, Volume II: Analysis, Modeling and Simulation of Complex Structures, Springer-Verlag, Berlin. arXiv:1308.0399. Bibcode:2013arXiv1308.0399K.
^ 프랙셔널 브라운 운동의 확률적 해석, [1]

레퍼런스

를 클릭합니다Beran, J. (1994), Statistics for Long-Memory Processes, Chapman & Hall, ISBN 0-412-04901-5.
Craigmile P.F.(2003), "긴 기억 프로세스에 적용하면서 데이비스-하르테 알고리즘을 사용하여 정지 가우스 프로세스의 클래스를 시뮬레이션", Journal of Times Series Analysis, 24: 505-511.
Dieker, T. (2004). Simulation of fractional Brownian motion (PDF) (M.Sc. thesis). Retrieved 29 December 2012.
를 클릭합니다Dietrich, C. R.; Newsam, G. N. (1997), "Fast and exact simulation of stationary Gaussian processes through circulant embedding of the covariance matrix.", SIAM Journal on Scientific Computing, 18 (4): 1088–1107, doi:10.1137/s1064827592240555.
를 클릭합니다Lévy, P. (1953), Random functions: General theory with special references to Laplacian random functions, University of California Publications in Statistics, vol. 1, pp. 331–390.
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를 클릭합니다Orey, Steven (1970), "Gaussian sample functions and the Hausdorff dimension of level crossings", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 15 (3): 249–256, doi:10.1007/BF00534922.
페린 E. 외(2001), "n차 부분 브라운 운동 및 부분 가우스 노이즈", 신호 처리에 관한 IEEE 트랜잭션, 49: 1049-1059. doi: 10.1109/78.917808
Samorodnitsky G., Taqqu M.S.(1994), 안정적인 비가우스 랜덤 프로세스, 7장: "자기 유사 프로세스"(Chapman & Hall)

추가 정보

를 클릭합니다Sainty, P. (1992), "Construction of a complex‐valued fractional Brownian motion of order N", Journal of Mathematical Physics, 33 (9): 3128, Bibcode:1992JMP....33.3128S, doi:10.1063/1.529976.

[1] Perrin et al., 2001.

[2] Orey, 1970년.

[3] Kroese, D.P.; Botev, Z.I. (2014). "Spatial Process Generation". Lectures on Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields, Volume II: Analysis, Modeling and Simulation of Complex Structures, Springer-Verlag, Berlin. arXiv:1308.0399. Bibcode:2013arXiv1308.0399K.

[4] 프랙셔널 브라운 운동의 확률적 해석, [1]

[1]

[2]

[3]

v t 확률적 과정
이산 시간	베르누이 과정 분기 프로세스 중식당 과정 골턴-왓슨 과정 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수 마르코프 연쇄 모란법 랜덤 워크 루프 소거 자기 회피 편향된 최대 엔트로피
연속 시간	가법법 베셀법 출생-사망 과정 순생 브라운 운동 다리 Excursion(익스커전) 프랙셔널 기하학 굽이굽이 코시 과정 연락 프로세스 연속 시간 랜덤 워크 콕스 과정 확산 과정 경험적 과정 펠러법 플레밍-비오트 과정 감마 과정 기하학적 과정 호크스 과정 헌트 프로세스 상호작용 입자계 이토 확산 이토 과정 점프 확산 점프 프로세스 레비 과정 현지 시간 마르코프 가법 과정 맥킨-블라소프 과정 오른스타인움렌벡법 포아송 과정 컴파운드 비균질 슈람-뢰너 진화 세미마트게일 시그마 마티게일 안정된 프로세스 슈퍼프로세스 전신 처리 분산 감마 과정 위너법 위너 소시지
둘다요.	분기 프로세스 갈베스-뢰체르바흐 모형 가우스 과정 숨겨진 마르코프 모델(HM) 마르코프 과정 마티게일 차이점. 현지의 서브- 슈퍼- 랜덤 다이내믹 시스템 재생 프로세스 갱신 프로세스 가변 길이의 메모리를 가진 확률적 연쇄 화이트 노이즈
필드 및 기타	디리클레 과정 가우스 랜덤 필드 깁스 측도 홉필드 모델 이징 모형 포츠 모형 부울 네트워크 마르코프 랜덤 필드 퍼콜레이션 피트만-요르 과정 포인트 프로세스 콕스 포아송 랜덤 필드 랜덤 그래프
시계열 모델	자기 회귀 조건부 이색 탄성(ARCH) 모형 자기 회귀 통합 이동 평균(ARIMA) 모형 자기 회귀(AR) 모형 자기 회귀 이동 평균(ARMA) 모델 GARCH(Generalized Autrogressive Conditional Hetheroskedasticity) 모델 이동평균(MA) 모델
재무 모델	이항 옵션 가격 설정 모형 블랙-더맨-장난감 블랙-카라신스키 블랙-숄즈 Chan-Karolyi-Longstaff-Sanders(CKLS) 첸 일정 탄성 분산(CEV) 콕스-잉거솔-로스(CIR) 가르만-콜하겐 Heath-Jarrow-Morton (HJM) 헤스톤 호리 헐-흰색 LIBOR 시장 렌들먼-바터 SABR의 변동성 바시체크 윌키
보험 수리 모델	뷸만 크라메르-룬드베르크 리스크 프로세스 스파르앤더슨
큐잉 모델	벌크 유체 범용 큐잉 네트워크 M/G/1 M/M/1 M/M/c
특성.	카들라그 패스 계속되는 연속 경로 에르고딕 교환 가능 펠러 연속 가우스마르코프 마르코프 믹싱 부분적 결정론 예측 가능한 점진적 측정 가능 자기유사 문방구 시간 되돌리기 가능
한계 정리	중심 한계 정리 돈스커의 정리 두브 마티게일 수렴 정리 에르고딕 정리 피셔-티펫-네덴코 정리 대편차원리 대수의 법칙(약함/강함) 반복 로그의 법칙 최대 에르고딕 정리 사노프의 정리 제로-1 법칙(Blumenthal , Borel-Cantelli, Engelbert-Schmidt, Hewitt-Savage, Kolmogorov, Levy )
불평등	버크홀더-데이비스-건디 두브마티게일 두브가 업크로스 하고 있다. 구니타와타나베 마르킨키에비치-지그문트
도구들	카메론-마틴 공식 랜덤 변수의 수렴 돌리안 데이드 지수 두브 분해 정리 두브-마이어 분해 정리 두브의 선택적 정지 정리 다이킨 공식 파인만-케이크 공식 여과 기르사노프 정리 무한소 생성기 이토 적분 이토의 보조군 카르후넨-뢰브 정리 콜모고로프 연속성 정리 콜모고로프 확장 정리 레비-프로호로프 메트릭 말리아빈 미적분 마티게일 표현 정리 선택적 정지 정리 프로호로프의 정리 이차 변동 반사원리 스코로호트 적분 스코로호트의 표현 정리 스코로호드 공간 스넬 봉투 확률 미분 방정식 다나카 정지 시간 스트라토노비치 적분 균일한 통합성 통상 가설 위너 공간 고전적인 추상적인
부문	보험 수리 수학 제어 이론 계량경제학 에르고딕 이론 극치가론(EVT) 대편차 이론 수리금융 수리통계학 확률론 큐잉 이론 갱신 이론 파멸론 신호 처리 통계 정보 확률적 분석 시계열 분석 기계 학습
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