필터링 문제(스토아틱 프로세스)

확률적 공정 이론에서 필터링 문제는 신호 처리 및 관련 분야에서 여러 가지 국가 추정 문제에 대한 수학적 모델이다.일반적인 아이디어는 불완전하고 잠재적으로 소음이 있을 수 있는 시스템 관찰 집합으로부터 어떤 시스템의 진정한 가치에 대한 "최상의 추정치"를 확립하는 것이다.최적 비선형 필터링의 문제(비역적 사례에도 해당)는 루슬란 L. 스트라토노비치(1959,^[1] 1960년^[2])에 의해 해결되었다. 해롤드 J. 쿠슈너의 작품과 모셰 자카이도 참조하라, 자카이 방정식으로 알려진 필터의^[4] 비정형 조건 법칙에 대한 단순화된 역학을 도입했다.그러나 해법은 일반적인 경우 무한 차원이다.^[5]예를 들어 선형 필터는 가우스 랜덤 변수에 최적이며, 위너 필터와 칼만-부시 필터로 알려져 있다.보다 일반적으로 솔루션이 무한 치수인 만큼 메모리가 유한한 컴퓨터에 유한 치수 근사치를 구현해야 한다.유한 치수 근사치 비선형 필터는 확장 칼만 필터 또는 가정 밀도 필터와 같은 경험적 접근법에 기반하거나 일부 하위 패밀리가 가정 밀도 필터와 일치하는 것으로 보이는 투영 필터와 같은 방법론적으로 더 많이 지향할 수 있다.^[6][7][8]

일반적으로 분리 원칙이 적용되는 경우 필터링은 최적 제어 문제의 해결책의 일부로 발생한다.예를 들어 Kalman 필터는 선형 2차-가우스 제어 문제에 대한 최적 제어 솔루션의 추정 부분이다.

수학적 형식주의

확률공간(Ω, Ω, P)을 고려하여 시간 t에서 관심계통의 n차원 유클리드 공간 R에서ⁿ (랜덤)상태_t Y가 형태의 Ito 확률적 미분방정식에 대한 해법에 의해 주어진 임의변수_t Y : Ωⁿ → R이라고 가정한다.

${\daystyle \mathrm {d}Y_{t}=b(t,Y_{t})\\mathrm {d}t+\sigma(t,Y_{t})\\mathrm {d}B_{t}}}}$

여기서 B는 표준 p-차원 브라운 운동을 나타내고, b : [0, +∞) × Rⁿ → R은ⁿ 표류장, σ : [0, +∞) × Rⁿ → R은^n×p 확산장이다.R의^m 관측치_t H(m과 n은 일반적으로 동일하지 않을 수 있다는 점에 유의)는 각 시간 t에 대해 다음과 같이 취해진다고 가정한다.

${\displaystyle H_{t}=c(t,Y_{t})+\감마(t,Y_{t})\cdot {\mbox{noise}}.}$

확률적 차이의 Ito 해석 채택 및 설정

${\displaystyle Z_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,\mathrm {d}s,}$

이는 관측치 Z에_t 대해 다음과 같은 확률적 적분 표현을 제공한다.

${\daystyle \mathrm {d}Z_{t}=c(t,Y_{t})\\mathrm {d}t+\gamma(t,Y_{t})\\\mathrm {d}W_{t}}}}$

여기서 W는 B와 초기 조건 Y에₀ 독립적인 표준 r차원 브라운 운동을 나타내며, c : [0, + +) × R과ⁿ γⁿ : [0, +∞) × Rⁿ → R → R → R → R → R → R → R → R → R → R 만족을^n×r 의미한다.

${\displaystyle {\big }c(t,x){\big }+{\big }\gamma(t,x){\big }\big }\leq C{\big (}1+x {\big )}}}}}}$

모든 t와 x와 일부 상수 C에 대해.

필터링 문제는 다음과 같다: 0 z s ≤ t에 대한 관측치 Z를_s 주어진 경우, 그러한 관측치에 근거한 시스템의 실제 상태_t Y에 대한 최선의 추정치 ŷ은_t 무엇인가?

"이러한 관측치에 기초함"을 통해 관측치 Z에_s 의해 생성된 σ-알지브라 G에_t 대해 ŷ을_t 측정할 수 있음을 의미한다. K = K(Z, t)에 의한 표시는 제곱합성 및 G-측정_t 가능한 모든 R 값 랜덤ⁿ 변수 Y의 집합:

$[\displaystyle K=K(Z,t)=]=L^{2}(\Oomega ,G_{t},\mathbf {P};\mathbf {R} ^{n}).}$

"최상의 추정치"를 통해 ,은_t Y와_t K:의 모든 후보 사이의 평균 제곱 거리를 최소화하는 것을 의미한다.

${\displaystyle \mathbf {E} \left[{\big }Y_{t}-{\hat {Y}-{t}-{t}{t}{t}}{t}}{t}}\in K}\mathbf {E} \e} \lef[{\big }{{{{{}}}}}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}\rig}\rig}}}}\rig}\rig}\rig}\\qquad {\mbox{(M)}}}$

기본 결과: 직교 투영

지원자의 공간 K(Z, t)는 힐버트 공간이며, 힐버트 공간의 일반 이론은 최소화 문제(M)의 해법 Ⅱ는_t 다음과 같이 주어지는 것을 내포하고 있다.

${\displaystyle {\hat{Y}_{t}=P_{K(Z,t)}{\big(}Y_{t}{\big )}}}}$

여기서 P는_K(Z,t) 선형 아공간 K(Z, t) = L²(Ω, G, P_t; R)에 대한² L(Ω, σ, P; Rⁿⁿ)의 직교 투영을 의미한다.더욱이, 만약 F가 sub의 하위골격인 경우 직교 투영에 대한 조건부 기대치에 관한 일반적인 사실이다.

${\displaystyle P_{K}:L^{2}(\Oomega ,\Sigma ,\mathbf {P};\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\Oomega ,F,\mathbf {P};\mathbf {R} ^{n})}$

정확히 조건부 기대 연산자 E[·F], 즉,

${\displaystyle P_{K}(X)=\mathbf {E} {\big [}X{\big }F{\big ]}.}$

그러므로

${\displaystyle {\hat {Y}_{t}=P_{K(Z,t)}{\big (}Y_{t}{\big )}{\big [}Y_{t}{\big [}{\big ]}.}$

이러한 기본적인 결과는 여과 이론의 일반적인 후지사키-칼리안푸르-쿠니타 방정식의 기초가 된다.

참고 항목

• 필터링 문제와 밀접한 관련이 있는 스무딩 문제
• 필터(신호 처리)
• 필터링 문제와 스무딩 문제와 관련된 잘 알려진 필터링 알고리즘인 Kalman filter
• 스무딩

참조

• Jazwinski, Andrew H. (1970). Stochastic Processes and Filtering Theory. New York: Academic Press. ISBN 0-12-381550-9.
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (섹션 6.1 참조)