최소 생성기(스토스틱 공정)

수학 - 특히 확률적 분석에서 - 펠러 프로세스의 최소 생성기(즉, 특정 규칙성 조건을 만족하는 연속 시간 마르코프 프로세스)는 프로세스에 대한 많은 정보를 암호화하는 푸리에 승수^[1] 연산자다. 발전기는 Kolmogorov 후진 방정식(프로세스 통계량의 진화를 기술하는)과 같은 진화 방정식에 사용되며, L² Emeritian 조정식은 Fokker-Planck 등식(프로세스 확률밀도함수의 진화를 기술하는)과 같은 진화 방정식에 사용된다.

정의

일반사례

For a Feller process ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ with Feller semigroup ${\displaystyle T=(T_{t})_{t\geq 0}}$ and state space ${\displaystyle E}$ we define the generator^[1] ${\displaystyle (A,D(A))}$ by

${\$$\lim _{t\downarrow 0}{\frac {T_{t-f}{t}}{$t}{\text{}}}}{\$text{$은 $균일한 한계로 존재함}\오른쪽$

${\displaystyle Af=\lim _{t\downarrow$$}$ Where ${\displaystyle C_{\infty }(E)}$ denotes the Banach space of continuous functions on ${\displaystyle E}$ vanishing at infinity, equipped with the supremum norm and ${\displaystyle T_{t}f(x)=\mathbb {E} ^{x}f(X_{t})=\mathbb {$$E}(f(X_{t}) X_{0}=x$ 일반적으로 Faller 발생기의 도메인을 설명하기는 쉽지 않지만 항상 닫히고 밀도 있게 정의된다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ d ${\$d 표시 $스타일$\mathb {$R} ^{d$}$값이고$D$$($A{\displaystyle }$) ${\displaystyle$ D$(A$)}이$($가) 테스트 함수(비교적으로 지원되는 부드러운 함수)를^[1] 포함하고 있는 경우$$

${\displaystyle Af(x)=-c(x)f(x)+l(x)\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q(x)\nabla f(x)+\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-$$\nabla f(x)\cdot y\chi ( y )\right)N(x,dy)}$ where ${\displaystyle c(x)\geq 0,(l(x),Q(x),N(x,\cdot ))}$ is for fixed ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ a Lévy triplet.

레비 프로세스

레비 세미그룹의 발전기는 형태다.

${\displaystyle Af(x)=l\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q\nabla f(x)+\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-\nabla f(x)\cdot y\chi ( y )\right)\nu (dy)}$

$여기$서 ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, Q ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ d ${\$ l$\in \mathb$ {$R} ^{d},Q\$in \$mathb${R$}$$^{d\time$ d$}}}$는 양의 반피니트이고$$ $sem$ {\$displaystyle$\$nu}$은 만족스러운 레비 측정값이다$$.

∫ Rdν(dy)<>(y2,1), ∞{\displaystyle \int_{\mathbb{R}^{d}\setminus \{0\}}\min(^{2},1 y)\nu(퇴적물의 일종)<, \infty}와 0≤ 일부 κ 을을 위해 1−χ(s)≤ κ분(s, 1){\displaystyle 0\leq 1-\chi(s)\leq \kappa \min(s,1)};s와 0{\displaystyle \kappa>0}χ(s){\displaystyl{0}분 ∖.es\chi$(s)}$은(는) 경계가 있다. 우리가 정의한다면

${\displaystyle \psi (\xi )=\psi (0)-il\cdot \xi +{\frac {1}{2}}\xi \cdot Q\xi +\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}(1-e^{iy\cdot \xi }+i\xi \cdot y\chi ( y ))\nu (dy)}$

$\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \psi (0)\geq$ 0$}$의 경우 생성기는 다음과 같이 기록될 수 있음

${\displaystyle Af(x)=-\int e^{ix\cdot \xi}\psi(\xi ){\hat {f}(\xi )d\xi }}$

여기서 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는) 푸리에 변환을 나타낸다$$. ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ Lévy 프로세스(또는 세미그룹)의 생성자는$\$ {\$displaystyle$-\$psi$} 기호를 가진 Fourier 승수 연산자다$.$

레비 공정에 의해 구동되는 확률적 미분 방정식

$L$ ${\textstyle L}$을(를) 기호 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$을(를) 포함하는 레비 프로세스(위 참조)로$$ 두십시오.$$ $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$을(를) 로컬 Lipschitz 및 경계로$$ 두십시오. SDE $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\mathrm{\phi }}$( X ${\displaystyle t_{}}$-${\displaystyle {}_{}}$) d ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$)의 솔루션$L_{t}}$ exists for each deterministic initial condition ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ and yields a Feller process with symbol ${\displaystyle q(x,\xi )=\psi (\Phi ^{\top }(x)\xi ).$$}$

일반적으로 레비가 아닌 펠러 프로세스에 의해 구동되는 SDE의 해결책은 펠러 또는 마르코비안일 수 있다는 점에 유의하십시오.

간단한 예로 $d$ $X_{}$ t${}_{}$= l ($X_{}$ t${}_{}$) $d$ $t$+ $\sigma$( $X_{}$ t${}_{}$) $d$ ${}_{}$ $t_{}$ ${\$d)$d$를 들 수 있다.브라운 모션 드라이빙 노이즈가 있는$$ $W_{t}.$ $l{\displaystyle }$ ,${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle l,\sigma }$이(가) Lipschitz 및 선형 성장이라고 가정할 경우 각 결정론적 초기 조건에 대해 고유한 솔루션이 존재하며, 이 솔루션은 기호가 있는 Feller이다.

${\displaystyle q(x,\xi )=-il(x)\cdot \xi +{\frac {1}{1}:{2}}\xi Q(x)\xi .}$

일부 공통 프로세스의 생성자

• 유한 상태 연속 시간 Markov 체인의 경우 발전기는 전환 속도 매트릭스로 표현될 수 있다.
• Standard Brownian motion on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, which satisfies the stochastic differential equation ${\displaystyle dX_{t}=dB_{t}}$, has generator ${\textstyle {1 \over {2}}\Delta }$, where ${\displaystyle \Delta }$ denotes the Laplace operator.
• 만족스러운$$ $2차원{\displaystyle }$ 프로세스$$Y {\$displaystyle$ Y$}:$

${\daystyle \mathrm {d}Y_{t}={\mathrm {d} t \mathrm {d}B_{t}}} 선택$

여기서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) 1차원 브라운 운동이며, 해당 브라운 운동 그래프로 생각할 수 있으며, 다음과 같은 발전기를 가지고 있다.

${\displaystyle {\mathcal {A}f(t,x)={\frac {\partial t}{\partial t}{1}{1}{\frac {1}{2}f}{\partial x^{2}}(t,x)}}$

• 올슈타인-$확률적{\displaystyle \mathbb{}}$ $미분방정식$$$$d_{}$ =${}_{}\mu ({}_{}$ - X${}_{}{t}_{}$ ) $d$ t +${}_{}$ d $t_{}$ ${\$}=\$mu$ -X_${t}=\ta(\mu -X_{t}dt+\sigma dB_{t$의 Uhlenbeck 공정은 다음과 같은 생성자를 가지고 있다.

${\displaystyle {\mathcal{A}f(x)=\theta(\mu -x)f'+{\frac {\sigma ^{2}}:f'(x)}$

• 이와 비슷하게, 오렌슈타인-의 그래프도 있다.Uhlenbeck 공정의 발전기:

${\displaystyle {\mathcal {A}}f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)+\theta (\mu -x){\frac {\partial f}{\partial x}}(t,x)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x)}$

• $확률적{\displaystyle \mathbb{}}$ 미분 $방정식$ d$$$X$ $t_{}$= $r$ X $t$ = t ${}_{}$ +$\alpha$ X t ${}_{}$ $t_{}$ t ${}_{}$ $t_{}$ ${\$}=rX_${t+\alpha X_{t}dB_{t$에 대한 기하학적 브라운 운동에는 $다음$과$$같은 생성기가 있다.

${\displaystyle {\mathcal {A}f(x)=rxf'+{\frac {1}{1}{1}:{2}}\알파 ^{2}x^{2}f'(x)}$

참고 항목

• 딘킨 공식

참조

• Calin, Ovidiu (2015). An Informal Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Singapore: World Scientific Publishing. p. 315. ISBN 978-981-4678-93-3. (9장 참조)
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth ed.). Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-642-14394-6. ISBN 3-540-04758-1. (제7.3절 참조)