무작위 역학 시스템

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오. (2022년 1월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

동적 시스템의 수학적 분야에서, 무작위 동적 시스템은 동작 방정식이 그들에게 무작위성의 요소를 갖는 동적 시스템이다. 무작위 동적 시스템은 상태 공간 S, 가능한 모든 움직임 방정식의 집합으로 생각할 수 있는 S의 지도 $[\displaystyle \Gamma }$ 집합, 그리고 지도 무작위 선택을 나타내는$$ $[\displaystyle \Gamma$} 집합의 확률 분포 Q가 특징이다. 무작위 동적 시스템에서 동작은 분포 Q에 ${\displaystyle \mathrm{따라}}$ 무작위로 선택한 일련의 지도에 따라 진화하는$$ 상태 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle X\in S}$로 비공식적으로 생각할 수 있다.^[1]

무작위 동적 시스템의 예로는 확률적 미분 방정식이 있다. 이 경우 분포 Q는 일반적으로 소음 항에 의해 결정된다. 그것은 "물리적" 위상 공간의 베이스 플로우, "소음" 및 cocycle 동적 시스템으로 구성된다. 또 다른 예는 이산 상태 무작위 동적 시스템이다. 마르코프 체인과 확률적 역학의 무작위 동적 시스템 설명 사이의 일부 기본적인 모순이 논의된다.^[2]

동기 1: 확률적 미분 방정식의 해결책

Let ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$ be a ${\displaystyle d}$-dimensional vector field, and let ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Suppose that the solution ${\displaystyle X(t,\omega ;x_{0})}$ to the stochastic differential equation

${\displaystyle \left\{\begin{matrix}\mathrm {d}X(X)\,\mathrm {d}t+\varepsilon \,\mathrm {d}W(t);\X(0)=x_{0};\end{matrix}\rix}\rix}\rix}\rigin}\\rig}\rigin}\rigin}\rigin}\rigin}\rigin}\rigin}\rigin}\}$

exists for all positive time and some (small) interval of negative time dependent upon ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, where ${\displaystyle W:\mathbb {R} \times \Omega \to \mathbb {R} ^{d}}$ denotes a ${\displaystyle d}$-dimensional Wiener process (Brownian motion). 암시적으로, 이 문장은 고전적인 위너 확률 공간을 사용한다.

${\displaystyle(\Oomega ,{\mathcal {F},\mathb {0})(\mathb {R};\mathb {R} ^{d}), {\mathcal {B}(\mathb {R};\mathb {R} ^{d}),\ma\ma.}$

이러한 맥락에서, Wiener 과정은 좌표 과정이다.

이제 흐름 맵 또는 (솔루션 연산자${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \phi \mathbb{}}$ : R ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \times }$ R ${\displaystyle {}^{}}$→ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 스타일 $\varphi :\mathb {R} \time \Oomega \time \mathb {R} ^{d}\mathb {R} ^{d}}}}}}$을 정의하십시오.

${\displaystyle \varphi(t,\omega,x_{0}):X(t,\omega ;x_{0})}$

(우측 측면은 잘 정의되어 있다.) 그런 $다음{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \varphi$}($$또는 더 정확히 말하면 쌍$({\displaystyle R{}^{}}$d , ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle$(\$mathb {R}^{d},\varphi$은 (로컬, 왼쪽) 임의의 동적 시스템이다. 용액에서 확률적 미분 방정식으로 "흐름"을 생성하는 과정은 우리가 그들 스스로 적절하게 정의된 "흐름"을 연구하도록 이끈다. 이러한 "흐름"은 임의의 동적 시스템이다.

동기 2: Markov Chain과의 연결

이산 공간의 i.i.d 무작위 동적 시스템은 트리플트$({\displaystyle S}$, ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$, ${\displaystyle Q}$) ${\디스플레이$ 스타일$(S,\Gamma ,Q)}$에 의해 설명된다$.$

• ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$은(는) 상태 공간이며$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$s ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\cdots ,}$ ${\displaystyle s_{}}$ } ${n$ {\$displaystyle \{s_{$1}, $s_{2},\cdots,s_{$n$\}\backslash \}\backslash \}\}.$
• ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) ${\displaystyle S}$→ S ${\displaystyle$ S\오른쪽 $화살표$ S$}$의 지도 계열이다$.$ 각각의 지도에는 결정론적 전환 행렬이라고 불리는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystystyle$ n$\times$ n$}$ 행렬$$ 표현이 있다. 2진수 행렬이지만 각 행에 정확히 하나의 항목 1이 있고 그렇지 않으면 0이 된다.
• ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$은(는$)$ $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle$ \$sigma }$ -field$$ of$$γ {\$displaystyle$ \$Gamma }$의 확률 측정값이다$.$

이산 무작위 역학 시스템은 다음과 같다.

1. The system is in some state ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle S}$, a map ${\displaystyle \alpha _{1}}$ in ${\displaystyle \Gamma }$ is chosen according to the probability measure ${\displaystyle Q}$ and the system moves to the state ${\displaystyle x_{1}$1단계에서$$ $=\cHB _{1}(x_{0})}.$
2. 이전 지도와는 별개로 확률 측정 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$$Q$}$에 따라 또 $다른{\displaystyle {}_{}}$ 지도 ${\displaystyle {\alpha 2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $Q$$}$을 선택하고$$$$ 시스템이 상태 x 2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {\alpha 2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle x_{2}=\alpha _{2}(x_{1})$로 이동한다$.$
3. 절차가 반복되다.

The random variable ${\displaystyle X_{n}}$ is constructed by means of composition of independent random maps, ${\displaystyle X_{n}=\alpha _{n}\circ \alpha _{n-1}\circ \dots \circ \alpha _{1}(X_{0})}$. Clearly, ${\displaystyle X_{n}}$ is a Markov Chain.

반대로, 주어진 MC는 I.I.D. 무작위 변환의 구성으로 표현될 수 있는가? 그래, 할 수 있지만, 독특하지는 않아. 존재의 증거는 이중 확률적 매트릭스에 대한 버크호프-본 노이만 정리와 유사하다.

여기 존재와 비특이성을 예시하는 예가 있다.

예: 상태 공간 $S{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle S=\{1,2\}}$과(와$)$ $변환{\displaystyle \mathrm{}}$ transition {\$displaystyle \Gamma}$ 집합이 결정론적 전환 매트릭스로 표현되는$$ 경우. 그런 다음 마르코프 전환 M=( 0 0.) ${\$.6$\\\0$.7&0&0&0$&$0&0.0)$3\end{array}}\right)}$은(는) Min-max 알고리즘에 의해 다음과 같은 분해로 나타낼 수 있으며 =.( 0) + .3( 1)+.1( 0 ${\displaysty M=0.6\left({begin}{c0&1\1\&0\end{array\}오른쪽)+$0}+0}+0}+0}+0$)$이다.$3\좌우 이동\cHB{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\오른쪽)+$$0$$1\$$좌우 이동\{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}\오른쪽).$$}$

한편, 다른 분해는 M= 0.( 0 )+ 0 1 )+ 0( 0 )+ 0( ). ${\displaystyle M=0.18\좌측({\begin}{cc}0&\\\0&#1\end{array}\오른쪽)+00$.0이 될 수 있다$.$$28\leftd_nd{array}{cc}1&#1&0\end{array}\0.42\left\nd{array}{cc}1\1\1&0\end}\nd{array}}+0.12\left\deft}{c}&0\nd}}\end{array}\nd}\nd}}\nd}\nd}\rieed}\rig}\rig}$$오른쪽).$$}$

형식 정의

형식적으로 임의의 동적 시스템은 "물리적" 위상 공간의 베이스 흐름, "소음" 및 "코키클" 동적 시스템으로 구성된다.^[3] 상세히, 자세히

(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}{\displaystyle }$,${\displaystyle F\mathbb{}}$, P${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\Oomega ,{\mathcal$ {F$},\mathb$ {$P})}은($는) 확률 공간, 즉 노이즈 공간이다. Define the base flow ${\displaystyle \vartheta :\mathbb {R} \times \Omega \to \Omega }$ as follows: for each "time" ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$, let ${\displaystyle \vartheta _{s}:$$\Oomega \to \Oomega }$은(는) 측정 가능한 기능임:

${\displaystyle \mathbb {P} (E)=\mathbb {P} (\vartheta _{s}^{-1}(E))}$ for all ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ and ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$;

라고도 가정해 보자.

1. ${\displaystyle \vartheta _{0}=\mathrm {id} _{\Oomega }:$$\Oomega \to \Oomega},$$$$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega};$
2. 모든${\displaystyle s}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해},}$ t ${$ R {\$displaystyle s,t\$$in{\displaystyle {}_{}}$ \$mathb {$R$\},$ ${\displaystyle s_{}{}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle {+}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ + t ${\$

That is, ${\displaystyle \vartheta _{s}}$, ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$, forms a group of measure-preserving transformation of the noise ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$. For one-sided random dynamical systems, one would consider only positive indices ${\disp$$laystyle$ s$\};$ 이산 시간 무작위 동적 시스템의 경우 $정수{\displaystyle }$값 s {\$displaystyle s}$만 고려할 수 있다$;$ 이러한 경우 지도 ${\displaystyle s_{}}$ s$${\$displaystyle \vartheta_{s}}$는 그룹 대신 정류형 단모노이드만 형성할 수 있다$$.

대부분의 어플리케이션에서 사실이지만, 측정 보존 역동 시스템$({\displaystyle \mathrm{\Omega },}$ F${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle P\mathbb{},}$ $){\displaystyle(\Oomega,{\mathcal{F},\mathb {P},\vartheta )}$을(를) 에고다이컬이라고 요구하는 것은 보통 무작위 동적 시스템의 공식 정의의 일부가 아니다.

이제${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle d}$) ${\displaystyle (X,d)}$을(를) 완전한 분리 가능한 메트릭 공간, 즉 위상 공간이 되도록$$ 하십시오. Let ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \times \Omega \times X\to X}$ be a ${\displaystyle ({\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\otimes {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {B}}(X),{\mathcal {B}}(X))}$-measurable function such that

1. 모든 $\Omega {\displaystyle }$Ω$$ {\$displaystyle \omega$ \in $\Oomega },$${\displaystyle \phi }$(${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle }$Ω )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \varphi (0,\omega )=\mathrm {id} _{X}:$$X\to X$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 ID 함수$;$
2. (대부분) 모든 Ω${\displaystyle }\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\$$displaystyle$ $\omega \in \Oomega \$in $\backslash \},$${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ,\Omega }$, x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mapsto }$($t ,\omega ,x$,$x{\displaystyle }$$)$는 $t$와 x ${\displaystystystystystympyx$
3. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) cocycle 속성을 만족함$$: 거의 모든${\displaystyle }\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \omega \in$

$\displaystyle \varphi(t,\vartheta _{s}(\omega )\barphi(s,\omega )=\varphi(t+s,\omega).}$

$Wiener{\displaystyle 프로세스\mathbb{}}$W : ${\displaystyle \mathrm{R}}$×$$ →$$X {\$displaystyle W:\mathb$ {R$} \times \Oomega$to X}에 의해 구동되는 임의의 동적 $시스템$의 경우, 기본 흐름 ∆ ${\displaystyle s_{}}$ :${\displaystyle {}_{}\mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaysty \vartheta_{s}:$$\Oomega \to \Oomega }$이(가) 제공됨$$

${\displaystyle W(t,\vartheta _{s}(\omega )=$$W(t+s,\omega )-W(s,\omega$ $)\}.$

이는 $\vartheta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$ $$"시간 0이 아닌$$ 시간 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ s$}$에서 노이즈를 시작함"이라고 말한 것으로 읽힐 수 있다. 따라서 cocycle 속성은 초기 조건 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$}$을(를) 특정 노이즈 $\Omega$으로$$s ${\displaystyle s}$ 동안$$ 진화한 다음 $t{\displaystyle }$ ${\displaysty t}$초$$ 동안 동일한 노이즈로 진화하는 것으로 읽을 수 있다($s{\displaystyle }$ ${\displaystystyle s}$초$$ 표시에서 시작). 동일한 노이즈로 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ~${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$+ s${\displaystyle }$) ${\displaystyle (t+s)}$초$$$$ 동안 진화하는 것과 동일한 결과를 제공한다.

무작위 동적 시스템용 유인기

무작위 동적 시스템에 대한 유치자의 개념은 결정론적 사례에서처럼 정의하기가 쉽지 않다. 기술적 이유로 풀백 유치기의 정의에서와 같이 "역류 시간"이 필요하다.^[4] 더욱이, 유치자는 소음에 대한$$ 실현 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$에 의존한다.

참고 항목

• 혼돈 이론
• 확산공정
• 확률 제어

참조