중추수량

통계학에서 중추량 또는 피벗은 함수의 확률 분포가 알 수 없는 모수(불필요 ^[1]모수 포함)에 의존하지 않도록 관측치와 관측 불가능한 모수의 함수입니다.피벗 수량이 통계량일 필요는 없습니다. 함수와 함수의 값은 모형의 모수에 따라 달라질 수 있지만 분포는 달라야 합니다.통계량인 경우 보조 통계량이라고 합니다.

더 formally,[2]를 매개 변수(매개 변수의 또는 벡터)에 따라 달라지는 분배에서 X)(X1, X2,…, Xn){X=(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})\displaystyle} 무작위 표본 θ{\theta\displaystyle}. g(X, θ){\displaystyle g(X,\theta)} 확률 변수자의 분배는 같은 f자또는$all${ displaystyle $\theta$ $g{\displaystyle }${ $displaystyle$ g$$}는$$ 중추량(또는 단순히 피벗)이라고 불립니다.

추축 수량은 일반적으로 정규화에 사용되며, 서로 다른 데이터 세트의 데이터를 비교할 수 있습니다.위치 및 척도 매개변수에 대한 피벗을 비교적 쉽게 구성할 수 있습니다. 전자의 경우 위치가 취소되도록 차이를 형성하고, 후자의 비율은 척도가 취소되도록 합니다.

중추 수량은 통계량이 모수에 의존하지 않도록 하기 때문에 검정 통계량 구성에 기초적입니다. 예를 들어, 학생의 t-통계량은 분산(및 평균)을 알 수 없는 정규 분포에 대한 것입니다.또한 신뢰 구간을 구성하는 한 가지 방법을 제공하며, 중추적인 수량을 사용하면 부트스트랩의 성능이 향상됩니다.보조 통계량의 형태로 빈도수 예측 구간(예측 신뢰 구간)을 구성하는 데 사용할 수 있습니다.

예

정규 분포

가장 단순한 중추적 수량 중 하나는 z 점수입니다. $평균{\displaystyle }$μ(\$displaystyle$$\mu$$})$와 ${\displaystyle {분산\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 2(\$displaystyle$ \$sigma ^{$2$\}\})$의 정규 분포와 관측치 x인 z 점수:

${\displaystyle z=mufrac {x-\mu}{\display }}$

에는 $분포{\displaystyle }$N ( 0${\displaystyle }$,${\displaystyle 1}$ $){displaystyle$N ($0$ ,$$1 $$)이 있습니다.이것은 평균이 0이고 분산이 1인 정규 분포입니다.마찬가지로 n-표본 평균은 표본 $분포{\displaystyle }$ N${\displaystyle (\mu }$, ${\displaystyle {\delta \mathrm{}}^{}}$2 /${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle$ N$(\mu ,\sigma ^{2}/n})$을 가지므로 평균의 z-점수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle z={\overline {X}}-\mu}{\display /{\displayrt {n}}}}$

에는 $분포{\displaystyle }$N(${\displaystyle 0,1}$)도 있습니다$.{$ $displaystyle$N(0$,$$1$)} 이러한$$ 함수는 모수에 따라 달라지기 때문에 모수가 알려진 경우(통계정보가 아님)에만 계산할 수 있지만 분포는 모수에 의존하지 않습니다$.$

n개의$${$displaystyle$ n$}$개의$$$$ 독립적인 (i.d.) $관찰{\displaystyle }$ X ${\displaystyle =}$( X ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$X ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle X_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$)$${ $displaystyle$ X$=$ ($X_{1}, X_{2},$ \$ldots, X_{n}$ ) $\mu$ 및 2$$\$displaystyle$이 있을 $경우{\displaystyle }$함수의 영향을 받습니다.

${\displaystyle g(x,X)=snfrac {x-{\overline {X}}}{s/{\sqrt {n}}}}$

어디에

${\displaystyle {X}=sum frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}$

그리고.

${\displaystyle s^{2}=subfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{(X_{i}-{\overline {X})^2}}$

는 각각$$μ(\$displaystyle$\mu$)$ 및$$ § $(\$의 치우침 없는 추정치입니다.$함수{\displaystyle }$ g${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle ,X}$) {$displaystyle$ g$(x,X)}$는 새로운 $값{\displaystyle }$x(\$displaystyle$x$)$에 대한 학생의 t-statistic으로, $이미{\displaystyle }$ $관측$된 값 X(\displaystyle X$)$ 집합과 동일한 모집단은 x {\$displaystyle$ X$}$입니다.

x ${\displaystyle =}$({$displaystyle$ x=\$mu})$를 $사용$하면 $함수{\displaystyle }$ g${\displaystyle (\mu ,X}$)({$displaystyle g(\mu,$X))가$$ 중심량이 되며, 이 또한 $자유$도 ${\displaystyle =n}$ - $({displaystyle \nu =n-1})$인 학생의 t-분포에 의해 분배됩니다.필요에 따라$$μ$(\displaystyle$ \mu$)$가 함수$$g(\$displaystyle$ $g$$)$에 대한 인수로 $표시$되지만${\displaystyle }$g${\displaystyle (\mu ,}$ X$)$의 분포는$$μ(\$displaystyle$ \$mu$$)$ 또는$$$\mu {\displaystyle }$(\$displaystyle \sigma)$의 정규 확률 $분포$에 의존하지 않습니다.$bservations{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ $(\$ X_${1},\ldots,X_{n$

이 값을 사용하여 $다음{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{관측치}}_{}}$ X n ${\displaystyle {+}_{}}$1$$; {$displaystyle X_{$n+1$$};}에 대한 예측 간격을 계산할 수 있습니다. 예측 간격: 정규 분포

이변량 정규 분포

더 복잡한 경우에는 정확한 피벗을 구성할 수 없습니다.그러나 근사 피벗을 가지면 점근 정규성에 대한 수렴이 향상됩니다.

벡터${\displaystyle {}_{}}$ n$($${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {Yi}_{}{}^{}}$of$$ {\$displaystyle(X_{$$i$})의 샘플이 있다고 가정합니다.$Y_{i}'}$은(는) $상관관계$를 알 수 없는 이변량 정규분포 ${\$ { $displaystyle \rho$}에서 가져옵니다.

$(\displaystyle\rho)$의 추정치는 샘플(Pearson, 모멘트) 상관관계입니다.

${{displaystyle r={\frac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}) (Y_{i}-{\overline {Y}}}) {s_{X}s_{displaystyle}Y}}}}}}:$

${\displaystyle {}_{}^{}}$서 s X${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$, ${\displaystyle s_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$$Y}^{2}}$는 X$(\displaystyle$ X$)$와 Y$(\displaystyle$ Y$)$의 샘플 분산입니다. 샘플 $통계량{\displaystyle }$r(\$displaystyle$ r$)$은 점근 정규 분포를 가집니다.

${\displaystyle \sqrt{}n\frac{}{}}$ r${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$1 - ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}n}$N ( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$)$${ $displaystyle${ $sqrt {n}$ { \ $frac${$r$- \ $rho$} { 1 - \ $rho$^ {2$}$ } \ 오른쪽 $화살표$N ($0$ , 1$)$

그러나 분산 안정화 변환

${{displaystyle z={tanh}^{-1}r=bln frac {1}{2}}\ln {frac {1+r}{1-r}}}$

상관 계수의 Fisher's z 변환으로 알려진 경우 알 수 없는 모수에 대해 점근적으로$$ 독립적인 z$\displaystyle$z의 $분포$를 생성할 수 있습니다.

${\displaystyle {n}}(z-\zeta)\오른쪽 화살표 N(0,1)}$

여기서 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle {\mathrm{t}}^{}}$ n ${\displaystyle {\mathrm{h}}^{}}$ - 1$ρ$ （ \$displaystyle$ \zeta $= tanhrm${ $tanh}}^{-1}\rho }$는 대응하는 분포 모수이다.유한 표본 $크기{\displaystyle }$ n${displaystyle$ n$\}$의 경우 랜덤 $변수{\displaystyle }$ z${displaystyle$ z$}$의 분포는$$r${displaystyle$ r$\}$의 분포보다 정규 분포에 가깝습니다.정확한 분산에 대해 보다 나은 근사치를 사용하여 정규 분포에 가까운 분포를 구합니다.일반 형식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle\operatorname{Var}(z)\약 {frac{1}{n-3}}.}$

견고성

견실한 통계의 관점에서 보면, 중추적인 수량은 매개변수의 변경에는 강력하지만, 정규성 가정의 위반과 같은 모델의 변경에는 일반적으로 강력하지 않다.이는 비강력 통계에 대한 강력한 비판의 기본이며, 종종 중추적인 양에서 도출된다. 즉, 그러한 통계는 가족 내에서 강력할 수 있지만, 가족 외부에서는 강력하지 않다.

「 」를 참조해 주세요.

• 정규화(통계)

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