블랙-더만–토이모델

BDT에 따른 단기 트리 보정: 0단계. 상향 조정의 위험 중립 확률(p, 50%) 설정 1단계. 각 입력 스폿 레이트에 대해 다음과 같이 반복합니다. 현재 시간 단계에서 가장 높은 노드의 속도를 조정합니다. i; 시간 단계에서 다른 모든 속도를 찾으십시오. 여기서 이 ${\displaystyle {속도}_{}}$는${\displaystyle {}_{}}$ln${\displaystyle }$⁡$($ / r d ) / ${\displaystyle \sqrt{2}}$ = δ i σ t {\displaystyle \ln(r_{u} / r_{d})/2=\sigma _{i}{\sqrt {\Delta t}}(이 노드 spacing는 p = 50%, δt는 시간 단계의 길이)를 통해 바로 위 노드에 연결됩니다. 해당 시간 단계부터 트리의 첫 번째 노드(즉, i=0)까지 각 노드에서 속도를 사용하여 트리를 통해 재귀적으로 할인, 즉 "backwards 유도"를 통해 할인, 트리의 첫 번째 노드에서 할인된 값이 i번째 시간 단계에 대해 주어진 현물 이자율에 해당하는 제로 가격이 될 때까지 반복합니다. 2단계. 일단 해결되면 이러한 알려진 짧은 속도를 유지하고 다음 시간 단계(즉, 입력 스폿 속도)로 진행하여 전체 입력 수율 곡선이 포함될 때까지 트리를 "성장"합니다.

수학적 금융에서, 블랙-더만-토이 모델(BDT)은 채권 옵션, 스왑 및 기타 이자율 파생상품의 가격 결정에 사용되는 인기 있는 단기 이자율 모델입니다. 격자 모델(재무) § 이자율 파생상품 참조. 단일 요인 모델, 즉 단일 확률적 요인(단일 금리)이 모든 이자율의 미래 진화를 결정합니다. 이 모델은 짧은 비율의 평균 회귀 행동과 로그 정규 분포를 ^[1]결합한 최초의 모델이며 여전히 널리 사용되고 있습니다.^[2][3]

역사

이 모델은 피셔 블랙(Fischer Black), 에마누엘 더먼(Emanuel Derman), 빌 토이(Bill Toy)에 의해 소개되었습니다. 1980년대 골드만삭스가 사내용으로 처음 개발해 1990년 파이낸셜 애널리틱스 저널(Financial Analyst Journal)에 발표했습니다. 이 모델의 개발에 대한 개인적인 설명은 엠마누엘 더먼의 회고록인 "양자로서의 나의 인생"에 나와 있습니다.^[4]

수식

BDT에서는 이항 격자를 사용하여 현재 이자율 기간 구조(수익률 곡선)와 이자율 상한에 대한 변동성 구조(일반적으로 각 구성 요소 캡렛의 Black-76-Price에서 암시하는 대로)에 맞게 모형 모수를 보정합니다. 다음을 참조하십시오. 보정된 격자를 사용하면 다양하고 복잡한 이자율 민감 증권 및 이자율 파생상품의 가치를 평가할 수 있습니다.

처음에는 격자 기반 환경을 위해 개발되었지만 이 모델은 다음과 같은 연속 확률 미분 방정식을 암시하는 것으로 나타났습니다.^[1][5]

${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}\ln(r)]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$

어디에,

${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r$ = 시간 t에서의 순간 단축률

$θ$t ${\$displaystyle \theta _{t${\displaystyle {\}}_{}}$\,} = 옵션 만료 시 기본 자산의 값

$σ$t ${\$displayst${\displaystyle {\mathrm{yle\; \backslash }}_{}}$sigma _{t${\displaystyle {\}}_{}}$\,} = 순간 단기 금리 변동성

${\displaystyle {Wt}_{}}$ $displaystyle W_{t$ = 위험 중립 확률 측정 하에서의 표준 브라운 운동; $d$ ${\displaystyle {Wt}_{}}$ $displaystyle dW_{t}\,}$ 그 미분.

일정한(시간에 무관한) 단기 속도 $,$ σ {\displaystyle$$\sigma$$\,}의 경우 모형은 다음과 같습니다.

${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

이 모델이 여전히 인기 있는 이유 중 하나는 뉴턴 방법(시퀀트 방법)이나 이등분과 같은 "표준" 근 찾기 알고리즘이 매우 쉽게 교정에 적용되기 때문입니다.^[6] 이와 관련하여 모델은 원래 알고리즘 언어로 설명되었으며 확률적 미적분학이나 마팅게일을 사용하지 않았습니다.^[7]

참고문헌

메모들

외부 링크

• Black-Derman 계산을 위한 R 함수-토이 쇼트 레이트 트리, 안드레아 루베르토
• 온라인: 블랙-더만–토이 숏 레이트 트리 생성기 닥터. Thomson-Reuters의 리스크 관리인 Sing Hing Man
• 온라인: BDT 모델 Dr를 이용한 채권의 가격 결정 Thomson-Reuters의 리스크 관리인 Sing Hing Man
• Excel BDT 계산기 및 트리 생성기, Serkan Gur