크리깅

통계학에서 원래 지리학에서 크리깅 또는 크리깅은 가우스 프로세스 회귀로도 알려져 있으며 이전의 공분산에 의해 지배되는 가우스 프로세스에 기초한 보간 방법입니다.이전의 적절한 가정 하에서 크리깅은 샘플링되지 않은 ^[1]위치에서 최상의 선형 바이어스 예측(BLUP)을 제공합니다.평활도와 같은 다른 기준(예: 평활 스플라인)에 기초한 보간 방법은 BLUP를 산출하지 못할 수 있습니다.이 방법은 공간 분석과 컴퓨터 실험 분야에서 널리 사용되고 있다.이 기법은 노르베르트 비너와 안드레이 콜모고로프의 이름을 따서 비너-콜모고로프 예측으로도 알려져 있다.

이 방법의 이론적 근거는 1960년 프랑스 수학자 조르주 마테롱이 남아프리카 비트바테르랑 암초 복합체의 거리 가중 평균 금 등급의 선구자 다니엘 G. 크리제의 석사 논문을 바탕으로 개발했습니다.Krige는 몇 개의 시추공 표본을 바탕으로 가장 가능성이 높은 금 분포를 추정하려고 했습니다.영어 동사는 크리게에 대한 동사이고, 가장 흔한 명사는 크리게이다; 두 명사 모두 종종 "Krige"라는 이름의 영어식 발음에 이어 어려운 "g"와 함께 발음된다.그 단어는 문헌에서 때때로 크리깅으로 대문자로 표기된다.

크리깅은 기본적인 공식에서는 계산 집약적이지만 다양한 근사 방법을 사용하여 더 큰 문제로 확장할 수 있다.

주요 원칙

관련 용어 및 기술

크리깅은 점 근방에 있는 함수의 알려진 값의 가중 평균을 계산하여 주어진 점에서의 함수 값을 예측합니다.이 방법은 회귀 분석과 밀접한 관련이 있습니다.두 이론 모두 공분산수 가정에 기초한 최선의 선형 비편향 추정기를 도출하고, 추정과 오차의 독립성을 증명하기 위해 가우스-마코프 정리를 사용하며, 매우 유사한 공식을 사용한다.그럼에도 불구하고 크리깅은 랜덤 필드의 단일 실현 추정에 사용되는 반면 회귀 모델은 다변량 데이터 세트의 다중 관측치를 기반으로 합니다.

크리깅 추정은 또한 공분산 ^[2]함수에 의해 주어진 재생 커널과 함께 재생 커널 힐버트 공간에서 스플라인으로 보일 수 있다.기존의 크리깅 접근법과의 차이는 해석에 의해 제공된다. 스플라인은 힐버트-공간 구조에 기초한 최소 정규 보간법에 의해 동기 부여되는 반면 크리깅은 확률적 모델에 기초한 예상 제곱 예측 오류에 의해 동기 부여된다.

다항식 추세 표면을 사용한 크리깅은 수학적으로 일반화된 최소 제곱 다항식 곡선 피팅과 동일합니다.

크리깅은 베이지안 ^[3]추론의 한 형태로도 이해될 수 있다.크리깅은 함수에 대한 사전 분포에서 시작됩니다.이것은 가우스 프로세스의 형태를 취합니다.${\displaystyle }$함수의 N개$(\displaystyle$ N$)$ 샘플은$$ 정규 분포를 따릅니다. ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 두 샘플 간의 공분산은 두 포인트의 공간 위치에서 평가된 가우스 프로세스의 공분산 함수(또는 커널)입니다.그런 다음 일련의 값이 관찰되며, 각 값은 공간적 위치와 관련지어집니다.이제 관측된 각 값에 대한 가우스 우도 함수와 이전 가우도 함수를 결합하여 새로운 공간 위치에서 새로운 값을 예측할 수 있습니다.결과 후방 분포는 또한 가우스이며, 관측된 값, 그 분산 및 이전에서 파생된 커널 행렬로부터 간단히 계산할 수 있는 평균과 공분산을 가지고 있다.

지구통계학적 추정기

지리 통계 모형에서 표본 데이터는 랜덤 공정의 결과로 해석됩니다.이러한 모델이 개념화에 불확실성을 포함한다는 사실은 현상(숲, 대수층, 광물 퇴적물)이 무작위 과정에서 비롯되었다는 것을 의미하는 것이 아니라, 관측되지 않은 위치에서 수량의 공간적 추론을 위한 방법론적 기반을 구축하고 불확실성을 정량화할 수 있도록 한다.추정기와 연결되어 있습니다.

확률적 과정은, 이 모델의 맥락에서, 표본으로부터 수집된 데이터 집합에 접근하는 단순한 방법이다.지리 통계적 변조의 첫 번째 단계는 관측된 데이터 집합을 가장 잘 설명하는 랜덤 프로세스를 생성하는 것입니다.

$위치{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1$($지리적 좌표 집합의 $일반$ 명칭$)$의 값은 공간$A$의 $랜덤$ $변수{\displaystyle }$ Z${\displaystyle ({x\mathrm{}}_{}}$1)의 $실현{\displaystyle }$ z$(x$ 1$)(x$ 1${\displaystyle {}_{}}$x 1)(x 1$)(표시$ 스타일 Z$($$x_{1$로 해석되며, 여기서 샘플이 분산되어 있습니다$.$${\displaystyle \mathrm{다음}}$으로 $랜덤{\displaystyle }$ 변수${\displaystyle }$Z(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}1}$ ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2 ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x_{}}$ N$)$ {$displaystyle$ Z$(x_{1}),$ Z$(x_{2}), \ldots$, $Z(x_{N$의$$실현을$$ $나타냅니다{\displaystyle }$.

랜덤 변수 세트는 랜덤 함수를 구성하며, 이 함수는 관측 데이터의 세트 $($ {$display style$ z$(x_{$i})}입니다$$.각 랜덤 변수의 인식은 1개뿐이므로 개별 변수 또는 함수의 통계 매개변수를 결정하는 것은 이론적으로 불가능합니다.지구통계학적 형식주의에서 제안된 해법은 일부 통계 값의 추론을 가능하게 하기 위해 랜덤 함수의 다양한 수준의 정상성을 가정하는 것으로 구성된다.

예를 들어 변수가 분포된 $영역{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$의 표본의 균질성에 기초하여 첫 번째 모멘트가 정지되어 있다는 가설(즉, 모든 랜덤 변수의 평균이 동일함)을 가정하면 표본 값의 산술 평균에 의해 평균을 추정할 수 있다고 가정할 수 있다.

두 번째 순간과 관련된 정상성의 가설은 다음과 같은 방식으로 정의된다. 두 랜덤 변수 간의 상관관계는 단지 그들 사이의 공간적 거리에 의존하며 그들의 위치와 독립적이다.따라서 h ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ - x$$({$displaystyle \mathbf$$${$h} =x_{2}-x_{1})$ ${\displaystyle 및\mathbf{}}$ ${\displaystyle h}$ $=$ h({$displaystyle \mathbf${h} $=h$이면 다음과 같습니다.

${\displaystyle C{\big (}Z(x_{1}), Z(x_{i}), Z(x_{i}+\mathbf {h}){\big}=C(h},$

${\displaystyle\big (x_{1}), Z(x_{2}){\big}=\big (}Z(x_{i}), Z(x_{i}+\mathbf {h}){\big}=\big (h)}$

알기 쉽게 하기 ${\displaystyle \mathrm{위해}}$C${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, x j ${\displaystyle )=}$ ${\displaystyle C}$ (${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{x}_{}i}$ )${\displaystyle }$, Z ( ${\displaystyle {}_{}}$ j$){$ $display$C ( $x$_ {$i$ ,$x$_ {$$j } ){ $style$ C ( x _ { i , x _ { j } )를 정의합니다.$=C{\$big $(x_{i$}), $Z(x_{j}{\$big$$}}} $및{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ $γ$ (${\displaystyle }$Z (${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$i ) ,${\displaystyle Z}$ ($x$j$$) \ display $style ( x$ _ { i , x _ { j } ) $=$\ $big ( x$_ { i$} ）$ 、 。

이 가설을 통해 다음 두 가지 측정값, 즉 변동도와 공변량을 유추할 수 있습니다.

${\displaystyle \flac {1}{2 N(h)}}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-Z(x_{j}{\big}}^2}$

${\displaystyle C(h)=paramfrac {1}{N(h)}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-m(h)}{\big (}Z(x_{j}-m(h)}-m(h){big}}}}}},$

여기서:

${\displaystyle m}$(${\displaystyle h}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}N}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{}}$h${\displaystyle \underset{}{}}$)${\displaystyle \underset{}{}\frac{(}{}\underset{}{}}$ （${\displaystyle \underset{}{i}}$, j )${\displaystyle {}_{}}$ N (${\displaystyle \underset{}{}}$ )${\displaystyle Z}$ ( ${\displaystyle {}_{}}$ i ) + Z ( ${\displaystyle x_{}{j}_{}}$) { $displaystyle m$ ( h ) =$sum _ {$ $($ i ,$j$ ) \ $in N ( h$) $Z$( x$$j )$$$}$

${\displaystyle N(h}$) {$displaystyle$ N$($$h)$ }은 x${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ - ${\displaystyle x_{}}$$$${\displaystyle j}$ $=$ h { $displaystyle x_{$i}-$x_{$j$}$ = h$\}$${\displaystyle 및}$ ${\displaystyle N(}$h$$${\displaystyle )}$ {$displaystyle N($h)$$}은 ${\displaystyle 집합}$에 포함된 쌍의 수입니다${\displaystyle .}$

이 세트에서는 (${\displaystyle i,}$ $)$ {$displaystyle (i,\;j)}$${\displaystyle }$및$$ ($,$ $)$ {$display$ ($j,\;i)}$이$$${\displaystyle }$같은 요소를 나타냅니다.일반적으로 "대략 거리"$h{\displaystyle }$ {\$style$ h$}$가 사용되며, 일정한 공차를 사용하여 구현됩니다.

선형 추정

관측되지 않은 $위치{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle$ x_${0$에서 Z${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ \$displaystyle$$Z\colon$ {R}$^{n} \to$\mathbb {$R$의 공간적 추론 또는 추정은 ${\displaystyle {관측}_{}}$된 ${\displaystyle 값}$z $=$ Z$($의 선형 조합에서 계산한다.${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0 ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle =1}$,${\displaystyle \dots ,}$ {\$displaystyle w_{i}(x_{0}),\;i=1,\ldots,N$

${\displaystyle {Z}(x_{0})=sbegin{bmatrix}w_{1}&\cdots &\{N}\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}{{1}\\\vdots\z_{2}\\sum{n}_matrix}_{bmatrix}_{1}{b}_{{1}}$

$\$의 가중치는 공간 추론 프로세스에서 매우 중요한 두 가지 절차를 요약하기 위한 것이다.

• 샘플의 구조적 "구조적"을 추정 $위치{\displaystyle {}_{}}$ x $({$에 반영한다.
• 동시에 최종 표본 군집으로 인한 편향을 방지하기 위해 분리 제거 효과가 있어야 합니다.

$지구통계학적$ 형식주의에는 언바이어스와$$추정의 최소 편차의 두 가지 $목적$이 있습니다$.$

실제 $값{\displaystyle }$ Z${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$)({$displaystyle$ Z$(x_{0})$의 구름이 추정 값${\displaystyle \stackrel{}{}}Z{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle ^({x\mathrm{}}_{}}$ 0$)$ {$displaystyle {Z}(x_{0$에 대해 플롯되어 있는 경우, 필드의 글로벌 언바이어스, 고유 정상성 또는 광의 정상성에 대한 기준은 추정의 평균이 rea의 평균과 동일해야 함을 의미합니다.l 값

The second criterion says that the mean of the squared deviations ${\displaystyle {\big (}{\hat {Z}}(x)-Z(x){\big )}}$ must be minimal, which means that when the cloud of estimated values versus the cloud real values is more disperse, the estimator is more imprecise.

방법들

랜덤 필드의 확률적 특성과 가정한 다양한 정상성 정도에 따라 가중치 계산을 위한 다른 방법을 추론할 수 있다. 즉, 다른 유형의 크리깅이 적용된다.일반적인 방법은 다음과 같습니다.

• 일반 크리깅은 x $({$의 $검색{\displaystyle {}_{}}$ 근린에서만 알 수 없는 일정한 평균을 가정합니다.
• 단순 크리깅은 알려진 $평균{\displaystyle }$ E${\displaystyle }${${\displaystyle Z}$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$} ${\displaystyle =E}$ {${\displaystyle Z}$ ( ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ )${\displaystyle }$} ${\displaystyle =}$ { { $displaystyle$ E$\{Z(x$)\} =$E\{Z$(x_${0$})\}$= m$$여기$서$$m {$displaystyle$ m$}$은 알려진 평균)으로 첫 번째 모멘트의 정상성을 가정합니다.
• 범용 크리깅은 선형 추세 $모델{\displaystyle }$E {${\displaystyle Z}$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$} $=$ k ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}{}_{}{k}_{}}$ (${\displaystyle x}$) { $displaystyle$\ $textstyle$ E$\{Z(x)\}=\sum _${k$=0$}^{$p}\sum _{$k} f_{k}($x$와 같은 일반적인 다항식 추세 모델을 가정한다.
• IRFk-kriging에서는 E${\displaystyle }${${\displaystyle Z}$ (${\displaystyle x}$ ) $}$ { { $displaystyle$ E \ {$Z$ ($x$ ) \ } x$$$$、 x { $display style$ x$$} 에서는 알 수 없는 다항식이라고 $가정$합니다.
• 지시자 크리깅은 전환 확률을 추정하기 위해 공정 자체 대신 지시자 함수를 사용합니다.
  • 다중 인디케이터 크리깅은 인디케이터 패밀리와 함께 작동하는 인디케이터 크리깅 버전입니다.당초 MIK는 지구 전체의 광상 농도나 등급을 보다 정확하게 추정할 수 있는 새로운 방법으로 상당한 가능성을 보였다.그러나, 이러한 편익은 사용된 본질적으로 큰 블록 크기와 채굴 규모 해결의 부족으로 인해 모델링의 다른 내재적 실용성 문제보다 더 중요했습니다.조건부 시뮬레이션은 고속이며, 이 ^{[citation needed]}경우 일반적인 대체 기법이 됩니다.
• 분리 크리깅은 크리깅의 비선형 일반화이다.
• 로그 정규 크리깅은 양의 데이터를 로그로 보간합니다.
• 잠재 크리깅은 공간 기능 ^[4]예측을 생성하기 위해 비선형 혼합 효과 모델의 잠재 수준(2단계)에서 다양한 크리깅을 가정한다.${\displaystyle {이}_{}}$ 기술은 공간 기능 데이터 {${\displaystyle }({\displaystyle }$ ${\displaystyle y_{}}$i , ${\displaystyle x_{}}$i , ${\displaystyle s_{}}$i ) ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ $n$ { ( $y$_ { $i$, x$_$ {$i$ , $s$_ { $i$} \ }$_$ { i ${\displaystyle =}$ 1 } _ { i = { ${\displaystyle i_{}}$}^{ n$$} （ ${\displaystyle {\mathrm{y}}_{}}$ i ${\displaystyle 1_{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{y}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$display , s , ${\displaystyle {{}_{}}_{}{}^{}\}^\{}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ） $stylestylestyle$ { i _ sty _ { $i$}$(\$}) 주기$$, $=$ ($xi1$ $x_i2},\cdots,x_{ip}^{\top$는 p$${\$displaystyle$p} 공변량의$$ $벡터$이며, ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle =}$ 1${\displaystyle {}_{}{s}_{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{i2}}_{}{}^{}{}_{}}$$)$$(display$ i) $-번째{\displaystyle }$ $피사체$의 위도(gitude, latitude)입니다.
• 공동 크리깅은 여러 데이터 ^[5]소스 간의 관계를 가진 여러 소스로부터의 데이터의 공동 크리깅을 의미합니다.동시 크리깅은 ^[6][7]베이지안 접근법에서도 가능합니다.
• 베이지안 크리깅은 베이지안 관점에서 최대우도 추정치로 이해되는 미지의 계수 및 하이퍼 파라미터의 최적화에서 출발한다.대신, 계수와 하이퍼 파라미터는 기대치로부터 추정됩니다.베이지안 크리깅의 장점은 크리깅 ^[8]에뮬레이터의 근거와 불확실성을 정량화할 수 있다는 것이다.불확실성을 전파하기 위해 에뮬레이터를 사용하는 경우, 크리깅 에뮬레이터의 품질은 에뮬레이터 불확실성을 총 불확실성과 비교하여 평가할 수 있다(베이지안 다항식 카오스 참조).베이지안 크리깅은 코 크리깅과 ^[6][7]혼합할 수도 있습니다.

일반 크리깅

알 수 없는 $값{\displaystyle }$ Z${\displaystyle ({x\mathrm{}}_{}}$0 $)({displaystyle$ Z$(x_{0})$는 x$$({$displaystyle x_$${$$0$에 있는 랜덤 변수와 인접 $샘플{\displaystyle }$ Z$($i${\displaystyle }$), ${\displaystyle \mathrm{i}}$ $=$1,${\displaystyle }$…, $(x displaystyle$ Z($x_{$i$\}),$ \$$${\displaystyle {}_{}}$$,$ N)의 값으로 해석됩니다${\displaystyle .}$ X $추정치{\displaystyle \stackrel{.}{}}$}은$$(는) 변수의 선형 조합의 결과인$$x 0({$displaystyle x_{$0$\})$에 있는 $랜덤{\displaystyle {}_{}}$ 변수로도 해석됩니다$.$

모델의 가정에 대해 크리깅 시스템을 추론하기 위해 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0$(\$에서${\displaystyle }$Z$(\displaystyle$ Z$(x))$를 $추정$할 때 다음 오류가 선언됩니다.

$(\displaystyle \bmatilon (x_{0})=bmatrix}-Z(x_{0})=bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}\cdot {bmatrix}Z(x_{1})&cdots(X_{Z})T}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times Z(x_{i})-Z(x_{0}).}$

앞에서 언급한 두 가지 품질 기준은 새로운 랜덤 변수${\displaystyle }\delta {\displaystyle }$ ( ${\displaystyle {}_{}}$ 0 $)\displaystyle \epsilon (x_{0$의 평균과 분산으로 표현할 수 있습니다.

편견이 없다

$랜덤{\displaystyle }$ 함수는 정지 상태이므로${\displaystyle }$E [${\displaystyle {}_{}}$ ( x${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ )${\displaystyle =E}$ [${\displaystyle Z}$ ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$]$$ ${\displaystyle m}$ { $display style$E [$Z$ ( x$_$ { i } ] $=$$E[Z(x_{0})]=m$ 다음과 같은 제약 조건이 있습니다.

$({displaystyle E[\epsilon (x_{0})]=0\왼쪽 화살표 \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times E[Z(x_{i})]=0\왼쪽 화살표$

$\displaystyle \왼쪽 화살표 m\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})-m=0\왼쪽 화살표 \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0}=1\왼쪽 화살표 \mathbf {1}^{T}\cdOT=1.}$

모형이 치우치지 않도록 가중치를 합해야 합니다.

최소분산

두 개의 추정치는 E${\displaystyle }$[ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ )$=$ ${\displaystyle 0}$ { $displaystyle$ E$[\epsilon (x_{0$}) ]=$0$을 $가질{\displaystyle }$ 수 있지만 평균 주위의 분산에 따라 추정치의 품질 차이가 결정됩니다.분산이 최소인 추정치를 찾으려면${\displaystyle }$E [ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {}_{}{}^{}{0\mathrm{}}_{}}$ ) $]{$ $display$E [ \ $epsilon$($x$_ { 0$)^2}$ 를 $최소화$할 필요가 있습니다.

${\displaystyle {begin{aligned}\operatorname {Var}(\epsilon(x_{0})&=\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {bmatrix}Z(x_{1})&\cdots & Z(x_{N})&Z(x_0}\end{bmatrix}^{\cdots})T}\right)\\&=bgin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}\cdot \operatorname {Var}\left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots & Z(x_{N})&Z(x_0}\end{bmatrix}}^{\cdots})T}\right)\cdot {bmatrix}W\\-1\end {bmatrix}.\end { aligned}}$

자세한 내용은 공분산 행렬을 참조하십시오.

$\displaystyle \operatorname {Var}(\epsilon(x_{0}))=cdot begin {bmatrix} W^{T}&-1\end {bmatrix}\cdot {bmatrix}\operatorname {Var}_{x_{i}&\operatorname {Cov}_{x}_{x}\operatorname {Cov}_{x}_x}T}&\operatorname {Var}_{x_{0}}\end{bmatrix}\cdot {begin{bmatrix}W\-1\end{bmatrix}}$

여기서 리터럴${\displaystyle }${${\displaystyle {Var{}_{}}_{}}$ x ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\displaystyle {Var{}_{}}_{}}$ x ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {Cov{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {x_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{x\mathrm{}}_{}}_{}}$ 0 $}$ {$displaystyle \left\{\operatorname {Var} _{x_{i}},\operatorname {Var}$_${x_{0},\}$은(는) _${x_i}_{x_0},\right}$를 나타냅니다.

$\displaystyle \left\{\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots & Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T}\right),\operatorname {Var}(\big (}Z(x_{0}){\big}),\operatorname {Cov} \left({\begin {bmatrix}Z(x_{1})&\cdots & Z(x_{N}\end{bmatrix}^{{T},\right})}$

공분산 모델 또는 변동 그래프${\displaystyle ,}$ $C{\displaystyle }$ (${\displaystyle h\mathbf{}}$) \ $displaystyle$ C ( \ $mathbf { h$ )$$( ${\displaystyle (}$ （ ${\displaystyle h\mathbf{}}$） \ $displaystyle \gamma$( \ $mathbf {h }$)이 정의되면 Z${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) \ $displaystyle$Z ($x$ )$$}의 $모든{\displaystyle }$ 분석 필드에서 유효하며, 공분산함수의 분산 추정에 대한 식을 쓸 수 있습니다.표본과 추정 지점 사이의 전류 및 공분산:

${\displaystyle {case}\operatorname {Var}{big (}\ilon (x_{0}){\big}=W^{T}\cdot\operatorname {Var}_{x_{i}\cdot W-\operatorname {Cov}_{x_{x}{0}^{{\}}}^{{\}}}T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov}_{x_{0}}+\operatorname {Var}_{x_{0}},\\\operatorname {Var}{big (}\cdot W-W^{T}\operatorname {Cov}={Var}\end {case}}$

이 표현에서 몇 가지 결론을 내릴 수 있다.추정의 분산:

• 평균 및 공간 공분산 또는 변동도의 정상성이 가정되면 선형 추정기에는 정량화할 수 없다.
• 표본과 추정할 점 사이의 공분산이 감소하면 크기가 커집니다.즉, 샘플이 x $({$에서 멀리 떨어져 있을 경우 추정치가 더 나빠집니다.
• $변수{\displaystyle }$ Z$x$의 priori $분산{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{C}}$(0$)${$displaystyle$C(0$)}$에 따라 $증가$합니다. 변수가 분산되지 않을 경우 $영역{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$의 어느 지점에서든 분산이 낮아집니다.
• 샘플의 값에 의존하지 않는다. 즉, 동일한 공간 구성(샘플과 추정 $지점$ 간의 기하학적 관계가 동일함$)$이 $영역{\displaystyle }$A의 $모든$ 부분에서 항상 동일한 추정 분산을 재현한다는 것을 의미한다. 이렇게 하면 분산은 추정 생산의 불확실성을 측정하지 않는다.로컬 변수에 의해 편집됩니다.

방정식 체계

$({displaystyle W={mathbf {1} ^{T}\cdot W=1}{\operatorname {displaystyle}) {\left(W^{T}\cdot \operatorname {Var}_{i}_{x}) _{x_{x})T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov}_{x_{0}}+\operatorname {Var}_{x_{0}}\right).}$

이 최적화 문제를 해결하면(라그랑주 승수 참조), 크리깅 시스템이 발생합니다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}{W\hat{}}\\\mu}\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\operatorname{바르}_{x_{나는}}&\mathbf{1}\\\mathbf{1}^{T}&, 0\end{bmatrix}}^{)}\cdot{\begin{bmatrix}\operatorname{Cov}_{x_{나는}x_{0}}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma(x_{1},x_{1})&, \cdots;1\\\vdots &, \ddots &, \vdots \gamma(x_{1},x_{n})& &.&\vdots \\\gamma(x_{n},x_{1) &\cdots &\cdots &\cdots (x_{n},x_{n}) &\cdots &\1\1&\end{bmatrix}^{-1}{\cdots (x_{1},x^{*}\vdots \\cdots (x_n},x^{*})\1\endmatrix}.}$

추가 $파라미터{\displaystyle }$μ {\$displaystyle \mu}$는 불편성 조건을 충족하기 위해 크리깅오류 ${\displaystyle {\delta }_{}^{}}$ k${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ (${\displaystyle x}$) \$sigma$ _${k}^{2}(x)$를 최소화하는 데 사용되는 라그랑주 승수입니다.

간단한 크리깅

이 섹션은 Wikipedia의 품질 기준을 충족하기 위해 청소가 필요할 수 있습니다.구체적인 문제는 이 섹션이 매우 열악하여 개선이 필요하다는 것입니다. 가능하다면 이 섹션의 개선에 협조해 주십시오.( 2021년 1월) (이 템플릿메시지를 삭제하는 방법과 타이밍에 대해 설명합니다)

간단한 크리깅은 수학적으로 가장 간단하지만 가장 ^[9]일반적이지 않습니다.랜덤 필드의 기대치가 알려져 있다고 가정하고 공분산 함수에 의존합니다.그러나 대부분의 애플리케이션에서 기대값과 공분산 둘 다 사전에 알려져 있지 않습니다.

단순 크리깅 적용에 대한 실제 가정은 다음과 같습니다.

• 필드의 와이드 센스 스테이션리티(분산 스테이션리티).
• 기대치는 0입니다${\displaystyle .\mu }$ (${\displaystyle }$x ) ${\displaystyle =}$ { $displaystyle \ mu$ ( x ) =$0$} 。
• 알려진 공분산 $함수{\displaystyle }$c (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{Cov}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle Z}$ (${\displaystyle x}$) ,${\displaystyle Z}$ ($y$ )$$、 { $displaystyle$c ($x$ , y ) = \$operatorname${ $Cov }$ { $big ($ $)$}$$。

공분산 함수는 가우스 프로세스의 특성과 그에 따른 모델의 동작을 규정하기 때문에 중요한 설계 선택입니다.공분산 함수는 평활도 및 주기성 등의 정보를 인코딩하여 생성된 추정치에 반영합니다.매우 일반적인 공분산 함수는 매끄러운 함수 ^[10]추정치를 매우 선호하는 지수 제곱 함수입니다.이러한 이유로, 특히 진정한 기본 함수가 불연속성과 급격한 변화를 포함하는 경우, 많은 실제 애플리케이션에서 낮은 추정치를 산출할 수 있습니다.

방정식 체계

단순 크리깅의 크리깅 가중치는 불편성 조건을 가지지 않으며 단순 크리깅 방정식 시스템에 의해 주어진다.

$({displaystyle {pmatrix}w_{n}\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}=syslogs{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &\vdots \c(x_{1})&\cdots \c(x_{n})}$

${\displaystyle {}_{}}$은 다른 $쪽{\displaystyle {}_{}{z\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,$$${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle z_{}}$n {\$displaystyle z_{1},\ldots,z_{n$의 $선형{\displaystyle }$ 회귀와 ${\displaystyle {}_{}}$합니다${\displaystyle .}$

견적

간단한 크리깅에 의한 보간은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {Z}(x_{0})=begin{pmatrix}z_{1}\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}'{\cdots & c(x_{1},x_{n})\cdots & cdots\vots\dots\dots\dots\{1}}$

크리깅 오류는 다음과 같습니다.

$\\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}'ᆸc(x_{1},x_{1})&{\displaystyle \operatorname{바르}{\big(}{\hat{Z}}(x_{0})-Z(x_{0}){\big)}=\underbrace{c(x_{0}일 경우 ,x_{0})}_{\operatorname{바르}{\big(}Z(x_{0}){\big)}}-\underbrace{{\begin{pmatrix}(x_{1},x_{0})\\\vdots, \cdots, c(x_{1},x_{n})\\\vdots &, \ddots & &, \vdots \\c(x_{n},x_{1})&a.융점, \cdots &, c(x_{n},x_{n}\end{pmatrix}{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\vdots\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}_{\big}_{\operatorname {Var}{var}({big ({\}{\hat})}{\})$

이는 가우스-마코프 정리의 일반화 최소 제곱 버전으로 이어진다(Chiles & Delfiner 1999, 페이지 159).

${\displaystyle \operatorname {Var} {\big} {\big} = \operatorname {Var} {\big} {\hat {Z0} {\big} + \operatorname {Var} {\big} {\big} {\z} {\big} - {\0}}$

베이지안 크리깅

참고 항목: 베이지안 다항식 카오스

특성.

이 섹션은 Wikipedia의 품질 기준을 충족하기 위해 청소가 필요할 수 있습니다.구체적인 문제는 이 섹션의 수정이 필요하다는 것입니다. 부정확하거나 혼란스러운 텍스트는 삭제해야 합니다. 가능하다면 이 섹션의 개선에 협조해 주십시오.( 2021년 1월) (이 템플릿메시지를 삭제하는 방법과 타이밍에 대해 설명합니다)

• 크리깅 추정은 편향되지 않습니다.$display style$$E[Z(x_{i})]$ }$$。
• 크리깅 추정은 실제로 관측된 $값$인 Z${\displaystyle \stackrel{}{}^}$ ( ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ ) ${\displaystyle =Z}$ ( ${\displaystyle x_{}}$i $){$ $display${$hat${ $Z}(x_{i$}) =$Z(x_{i})($측정 오류가 발생하지 않음)를 따릅니다.
• 크리깅 $추정치{\displaystyle \stackrel{}{}}$ Z${\displaystyle \stackrel{}{}^}$ (${\displaystyle x}$) \ $displaystyle$\ $hat${ $Z$$}$ （ $x$） (ptions hold un un un $un$ the un un the the${\displaystyle }$the the the the the $the$ the the the the the the the the ${\displaystyle \mathrm{the}}$ the the the the the the （ $x$） 。단, (예: Cressie 1993):^[11]
  • 모든 방법과 마찬가지로 전제 조건이 충족되지 않으면 크리깅이 잘못될 수 있습니다.
  • 더 나은 비선형 및/또는 편향된 방법이 있을 수 있습니다.
  • 잘못된 변형도를 사용할 경우 속성이 보장되지 않습니다.그러나 일반적으로 여전히 "좋은" 보간이 이루어집니다.
  • 최선은 반드시 좋은 것은 아니다. 예를 들어 공간 의존성이 없는 경우 크리깅 보간은 산술 평균만큼만 좋다.
• Kriging은 정밀도 측정값으로 ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$2 (\$style \sigma$ _${k}^2$} $)$를 제공합니다.그러나 이 척도는 변이도의 정확성에 의존합니다.

적용들

이 섹션은 Wikipedia의 품질 기준을 충족하기 위해 청소가 필요할 수 있습니다.구체적인 문제는 이 섹션이 매우 열악하여 개선이 필요하다는 것입니다. 가능하다면 이 섹션의 개선에 협조해 주십시오.( 2021년 1월) (이 템플릿메시지를 삭제하는 방법과 타이밍에 대해 설명합니다)

크리깅은 원래 지리통계학의 응용을 위해 개발되었지만, 통계 보간법의 일반적인 방법이며, 적절한 수학적 가정을 만족시키는 무작위 필드의 표본 데이터에 모든 분야 내에서 적용될 수 있다.공간적으로 관련된 데이터를 수집하고(2-D 또는 3-D) 실제 측정 사이의 위치(공간 간격)에서 "채우기" 데이터의 추정치를 원하는 경우에 사용할 수 있습니다.

현재까지 크리깅은 다음과 같은 다양한 분야에서 사용되어 왔습니다.

• 환경과학^[12]
• 수문 지질학^[13][14][15]
• 채굴^[16][17]
• 천연 자원^[18][19]
• 리모트 센싱^[20]
• 부동산 감정^[21][22]
• 집적회로 분석 및 최적화^[23]
• 마이크로파^[24] 장치 모델링
• 천문학^[25][26][27]
• 셰일유정의^[28] 석유생산곡선 예측

컴퓨터 실험 설계 및 분석

공학에서 매우 중요하고 빠르게 성장하고 있는 또 다른 응용 분야는 결정론적 ^[29]컴퓨터 시뮬레이션의 응답 변수로 나오는 데이터의 보간이다(예: 유한 요소 방법(FEM) 시뮬레이션).이 경우 크리깅은 메타모델링 도구, 즉 설계된 일련의 컴퓨터 실험 위에 구축된 블랙박스 모델로 사용됩니다.금속 성형 공정 설계와 같은 많은 실제 엔지니어링 문제에서 단일 FEM 시뮬레이션은 몇 시간 또는 며칠이 걸릴 수 있습니다.따라서 제한된 수의 컴퓨터 시뮬레이션을 설계하고 실행한 다음 크리깅 인터폴레이터를 사용하여 다른 설계점에서의 반응을 신속하게 예측하는 것이 더 효율적입니다.따라서 크리깅은 최적화 ^[30]루틴 내에서 구현되는 소위 대리 모델로 매우 자주 사용됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 베이즈 선형 통계량
• 가우스 과정
• 다변량 보간법
• 비모수 회귀 분석
• 반지름 기준 함수 보간
• 공간 매핑
• 공간 의존성
• 변종도
• 그라데이션 강화 크리깅(GEK)
• 대리 모형
• 정보 분야 이론

레퍼런스

추가 정보

이 추가 읽기 섹션에는 위키피디아의 지침을 따르지 않을 수 있는 부적절하거나 과도한 제안이 포함될 수 있습니다.적절한 경우 동일한 관점으로 관련성이 낮거나 중복되지 않는 출판물은 삭제하되 균형잡힌 내용, 시사적인 내용, 신뢰할 수 있는 내용 및 주목할 만한 추가 독서 제안만 제시하도록 하십시오.적절한 텍스트를 인라인 소스로 사용하거나 별도의 참고 문헌 문서를 작성하는 것을 고려하십시오.(2014년 11월) (이 템플릿메시지 삭제 방법 및 삭제 시기 확인)

이력 레퍼런스

1. Chilès, Jean-Paul; Desassis, Nicolas (2018). "Fifty Years of Kriging". Handbook of Mathematical Geosciences. Cham: Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-319-78999-6_29. ISBN 978-3-319-78998-9. S2CID 125362741.
2. Elsevier Scientific Publish Company, 암스테르담, 1974, Geomatematics, Mathematics Background and Geo-Science Applications.
3. 크리깅의 기원, 수리 지질학, v. 22, 페이지 239–252, 1990.
4. Krige, D. G., 1951년 Witwatersrand 대학의 석사 논문인 Witwatersrand의 일부 광산 평가 및 관련 문제에 대한 통계적 접근법.
5. Link, R. F. and Koch, G. S., 실험 설계 및 트렌드 표면 분석, 지리 통계학, A calkium, 플레넘 프레스, 뉴욕, 1970.
6. Matheron, G., "지질학의 원리", 경제지질학, 58, 페이지 1246–1266, 1963.
7. Matheron, G., "본질 랜덤 함수 및 그 응용 프로그램", Adv. Appl. Prob., 5, 페이지 439-468, 1973.
8. Merriam, D. F. (편집자), Geostatistics, 토론회, 뉴욕 플레넘 프레스, 1970.

책들

• Abramowitz, M. and Stegun, I.(1972), 도버 출판물, 뉴욕.
• Banerjee, S., Carlin, B. P. 및 Gelfand, A. E. (2004)공간 데이터에 대한 계층적 모델링 및 분석.Chapman and Hall/CRC Press, Taylor and Francis 그룹.
• 칠레스, J.-P., P.Delfiner(1999) 지리통계학, 공간적 불확실성 모델링, 확률 및 통계의 와일리 시리즈.
• Clark, I. 및 Harper, W. V., (2000) 실천지질통계 2000, Ecosse North America, 미국.
• Cressie, N. (1993) 공간 데이터 통계(뉴욕주, Wiley).
• David, M.(1988) 응용지질통계학적 광석 매장량 추정 핸드북, 엘세비어 과학 출판
• Deutsch, C. V. 및 Journel, A. G.(1992), GSLIB – 지리정보 소프트웨어 라이브러리 및 사용자 가이드, 옥스포드 대학 출판부, 뉴욕, 338 페이지.
• Goovaerts, P. (1997) 천연자원 평가를 위한 지리통계학, 옥스포드 대학 출판부, 뉴욕, ISBN 0-19-511538-4.
• Isaaks, E. H. 및 Srivastava, R. M.(1989), 응용지질통계학 입문, 뉴욕 옥스포드 대학 출판부, 561 페이지.
• Journel, A. G. and C. J. Huijbregts(1978) 광산지질통계학, Academical Press London.
• Journel, A. G.(1989), 미국지질물리학연합, 워싱턴 D.C.의 5가지 교훈의 지질통계학 기초.
• 또, 「제15.9조Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007), "Section 3.7.4. Interpolation by Kriging", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8」. 가우스 프로세스 회귀"를 참조하십시오.
• Stein, M. L.(1999), 공간 데이터의 통계적 보간: 뉴욕, 스프링거, 크리깅의 이론.
• Wakernagel, H. (1995) 다변량 지질통계학 - 스프링거 베를린 응용 소개