점진적으로 측정할 수 있는 프로세스

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수학에서 진보적 측정가능성은 확률적 과정 이론의 속성이다. 상당히 기술적으로 정의되어 있지만, 점진적으로 측정할 수 있는 프로세스는 중지된 프로세스가 측정 가능하다는 것을 의미하기 때문에 중요하다. 점진적으로 측정할 수 있다는 것은 적응된 과정이라는 개념보다 엄격히 강한 속성이다.^[1] 점진적으로 측정할 수 있는 프로세스는 Itsu 통합 이론에서 중요하다.

정의

내버려두다

• ${\displaystyle (\mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle P\mathbb{}}$) ${\displaystyle(\Oomega ,{\mathcal {F},\mathb {P})}$은 확률 공간이며,
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X\mathbb{}}$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle(\mathb {X},{\mathcal {A})}$은(는) 측정 가능한 공간, 상태 공간이며,
• ${\displaystyle \{{\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle \{\mathcal {F}_{t}\mid t\geq 0\}}$은(는) 시그마 $대수{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$ {$F}$의$$여과가 된다$$.
• ${\displaystyle X:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} }$ be a stochastic process (the index set could be ${\displaystyle [0,T]}$ or ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ instead of ${\displaystyle [0,\infty )}$);
• ${\displaystyle \mathrm{B}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ e ${\displaystyle \mathrm{l}}$(${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle \mathrm {Borel}([0,t])}$은$({\displaystyle }$는) [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,t]}$에서 보렐 시그마 대수(Borel sigma 대수)가$$ 된다$.$

과정은 X{X\displaystyle}에는 점차적으로 measurable[2](또는 단순히 진보적인)만약 모든 시간 동안{\displaystyle지} 있어, 지도가 X{\displaystyle[0,t]\times{X\to \mathbb \Omega}→}(s, ω)↦ Xs({\displaystyle(s,\omega)\mapsto X_{s}(\omega)에 의해 정의되×Ω[0t]}은 B하는 or다고 한다e${\$$\otimes {\mathcal{F}_{t}$ - 측정$$ 가능. 이는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가)^[1] $F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ -apted임을$$ 의미한다.

부분 집합 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ [ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ )${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ $(\displaystyle P\subseteq [0,\inflt )\time \$${\displaystyle \mathrm{Oomega}}$ $}$은(는)${\displaystyle {}_{}{공정}_{}}$X ${\displaystyle s_{}}$ :=${\displaystyle {}_{},}$ ${\displaystyle P}$ ( ,$$Ω ) {\$displaysty X_{s$}(\omega $}).$$=\chi _{P}(s,\omega )}$은 위에서 정의한 의미에서 점진적으로 측정할 수 있으며$$, 여기서 ${\displaystyle {where}_{}}$ P ${\$는 P ${\displaystyle P}$의 지표 함수다$.$ The set of all such subsets ${\displaystyle P}$ form a sigma algebra on ${\displaystyle [0,\infty )\times \Omega }$, denoted by ${\displaystyle \mathrm {Prog} }$, and a process ${\displaystyle X}$ is progressively measurable in the sense of the previous paragraph if, and only if, it is ${\displaystyle \mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}}$${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\$- 측정$$ 가능.

특성.

• L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle B}$) ${\displaystyle L^{2}(B)}$ $,$ 확률 프로세스 $공간{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$ 이 적분되어 있음을^[1] 알 수 있다.

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d}B_{t}}$

with respect to Brownian motion ${\displaystyle B}$ is defined, is the set of equivalence classes of ${\displaystyle \mathrm {Prog} }$-measurable processes in ${\displaystyle L^{2}([0,T]\times \Omega ;\mathbb {R} ^{n})}$.

• 왼쪽 또는 오른쪽 연속 경로를 가진 모든 적응된 프로세스는 점진적으로 측정할 수 있다. 결과적으로, 모든 적응된 과정은 점진적으로 측정할 수 있다.^[1]
• 모든 측정 가능하고 적응된 과정은 점진적으로 측정 가능한 수정이 있다.^[1]

참조