브라우니안

확률론에서 브라운 여행 과정은 위너 과정(또는 브라운 운동)과 밀접하게 관련된 확률적인 과정이다. 브라운 여행 과정의 현실화는 본질적으로 특정 조건을 충족시키기 위해 선택된 Wiener 과정의 실현일 뿐이다. 특히, 브라운 여행 과정은 양성이어야 하고 1시에 값이 0을 취하도록 조건화된 Wiener 과정이다. 대체적으로, 그것은 양성으로 조건화된 브라운교 과정이다. BEP는 여러 가지 조건부 기능 중심 한계 이론의 한계 과정으로 자연스럽게 발생하기 때문에 중요하다.^[1]

정의

브라우니안 여행 $과정$인$$e {\$displaystyle$e$\}$은 양수 및 시간 1에 값 0을 취하도록 조건화된 Wiener 과정(또는 Brownian motion)이다. 대체적으로, 그것은 양성으로 조건화된 브라운교 과정이다.

브라운 모션 프로세스 W(폴 레비 때문에, 키요시 이츠와 헨리 P가 기록한) 측면에서 브라운$$ 여행 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$의 또 다른 표현. McKean,^[2] Jr.)은 W가 1시 이전에 0을 치는 마지막$$ $시간{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {-}_{}}$ - ${\$과${\displaystyle {(}_{}}$와$)$ $1시{\displaystyle }$ 이후에 처음으로 $display$ + {\displaystyle $\tau_{+}$ 브라우니안 모션 W ${\displaystystyle W}$이 0을 치는$$ 시간의 관점에서 $보면{\displaystyle {}_{}}$ 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{{\frac { W((1-t)\tau _{-}+t\tau _{+}) }{\sqrt {\tau _{+}-\tau _{-}}}}:\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

${\displaystyle {\tau m}_{}}$ ${\$을(를) [${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, 1]에서 브라운교 공정 $W{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$이 최소치를$$ 달성하는 시간으로 한다$$. 베르바트(1979)는 다음과 같은 것을 보여준다.

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\\}\\\\stackrel {d}{d}}}\{좌측\{{}}W_{0}(\tau _{m}+t{\bmod{1})-W_{0}(\tau _{m}):\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

특성.

Vervaat이 Brownian 여행을 $표현$한$$것은 e {\$displaystyle$e}의 다양한 기능에 여러 가지 영향을 미친다$.$ 특히:

${\displaystyle M_{+}\equiv \sup _{0\leq t\leq 1}e(t)\\\\\\sup _{0\leq t}{d}}\}\sup _{0\leq t_{0}-\inf _{0\leq t_{0}{0}(t),}},}}},}}}}}}}},}}$

(이것은 명시적 계산에^[3][4] 의해서도 도출될 수 있다) 및

${\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt\ {\stackrel {d}{d}}}}\int _{0}^{1}{0}(t)\,dt-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t).}$

다음 결과는 다음과 같다.^[5]

${\displaystyle EM_{+}={\sqrt {\pi /2}}\약 1.25331\ldots ,\,}$

그리고 두 번째 모멘트 및 분산에 대한 다음 값은 분포와 밀도의 정확한 형태로 계산할 수 있다.^[5]

${\displaystyle EM_{+}^{2}\약 1.64493\ldots \ ,\\\\ \operatorname {Var}(M_{+})\약 0.0741337\ldots .}$

Groeneboom(1989), Lema 4.2는 (${\displaystyle \mathrm{밀도}}$) 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$( t${\displaystyle }$) d ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \int _{0}^{$1}$e(t)\,dt}$의 라플라스 변환에 대한 표현을 제공하며$,$ 이 영역 적분포의 특정 이중 변환에 대한 공식은 Louchard(1984)에 의해 주어진다.

Groeneboom(1983)과 Pitman(1983)은 Brownian 소풍과 $W{\displaystyle }${\$displaystyle$W}의 최소 오목한 주원료(또는 가장 큰 볼록 소량제)의$$ 측면에서 Brownian $운동{\displaystyle }$ W$${\\$displaystyle$ W$}$의 분해 작용을 한다$.$

Itô의 브라운 여행에 대한 일반적인 이론과 Itô Poisson 여행 과정에 대한 소개는 Revuz and Yor(1994년), XII 장을 참조하십시오.

연결 및 응용 프로그램

브라운 여행 지역

${\displaystyle A_{+}\equiv \int _{0}^{1}e(t)\,dt}$

연결된 그래프의 열거, 결합 이론의 다른 많은 문제들과 관련하여 발생한다. 예를 들어,^{[6][7][8][9][10]} 코호몰로지 이론에서 특정 변종의 베티 숫자의 한계 분포를 참조하라.^[11] Takacs(1991a)는 $A{\displaystyle {}_{}}$+ ${\$의 밀도가 있음을 보여준다$$.

$f_{\displaystyle f_{A_{+}}(x)={\frac {2}\\sqrt{6}}{x^{2}}\sum_{j=1}^{j=1}{{j}^{2/3}e^{-v_{j}}}}}}}}U\left(-{\frac {5}{6}},{\frac {4}{3};v_{j}\오른쪽)\\\{\cext{{}}\{v_{j}={\frac {2 a_{j}}}}^{27x^{2}}:$

여기서 ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 에어리 함수의 0이고 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$은 결합초기하함수다. 잰슨과 루차드(2007)는 다음과 같은 것을 보여준다.

$f_{\displaystyle f_{A_{+}(x)\sim {\frac{72{\\sqrt{6}}{\sqrt{}}{\x^{2}e^{-6x^{2}}\\{\text{{{}}\ }\\x\x\x\py}}}$

그리고

${\displaystyle P(A_{+}>x)\sim {6}{6}{\\sqrt {6}{\pi}}}{\sqrt{}}xe^{-6x^{2}}\\{\text{{}\}\\x\x\ft.}}$

그들은 또한 두 경우 모두 고차 확장에 기여한다.

잰슨(2007)은 $A{\displaystyle {}_{}}$+ ${\$와 그 밖의 많은 영역 기능을 제공한다. 특히.

${\displaystyle E(A_{+})={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}},\ \ E(A_{+}^{2})={\frac {5}{12}}\approx 0.416666\ldots ,\ \ \operatorname {Var} (A_{+})={\frac {5}{12}}-{\frac {\pi }{8}}\approx .0239675\ldots \ .}$

브라운 여행 또한 대기열 문제,^[12] 철도 교통,^[13][14] 무작위 뿌리 이진수 나무의 높이와 관련하여 발생한다.^[15]

관련 프로세스

• 브라운교
• 브라우니안 윙어
• 반사된 브라운 운동
• 브라운 운동을 비스듬히 하다.

메모들

참조

• Chung, K. L. (1975). "Maxima in Brownian excursions". Bulletin of the American Mathematical Society. 81 (4): 742–745. doi:10.1090/s0002-9904-1975-13852-3. MR 0373035.
• Chung, K. L. (1976). "Excursions in Brownian motion". Arkiv för Matematik. 14 (1): 155–177. Bibcode:1976ArM....14..155C. doi:10.1007/bf02385832. MR 0467948.
• Durrett, Richard T.; Iglehart, Donald L. (1977). "Functionals of Brownian meander and Brownian excursion". Annals of Probability. 5 (1): 130–135. doi:10.1214/aop/1176995896. JSTOR 2242808. MR 0436354.
• Groeneboom, Piet (1983). "The concave majorant of Brownian motion". Annals of Probability. 11 (4): 1016–1027. doi:10.1214/aop/1176993450. JSTOR 2243513. MR 0714964.
• Groeneboom, Piet (1989). "Brownian motion with a parabolic drift and Airy functions". Probability Theory and Related Fields. 81: 79–109. doi:10.1007/BF00343738. MR 0981568. S2CID 119980629.
• Itô, Kiyosi; McKean, Jr., Henry P. (2013) [1974]. Diffusion Processes and their Sample Paths. Classics in Mathematics (Second printing, corrected ed.). Springer-Verlag, Berlin. ISBN 978-3540606291. MR 0345224.
• Janson, Svante (2007). "Brownian excursion area, Wright's constants in graph enumeration, and other Brownian areas". Probability Surveys. 4: 80–145. arXiv:0704.2289. Bibcode:2007arXiv0704.2289J. doi:10.1214/07-ps104. MR 2318402. S2CID 14563292.
• Janson, Svante; Louchard, Guy (2007). "Tail estimates for the Brownian excursion area and other Brownian areas". Electronic Journal of Probability. 12: 1600–1632. arXiv:0707.0991. Bibcode:2007arXiv0707.0991J. doi:10.1214/ejp.v12-471. MR 2365879. S2CID 6281609.
• Kennedy, Douglas P. (1976). "The distribution of the maximum Brownian excursion". Journal of Applied Probability. 13 (2): 371–376. doi:10.2307/3212843. JSTOR 3212843. MR 0402955.
• Lévy, Paul (1948). Processus Stochastiques et Mouvement Brownien. Gauthier-Villars, Paris. MR 0029120.
• Louchard, G. (1984). "Kac's formula, Levy's local time and Brownian excursion". Journal of Applied Probability. 21 (3): 479–499. doi:10.2307/3213611. JSTOR 3213611. MR 0752014.
• Pitman, J. W. (1983). "Remarks on the convex minorant of Brownian motion". Seminar on Stochastic Processes, 1982. Progr. Probab. Statist. Vol. 5. Birkhauser, Boston. pp. 219–227. MR 0733673.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (2004). Continuous Martingales and Brownian Motion. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 293. Springer-Verlag, Berlin. doi:10.1007/978-3-662-06400-9. ISBN 978-3-642-08400-3. MR 1725357.
• Vervaat, W. (1979). "A relation between Brownian bridge and Brownian excursion". Annals of Probability. 7 (1): 143–149. doi:10.1214/aop/1176995155. JSTOR 2242845. MR 0515820.