경험적 과정

확률론에서, 경험적 과정은 주어진 상태의 시스템에서 물체의 비율을 설명하는 확률적 과정이다.이산 상태 공간의 프로세스에서 모집단 연속 시간 마르코프^[1][2] 연쇄 또는 마르코프 모집단^[3] 모델은 주어진 상태에서 (재스케일링 없이) 물체의 수를 세는 과정이다.평균장 이론에서는 한계 정리가 고려되고 경험적 측정의 중심 한계 정리가 일반화된다.경험적 과정 이론의 적용은 ^[4]비모수 통계학에서 발생한다.

정의.

공통 누적 분포 함수 F(x)를 가진 R에서 X, X₂, ... X_n 독립적이고 동등하게 분포된 랜덤 변수의 경우₁ 경험적 분포 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

$({displaystyle F_{n}(x)=flac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}I_{(-\infty,x]}(X_{i}),})$

여기서_C i는 세트 C의 표시기 함수입니다.

모든 (고정) x에 대해 F(x)는_n 큰 수의 강한 법칙에 의해 F(x)로 수렴되는 랜덤 변수의 배열입니다.즉, F는 점으로 F로 수렴됩니다_n.글리벤코와 칸텔리는 글리벤코-칸텔리 ^[5]정리에 의해 F에서_n F로의 균일한 수렴을 증명함으로써 이 결과를 강화했다.

경험적 측정의 중심 및 축척 버전은 서명된 측정값이다.

${\displaystyle G_{n}(A)=sqrt {n}}(P_{n}(A)-P(A))}$

그것은 에 의해 주어진 측정 가능한 함수에 대한 지도를 유도한다.

${\displaystyle f_{n}f=sqrt {n}(P_{n}-P)f=sqrt {n}\lefts\frac {1}{n}\sum _{i}f(X_{i})-\mathbb {E}f\right}$

중심한계정리에 따르면 $)(\displaystyle G_{n}(A)}$은 정규난수 N(0, P(A)(1 - P(A)))로 분포가 수렴되어 고정측정가능세트 A가 된다.마찬가지로 고정 함수 f의 경우 ${\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle G_{n}f}$는 $정규{\displaystyle {}_{}}$ 랜덤 $(0,$(${\displaystyle {f\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle E{}^{}}$ 2) 2$(f-\mathbb {E}(f-\mathbb$ ${E$$}$f$$)^{$2$로 분포가 수렴됩니다$$. 단$,$ $E$는 $다음$과 같습니다$.$.

정의.

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {Gn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}c{}_{}}$) ${\displaystyle c_{c\mathcal{}}}$C ( \ $displaystyle ($} $G$_ { $n （ c$ ) \ $bigr$} )$_$ {$c$ \ $in$ {$mathcal$$${ $C$$$}}}}는$$ S의 측정 가능한 서브셋의 집합인$$C \ displaystyle { c $\}$에 $의해{\displaystyle \mathcal{}}$ 지수화된 경험적 프로세스라고 불립니다.

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$f ) ${\displaystyle f_{f\mathcal{}}}$ { { $displaystyle$$($ } $G$_ { $n$} $f${ \ $bigr }$} $_$${ f$ \ $in$$$\ $mathcal${ $F$}$$} }$$( ($$、 S $r{\displaystyle \mathbb{}}$ R$r$ r の urable r r rurable r r ($($ from from ( from from ( from from from indexed indexed indexed from from from indexed indexed indexed from indexed indexed $indexed{\displaystyle \mathcal{}}$ indexed indexed indexed indexed indexed indexed indexed indexed indexed indexed indexed indexed indexed indexed indexed indexed indexed indexed ( ( indexed indexed from from from from

경험적 과정의 영역에서 중요한 결과는 돈스커의 정리이다.이것은 돈스커 클래스의 연구로 이어졌다: 이러한 클래스에 의해 색인화된 경험적 프로세스가 특정 가우스 프로세스에 약하게 수렴되는 유용한 속성을 가진 함수 집합.돈스커 클래스는 글리벤코-칸텔리 클래스라는 것을 보여줄 수 있지만, 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다.

예

예를 들어 경험적 분포 함수를 고려해 보십시오.실수값 iid 랜덤 변수₁ X, X₂, ..., X의_n 경우 다음과 같이 지정됩니다.

${\displaystyle F_{n}(x)=P_{n}(-\infty,x)=P_{n}I_{(-\infty,x]}.}$

$이{\displaystyle \mathcal{}}$ 경우 경험적 프로세스는 클래스 C${\displaystyle \mathrm{=}}${ ( - ${\displaystyle ,}$ ,${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ : $x$ R ${\displaystyle \}}$ . {$$\ $displaystyle$\ $mathcal${$$C } $=$ \ { ( - \ $infty$, x$] : x$ \ in \$mathbb$ { $R }$ }$$C$$ { $displaystyle$\$mathcal${$C$} } $a$ a class class class class class class class class 。

${\displaystyle \sqrt{n}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle x}$) -${\displaystyle }$F (${\displaystyle x}$ $){$ $displaystyle${$n}$ ( $F_{n}$ ($x)-F(x)}$ ) } $n{\displaystyle {}^{}n\mathbb{}}$ 、 （ R$$） \ $displaystyle \ell$^ { \ $infty$} ( \ $mathbb${ $R }$ ) a$$ a agesgesgesgesgesges B ( F ( X )로 약하게 수렴합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 흐말라제 변환
• 대책의 수렴이 약함
• 글리벤코-칸텔리 정리

레퍼런스

추가 정보

• Billingsley, P. (1995). Probability and Measure (Third ed.). New York: John Wiley and Sons. ISBN 0471007102.
• Donsker, M. D. (1952). "Justification and Extension of Doob's Heuristic Approach to the Kolmogorov- Smirnov Theorems". The Annals of Mathematical Statistics. 23 (2): 277–281. doi:10.1214/aoms/1177729445.
• Dudley, R. M. (1978). "Central Limit Theorems for Empirical Measures". The Annals of Probability. 6 (6): 899–929. doi:10.1214/aop/1176995384.
• Dudley, R. M. (1999). Uniform Central Limit Theorems. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 63. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
• Kosorok, M. R. (2008). Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. Springer Series in Statistics. doi:10.1007/978-0-387-74978-5. ISBN 978-0-387-74977-8.
• Shorack, G. R.; Wellner, J. A. (2009). Empirical Processes with Applications to Statistics. doi:10.1137/1.9780898719017. ISBN 978-0-89871-684-9.
• van der Vaart, Aad W.; Wellner, Jon A. (2000). Weak Convergence and Empirical Processes: With Applications to Statistics (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-94640-5.
• Dzhaparidze, K. O.; Nikulin, M. S. (1982). "Probability distributions of the Kolmogorov and omega-square statistics for continuous distributions with shift and scale parameters". Journal of Soviet Mathematics. 20 (3): 2147. doi:10.1007/BF01239992. S2CID 123206522.

외부 링크

• 경험적 프로세스: 데이비드 폴라드의 이론과 응용, 온라인에서 구할 수 있는 교과서.
• Michael Kosorok의 경험적 과정과 반파라메트릭 추론에 대한 소개, 온라인에서 구할 수 있는 또 다른 교과서.