루프 소거 랜덤 워크

수학에서, 루프 소거 랜덤 워크는 조합론과 물리학에서 중요한 응용 분야를 가진 무작위 단순 경로의 모델이다.랜덤 트리의 모델인 균일한 스패닝트리에 밀접하게 접속되어 있습니다.이 항목에 대한 보다 일반적인 설명은 랜덤 워크도 참조하십시오.

정의.

G가 그래프이고 $"\displaystyle\gamma"$가 G 위의 길이n의 경로라고 가정합니다.$즉{\displaystyle }$, ${\displaystyle (}$ ( 1${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle ...,}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle n}$ $){$ $displaystyle \gamma$($$1$),$ \$dots$, \$gamma ( n$ )는${\displaystyle }$of (${\displaystyle }$${\displaystyle i}$$$){ $displaystyle \gamma$ ($$i )$및$ （ i + $）{$ $displaystyle \gamma$ ( $i+1$)가 G의 정점이다.$다음$으로 $【\displaystyle \gamma】$의 루프 소거는 $【\displaystyle \gamma】$의 모든 루프를 연대순으로 소거한 새로운 심플 패스입니다.$공식적$으로, 우리는 다음을 사용하여 유도적으로 $지수$를 ${\displaystyle {정의}_{}}$한다$.$

${\displaystyle i_{1}=1,}$

$\displaystyle i_{j+1}=\max\{i:\display (i)=\display (i_{j}\}+1,}$

여기서 "max$"$는 경로의 $길이$까지를 $의미$합니다$.$ $일부{\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$$displaystyle i_{$j$$}) $=$ ${\displaystyle （}$ n $）$ { $displaystyle{\displaystyle {}_{}}$$\display$ ( i_{j} =\display ($n)$} 。이것이 je$i_display style$i_${j$}에서 $일어난다고$ $가정$합니다$.$$i_{j$${\displaystyle \mathrm{다음}}$으로 L E${\displaystyle }$(${\displaystyle }$" ) {$display{\displaystyle \mathrm{}}$ style \$gamma$ ( \ $display$style \ $mathrm${ $LE }$ ( \ $gamma$)의$$ 루프 소거는 길이J 의 단순한 패스입니다.

$\displaystyle \mathrm {LE}(\displaystyle)(j)=\displaystyle(i_{j}).\,}$

이제 G를 그래프, v를 G의 꼭지점, R을 v에서 시작하는 G에서 랜덤 워크라고 합니다. T를 R의 정지 시간으로 합니다.다음으로 시간 T가 LE([1,T])가 될 때까지 루프 소거 랜덤 워크를 실시합니다.즉, R을 처음부터 T(랜덤) 경로로 위와 같이 시간순으로 모든 루프를 지우고 임의의 단순 경로를 얻을 수 있습니다.

정지시간 T는 고정해도 된다.즉, n개의 스텝을 실행한 후 루프 소거해도 된다.그러나 보통 어떤 집합에서는 T를 히트 시간으로 삼는 것이 더 자연스럽다.예를 들어, G를 그래프² Z로 하고 R을 점(0,0)에서 시작하는 랜덤 워크로 합니다.R이 반지름 100의 원에 처음 도달하는 시간을 T로 합니다(물론 여기에서 우리는 이산화된 원을 의미합니다).LE(R)는 (0,0)에서 시작하여 원에서 정지하는 루프 소거 랜덤 워크라고 불립니다.

균일한 스패닝 트리

그래프 G에 대해 G의 스패닝 트리는 모든 정점과 일부 가장자리(즉, 연결되어 있고 사이클이 없는 트리)를 포함하는 G의 서브그래프이다.가능성이 동일한 모든 스패닝트리 중에서 랜덤으로 선택되는 스패닝트리를 균일한 스패닝트리라고 부릅니다일반적으로는 기하급수적으로 많은 스패닝 트리가 있습니다(모든 스패닝 트리를 생성하고 랜덤으로 하나를 선택하기에는 너무 많습니다). 대신 루프 소거 랜덤 워크를 사용하는 Wilson's 알고리즘이라고 하는 알고리즘에 의해 균일한 스패닝 트리를 보다 효율적으로 생성할 수 있습니다.

알고리즘은, 다음의 순서에 따라서 진행됩니다.먼저 (임의로) 하나의 정점을 선택하여 단일 버텍스 트리 T를 생성한다.그리고 지금까지 작성된 트리 T가 아직 그래프의 모든 정점을 포함하지는 않지만, v를 T에 없는 임의의 정점으로 하고, v에서 T의 정점에 도달할 때까지 루프 소거 랜덤 워크를 수행한 후 결과 경로를 T에 추가합니다.모든 정점이 포함될 때까지 이 프로세스를 반복하면 각 단계에서 정점의 임의 선택에 관계없이 균등하게 분산된 트리가 생성됩니다.

반대 방향의 연결도 참입니다.v와 w가 G의 2개의 꼭지점일 경우 임의의 스패닝트리에서는 하나의 패스로 연결됩니다.균일한 스패닝트리에서 이 경로를 선택하면 랜덤으로 단순한 경로가 생성됩니다.이 경로의 분포는 v에서 시작하여 w에서 정지된 루프 소거 랜덤 워크의 분포와 동일한 것으로 나타났습니다.이 사실은 윌슨 알고리즘의 정확성을 정당화하기 위해 사용될 수 있다.또 다른 결과는 루프 소거 랜덤 워크가 시작점과 끝점에서 대칭이라는 것입니다.보다 정확하게는 v에서 시작하여 w에서 정지된 루프 삭제 랜덤 워크의 분포는 w에서 시작하여 v에서 정지된 루프 삭제 랜덤 워크의 반전 분포와 동일하다. 랜덤 워크와 역보행은 일반적으로 동일한 결과를 제공하지 않지만, 이 결과에 따라 tw의 분포가 된다.o 루프를 반복하는 워크는 동일합니다.

라플라시안 랜덤 워크

루프 소거 랜덤 워크의 또 다른 표현은 이산 라플라스 방정식의 해에서 비롯된다.G를 다시 그래프로 하고 v와 w를 G의 두 꼭지점으로 합니다. 다음 절차를 사용하여 v에서 w로의 랜덤 경로를 유도적으로 구성합니다.${\displaystyle (}$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$, ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle n}$) { $displaystyle \gamma$($1$) , ... \$gamma ( n$ )$$}를 이미 정의했다고 가정합니다.f는 G에서 R까지의 함수를 만족시킵니다.

${\displaystyle }$$f{\displaystyle }$${\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$ )${\displaystyle =}$${\displaystyle 0}$ (${\displaystyle }$displaystyle f ( \$$$display style$ ( i ) =$0$$$${\displaystyle ）}$ （ \ displaystyle i \ ${\displaystyle \mathrm{leq<img\; alt="i\backslash leq\; n"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/1c372fbd81639c801a3397197b81a310bd207b1c"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:5.296ex;\; height:2.343ex;">}}$ n$$）${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$(${\displaystyle }$\ $displaystyle$f ( w ) $= 1$ )

f는 다른 모든 곳에서 이산적으로 조화롭다

여기서 f(x)가 x의 이웃에서 f의 평균과 같을 경우 그래프의 함수 f는 x에서 이산적으로 조화됩니다.

f가 정의되어 있는 경우, ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle n}$${\displaystyle }$+$$1$$)의 $네이버$에서 f를 가중치로 사용하여 ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle n}$ ) \ displaystyle$$$\$ $gamma ( n$ +$1$ )를 선택합니다.${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. , ${\displaystyle x_{}}$d { $displaystyle$ x$_$ {$1}$ , x$_$ { $d$} 이$$ 네이버인 $경우{\displaystyle {}_{}}$, 가능성이 높은 ${\displaystyle x_{}}$i { $displaystyle x$_ { $i$} 를$$ $선택$합니다.

$(\displaystyle\frac{f(x_{i})}{\sum _{j=1}^{d}f(x_{j}}}}}.}$

이 프로세스를 계속하여 각 단계에서 f를 재계산하면 v에서 w까지의 임의의 단순한 경로가 생성됩니다.이 경로의 분포는 v에서 w까지의 루프 소거 랜덤 워크의 분포와 동일합니다.

다른 견해는 어떤 경로 β에서 시작하도록 조건화된 루프 소거 랜덤 워크의 분포가 β에 도달하지 않도록 조건화된 랜덤 워크의 루프 소거와 동일하다는 것이다.이 속성은 종종 루프 소거 랜덤 워크의 마르코프 속성으로 언급된다(통상적인 마르코프 속성과의 관계가 다소 모호함).

등가성의 증명은 매우 쉽지만, 동적으로 변화하는 고조파 함수 또는 측도를 포함하는 모델은 일반적으로 분석하기가 매우 어렵습니다.사실상 p-라플라시안 보행 또는 확산 제한 집계에 대해 알려진 것은 없다.어느 정도 관련이 있는 또 다른 모델은 고조파 탐색기입니다.

마지막으로 언급해야 할 또 다른 링크가 있습니다: 키르히호프의 정리는 그래프 G의 스패닝 트리의 수와 이산 라플라시안의 고유값을 관련짓습니다.자세한 내용은 스패닝트리를 참조해 주세요.

그리드

d를 차원으로 하고 최소 2로 가정합니다.모든${\displaystyle }$점${\displaystyle ({a\mathrm{}}_{}}$ 1, ${\displaystyle ...,}$ ${\displaystyle a_{}}$ d $){displaystyle (a_{1},$ ...$a_{d})$을 정수 ${$^d a_style $a_{i$이것은 각 점을 가장 가까운 이웃에 연결할 때 도수가 2d인 무한 그래프입니다.지금부터 이 그래프 또는 하위 그래프에서 루프 소거 랜덤 워크를 검토하겠습니다.

고차원

가장 쉽게 분석할 수 있는 경우는 5차원 이상입니다.이 경우 교차로는 로컬로만 나타납니다.계산 결과, 길이 n의 랜덤 워크를 취할 경우 루프 삭제의 길이는 동일하며, 즉 n의 스케일링을 통해 루프 소거 랜덤 워크는 n이 무한대로 이동함에 따라 브라운 운동으로 수렴(적절한 의미에서)되는 것으로 나타났다.Dimension 4는 더 복잡하지만 일반적인 그림은 여전히 사실이다.길이 n의 랜덤 워크의 루프 소거에는 약${\displaystyle }n{\displaystyle }$ / ${\displaystyle {log\mathrm{}}^{}}$1 / ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}\mu }$ n$${ $display style$ n$/\log ^{1/$3}$n}$개의$$ 정점이 있는 것으로 밝혀졌지만, 다시 스케일링(로그 계수를 고려) 후에는 루프 소거 워크가 브라운 운동으로 수렴된다.

2차원

2차원에서, 등각장 이론과 시뮬레이션 결과의 주장은 많은 흥미로운 추측으로 이어졌다.D가 평면에서 단순하게 연결된 도메인이고 x가 D의 점이라고 가정합니다.그래프 G를 구해서

${\displaystyle G:=D\cap \varepsilon \mathbb {Z} ^{2}$

즉, 측면 길이 θ의 그리드가 D로 제한된다.v가 x에 가장 가까운 G의 정점이라고 가정합니다. 이제 v에서 시작하여 G의 "경계", 즉 D의 경계에 해당하는 G의 정점에 닿을 때 멈추는 루프 소거 랜덤 워크를 검토하십시오.그렇다면 추측은

• θ가 0이 되면 경로의 분포는 x에서 D의 경계까지의 단순한 경로에서 어느 정도 분포로 수렴된다(물론 브라운 운동과 달리 브라운 운동의 2차원 경로는 단순하지 않다).이 분포(${\displaystyle S_{}}$ D${\displaystyle {,}_{}}$ $(\$는 루프 소거 랜덤 워크의 스케일링 한계라고 불립니다.
• 이러한 분포는 컨포메이션 불변입니다.즉, 만약 θ가 D와 두 번째 영역 E 사이의 리만 맵이라면,

$\displaystyle \phi (S_{D,x})=S_{E,\phi(x)},}$

• 이들 패스의 하우스도르프 치수는 거의 틀림없이 5/4입니다.

이러한 추측에 대한 첫 번째 공격은 도미노 틸링의 방향에서 왔다.G의 스패닝트리를 가져와 평면 듀얼트리를 추가하면 특수 파생 그래프의 도미노 타일링(H라고 불립니다)이 됩니다.H의 각 정점은 G의 정점, 가장자리 또는 면에 해당하며, H의 가장자리는 어느 정점이 어느 가장자리에 있고 어느 가장자리에 있는지를 보여준다.G의 균일한 스패닝 트리를 사용하면 H의 균일한 랜덤 도미노 타일링이 발생하는 것으로 나타났습니다.그래프의 도미노 타일링 수는 특수 행렬의 행렬식을 사용하여 계산할 수 있으며, 이를 통해 그래프를 거의 일치 불변인 이산 녹색 함수에 연결할 수 있습니다.이러한 인수는 루프 소거 랜덤 워크의 특정 측정가능성이 (한계 내에서) 준거 불변하며 루프 소거 랜덤 워크의 예상 정점 수가 반지름 r의 원에서 정지된 ${\displaystyle {경우\mathrm{}}^{}}$ r${\displaystyle {}^{}}$5 /$$({$display style$ r$^{5/4$^[1]의 순서임을 나타낼 수 있습니다.

2002년에 이러한 추측은 확률론적 뢰너 진화를 사용하여 (긍정적으로) 해결되었다.매우 대략적으로, 루프 소거 랜덤 워크(및 다른 많은 확률론적 프로세스)의 마르코프 속성을 포착할 수 있는 확률적 적합 불변 상미분 방정식이다.

3차원

스케일링 한계는 존재하며 회전 및 희석 ^[2]시 변하지 않습니다.L${\displaystyle }$(${\displaystyle r}$ )$${$displaystyle$ L$(r)}$이(가) r의 거리가 될 때까지 루프 소거 랜덤 워크에서 예상되는 정점 수를 나타내는 $경우{\displaystyle }$,

${\displaystyle cr^{1+\varepsilon}\leq L(r)\leq Cr^{5/3},}$

여기서 θ, c, C는 몇 가지 양의^[3] 숫자입니다(원칙적으로 그 숫자는 증명으로부터 계산할 수 있지만 작성자는 계산하지 않았습니다).이는 스케일링 한계가 1 +$$ (\$displaystyle$ 1$+\varepsilon)$ ~ 5$$/3 사이의 $Hausdorf{\displaystyle \mathrm{}}$ 치수를 가져야 함을 나타냅니다.수치실험 결과 1.${\displaystyle 62400}$±$({displaystyle$1.$62400\pm$0.$00005$^[4]로 $나타났습니다$.

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메모들

레퍼런스

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