Vasicek model

In finance, the Vasicek model is a mathematical model describing the evolution of interest rates. It is a type of one-factor short-rate model as it describes interest rate movements as driven by only one source of market risk. The model can be used in the valuation of interest rate derivatives, and has also been adapted for credit markets. It was introduced in 1977 by Oldřich Vašíček,^[1] and can be also seen as a stochastic investment model.

Details

The model specifies that the instantaneous interest rate follows the stochastic differential equation:

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

where W_t is a Wiener process under the risk neutral framework modelling the random market risk factor, in that it models the continuous inflow of randomness into the system. The standard deviation parameter, ${\displaystyle \sigma }$, determines the volatility of the interest rate and in a way characterizes the amplitude of the instantaneous randomness inflow. The typical parameters ${\displaystyle b,a}$ and ${\displaystyle \sigma }$, together with the initial condition ${\displaystyle r_{0}}$, completely characterize the dynamics, and can be quickly characterized as follows, assuming ${\displaystyle a}$ to be non-negative:

• ${\displaystyle b}$: "long term mean level". All future trajectories of ${\displaystyle r}$ will evolve around a mean level b in the long run;
• ${\displaystyle a}$: "speed of reversion". ${\displaystyle a}$ characterizes the velocity at which such trajectories will regroup around ${\displaystyle b}$ in time;
• ${\displaystyle \sigma }$: "instantaneous volatility", measures instant by instant the amplitude of randomness entering the system. Higher ${\displaystyle \sigma }$ implies more randomness

The following derived quantity is also of interest,

• ${\displaystyle {\sigma ^{2}}/(2a)}$: "long term variance". All future trajectories of ${\displaystyle r}$ will regroup around the long term mean with such variance after a long time.

${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle \sigma }$ tend to oppose each other: increasing ${\displaystyle \sigma }$ increases the amount of randomness entering the system, but at the same time increasing ${\displaystyle a}$ amounts to increasing the speed at which the system will stabilize statistically around the long term mean ${\displaystyle b}$ with a corridor of variance determined also by ${\displaystyle a}$. This is clear when looking at the long term variance,

${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2a}}}$

which increases with ${\displaystyle \sigma }$ but decreases with ${\displaystyle a}$.

이 모델은 오른슈타인-Uhlenbeck 확률적 공정. 다른 SDE에 대한 장기 평균 확률화를 만드는 것은 공동 삽입 SDE의 단순화된 버전이다.^[2]

토론

바시섹의 모형은 다른 금융가격과 차별화되는 이자율의 본질적 특징인 평균역전을 가장 먼저 포착한 모델이었다. 따라서 예를 들어 주가와 달리 금리가 무한정 오를 수는 없다. 이는 매우 높은 수준에서 그들이 경제 활동을 방해하여 이자율의 감소를 유발할 것이기 때문이다. 마찬가지로 금리가 보통 0 이하로 내려가지 않는다. 이에 따라 금리가 제한된 범위에서 움직이면서 장기적 가치로 회귀하는 경향을 보이고 있다.

드리프트 계수${\displaystyle }$a (${\displaystyle b}$- ${\displaystyle r_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle a(b-r_{t}})$는 시간 t에서 예상되는 이자율의 순간 변화를 나타낸다$$. 변수 b는 이자율이 회복되는 장기간의 균형가치를 나타낸다. 실제로 충격이 없는 경우(${\displaystyle \mathrm{d}}$ W ${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle dW_{t}=0})$ $$r_t = b일 때 금리는 일정하게 유지된다. 조정 속도를 지배하는 변수 a는 장기적 가치에 대한 안정성을 보장하기 위해 양수일 필요가 있다. 예를 들어 r이_t b보다 낮을 때 표류 조건 $a{\displaystyle (b}$- ${\displaystyle r_{}}$ $){\displaystyle a(b-r_{t})$는 양의 a에 대해 양수가 되어$$ 이자율이 상승하는 경향(하드 평형)을 발생시킨다.

가장 큰 단점은 바시체크의 모델에 따르면 이론적으로 금리가 마이너스(-)가 될 수 있다는 점, 위기 전 가정에서는 바람직하지 않은 특성이라는 점이다. 이러한 단점은 Cox-Engersoll-Ros 모델, 지수 Vasicek 모델, Black-Derman-에서 고정되었다.토이 모델과 블랙-카라신스키 모델. 바시체크 모델은 헐에서 더욱 확장되었다.화이트 모델. Vasicek 모델은 또한 Cox-Engersoll-Ros 모델과 함께 부속 용어 구조 모델의 표준적인 예다. 최근의 연구에서 두 모델은 모두 데이터 파티셔닝과 예측에 사용되었다.^[3]

Asymptotic mean and variance

We solve the stochastic differential equation to obtain

${\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-at}+b\left(1-e^{-at}\right)+\sigma e^{-at}\int _{0}^{t}e^{as}\,dW_{s}.\,\!}$

Using similar techniques as applied to the Ornstein–Uhlenbeck stochastic process we get that state variable is distributed normally with mean

${\displaystyle \mathrm {E} [r_{t}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}$

and variance

${\displaystyle \mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-2at}).}$

Consequently, we have

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mathrm {E} [r_{t}]=b}$

and

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}.}$

See also

• Ornstein–Uhlenbeck process.
• Hull–White model
• Cox–Ingersoll–Ross model

References

• Hull, John C. (2003). Options, Futures and Other Derivatives. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-009056-0.
• Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). Interest Rate Models – Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit (2nd ed. 2006 ed.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Jessica James, Nick Webber (2000). Interest Rate Modelling. Wiley. ISBN 978-0-471-97523-6.

External links

• The Vasicek Model, Bjørn Eraker, Wisconsin School of Business
• Yield Curve Estimation and Prediction with the Vasicek Model, D. Bayazit, Middle East Technical University