생성함수

수학에서 생성함수는 숫자(a_n)의 무한 시퀀스를 형식 권력 시리즈의 계수로 처리하여 인코딩하는 방법이다. 이 시리즈를 시퀀스의 생성함수라고 한다. 일반적인 직렬과는 달리, 정합전원은 정합할 필요가 없다: 사실, 발생함수는 실제로 함수로 간주되지 않으며, "변량"은 미확정 상태로 남아 있다. 생성 기능은 일반적인 선형 재발 문제를 해결하기 위해 1730년 아브라함 드 모이브르에 의해 처음 도입되었다.^[1] 사람들은 하나 이상의 불확실한 상태에서 공식 파워 시리즈로 일반화할 수 있고, 무한의 다차원 숫자에 관한 정보를 인코딩할 수 있다.

일반 발생함수, 지수발생함수, 램버트시리즈, 벨시리즈, 디리클레시리즈 등 다양한 유형의 발생함수가 있으며, 정의와 예는 다음과 같다. 모든 시퀀스는 원칙적으로 각 유형의 생성 함수를 갖지만(램버트와 디리클레 시리즈는 지수를 0이 아닌 1에서 시작하도록 요구하는 것을 제외한다) 처리할 수 있는 용이성은 상당히 다를 수 있다. 주어진 맥락에서 가장 유용한 특정 생성 함수는 시퀀스의 특성과 해결되는 문제의 세부사항에 따라 달라진다.

생성함수는 종종 (시리즈가 아닌) 닫힌 형태로, 공식 시리즈에 대해 정의된 연산을 포함하는 어떤 표현으로 표현된다. 미확정 x의 관점에서 이러한 표현은 산술 연산, x에 대한 분화 및 다른 생성 함수와의 구성(즉, 대체)을 포함할 수 있다. 이러한 연산도 함수에 대해 정의되기 때문에 결과는 x의 함수처럼 보인다. 실제로 닫힌 형식 표현은 종종 다음과 같이 해석될 수 있다.s x의 콘크리트 값으로 평가할 수 있는 함수로서, 공식 시리즈를 계열 확장으로 하는 함수로서, "생성 함수"라는 명칭을 설명한다. 그러나 0이 아닌 숫자 값이 x로 대체될 때 형식 계열이 수렴 계열을 제공할 필요는 없기 때문에 이러한 해석은 가능하지 않다. 또한 형식 계열을 지정하는 표현으로서 x의 함수로서 의미 있는 모든 표현들이 의미 있는 것은 아니다. 예를 들어, x a의 음과 분수 파워와 같은 형식 계열을 지정하는 표현으로서 의미 있는 것은 아니다.해당하는 공식 파워 시리즈가 없는 기능의 예

생성함수는 도메인에서 코도메인으로의 매핑이라는 형식적인 의미에서 함수가 아니다. 일련의 항이 항 계수 시퀀스의 발생기라고 할 수 있다는 점에서 생성 함수를 생성 직렬이라고 부르기도 한다.^[2]

정의들

발생 기능은 가방과 다소 유사한 장치다. 민망할 수도 있는 많은 작은 물건들을 따로따로 운반하는 대신, 우리는 그것들을 모두 가방에 넣고, 그리고 나서 우리는 그 가방을 들고 갈 물체가 하나뿐입니다.

—George Polya, 수학 및 그럴듯한 추론(1954)

생성함수는 우리가 표시하기 위해 일련의 숫자를 걸어 놓는 빨랫줄이다.

—허버트 윌프, 생성 기능학(1994)

일반생성함수(OGF)

시퀀스 a의_n 일반적인 생성 함수

${\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infit }a_{n}x^{n}.}$

용어 발생 함수를 자격 없이 사용할 경우 보통 일반적인 발생 함수를 의미한다.

a가_n 이산 랜덤 변수의 확률 질량 함수인 경우, 그 일반적인 생성 함수를 확률 생성 함수라고 한다.

일반 발생 함수는 다중 지수를 갖는 배열로 일반화할 수 있다. 예를 들어, 2차원 배열 a_{m, n}(n과 m이 자연수인 경우)의 일반적인 생성함수는 다음과 같다.

${\displaystyle G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infit }a_{m,n}x^{m}y^{n}.}$

지수생성함수(EGF)

시퀀스 a의_n 지수 생성 함수

${\displaystyle \operatorname {EG}(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{n}{\frac{x^{n}}{n!}}.}$

지수 생성 함수는 일반적으로 레이블이 붙은 객체를 포함하는 조합 열거 문제에 대한 일반적인 생성 함수보다 더 편리하다.^[3]

포아송 생성 함수

시퀀스 a의_n 포아송 생성 함수

${\displaystyle \operatorname {PG}(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{n}^{n_{n}e^{-x}{\frac{x^{n}{n!}}}}=e^{-x}\,\operatorname {EG}(a_{n};x).}$

램버트 시리즈

a_n 시퀀스의 램버트 시리즈는

${\displaystyle \operatorname {LG}(a_{n};x)=\sum _{n=1}^{n}{n}{\frac {x^{n}{1-x^{n}}}.}$

파워 시리즈 $확장$의 ${\displaystyle {램버트}_{}}$ 시리즈 계수${\displaystyle }$b${\displaystyle }$:= [ ${\displaystyle x^{}}$ n ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{LG}{}_{}}$ (${\displaystyle n}$;$$x ${\displaystyle )}$ {\$displaystyle$ b_${n}:$$=$${\displaystyle 【}$$x^{n}}】\$$operatorname$ {$LG$}(${\displaystyle \mathrm{a\_}}$${n};x)$ $n$ $【\displaystyle$ n$\geq$ 1${}_{}$은$(는)$$\underset{}{}$d ${\$에 의해 연관된다$.$ 본문은 숫자 이론에서 특별한 산술 함수와 관련된 몇 가지 고전적 또는 적어도 잘 알려진 예를 제공한다. 램버트 시리즈의 경우, 첫 번째 항이 정의되지 않을 것이기 때문에 지수 n은 0이 아닌 1에서 시작한다.

벨 시리즈

bell sequence a는_n 불확실한 x와 prime p 둘 다에 대한 표현으로, bell^[4] 시리즈는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {BG} _{p}(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{n^{p^{n}}.}$

DGF(Dirichlet 시리즈 생성 기능)

형식 디리클레 시리즈는 엄밀하게 형식적인 파워 시리즈는 아니지만 흔히 생성 기능으로 분류된다. 시퀀스 a의_n^[5] Dirichlet 시리즈 생성 함수

${\displaystyle \operatorname {DG}(a_{n};s)=\sum _{n=1}^{n1}^{\frac{a_{n}}{n^{s}}}}.}$

디리클레 시리즈 생성함수는 a가_n 승법함수일 때 특히 유용하며, 이 경우 함수의 Bell 시리즈로 볼 때 오일러 제품 표현이^[6] 있다.

${\displaystyle \operatorname {DG}(a_{n};s)=\prod _{p}\operatorname {BG}_{p}(a_{n};p^{-s})\,}}$

a가_n 디리클레 문자라면 디리클레 시리즈 생성 기능을 디리클레 L 시리즈라고 한다. We also have a relation between the pair of coefficients in the Lambert series expansions above and their DGFs. Namely, we can prove that ${\displaystyle [x^{n}]\operatorname {LG} (a_{n};x)=b_{n}}$ if and only if ${\displaystyle \operatorname$${DG}(a_{n};s)\제타(s)=\operatorname {DG}(b_{n$$};s)}$ 여기서 $where$(s)(s)는 Riemann 제타 함수다.^[7]

함수를 생성하는 아이디어는 다른 물체의 배열로 확장될 수 있다. 따라서 예를 들어, 이항 유형의 다항식 시퀀스는 다음에 의해 생성된다.

${\displaystyle e^{p_{n(t)}=\sum _{n=0}^{\inflt }{\fract {p_{n}(x)}{n!}}}{n}}}$

여기서 p_n(x)는 다항식의 시퀀스이고 f(t)는 특정 형태의 함수다. 셰퍼 시퀀스는 유사한 방식으로 생성된다. 자세한 내용은 일반화된 호칭 다항식 주 문서를 참조하십시오.

단순 시퀀스에 대한 함수 생성 예제

다항식(多항식)은 유한 시퀀스에 해당하는 일반 생성함수의 특수한 경우 또는 일정 지점 이후 소멸되는 동등하게 시퀀스다. 이것들은 푸앵카레 다항식 및 기타와 같은 많은 유한한 시퀀스를 유용하게 생성함수로 해석할 수 있다는 점에서 중요하다.

기본 생성함수는 일정한 시퀀스 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...의 것으로, 일반적인 생성함수는 기하 계열이다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\n^{n}={\frac {1}{1-x}}.}$

왼쪽은 오른쪽의 마클로린 시리즈 확장이다. 또는 왼쪽의 전력 시리즈에 1 - x를 곱하고 그 결과가 일정한 전력 시리즈 1인지 확인(즉⁰, x의 하나를 제외한 모든 계수가 0과 동일하다는 것)함으로써 동등성을 정당화할 수 있다. 더구나 이 성질을 가진 다른 권력 시리즈는 있을 수 없다. 따라서 왼쪽은 파워 시리즈 링에서 1 - x의 승법 역수를 지정한다.

다른 시퀀스의 일반적인 생성 함수에 대한 표현은 이 표현에서 쉽게 파생된다. 예를 들어, 치환 x → 도끼는 모든 상수 a에 대해 기하학적² 시퀀스³ 1, a, a, a, a, ...에 대한 생성 함수를 제공한다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\n(ax)^{n}={\frac {1}{1-ax}}.}$

(좌우가 우파의 마클로린 시리즈 확장이라는 사실에서도 평등은 직접적으로 뒤따른다.)특히.

${\displaystyle \{n=0}^{\inflt }^{n1}x^{n}={\frac {1}{1+x}}}.}$

또한 x의 어떤 힘으로 x를 대체함으로써 시퀀스에 규칙적인 "갑"을 도입할 수 있으므로, 예를 들어 시퀀스 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... (x, x³, x⁵, ...을 건너뛰는) 생성 기능을 얻는다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\n^{2n}={\frac {1}{1-x^{2}}.}$

초기 생성함수를 제곱하거나, x에 관해서 양쪽의 파생상품을 찾아 실행변수 n → n + 1을 변화시킴으로써, 계수가 1, 2, 3, 4, 5, ...를 형성하는 것을 볼 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflt }(n+1)x^{n}={\frac {1}{1-x)^{2}}},$

세 번째 검정력은 계수로서 삼각형 숫자 1, 3, 6, 10, 15, 21을 가지며, 여기서 n은 이항 계수$({\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{n}}{}}$+ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{}}{}}$ )${\$}이다.$\}\}\},$ 그러니까

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflt }{\binom {n+2}{2}}}}x^{n}={\frac {1}{1-x)^{3}}.}$

보다 일반적으로, 음이 아닌 정수 k와 0이 아닌 실제 값 a에 대해, 는 사실이다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{}^{n}{\binom {n+k}{k}}}x^{n}={\frac {1}{1-ax)^{k+1}}}}\,}}\,}$

이후

${\displaystyle 2{\binom {n+2}{2}}-3{\binom {n+1}{1}}}}+{\binom{n}{0}=2{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}-3(n+1)+1=n^{2},$

이항 분포 생성 시퀀스의 선형 결합에 의해 제곱수의 0, 1, 4, 9, 16 ...에 대한 일반적인 생성 함수를 찾을 수 있다.

${\displaystyle G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {2}{(1-x)^{3}}}-{\frac {3}{(1-x)^{2}}}+{\frac {1}{1-x}}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.}$

우리는 또한 다음과 같은 형태의 기하학적 시리즈의 파생상품의 합과 같은 일련의 정사각형을 생성하기 위해 교대로 확장할 수도 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}G(n^{2};x)&=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }nx^{n}\\&=x^{2}}D^{2}\왼쪽[{\frac {1}{1-x}\오른쪽]+xD\왼쪽[{\frac {1}{1-x}\오른쪽]\\&={\frac{2x^{2}}:{{3}}+{\frac {x}{x}^{2}}={\frac {x(x+1)}{{1-x)^{3}}}}}.\end{정렬}}}$

유도를 통해 ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는 유사한 양의 정수 $m{\displaystyle }$inte 1 ${\displaystyle m\geq$ 1$}$에 대해 표시할$$ 수 있다.

${\displaystyle n^{m}=\sum _{j=0}^{m}\left\{\m\j\end}\right\}{\frac {n!}{(n-j)!}},}$

where ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}$ denote the Stirling numbers of the second kind and where the generating function ${\textstyle \sum _{n\geq 0}n!/(n-j)!\,z^{n}=j!\cdot z^{j}/(1-z)^{j+1}}$, so that 위의 사각 케이스에서 결과를 일반화하는 통합 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ -th번째$$ 파워에 대해 유사한 생성 함수를 구성할 수 있다. In particular, since we can write ${\displaystyle {\frac {z^{k}}{(1-z)^{k+1}}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\frac {(-1)^{k-i}}{(1-z)^{i+1}}}}$, we can apply a well-known finite sum identity involving the Stirling numbers to o그것을^[10] 담다.

${\displaystyle \sum \sum \{n\geq 0}n^{n}=\sum _{j=0}^{m}\{j=0}}\{\m+1\end}\{\frac {(-1)^{m-j}j!}{{(1-z)^{j+1}.}$

이성 함수

시퀀스가 일정한 계수를 갖는 선형 재귀 시퀀스인 경우에만 시퀀스의 일반적인 생성 함수는 합리적인 함수(두 개의 유한도 다항식의 비율)로 표현할 수 있다. 이는 위의 예를 일반화한다. 반대로, 다항식 분수에 의해 생성되는 모든 시퀀스는 일정한 계수로 선형 재발을 만족시킨다. 이러한 계수는 분모 다항식의 계수와 동일하므로 직접 판독할 수 있다. 이 관측은 일정한 계수를 갖는 선형 유한차 방정식에 의해 정의된 시퀀스의 함수 발생과 이러한 생성함수의 계수에 대한 명백한 폐쇄형 공식에 대해 쉽게 해결할 수 있음을 보여준다. 여기서 원형적인 예는 피보나치 숫자에 대한 비네의 공식을 생성 함수 기법을 통해 도출하는 것이다.

또한 합리적인 생성함수의 종류는 양식의 준폴리노믹 시퀀스를 열거하는 생성함수와 정확히 일치한다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{p_(n)\rho _{\ell }^{n}}}}$

여기서 역수 루트인 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$은 고정 스칼라이고 p ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle p_{i}(n)$는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ≤ ${\leq i\el}$에 대한$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ n}의 다항식 $n}$의 다항목이 된다$.$

일반적으로 합리적인 기능의 하다마드 제품은 합리적인 생성 기능을 생산한다. $\underset{}{\mathrm{마찬가지}}$로 $F($ s$$, $t$) $:=$ $\underset{}{}$ $\underset{}{m}$, n $\underset{}{\ge }$ $\underset{}{0}$ $\underset{}{}$ ($$m$$, $n$) w ${}^{}{}^{}$ $z^{}$ ${\$$s,t$):$=\sum _{m,n\geq$0}$f(m,n)^{m}z^{n}}}}}}$는 바이바리테이트 합리적 생성함수로서$$, 해당 대각 생성함수인 $\mathrm{diag}$diag $(F$) $:=$ n$\underset{}{}$≥ $\underset{}{0}$ $\underset{}{}(n$ ,${}^{}$) $z^{}${\$textstyle \operatorname$ {$diag}(F):$$=\sum _{n\geq$ 0$}f(n,n)z^{n$는 대수학이다. 예를 들어, 우리가 하게 한다면

$[\displaystyle F,t:=\sum _{i,j\geq 0}{\binom {i+j}{i}s^{i}^{j}={\frac {1}{1-s-t}},}$

이 생성 함수의 대각 계수 생성 함수는 잘 알려진 OGF 공식에 의해 제공된다.

${\displaystyle \operatorname {diag}(F)=\sum _{n\geq 0}{n}\binom {2n}}z^{n}={\frac {1}{\sqrt{1-4z}}}}.}$

이 결과는 Cauchy의 적분 공식 또는 등고선 통합, 복잡한 잔류물 섭취, 또는 두 변수에서 공식 파워 시리즈를 직접 조작하는 등 여러 가지 방법으로 계산된다.

함수 생성 작업

곱셈은 경련을 일으킨다.

일반 생성 함수의 곱셈은 시퀀스의 개별적인 콘볼루션(Cauchy 제품)을 산출한다. 예를 들어, 누적 합계의 순서(조금 더 일반적인 오일러-매클라우린 공식과 비교)

${\displaystyle(a_{0},a_{0}+a_{1},a_{0}+a_{1}+a_{2},\ldots )}$

일반적인 생성 함수 G(a_n; x)가 있는 시퀀스의 생성 함수가 있음

${\displaystyle G(a_{n};x)\cdot {\frac {1}{1-x}}$

1/(1 - x)는 시퀀스(1, 1, ...)에 대한 일반적인 생성 함수이기 때문이다. 기능 생성과 해석의 경련을 통한 문제 해결의 추가 예는 아래 기사의 애플리케이션 섹션의 경련 섹션을 참조하십시오.

이동 시퀀스 인덱스

정수 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m\$$geq$$1$의 경우, $⟨{\displaystyle }$ g -${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \$$langle$ $g_$${n-m}\rangele }$과(와) ${\displaystyle {\mathrm{각각}}_{}}$ $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle g_{}}$ + m$\$의 이동 시퀀스 변형을 열거하는 수정된 생성함수에 대해 다음과 같은 두 개의 유사 ID가 있다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{m}G(z)&=\sum _{n\geq m}g_{n-m}z^{n}\\{\frac {G(z)-g_{0}-g_{1}z-\cdots -g_{m-1}z^{m-1}}{z^{m}}}&=\sum _{n\geq 0}g_{n+m}z^{n}.\end{정렬}}}$

생성 기능의 차별화 및 통합

발전함수의 첫 번째 파생상품과 그 핵심에 대해 다음과 같은 각각의 동력 시리즈 확장이 있다.

${\displaystyle {\reasoned}G^{\prime }(z)&=\sum _{n\geq 0}(n+1)g_{n+1}z^{n}\\z\cdot G^{\prime }(z)&=\sum _{n\geq 0}ng_{n}z^{n}\\\int _{0}^{z}G(t)\,dt&=\sum _{n\geq 1}{\frac {g_{n-1}}{n}}z^{n}.\end{정렬}}}$

두 번째 아이덴티티의 분화-증배 연산은 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$회$$ 반복하여 순서에 $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$를 곱할 수 있지만, 이를 위해서는 분화와 곱셈을 번갈아 해야 한다. $대신{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$의 차이를 순차적으로 수행하는 경우, 효과는^th k$${\$displaystyle k}$ 하강 요인에 곱하는 것이다.

${\displaystyle z^{k}G^{(k)}(z)=\sum _{n\geq 0}n^{\underline {k}}g_{n}z^{n}=\sum _{n\geq 0}n(n-1)\dotsb (n-k+1)g_{n}z^{n}{\text{ for all }}k\in \mathbb {N} .}$

두 번째 유형의 스털링 숫자를 사용하면 다음과 같이$$ $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$를 곱하기 위한 다른 공식으로 변환할 수 있다(기능 변환 생성에 관한 주요 기사 참조).

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}z^{j}F^{(j)}(z)=\sum _{n\geq 0}n^{k}f_{n}z^{n}{\text{ for all }}k\in \mathbb {N} .}$

반복 통합의 작동에 해당하는 이 시퀀스 파워 공식의 음순 번복은 생성 기능의 파생 기반 변환으로 정의되는 제타 시리즈 변환과 그 일반화에 의해 정의되며, 재미를 생성하는 시퀀스에 대한 적분 변환을 수행함으로써 용어순으로 정의된다.ction. 여기서 시퀀스 생성 기능에 대한 부분 통합 수행 관련 작업에 대해 논한다.

시퀀스의 산술 진행률 열거

이 섹션에서는 우리는 a, b∈ N{\displaystyle a,b\in \mathbb{N}}, ≥ 2{\displaystyle a\geq 2} 평범한 발전 기능 F(z){F(z)\displaystyle}, 0≤ b<>;{\displaysty 발전 기능을 위해 공식들로 순서({\displaystyle\와 같이{f_{an+b}\}}를 열거하는 준다.르$0\leq b.a}($변형에 대한 주요 기사 참조). $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a=2}$의 경우$,$ 이것은 단순히 함수를 짝수 및 홀수 부분(즉, 짝수 및 홀수 검정력)으로 친숙한 분해일 뿐이다.

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n}z^{2n}={\frac {1}{1}2}}\좌측(F(z)+F(-z)\오른쪽)}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n+1}z^{2n+1}={\frac {1}{{1}2}}\좌측(F(z)-F(-z)\우측)).}$

보다 일반적으로 ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle a\geq 3}$과 그 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ a${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ı}$/ a${\displaystyle }$) ${\$\right$)$이 ${\displaysty}$ 원초적^th 통합 뿌리를 나타낸다고$$ 가정해 보자. 그리고 나서, 이산 푸리에 변환의 적용으로서, 우리는 공식을 가지고^[13] 있다.

${\displaystyle \sum \sum _{n\geq 0}f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a-1}^{a-1}\omega _{a}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).}$

정수 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m\geq$ 1$}$의 경우$,$ 각 계수 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ m$}번$ 효과적으로$$ 반복하면서 다소 역플로된 산술 진행률을 제공하는 또 다른 유용한 공식은 ID에^[14] 의해 생성된다.

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).}$

P-recursive 시퀀스 및 홀노믹스

정의들

형식 파워 시리즈(또는 함수) $F{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle F(z)}$이(가) 형식의 선형 미분 방정식을 만족하면 홀노믹하다고 한다$$.

${\displaystyle c_{0}(z)F^{(r)}(z)+c_{1}(z)F^{(r-1)}(z)+\cdots +c_{r}(z)F=0,}$

where the coefficients ${\displaystyle c_{i}(z)}$ are in the field of rational functions, ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$. Equivalently, ${\displaystyle F(z)}$ is holonomic if the vector space over ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$ spanned by the set of all of its derivatives is fi미세한 치수

앞의 방정식에 필요한 경우 분모를 클리어할 수 있으므로, 함수 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle c_{i}(z)$는 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$의 다항식이라고$$ 가정할 수 있다$.$ 따라서 생성함수의 계수가 형식의 P-역치를 만족하면 생성함수가 홀노믹이라는 동등한 조건을 알 수 있다.

${\displaystyle {\widehat{c}_{s}(n)f_{n+s}+{\widehat {c}{s-1}+{n+s-1}+\cdots +{\widehat {c}_{0}{n}=0,},}$

n ${\displaystyle \ge }n{\displaystyle }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle n\geq n_{0}},$ $c$^ ${\displaystyle i_{}}$ (${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\widehat{c}_{i}(n)}}$이(가$$) n ${\displaystystyn}$의 고정 유한도 다항식인 경우 시퀀스가 P-재귀성이라는 속성은 동등하다$.$ Holonomic 기능은 생성 기능에 대한$$ Hadamard 제품 작업 $⊙{\displaystyle \odot }$에 따라 닫힌다.

예

The functions ${\displaystyle e^{z}}$, ${\displaystyle \log(z)}$, ${\displaystyle \cos(z)}$, ${\displaystyle \arcsin(z)}$, ${\displaystyle {\sqrt {1+z}}}$, the dilogarithm function ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$, the generalized hypergeometric 함수 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle q{}_{}}$(${\displaystyle .;}$. . . ${\displaystyle .;}$ z${\displaystyle }$) ${\displaystyle _{p}F_{q}(...;...; z)$와 파워 시리즈$\underset{}{}$series $\underset{}{n}$ $\underset{}{\ge }$ $\underset{}{0}$ $z^{}$ n${}^{}$/$$( $n{}^{}$ ${2\mathrm{}}^{}$ ${\$ 0$}z^{n}/n!$$^{1$}:{n2$$$}}$ 및 비임상 gent $\underset{}{n}$ $\underset{}{!}$ $\underset{}{0}$ $\underset{}{}$! $\cdot$ ${}^{}$ $n^{}$ ${\$$\cdot$ z$^{n}}$은(는) 모두 홀노믹이다. Examples of P-recursive sequences with holonomic generating functions include ${\textstyle f_{n}:={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$ and ${\displaystyle f_{n}:=2^{n}/(n^{2}+1)}$, where sequences such as ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ and $$${\displaystyle \log (}$ (${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \log(n)}$은 해당 생성함수의 특이점 특성 때문에 P-recursive가 아니다. 마찬가지로 ${\displaystyle \mathrm{태닝}}$z${\displaystyle (z}$ ) ${\displaystyle \tan($z$)\},$ ${\displaystyle 초}$ ${\displaystyle (z)}$ ${\displaystyle \sec(z$ $\gamma {\displaystyle \mathrm{}(z}$) ${\displaystyle \Gamma(z)}$과 같이 무한히 많은 특이점을 가진 기능은 홀노믹 함수가 아니다.

P-recursive 시퀀스 및 Holonomic 생성 기능을 사용하기 위한 소프트웨어

Mathematica에서 P-recursive 시퀀스를 처리하고 작업하기 위한 도구는 RISC Combinatorics Group 알고리즘 콤비네이터ics 소프트웨어 사이트에서 비상업적 사용을 위해 제공된 소프트웨어 패키지를 포함한다. 대부분 폐쇄형 소스임에도 불구하고, 이 소프트웨어 제품군의 특히 강력한 도구는 임의 입력 시퀀스에 대한 P-recurrency(실험 수학 및 탐사에 유용함)를 추측하기 위한 Gameth 패키지와 많은 합계에 대한 P-recurrence를 찾고 P-recu에 대한 폐쇄형 솔루션을 해결할 수 있는 Sigma 패키지에 의해 제공된다.일반화된 고조파 수를 포함하는 ^[16]레슨 이 특정 RISC 사이트에 나열된 다른 패키지는 특별히 홀노믹 생성 기능을 사용하는 것을 목표로 한다. (이 기사가 이 주제에 대해 얼마나 깊이 있게 다루는지에 따라, 다른 섹션의 이 페이지 또는 이 페이지에 나열될 수 있는 유용한 소프트웨어 도구의 많은 다른 예들이 있다.)

이산 시간 푸리에 변환과의 관계

시리즈가 완전히 수렴되면

${\displaystyle G\left(a_{n};e^{-i\omega }\오른쪽)=\sum _{n=0}^{n=0}^{n}e^{-i\omegan}}}}}}}$

시퀀스 a₀, a₁, …의 이산 시간 푸리에 변환이다.

시퀀스의 점근성장

미적분학에서 종종 전력 시리즈의 계수 증가율을 사용하여 전력 시리즈의 수렴 반경을 추론할 수 있다. 역방향도 유지될 수 있다; 종종 생성함수에 대한 수렴 반경을 기초 수열의 점증하지 않는 성장을 추론하는데 사용할 수 있다.

예를 들어, r의 수렴 반경이 유한한 일반 발생 함수 G(a_n; x)를 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle G(a_{n};x)={\frac {A(x)+B(x)\좌측(1-{\frac {x}{r}\우측)^{-\beta }}}}}{x^{\alpha }}}}}}}}}}}}}}}}}}}:$

여기서 각 A(x)와 B(x)는 r(또는 전체)보다 큰 수렴 반경에 대해 분석되는 함수로서, B(r)는 0이다.

${\displaystyle a_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}(1/r)^{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}{\binom {n+\beta -1}{n}}(1/r)^{n}={\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}\left(\!\!{\binom {\binom}{n}\!\!\오른쪽(1/r)^{n}\...}$

감마 함수, 이항 계수 또는 다중 집합 계수 사용.

종종 이 접근방식은 a에_n 대해 점증상 시리즈로 여러 항을 생성하기 위해 반복될 수 있다. 특히.

${\displaystyle G\left(a_{n}-{\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}{\binom {n+\beta -1}{n}}(1/r)^{n};x\right)=G(a_{n};x)-{\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}\left(1-{\frac {x}{r}}\right)^{-\beta }\,.}$

이 발생함수의 계수의 점증적 성장은 A, B, α, β 및 r의 발견을 통해 확인할 수 있으며, 위와 같이 발생함수를 설명할 수 있다.

지수 생성함수에 대해서도 유사한 무증상 분석이 가능하다. 지수생성함수를 가지고, 이러한 점증적 공식에 따라 성장하는_n 것이 a/n!이다.

정사각형 순서의 점근증식

위에서 도출한 바와 같이, 정사각형 순서에 대한 일반적인 생성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {x(x+1)}{{(1-x)^{3}}}.}$

r = 1, α = -1, β = 3, A(x) = 0, B(x) = x+1을 사용하여 제곱이 예상대로 커지는지 확인할 수 있다.

${\displaystyle a_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\왼쪽({\frac {1}{r}\right)^{n}={\frac{1+1}{1^{-1-1}\,\감마(3)}}}\,n^{3-1}(1/1)^{n}=n^{2}.}$

카탈루냐 숫자의 점증적 성장

카탈로니아 숫자의 일반적인 생성 기능은

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {1-4x}}{2x}}.}$

r = 1/4, α = 1, β = -1/2, A(x) = 1/2, B(x) = -1/2로 카탈루냐 숫자에 대해 결론을 내릴 수 있다.

${\displaystyle a_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\왼쪽({\frac {1}{r}\right)^{n}={\frac {-{\frac {1}{2}}}{{\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}^{1}\Gamma {\bigl (}{-{\frac {1}{2}}}{\bigr )}}}\,n^{-{\frac {1}{2}}-1}\left({\frac {1}{\frac {1}{4}}}\right)^{n}={\frac{4^{n}{n^{3/2}{\sqrt{\pi }}}.}$

이변량 및 다변량 생성 함수

여러 지수를 가진 배열의 생성함수를 여러 변수에 정의할 수 있다. 이를 다변량 생성함수 또는 때로는 슈퍼 생성함수라고 한다. 두 변수의 경우, 이러한 변수들을 종종 이바리산 생성함수라고 부른다.

예를 들어${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle x{}^{}}$)${\displaystyle n^{}}$ ${\$은 고정 n에 대한 이항계수에 대한 일반적인 생성 함수이므로$$, 모든 k와 n에 대해$$ 이항계수$(n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}$ $){\$을 생성하는 이변량 생성함수를 요구할 수 있다. 이를 위해${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$+ x${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle n^{}}$ ${\$을 시퀀스 자체로$$ n 단위로 간주하고 이러한 시퀀스 값을 계수로 갖는 y의 생성 함수를 찾는다. $n {\$ a$^{n}$에 대한 생성 함수는$$

${\displaystyle {\frac {1}{1-ay},}$

이항 계수에 대한 생성 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{n,k}{n}}{k}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-(1+x)y}={\frac {1}{1-y-xy}}}}}}$

연속 분수에 의한 표현(Jacobi형 J-fractions)

정의들

$h{\displaystyle {}^{}}$ t ${\$^{$th}}$ 합리적 수렴체가$$ ${\displaystyle \mathrm{2시간}}$ ${\displaystyle 2h}$을 나타내는 (공식) 자코비형 및 스틸트제스형 연속분수(각각각 Jacobi-type, S-frailtjes형 연속체)의 확대는 많은 사양에 대해 전형적으로 다른 일반적인 생성 기능을 표현하기 위한 또 다른 방법이다.1변수와 2변수 순서 Jacobi형 연속분수(J-fractions)의 특정 형태는 다음 방정식과 같이 확장되며, 특정 애플리케이션 종속 구성 요소 시퀀스인${\displaystyle }${$ab$ i$}$ {\${\displaystyle {}_{}}$ z${\displaystyle {}_{}}$에 대해 {ab i$}{\text{ab}_{$i$$$\}\backslash \}\}\}{\displaystyle }$ 및 {${\displaystyle {}_{}}$에 해당하는 다음 파워 시리즈 확장을 가진다.${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \{c_{i$ 여기서 z${\displaystyle \mathrm{z}}$ 0 ${\displaystyle z\neq 0}$은 아래에 제공된 두 번째 파워 시리즈 확장의 형식 변수를 나타낸다.^[17]

${\displaystyle {\reasoned}J^{[\infty ]}(z)&={\cfrac {1}{1-c_{1}z-{\cfrac {{\text{ab}}_{2}z^{2}}{1-c_{2}z-{\cfrac {{\text{ab}}_{3}z^{2}}{\ddots }}}}}}\\&=1+c_{1}z+\left({\text{ab}}_{2}+c_{1}^{2}\오른쪽)z^{2}+\{2}+\왼쪽(2{\text{ab}}_{2}c_{1}+c_{1}}^{3}+{\text{ab}}_{2}c_{2}}\오른쪽)z^{3}+\cdots .\ended}}}}$

$속기$로 $j{\displaystyle {}_{}}$ :${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle :=}$[${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$]${\displaystyle {}^{}}$ [${\displaystyle {}^{}}$] ] ${\displaystyle J}$ [${\displaystyle {\mathrm{\infty }}^{}}$ ${\displaystyle {]}^{}}$( z ) {\$displaystyle j_{n}=[$z^{$n}]$로 표시된$$z ${\displaystyle n^{}}$의 계수$J^{[\inful ]}(z$ 앞의 방정식은 방정식의 행렬 해법에 해당한다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}k_{0,1}&, k_{1,1}&, 0&, 0&, \cdots, k_{1,2}&, k_{2,2}&, 0&, \cdots \\k_{0,3}&, k_{1,3}&, k_{하루에 2,3}&, k_{3,3}&, \cdots \\\vdots &, \vdots &, \vdots &, \vdots}={\begin{bmatrix}k_{0,0}& \end{bmatrix}\\k_{0.2}&, 0&, 0&, 0&, \cdots \\k_{0,1}&, k_{1,1}&, 0&, 0&, \cdots \\k_{0.2}&.심장;k_{1,2}&, k_{2,2}&, 0&, \cdots \\\vdots, \vdots &, \vdots &, \vdots}\cdot{\begin{bmatri \end{bmatrix}&.x}c_{1}&0&0&\cdots \\{\text{ab}_{2}&c_{2}&#1&0&\cdots \\0&{\textab}_{3}_{3}&c_{3}&gt;\vdots &\vdots&vmats}}}, \bmats}}}}}}}}}}}}, \vdots}}, \vdots{bmats}, \vmats}, \vdots$

n≥ 1{\displaystyle n\geq 1}, kr, s)0{\displaystyle k_{r,s}=0}은 어디서 j0≡ k0,0=1{\displaystyle j_{0}\equiv k_{0,0}=1},j nxk0, n{\displaystyle j_{n}=k_{0,n}}만약 r입니다.;s{\displaystyle r&gt니다.}, 곳이 모든 정수 p, q≥ 0{\displaystyle p,q\geq 0}, 우리는.가지고 있 에 의해 주어지는 추가 공식 관계

${\displaystyle j_{p+q}=k_{0,p}\cdot k_{0,q}+\sum _{i=1}^{\min(p,q)}{\text{ab}}{2}\cdots{\\cdot{i+1}{i,p},q}.}$

h^th 수렴 함수의 속성

$h{\displaystyle }$ $≥$ ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle$ $h$$\geq$ 0$}$에 대해($$$실제{\displaystyle }$ h${\displaystyle 2}$ 2$$${\$ h$th}}}}})$ 확장된 $무한 J-fraction$에 대한$$ ${\displaystyle {\text{합리적}}^{}}$인 h를 정의할 수 있다$.$

${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(z):={\frac {P_{h}(z)}{Q_{h}}}}}}}}}=j_{0}+{1}+{1}z+\cdots +j_{2h-1}z^{2h-1}z^{n\n\geq 2h}+\sum _{j}}}}}$

구성 요소별 시퀀스를 통해 P ${\displaystyle h_{}}$(${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle P_{h}($${\displaystyle z}$$)}$ $및$ Q ${\displaystyle h_{}}$( z${\displaystyle )}$ ${\displaystyle Q_{h}(z$에 의해 재귀적으로 정의됨

${\displaystyle {\reasoned}P_{h}(z)&=(1-c_{h}z)P_{h-1}(z)-{\text{ab}_{h}z^{2}P_{h-2}(z)+\delta _{h,1}\\{h}(z)&=(1-c_{h}z)Q_{h-1}(z)-{\text{ab}_{h}z^{2}Q_{h-2}(z)+(1-c_{1}z)\delta _{h,1}+\delta _{0,1}.\end{정렬}}}$

$더욱이{\displaystyle {}_{}}$ 모든 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 2 ${\$$displaystyle h\geq$ ${\displaystyle 2}$}에 대한$$ 수렴함수인 ${\displaystyle {\text{Conv}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $z){\displaystyle$ h$\geq$ $2$$\}$ {\$displaystyle j_{n}$의 순서와 M h : 2 difference ab${\displaystyle {}_{}{\text{ab}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$의 ${\displaystyle {순서}_{}}$에 의해 충족되는 추가적인 유한차 방정식 및 합치 특성을 내포한다$$.${\displaystyle {+}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$h$\mid M_{h}}}}}$이면 합치가 된다.

${\displaystyle j_{n}\equiv [z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}(z){\pmod {h}},}$

for non-symbolic, determinate choices of the parameter sequences, ${\displaystyle \{{\text{ab}}_{i}\}}$ and ${\displaystyle \{c_{i}\}}$, when ${\displaystyle h\geq 2}$, i.e., when these sequences do not implicitly depend on an auxiliary parameter such as ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle x}$, or ${\displaystyle R}$ as in the examples contained in the table below.

Examples

The next table provides examples of closed-form formulas for the component sequences found computationally (and subsequently proved correct in the cited references ^[18]) in several special cases of the prescribed sequences, ${\displaystyle j_{n}}$, generated by the general expansions of the J-fractions defined in the first subsection. Here we define ${\displaystyle 0< a , b , q <1}$ and the parameters ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} ^{+}}$ and ${\displaystyle x}$ to be indeterminates with respect to these expansions, where the prescribed sequences enumerated by the expansions of these J-fractions are defined in terms of the q-Pochhammer symbol, Pochhammer symbol, and the binomial coefficients.

${\displaystyle j_{n}}$	${\displaystyle c_{1}}$	${\displaystyle c_{i}(i\geq 2)}$	${\displaystyle {\text{ab}}_{i}(i\geq 2)}$
${\displaystyle q^{n^{2}}}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle q^{2h-3}\left(q^{2h}+q^{2h-2}-1\right)}$	${\displaystyle q^{6h-10}\left(q^{2h-2}-1\right)}$
${\displaystyle (a;q)_{n}}$	${\displaystyle 1-a}$	${\displaystyle q^{h-1}-aq^{h-2}\left(q^{h}+q^{h-1}-1\right)}$	${\displaystyle aq^{2h-4}(aq^{h-2}-1)(q^{h-1}-1)}$
${\displaystyle \left(zq^{-n};q\right)_{n}}$	${\displaystyle {\frac {q-z}{q}}}$	${\displaystyle {\frac {q^{h}-z-qz+q^{h}z}{q^{2h-1}}}}$	${\displaystyle {\frac {(q^{h-1}-1)(q^{h-1}-z)\cdot z}{q^{4h-5}}}}$
${\displaystyle {\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}}$	${\displaystyle {\frac {1-a}{1-b}}}$	${\displaystyle {\frac {q^{i-2}\left(q+abq^{2i-3}+a(1-q^{i-1}-q^{i})+b(q^{i}-q-1)\right)}{(1-bq^{2i-4})(1-bq^{2i-2})}}}$	${\displaystyle {\frac {q^{2i-4}(1-bq^{i-3})(1-aq^{i-2})(a-bq^{i-2})(1-q^{i-1})}{(1-bq^{2i-5})(1-bq^{2i-4})^{2}(1-bq^{2i-3})}}}$
${\displaystyle \alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n}}$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle R+2\alpha (i-1)}$	${\displaystyle (i-1)\alpha (R+(i-2)\alpha )}$
${\displaystyle (-1)^{n}{\binom {x}{n}}}$	${\displaystyle -x}$	${\displaystyle -{\frac {(x+2(i-1)^{2})}{(2i-1)(2i-3)}}}$	${\displaystyle {\begin{cases}-{\frac {(x-i+2)(x+i-1)}{4\cdot (2i-3)^{2}}}&i\geq 3;\\-{\frac {1}{2}}x(x+1)&i=2.\end{cases}}}$
${\displaystyle (-1)^{n}{\binom {x+n}{n}}}$	${\displaystyle -(x+1)}$	${\displaystyle {\frac {(x-2i(i-2)-1)}{(2i-1)(2i-3)}}}$	${\displaystyle {\begin{cases}-{\frac {(x-i+2)(x+i-1)}{4\cdot (2i-3)^{2}}}&i\geq 3;\\-{\frac {1}{2}}x(x+1)&i=2.\end{cases}}}$

The radii of convergence of these series corresponding to the definition of the Jacobi-type J-fractions given above are in general different from that of the corresponding power series expansions defining the ordinary generating functions of these sequences.

Examples

Generating functions for the sequence of square numbers a_n = n² are:

Ordinary generating function

${\displaystyle G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}}$

Exponential generating function

${\displaystyle \operatorname {EG} (n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}x^{n}}{n!}}=x(x+1)e^{x}}$

Lambert series

As an example of a Lambert series identity not given in the main article, we can show that for ${\displaystyle x , xq <1}$ we have that ^[19]

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}x^{n^{2}}}{1-qx^{n}}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}x^{n(n+1)}}{1-x^{n}}},}$

where we have the special case identity for the generating function of the divisor function, ${\displaystyle d(n)\equiv \sigma _{0}(n)}$, given by

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {x^{n^{2}}(1+x^{n})}{1-x^{n}}}.}$

Bell series

${\displaystyle \operatorname {BG} _{p}(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }(p^{n})^{2}x^{n}={\frac {1}{1-p^{2}x}}}$

Dirichlet series generating function

${\displaystyle \operatorname {DG} (n^{2};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{n^{s}}}=\zeta (s-2),}$

using the Riemann zeta function.

The sequence a_k generated by a Dirichlet series generating function (DGF) corresponding to:

${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{k};s)=\zeta (s)^{m}}$

where ${\displaystyle \zeta (s)}$ is the Riemann zeta function, has the ordinary generating function:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{k=n}a_{k}x^{k}=x+{m \choose 1}\sum _{2\leq a\leq n}x^{a}+{m \choose 2}{\underset {ab\leq n}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}}}x^{ab}+{m \choose 3}{\underset {abc\leq n}{\sum _{a\geq 2}\sum _{c\geq 2}\sum _{b\geq 2}}}x^{abc}+{m \choose 4}{\underset {abcd\leq n}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}\sum _{d\geq 2}}}x^{abcd}+\cdots }$

Multivariate generating functions

Multivariate generating functions arise in practice when calculating the number of contingency tables of non-negative integers with specified row and column totals. Suppose the table has r rows and c columns; the row sums are ${\displaystyle t_{1},\ldots t_{r}}$ and the column sums are ${\displaystyle s_{1},\ldots s_{c}}$. Then, according to I. J. Good,^[20] the number of such tables is the coefficient of

${\displaystyle x_{1}^{t_{1}}\ldots x_{r}^{t_{r}}y_{1}^{s_{1}}\ldots y_{c}^{s_{c}}}$

in

${\displaystyle \prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{c}{\frac {1}{1-x_{i}y_{j}}}.}$

In the bivariate case, non-polynomial double sum examples of so-termed "double" or "super" generating functions of the form ${\displaystyle G(w,z):=\sum _{m,n\geq 0}g_{m,n}w^{m}z^{n}}$ include the following two-variable generating functions for the binomial coefficients, the Stirling numbers, and the Eulerian numbers:^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{z+wz}&=\sum _{m,n\geq 0}{\binom {n}{m}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\e^{w(e^{z}-1)}&=\sum _{m,n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{\frac {1}{(1-z)^{w}}}&=\sum _{m,n\geq 0}\left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{\frac {1-w}{e^{(w-1)z}-w}}&=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{\frac {e^{w}-e^{z}}{we^{z}-ze^{w}}}&=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {\begin{matrix}m+n+1\\m\end{matrix}}\right\rangle {\frac {w^{m}z^{n}}{(m+n+1)!}}.\end{aligned}}}$

Applications

Various techniques: Evaluating sums and tackling other problems with generating functions

Example 1: A formula for sums of harmonic numbers

Generating functions give us several methods to manipulate sums and to establish identities between sums.

The simplest case occurs when ${\textstyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}}}$. We then know that ${\textstyle S(z)={\frac {A(z)}{1-z}}}$ for the corresponding ordinary generating functions.

For example, we can manipulate ${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}}$, where ${\textstyle H_{k}=1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{k}}}$ are the harmonic numbers. Let ${\textstyle H(z)=\sum _{n\geq 1}{H_{n}z^{n}}}$ be the ordinary generating function of the harmonic numbers. Then

${\displaystyle H(z)={\dfrac {\sum _{n\geq 1}{{\frac {1}{n}}z^{n}}}{1-z}}\,,}$

and thus

${\displaystyle S(z)=\sum _{n\geq 1}{s_{n}z^{n}}={\dfrac {\sum _{n\geq 1}{{\frac {1}{n}}z^{n}}}{(1-z)^{2}}}\,.}$

Using ${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{(n+1)z^{n}}}$, convolution with the numerator yields

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{{\frac {1}{k}}(n+1-k)}=(n+1)H_{n}-n\,,}$

which can also be written as

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{H_{k}}=(n+1)(H_{n+1}-1)\,.}$

Example 2: Modified binomial coefficient sums and the binomial transform

As another example of using generating functions to relate sequences and manipulate sums, for an arbitrary sequence ${\displaystyle \langle f_{n}\rangle }$ we define the two sequences of sums

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}f_{m}3^{n-m}}$

${\displaystyle {\widetilde {s}}_{n}:=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(m+1)(m+2)(m+3)f_{m}3^{n-m},}$

for all ${\displaystyle n\geq 0}$, and seek to express the second sums in terms of the first. We suggest an approach by generating functions.

First, we use the binomial transform to write the generating function for the first sum as

${\displaystyle S(z)={\frac {1}{(1-3z)}}F\left({\frac {z}{1-3z}}\right).}$

Since the generating function for the sequence ${\displaystyle \langle (n+1)(n+2)(n+3)f_{n}\rangle }$ is given by ${\displaystyle 6F(z)+18zF^{\prime }(z)+9z^{2}F^{\prime \prime }(z)+z^{3}F^{(3)}(z)}$, we may write the generating function for the second sum defined above in the form

${\displaystyle {\widetilde {S}}(z)={\frac {6}{(1-3z)}}F\left({\frac {z}{1-3z}}\right)+{\frac {18z}{(1-3z)^{2}}}F^{\prime }\left({\frac {z}{1-3z}}\right)+{\frac {9z^{2}}{(1-3z)^{3}}}F^{\prime \prime }\left({\frac {z}{1-3z}}\right)+{\frac {z^{3}}{(1-3z)^{4}}}F^{(3)}\left({\frac {z}{1-3z}}\right).}$

In particular, we may write this modified sum generating function in the form of

${\displaystyle a(z)\cdot S(z)+b(z)\cdot zS^{\prime }(z)+c(z)\cdot z^{2}S^{\prime \prime }(z)+d(z)\cdot z^{3}S^{(3)}(z),}$

for ${\displaystyle a(z)=6(1-3z)^{3}}$, ${\displaystyle b(z)=18(1-3z)^{3}}$, ${\displaystyle c(z)=9(1-3z)^{3}}$, and ${\displaystyle d(z)=(1-3z)^{3}}$ where ${\displaystyle (1-3z)^{3}=1-9z+27z^{2}-27z^{3}}$.

Finally, it follows that we may express the second sums through the first sums in the following form:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {s}}_{n}&=[z^{n}]\left(6(1-3z)^{3}\sum _{n\geq 0}s_{n}z^{n}+18(1-3z)^{3}\sum _{n\geq 0}ns_{n}z^{n}+9(1-3z)^{3}\sum _{n\geq 0}n(n-1)s_{n}z^{n}+(1-3z)^{3}\sum _{n\geq 0}n(n-1)(n-2)s_{n}z^{n}\right)\\&=(n+1)(n+2)(n+3)s_{n}-9n(n+1)(n+2)s_{n-1}+27(n-1)n(n+1)s_{n-2}-(n-2)(n-1)ns_{n-3}.\end{aligned}}}$

Example 3: Generating functions for mutually recursive sequences

In this example, we re-formulate a generating function example given in Section 7.3 of Concrete Mathematics (see also Section 7.1 of the same reference for pretty pictures of generating function series). In particular, suppose that we seek the total number of ways (denoted ${\displaystyle U_{n}}$) to tile a ${\displaystyle 3\times n}$ rectangle with unmarked ${\displaystyle 2\times 1}$ domino pieces. Let the auxiliary sequence, ${\displaystyle V_{n}}$, be defined as the number of ways to cover a ${\displaystyle 3\times n}$ rectangle-minus-corner section of the full rectangle. We seek to use these definitions to give a closed form formula for ${\displaystyle U_{n}}$ without breaking down this definition further to handle the cases of vertical versus horizontal dominoes. Notice that the ordinary generating functions for our two sequences correspond to the series

${\displaystyle U(z)=1+3z^{2}+11z^{4}+41z^{6}+\cdots }$

${\displaystyle V(z)=z+4z^{3}+15z^{5}+56z^{7}+\cdots .}$

If we consider the possible configurations that can be given starting from the left edge of the ${\displaystyle 3\times n}$ rectangle, we are able to express the following mutually dependent, or mutually recursive, recurrence relations for our two sequences when ${\displaystyle n\geq 2}$ defined as above where ${\displaystyle U_{0}=1}$, ${\displaystyle U_{1}=0}$, ${\displaystyle V_{0}=0}$, and ${\displaystyle V_{1}=1}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}&=2V_{n-1}+U_{n-2}\\V_{n}&=U_{n-1}+V_{n-2}.\end{aligned}}}$

Since we have that for all integers ${\displaystyle m\geq 0}$, the index-shifted generating functions satisfy ${\textstyle z^{m}G(z)=\sum _{n\geq m}g_{n-m}z^{n}}$ (incidentally, we also have a corresponding formula when ${\displaystyle m<0}$ given by ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}g_{n+m}z^{n}={\frac {G(z)-g_{0}-g_{1}z-\cdots -g_{m-1}z^{m-1}}{z^{m}}}}$), we can use the initial conditions specified above and the previous two recurrence relations to see that we have the next two equations relating the generating functions for these sequences given by

${\displaystyle {\begin{aligned}U(z)&=2zV(z)+z^{2}U(z)+1\\V(z)&=zU(z)+z^{2}V(z)\\&={\frac {z}{1-z^{2}}}U(z),\end{aligned}}}$

which then implies by solving the system of equations (and this is the particular trick to our method here) that

${\displaystyle U(z)={\frac {1-z^{2}}{1-4z^{2}+z^{4}}}={\frac {1}{3-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {1}{1-(2+{\sqrt {3}})z^{2}}}+{\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {1}{1-(2-{\sqrt {3}})z^{2}}}.}$

Thus by performing algebraic simplifications to the sequence resulting from the second partial fractions expansions of the generating function in the previous equation, we find that ${\displaystyle U_{2n+1}\equiv 0}$ and that

${\displaystyle U_{2n}=\left\lceil {\frac {(2+{\sqrt {3}})^{n}}{3-{\sqrt {3}}}}\right\rceil ,}$

for all integers ${\displaystyle n\geq 0}$. We also note that the same shifted generating function technique applied to the second-order recurrence for the Fibonacci numbers is the prototypical example of using generating functions to solve recurrence relations in one variable already covered, or at least hinted at, in the subsection on rational functions given above.

Convolution (Cauchy products)

A discrete convolution of the terms in two formal power series turns a product of generating functions into a generating function enumerating a convolved sum of the original sequence terms (see Cauchy product).

1. Consider A(z) and B(z) are ordinary generating functions.

   ${\displaystyle C(z)=A(z)B(z)\Leftrightarrow [z^{n}]C(z)=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}}$

2. Consider A(z) and B(z) are exponential generating functions.

   ${\displaystyle C(z)=A(z)B(z)\Leftrightarrow [z^{n}/n!]C(z)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a_{k}b_{n-k}}$

3. Consider the triply convolved sequence resulting from the product of three ordinary generating functions

   ${\displaystyle C(z)=F(z)G(z)H(z)\Leftrightarrow [z^{n}]C(z)=\sum _{j+k+\ell =n}f_{j}g_{k}h_{\ell }}$

4. Consider the ${\displaystyle m}$-fold convolution of a sequence with itself for some positive integer ${\displaystyle m\geq 1}$ (see the example below for an application)

   ${\displaystyle C(z)=G(z)^{m}\Leftrightarrow [z^{n}]C(z)=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}g_{k_{1}}g_{k_{2}}\cdots g_{k_{m}}}$

Multiplication of generating functions, or convolution of their underlying sequences, can correspond to a notion of independent events in certain counting and probability scenarios. For example, if we adopt the notational convention that the probability generating function, or pgf, of a random variable ${\displaystyle Z}$ is denoted by ${\displaystyle G_{Z}(z)}$, then we can show that for any two random variables ^[22]

${\displaystyle G_{X+Y}(z)=G_{X}(z)G_{Y}(z),}$

if ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are independent. Similarly, the number of ways to pay ${\displaystyle n\geq 0}$ cents in coin denominations of values in the set ${\displaystyle \{1,5,10,25,50\}}$ (i.e., in pennies, nickels, dimes, quarters, and half dollars, respectively) is generated by the product

${\displaystyle C(z)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{1-z^{5}}}{\frac {1}{1-z^{10}}}{\frac {1}{1-z^{25}}}{\frac {1}{1-z^{50}}},}$

and moreover, if we allow the ${\displaystyle n}$ cents to be paid in coins of any positive integer denomination, we arrive at the generating for the number of such combinations of change being generated by the partition function generating function expanded by the infinite q-Pochhammer symbol product of ${\textstyle \prod _{n\geq 1}\left(1-z^{n}\right)^{-1}}$.

Example: The generating function for the Catalan numbers

An example where convolutions of generating functions are useful allows us to solve for a specific closed-form function representing the ordinary generating function for the Catalan numbers, ${\displaystyle C_{n}}$. In particular, this sequence has the combinatorial interpretation as being the number of ways to insert parentheses into the product ${\displaystyle x_{0}\cdot x_{1}\cdots x_{n}}$ so that the order of multiplication is completely specified. For example, ${\displaystyle C_{2}=2}$ which corresponds to the two expressions ${\displaystyle x_{0}\cdot (x_{1}\cdot x_{2})}$ and ${\displaystyle (x_{0}\cdot x_{1})\cdot x_{2}}$. It follows that the sequence satisfies a recurrence relation given by

${\displaystyle C_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}C_{n-1-k}+\delta _{n,0}=C_{0}C_{n-1}+C_{1}C_{n-2}+\cdots +C_{n-1}C_{0}+\delta _{n,0},\ n\geq 0,}$

and so has a corresponding convolved generating function, ${\displaystyle C(z)}$, satisfying

${\displaystyle C(z)=z\cdot C(z)^{2}+1.}$

Since ${\displaystyle C(0)=1\neq \infty }$, we then arrive at a formula for this generating function given by

${\displaystyle {\begin{aligned}C(z)&={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}\\&=\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}z^{n}.\end{aligned}}}$

Note that the first equation implicitly defining ${\displaystyle C(z)}$ above implies that

${\displaystyle C(z)={\frac {1}{1-z\cdot C(z)}},}$

which then leads to another "simple" (as in of form) continued fraction expansion of this generating function.

Example: Spanning trees of fans and convolutions of convolutions

A fan of order ${\displaystyle n}$ is defined to be a graph on the vertices ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n\}}$ with ${\displaystyle 2n-1}$ edges connected according to the following rules: Vertex ${\displaystyle 0}$ is connected by a single edge to each of the other ${\displaystyle n}$ vertices, and vertex ${\displaystyle k}$ is connected by a single edge to the next vertex ${\displaystyle k+1}$ for all ${\displaystyle 1\leq k<n}$.^[23] There is one fan of order one, three fans of order two, eight fans of order three, and so on. A spanning tree is a subgraph of a graph which contains all of the original vertices and which contains enough edges to make this subgraph connected, but not so many edges that there is a cycle in the subgraph. We ask how many spanning trees ${\displaystyle f_{n}}$ of a fan of order ${\displaystyle n}$ are possible for each ${\displaystyle n\geq 1}$.

As an observation, we may approach the question by counting the number of ways to join adjacent sets of vertices. For example, when ${\displaystyle n=4}$, we have that ${\displaystyle f_{4}=4+3\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 1\cdot 1+1\cdot 2\cdot 1+1\cdot 1\cdot 2+1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=21}$, which is a sum over the ${\displaystyle m}$-fold convolutions of the sequence ${\displaystyle g_{n}=n=[z^{n}]z/(1-z)^{2}}$ for ${\displaystyle m:=1,2,3,4}$. More generally, we may write a formula for this sequence as

${\displaystyle f_{n}=\sum _{m>0}\sum _{\scriptstyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n \atop \scriptstyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}>0}g_{k_{1}}g_{k_{2}}\cdots g_{k_{m}},}$

from which we see that the ordinary generating function for this sequence is given by the next sum of convolutions as

${\displaystyle {\begin{aligned}F(z)&=G(z)+G(z)^{2}+G(z)^{3}+\cdots \\[6pt]&={\frac {G(z)}{1-G(z)}}\\[6pt]&={\frac {z}{(1-z)^{2}-z}}={\frac {z}{1-3z+z^{2}}},\end{aligned}}}$

from which we are able to extract an exact formula for the sequence by taking the partial fraction expansion of the last generating function.

Implicit generating functions and the Lagrange inversion formula

This section needs expansion with: This section needs to be added to the list of techniques with generating functions. You can help by adding to it. (April 2017)

Introducing a free parameter (snake oil method)

Sometimes the sum ${\displaystyle s_{n}}$ is complicated, and it is not always easy to evaluate. The "Free Parameter" method is another method (called "snake oil" by H. Wilf) to evaluate these sums.

Both methods discussed so far have ${\displaystyle n}$ as limit in the summation. When n does not appear explicitly in the summation, we may consider ${\displaystyle n}$ as a “free” parameter and treat ${\displaystyle s_{n}}$ as a coefficient of ${\textstyle F(z)=\sum {s_{n}z^{n}}}$, change the order of the summations on ${\displaystyle n}$ and ${\displaystyle k}$, and try to compute the inner sum.

For example, if we want to compute

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k\geq 0}{{\binom {n+k}{m+2k}}{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}\quad (m,n\in \mathbb {N} _{0})}$

we can treat ${\displaystyle n}$ as a "free" parameter, and set

${\displaystyle F(z)=\sum _{n\geq 0}{\left[\sum _{k\geq 0}{{\binom {n+k}{m+2k}}{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}\right]}z^{n}}$

Interchanging summation (“snake oil”) gives

${\displaystyle F(z)=\sum _{k\geq 0}{{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}z^{-k}}\sum _{n\geq 0}{{\binom {n+k}{m+2k}}z^{n+k}}}$

Now the inner sum is ${\displaystyle {\frac {z^{m+2k}}{(1-z)^{m+2k+1}}}}$. Thus

${\displaystyle {\begin{aligned}F(z)&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}\sum _{k\geq 0}{{\frac {1}{k+1}}{\binom {2k}{k}}({\frac {-z}{(1-z)^{2}}})^{k}}\\&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}\sum _{k\geq 0}{C_{k}({\frac {-z}{(1-z)^{2}}})^{k}}\quad {\text{(where }}C_{k}=k^{\text{th}}{\text{ Catalan number)}}\\&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}{\frac {1-{\sqrt {1+{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}}}}{\frac {-2z}{(1-z)^{2}}}}\\&={\frac {-z^{m-1}}{2(1-z)^{m-1}}}(1-{\frac {1+z}{1-z}})\\&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m}}}=z{\frac {z^{m-1}}{(1-z)^{m}}}.\end{aligned}}}$

Then we obtain

${\displaystyle s_{n}={\binom {n-1}{m-1}}\quad {\text{ for }}\quad m\geq 1\quad ,\quad s_{n}=[n=0]\quad {\text{ for }}\quad m=0.}$

Generating functions prove congruences

We say that two generating functions (power series) are congruent modulo ${\displaystyle m}$, written ${\displaystyle A(z)\equiv B(z){\pmod {m}}}$ if their coefficients are congruent modulo ${\displaystyle m}$ for all ${\displaystyle n\geq 0}$, i.e., ${\displaystyle a_{n}\equiv b_{n}{\pmod {m}}}$ for all relevant cases of the integers ${\displaystyle n}$ (note that we need not assume that ${\displaystyle m}$ is an integer here—it may very well be polynomial-valued in some indeterminate ${\displaystyle x}$, for example). If the "simpler" right-hand-side generating function, ${\displaystyle B(z)}$, is a rational function of ${\displaystyle z}$, then the form of this sequences suggests that the sequence is eventually periodic modulo fixed particular cases of integer-valued ${\displaystyle m\geq 2}$. For example, we can prove that the Euler numbers, ${\displaystyle \langle E_{n}\rangle =\langle 1,1,5,61,1385,\ldots \rangle \longmapsto \langle 1,1,2,1,2,1,2,\ldots \rangle {\pmod {3}}}$, satisfy the following congruence modulo ${\displaystyle 3}$:^[24]

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}E_{n}z^{n}={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}{\pmod {3}}.}$

One of the most useful, if not downright powerful, methods of obtaining congruences for sequences enumerated by special generating functions modulo any integers (i.e., not only prime powers ${\displaystyle p^{k}}$) is given in the section on continued fraction representations of (even non-convergent) ordinary generating functions by J-fractions above. We cite one particular result related to generating series expanded through a representation by continued fraction from Lando's Lectures on Generating Functions as follows:

Theorem: (Congruences for Series Generated by Expansions of Continued Fractions) Suppose that the generating function ${\displaystyle A(z)}$ is represented by an infinite continued fraction of the form

${\displaystyle A(z)={\frac {1}{1-c_{1}z}}{\frac {p_{1}z^{2}}{1-c_{2}z}}{\frac {p_{2}z^{2}}{1-c_{3}z}}\cdots ,}$

and that ${\displaystyle A_{p}(z)}$ denotes the ${\displaystyle p^{th}}$ convergent to this continued fraction expansion defined such that ${\displaystyle a_{n}=[z^{n}]A_{p}(z)}$ for all ${\displaystyle 0\leq n<2p}$. Then 1) the function ${\displaystyle A_{p}(z)}$ is rational for all ${\displaystyle p\geq 2}$ where we assume that one of divisibility criteria of ${\displaystyle p p_{1},p_{1}p_{2},p_{1}p_{2}p_{3}\cdots }$ is met, i.e., ${\displaystyle p p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}$ for some ${\displaystyle k\geq 1}$; and 2) If the integer ${\displaystyle p}$ divides the product ${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}$, then we have that ${\displaystyle A(z)\equiv A_{k}(z){\pmod {p}}}$.

Generating functions also have other uses in proving congruences for their coefficients. We cite the next two specific examples deriving special case congruences for the Stirling numbers of the first kind and for the partition function (mathematics) ${\displaystyle p(n)}$ which show the versatility of generating functions in tackling problems involving integer sequences.

The Stirling numbers modulo small integers

The main article on the Stirling numbers generated by the finite products

${\displaystyle S_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]x^{k}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1),\ n\geq 1,}$

provides an overview of the congruences for these numbers derived strictly from properties of their generating function as in Section 4.6 of Wilf's stock reference Generatingfunctionology. We repeat the basic argument and notice that when reduces modulo ${\displaystyle 2}$, these finite product generating functions each satisfy

${\displaystyle S_{n}(x)=[x(x+1)]\cdot [x(x+1)]\cdots =x^{\lceil n/2\rceil }(x+1)^{\lfloor n/2\rfloor },}$

which implies that the parity of these Stirling numbers matches that of the binomial coefficient

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\equiv {\binom {\lfloor n/2\rfloor }{k-\lceil n/2\rceil }}{\pmod {2}},}$

and consequently shows that ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]}$ is even whenever ${\displaystyle k<\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }$.

Similarly, we can reduce the right-hand-side products defining the Stirling number generating functions modulo ${\displaystyle 3}$ to obtain slightly more complicated expressions providing that

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]&\equiv [x^{m}]\left(x^{\lceil n/3\rceil }(x+1)^{\lceil (n-1)/3\rceil }(x+2)^{\lfloor n/3\rfloor }\right)&&{\pmod {3}}\\&\equiv \sum _{k=0}^{m}{\binom {\lceil (n-1)/3\rceil }{k}}{\binom {\lfloor n/3\rfloor }{m-k-\lceil n/3\rceil }}\times 2^{\lceil n/3\rceil +\lfloor n/3\rfloor -(m-k)}&&{\pmod {3}}.\end{aligned}}}$

Congruences for the partition function

In this example, we pull in some of the machinery of infinite products whose power series expansions generate the expansions of many special functions and enumerate partition functions. In particular, we recall that the partition function ${\displaystyle p(n)}$ is generated by the reciprocal infinite q-Pochhammer symbol product (or z-Pochhammer product as the case may be) given by

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}p(n)z^{n}&={\frac {1}{(1-z)(1-z^{2})(1-z^{3})\cdots }}\\[4pt]&=1+z+2z^{2}+3z^{3}+5z^{4}+7z^{5}+11z^{6}+\cdots .\end{aligned}}}$

This partition function satisfies many known congruence properties, which notably include the following results though there are still many open questions about the forms of related integer congruences for the function:^[25]

${\displaystyle {\begin{aligned}p(5m+4)&\equiv 0{\pmod {5}}\\p(7m+5)&\equiv 0{\pmod {7}}\\p(11m+6)&\equiv 0{\pmod {11}}\\p(25m+24)&\equiv 0{\pmod {5^{2}}}.\end{aligned}}}$

We show how to use generating functions and manipulations of congruences for formal power series to give a highly elementary proof of the first of these congruences listed above.

First, we observe that the binomial coefficient generating function, ${\displaystyle 1/(1-z)^{5}}$, satisfies that each of its coefficients are divisible by ${\displaystyle 5}$ with the exception of those which correspond to the powers of ${\displaystyle 1,z^{5},z^{10},\ldots }$, all of which otherwise have a remainder of ${\displaystyle 1}$ modulo ${\displaystyle 5}$. Thus we may write

${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{5}}}\equiv {\frac {1}{1-z^{5}}}{\pmod {5}}\qquad \iff \qquad {\frac {1-z^{5}}{(1-z)^{5}}}\equiv 1{\pmod {5}},}$

which in particular shows us that

${\displaystyle {\frac {(1-z^{5})(1-z^{10})(1-z^{15})\cdots }{\left\{(1-z)(1-z^{2})(1-z^{3})\cdots \right\}^{5}}}\equiv 1{\pmod {5}}.}$

Hence, we easily see that ${\displaystyle 5}$ divides each coefficient of ${\displaystyle z^{5m}}$ in the infinite product expansions of

${\displaystyle z\cdot {\frac {(1-z^{5})(1-z^{10})\cdots }{(1-z)(1-z^{2})\cdots }}=z\cdot \left\{(1-z)(1-z^{2})\cdots \right\}^{4}\times {\frac {(1-z^{5})(1-z^{10})\cdots }{\left\{(1-z)(1-z^{2})\cdots \right\}^{5}}}.}$

Finally, since we may write the generating function for the partition function as

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {z}{(1-z)(1-z^{2})\cdots }}\\[5pt]={}&z\cdot {\frac {(1-z^{5})(1-z^{10})\cdots }{(1-z)(1-z^{2})\cdots }}\times (1+z^{5}+z^{10}+\cdots )(1+z^{10}+z^{20}+\cdots )\cdots \\[5pt]={}&z+\sum _{n\geq 2}p(n-1)z^{n},\end{aligned}}}$

we may equate the coefficients of ${\displaystyle z^{5m+5}}$ in the previous equations to prove our desired congruence result, namely that, ${\displaystyle p(5m+4)\equiv 0{\pmod {5}}}$ for all ${\displaystyle m\geq 0}$.

Transformations of generating functions

There are a number of transformations of generating functions that provide other applications (see the main article). A transformation of a sequence's ordinary generating function (OGF) provides a method of converting the generating function for one sequence into a generating function enumerating another. These transformations typically involve integral formulas involving a sequence OGF (see integral transformations) or weighted sums over the higher-order derivatives of these functions (see derivative transformations).

Generating function transformations can come into play when we seek to express a generating function for the sums

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}C_{n,m}a_{m},}$

in the form of ${\displaystyle S(z)=g(z)A(f(z))}$ involving the original sequence generating function. For example, if the sums ${\displaystyle s_{n}:=\sum _{k\geq 0}{\binom {n+k}{m+2k}}a_{k}}$, then the generating function for the modified sum expressions is given by ${\displaystyle S(z)={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}A\left({\frac {z}{(1-z)^{2}}}\right)}$ ^[26] (see also the binomial transform and the Stirling transform).

There are also integral formulas for converting between a sequence's OGF, ${\displaystyle F(z)}$, and its exponential generating function, or EGF, ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$, and vice versa given by

${\displaystyle F(z)=\int _{0}^{\infty }{\widehat {F}}(tz)e^{-t}\,dt}$

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-\imath \vartheta }\right)e^{e^{\imath \vartheta }}\,d\vartheta ,}$

provided that these integrals converge for appropriate values of ${\displaystyle z}$.

Other applications

Generating functions are used to:

• Find a closed formula for a sequence given in a recurrence relation. For example, consider Fibonacci numbers.
• Find recurrence relations for sequences—the form of a generating function may suggest a recurrence formula.
• Find relationships between sequences—if the generating functions of two sequences have a similar form, then the sequences themselves may be related.
• Explore the asymptotic behaviour of sequences.
• Prove identities involving sequences.
• Solve enumeration problems in combinatorics and encoding their solutions. Rook polynomials are an example of an application in combinatorics.
• Evaluate infinite sums.

Other generating functions

Examples

Examples of polynomial sequences generated by more complex generating functions include:

• Appell polynomials
• Chebyshev polynomials
• Difference polynomials
• Generalized Appell polynomials
• Q-difference polynomials

Other sequences generated by more complex generating functions:

• Double exponential generating functions. For example: Aitken's Array: Triangle of Numbers
• Hadamard products of generating functions / diagonal generating functions and their corresponding integral transformations

Convolution polynomials

Knuth's article titled "Convolution Polynomials"^[27] defines a generalized class of convolution polynomial sequences by their special generating functions of the form

${\displaystyle F(z)^{x}=\exp \left(x\log F(z)\right)=\sum _{n\geq 0}f_{n}(x)z^{n},}$

for some analytic function ${\displaystyle F}$ with a power series expansion such that ${\displaystyle F(0)=1}$. We say that a family of polynomials, ${\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\ldots }$, forms a convolution family if ${\displaystyle \deg\{f_{n}\}\leq n}$ and if the following convolution condition holds for all ${\displaystyle x,y}$ and for all ${\displaystyle n\geq 0}$:

${\displaystyle f_{n}(x+y)=f_{n}(x)f_{0}(y)+f_{n-1}(x)f_{1}(y)+\cdots +f_{1}(x)f_{n-1}(y)+f_{0}(x)f_{n}(y).}$

We see that for non-identically zero convolution families, this definition is equivalent to requiring that the sequence have an ordinary generating function of the first form given above.

A sequence of convolution polynomials defined in the notation above has the following properties:

• The sequence ${\displaystyle n!\cdot f_{n}(x)}$ is of binomial type
• Special values of the sequence include ${\displaystyle f_{n}(1)=[z^{n}]F(z)}$ and ${\displaystyle f_{n}(0)=\delta _{n,0}}$, and
• For arbitrary (fixed) ${\displaystyle x,y,t\in \mathbb {C} }$, these polynomials satisfy convolution formulas of the form

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)f_{n-k}(y)\\f_{n}(2x)&=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)f_{n-k}(x)\\xnf_{n}(x+y)&=(x+y)\sum _{k=0}^{n}kf_{k}(x)f_{n-k}(y)\\{\frac {(x+y)f_{n}(x+y+tn)}{x+y+tn}}&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {xf_{k}(x+tk)}{x+tk}}{\frac {yf_{n-k}(y+t(n-k))}{y+t(n-k)}}.\end{aligned}}}$

For a fixed non-zero parameter ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$, we have modified generating functions for these convolution polynomial sequences given by

${\displaystyle {\frac {zF_{n}(x+tn)}{(x+tn)}}=[z^{n}]{\mathcal {F}}_{t}(z)^{x},}$

where ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}(z)}$ is implicitly defined by a functional equation of the form ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}(z)=F\left(x{\mathcal {F}}_{t}(z)^{t}\right)}$. Moreover, we can use matrix methods (as in the reference) to prove that given two convolution polynomial sequences, ${\displaystyle \langle f_{n}(x)\rangle }$ and ${\displaystyle \langle g_{n}(x)\rangle }$, with respective corresponding generating functions, ${\displaystyle F(z)^{x}}$ and ${\displaystyle G(z)^{x}}$, then for arbitrary ${\displaystyle t}$ we have the identity

${\displaystyle [z^{n}]\left(G(z)F\left(zG(z)^{t}\right)\right)^{x}=\sum _{k=0}^{n}F_{k}(x)G_{n-k}(x+tk).}$

Examples of convolution polynomial sequences include the binomial power series, ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{t}(z)=1+z{\mathcal {B}}_{t}(z)^{t}}$, so-termed tree polynomials, the Bell numbers, ${\displaystyle B(n)}$, the Laguerre polynomials, and the Stirling convolution polynomials.

Tables of special generating functions

An initial listing of special mathematical series is found here. A number of useful and special sequence generating functions are found in Section 5.4 and 7.4 of Concrete Mathematics and in Section 2.5 of Wilf's Generatingfunctionology. Other special generating functions of note include the entries in the next table, which is by no means complete.^[28]

This section needs expansion with: Lists of special and special sequence generating functions. The next table is a start. You can help by adding to it. (April 2017)

Formal power series	Generating-function formula	Notes
${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\binom {m+n}{n}}\left(H_{n+m}-H_{m}\right)z^{n}}$	${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{m+1}}}\ln {\frac {1}{1-z}}}$	${\displaystyle H_{n}}$ is a first-order harmonic number
${\displaystyle \sum _{n\geq 0}B_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}}$	${\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}}$	${\displaystyle B_{n}}$ is a Bernoulli number
${\displaystyle \sum _{n\geq 0}F_{mn}z^{n}}$	${\displaystyle {\frac {F_{m}z}{1-(F_{m-1}+F_{m+1})z+(-1)^{m}z^{2}}}}$	${\displaystyle F_{n}}$ is a Fibonacci number and ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}$
${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\}z^{n}}$	${\displaystyle (z^{-1})^{\overline {-m}}={\frac {z^{m}}{(1-z)(1-2z)\cdots (1-mz)}}}$	${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ denotes the rising factorial, or Pochhammer symbol and some integer ${\displaystyle m\geq 0}$
${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]z^{n}}$	${\displaystyle z^{\overline {m}}=z(z+1)\cdots (z+m-1)}$
${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n-1}4^{n}(4^{n}-2)B_{2n}z^{2n}}{(2n)\cdot (2n)!}}}$	${\displaystyle \ln {\frac {\tan(z)}{z}}}$
${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(1/2)^{\overline {n}}z^{2n}}{(2n+1)\cdot n!}}}$	${\displaystyle z^{-1}\arcsin(z)}$
${\displaystyle \sum _{n\geq 0}H_{n}^{(s)}z^{n}}$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(z)}{1-z}}}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$ is the polylogarithm function and ${\displaystyle H_{n}^{(s)}}$ is a generalized harmonic number for ${\displaystyle \Re (s)>1}$
${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{m}z^{n}}$	${\displaystyle \sum _{0\leq j\leq m}\left\{{\begin{matrix}m\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {j!\cdot z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}}$	${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\}}$ is a Stirling number of the second kind and where the individual terms in the expansion satisfy ${\displaystyle {\frac {z^{i}}{(1-z)^{i+1}}}=\sum _{k=0}^{i}{\binom {i}{k}}{\frac {(-1)^{k-i}}{(1-z)^{k+1}}}}$
${\displaystyle \sum _{k<n}{\binom {n-k}{k}}{\frac {n}{n-k}}z^{k}}$	${\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {1+4z}}}{2}}\right)^{n}}$
${\displaystyle \sum _{n_{1},\ldots ,n_{m}\geq 0}\min(n_{1},\ldots ,n_{m})z_{1}^{n_{1}}\cdots z_{m}^{n_{m}}}$	${\displaystyle {\frac {z_{1}\cdots z_{m}}{(1-z_{1})\cdots (1-z_{m})(1-z_{1}\cdots z_{m})}}}$	The two-variable case is given by ${\displaystyle M(w,z):=\sum _{m,n\geq 0}\min(m,n)w^{m}z^{n}={\frac {wz}{(1-w)(1-z)(1-wz)}}}$
${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\binom {s}{n}}z^{n}}$	${\displaystyle (1+z)^{s}}$	${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$
${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\binom {n}{k}}z^{n}}$	${\displaystyle {\frac {z^{k}}{(1-z)^{k+1}}}}$	${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$
${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\log {(n)}z^{n}}$	${\displaystyle -{\partial \over \partial s}\operatorname {{Li}_{s}(z)} _{s=0}}$

History

George Pólya writes in Mathematics and plausible reasoning:

The name "generating function" is due to Laplace. Yet, without giving it a name, Euler used the device of generating functions long before Laplace [..]. He applied this mathematical tool to several problems in Combinatory Analysis and the Theory of Numbers.

See also

• Moment-generating function
• Probability-generating function
• Generating function transformation
• Stanley's reciprocity theorem
• Applications to Partition (number theory)
• Combinatorial principles
• Cyclic sieving
• Z-transform

Notes

References

• Aigner, Martin (2007). A Course in Enumeration. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 238. Springer. ISBN 978-3-540-39035-0.
• Doubilet, Peter; Rota, Gian-Carlo; Stanley, Richard (1972). "On the foundations of combinatorial theory. VI. The idea of generating function". Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. 2: 267–318. Zbl 0267.05002. Reprinted in Rota, Gian-Carlo (1975). "3. The idea of generating function". Finite Operator Calculus. With the collaboration of P. Doubilet, C. Greene, D. Kahaner, A. Odlyzko and R. Stanley. Academic Press. pp. 83–134. ISBN 0-12-596650-4. Zbl 0328.05007.
• Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009). Analytic Combinatorics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89806-5. Zbl 1165.05001.
• Goulden, Ian P.; Jackson, David M. (2004). Combinatorial Enumeration. Dover Publications. ISBN 978-0486435978.
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Chapter 7: Generating Functions". Concrete Mathematics. A foundation for computer science (2nd ed.). Addison-Wesley. pp. 320–380. ISBN 0-201-55802-5. Zbl 0836.00001.
• Lando, Sergei K. (2003). Lectures on Generating Functions. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3481-7.
• Wilf, Herbert S. (1994). Generatingfunctionology (2nd ed.). Academic Press. ISBN 0-12-751956-4. Zbl 0831.05001.

External links

• "Introduction To Ordinary Generating Functions" by Mike Zabrocki, York University, Mathematics and Statistics
• "Generating function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Generating Functions, Power Indices and Coin Change at cut-the-knot
• "Generating Functions" by Ed Pegg Jr., Wolfram Demonstrations Project, 2007.