와이토프 배열

수학에서 와이토프 배열은 피보나치 수열에서 파생된 정수의 무한 행렬로 네덜란드 수학자 윌렘 아브라함 와이토프의 이름을 따서 명명되었다.모든 양의 정수는 배열에서 정확히 한 번 발생하며, 피보나치 재발에 의해 정의된 모든 정수 순서는 배열의 행을 이동함으로써 도출될 수 있다.

와이토프 어레이는 먼저 모리슨(1980)이 와이토프의 경기에서 승리하는 포지션의 좌표인 와이토프 페어를 사용해 정의했다.또한 피보나치 숫자와 제켄도르프의 정리를 이용하여 정의할 수도 있고, 피보나치 숫자를 정의하는 황금비율과 재발관계에서 직접 정의할 수도 있다.

가치

Wythoff 배열은 값을 가지고 있다.

$displaystystytyle$$.$Egin{매트릭스}1&, 2&, 3&, 5&, 8&, 13&, 21&, \cdots \\4&, 7&, 11&, 18&, 29&, 47&, 76&, \cdots \\6&, 10&, 16&, 26&, 42&, 68&, 110&, \cdots \\9&, 15&, 24&, 39&, 63&, 102&, 165&, \cdots \\12&, 20&, 32&, 52&, 84&, 136&, 220&, \cdots \\14&, 23&, 37&, 60&, 97&, 157&, 254&.\.Cdots \\17&, 28&, 45&, 73&, 118&, 191&, 309&, \cdots \\\vdots, \vdots &, \vdots &, \vdots &, \vdots &, \vdots &, \vdots & &, \ddots \\\end{매트릭스}}}(시퀀스 A035513은 OEIS에).

등가정의

이전에 스톨라스키(1977년)가 정의한 유사한 스톨라르스키 어레이에서 영감을 받아 모리슨(1980년)은 와이토프 어레이를 다음과 같이 정의했다.Let ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ denote the golden ratio; then the ${\displaystyle i}$th winning position in Wythoff's game is given by the pair of positive integers ${\displaystyle (\lfloor i\varphi \rfloor ,\lfloor i\varphi ^{2}\rfloor )}$, where the n쌍의 왼쪽과 오른쪽의 탯줄은 각 양의 정수를 정확히 한 번 포함하는 두 개의 상호 보완적인 Beatty 시퀀스를 정의한다.모리슨은 배열의$$ $m행$에서 처음$$두 $숫자$를 $i{\displaystyle }$= ${\displaystyle \lfloor m}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \rfloor }$ ⌋ { { { { $\displaystyle i=\lfloor$ $\}$에 의해 주어진 Wythoff 쌍으로 정의하며, 여기서 각 행의 나머지 숫자는 피보나치 재발 관계에 의해 결정된다.즉, $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) $어레이$의 m$$행 {\$displaystyle m}$ 및$$ $n{\displaystyle }$ 열 ${\displaystyle n}$에서 항목을$$ 나타내는 경우

$M$, ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \lfloor }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \{}$ { { ${\displaystyle \{}$ {$${ {\$displaystyle A_{m,1}=\lfloor \lfloor \rfloor \varphi \right\rfloor$ $\},$ , , ,,

${\displaystyle M_{}}$, ${\displaystyle 2_{}}$= ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \lfloor }$ ⌊ ${\displaystyle m}$ 2 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$ { { { { { { { ${$ \\$displaystyle A_{m,2}=\lfloor \lfloor$ \$lfloor \varphi$ \varphi $^{2}\right\rfloor$ $\},$ and.

${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ = a ${\displaystyle {m,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 2_{}}$+ A ${\displaystyle {m,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ n> ${\displaystyn>2}$의 경우

어떤 양의 정수의 제켄도르프 표현은 뚜렷한 피보나치 수치의 합으로 표현되며, 그 중 2개는 피보나치 수열에서 연속되지 않는다.킴벌링(1995)이 기술한 바와 같이, 배열의 각 행에 있는 숫자들은 서로 교대 연산에 의해 다른 Zeckendorf를 나타내며, 각 열 안에 있는 숫자들은 모두 동일한 최소 피보나치 숫자를 사용하는 Zeckendorf 표현을 가지고 있다.특히 어레이의 항목$$ $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는$)$ 피보나치$($$+1$) 번호로 시작하는 Zeckendorf의 최소 $숫자$인$$m {\$displaystyle$ m$}$이다.

특성.

각 Wythoff 쌍은 Wythoff 배열에서 정확히 한 번 발생하며, 같은 행의 연속적인 숫자 쌍으로 첫 번째 숫자에 대한 홀수 색인과 두 번째에 대한 짝수 색인이 있다.각 양의 정수는 정확히 하나의 Wythoff 쌍에서 발생하기 때문에, 각각의 양의 정수는 배열에서 정확히 한 번 발생한다(Morrison 1980).

피보나치 재발을 만족시키는 모든 양의 정수의 순서는 와이토프 배열에서 가장 미세하게 많은 위치로 이동한다.특히 피보나치 수열 자체가 첫 번째 줄이며, 루카스 수열의 순서는 두 번째 줄(모리슨 1980)에 시프트 형태로 나타난다.

참조

• Kimberling, Clark (1995), "The Zeckendorf array equals the Wythoff array" (PDF), Fibonacci Quarterly, 33 (1): 3–8.
• Morrison, D. R. (1980), "A Stolarsky array of Wythoff pairs", A Collection of Manuscripts Related to the Fibonacci Sequence (PDF), Santa Clara, Calif: The Fibonacci Association, pp. 134–136.
• Stolarsky, K. B. (1977), "A set of generalized Fibonacci sequences such that each natural number belongs to exactly one" (PDF), Fibonacci Quarterly, 15 (3): 224.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Wythoff Array". MathWorld.