페르마 수

페르마 소수
의 이름을 따서 명명됨	피에르 드 페르마
No. 알려진 용어의	5
용어의 추측	5
의 후속 사항	페르마 수
초선	3, 5, 17, 257, 65537
알려진 최대 용어	65537
OEIS 지수	A019434

수학에서, 그것들을 처음 연구한 피에르 드 페르마의 이름을 딴 페르마 수는 형태의 양의 정수이다.

F_{n}=2^{2^{n}}+1,

여기서 n은 음이 아닌 정수입니다.처음 몇 개의 페르마 수는 다음과 같습니다.

3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ...(OEIS의 시퀀스 A000215).

2^k + 1이 소수이고 k > 0이면 k는 2의 거듭제곱이 되어야 하므로^k 2 + 1은 페르마 수이다. 이러한 소수를 페르마 소수라고 한다.2022년 현재^[update] 알려진 페르마 소수는 F = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257, F₄ = 65537(OEIS의 시퀀스 A019434)뿐이다₀.

기본 속성

페르마 수는 다음과 같은 반복 관계를 만족합니다.

F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1

F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2

n 1 1의 경우

F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2

F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}

n 2 2의 경우.각각의 관계는 수학적 귀납으로 증명될 수 있다.두 번째 방정식에서 우리는 골드바흐의 정리를 추론할 수 있다: 어떤 두 개의 페르마 수도 1보다 큰 공통 정수 인자를 공유하지 않는다.이것을 확인하려면 , 0 µ i < j 와_i F 와_j F 의 공통 계수 a > 1 을 가지고 있다고 가정합니다.그러면 A는 둘 다 나눕니다.

F_{0}\cdots F_{j-1}

그리고_j F. 따라서 a는 그들의 차이를 나눈다.2. 2.a > 1이므로 a = 2가 강제됩니다.이것은 모순입니다. 왜냐하면 각각의 페르마 수는 확실히 홀수이기 때문입니다.결론적으로, 우리는 소수가 무한하다는 또 다른 증거를 얻습니다. 각_n F에 대해 소인수_n p를 선택합니다. 그러면 시퀀스 {p_n}는 구별되는 소수의 무한 수열입니다.

기타 속성

페르마 소수는 두 p제곱의 차이로 표현될 수 없습니다. 여기서 p는 홀수 소수입니다.
F와₁ F를 제외하고₀ 페르마 숫자의 마지막 자릿수는 7이다.
모든 페르마 수(OEIS의 시퀀스 A051158)의 역수 합계는 비합리적이다.(Solomon W. Golomb, 1963년)

페르마 수의 원시성

페르마 수와 페르마 소수는 모든 페르마 수가 소수라고 추측한 피에르 드 페르마에 의해 처음 연구되었다.사실, 처음 5개의 페르마 수 F₀, ..., F는₄ 쉽게 소수임을 알 수 있다.페르마의 추측은 레온하르트 오일러가 1732년에 그가 그것을 보여주었을 때 반박되었다.

F_{5}=2^{5}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417.

오일러는 F의 모든_n 요인이 n 2 2에 대해 k 2ⁿ⁺¹ + 1 (나중에 루카스에 의해 kⁿ⁺² 2 + 1로 개선됨)의 형태를 가져야 한다는 것을 증명했다.

641은 F의 인수이며₅ 641 = 2⁷ × 5 + 1 및 641 = 2⁴ + 5의⁴ 등식에서 추론할 수 있다.첫 번째 등식에서 2 × 5 - -1 (mod 641)이⁷ 나오므로 (4제곱까지 상승)이 2 × 5⁴ 1 1 (mod 641)이²⁸ 된다.한편, 두 번째 등식은 5µ-2⁴(mod 641)를⁴ 의미합니다.이러한 조합은 2µ-1(mod 641)을³² 의미합니다.

페르마는 아마도 나중에 오일러에 의해 증명된 요인의 형태를 알고 있었을 것이고, 그래서 그가 ^[1]그 요인을 찾기 위한 간단한 계산을 끝까지 하지 못한 것이 신기해 보인다.한 가지 일반적인 설명은 페르마가 계산 실수를 했다는 것이다.

n > 4인 다른 페르마 소수_n F는 알려져 있지 않지만, 큰 ^[2]n에 대한 페르마 수에 대해서는 거의 알려져 있지 않다.실제로 다음 각 항목은 해결되지 않은 문제입니다.

F는 모든 n > 4에 대해 컴포지트입니까_n?
페르마 소수가 무한히 많나요?(아이젠슈타인 1844년)^[3]
페르마 합성수가 무한히 많습니까?
페르마 수는 제곱이 아닌 것이 존재하는가?

2014년 현재^[update] F는 5µn , 32에 대해 합성된 것으로 알려져_n 있으나 F의 완전한_n 인수분해는 0µn 11 11에 대해서만 알려져 있으며 n = 20, n = ^[4]24에 대해서는 알려진 소인수가 없다.합성된 것으로 알려진 가장 큰 페르마 수는 F이며_18233954, 그 소수인^18233956 7 × 2 + 1은 2020년 10월에 발견되었다.

휴리스틱한 주장

휴리스틱스는 F가 마지막 페르마 소수임을 시사한다₄.

그 소수 정리 중은 페르마 수 그것과 같은 크기의 임의의 정수로 같은 확률과,와 F4(또는 동등하게, beyon한 일은 F5키,..., F32은 복합, 페르마의 예상 수 최고급 제품 프라임은 추단 법을 사용한다는 것이 N에 적당한 간격에 임의의 정수 확률 1/ln N을 뱃속에 잔뜩 얻는다는 것이다.dF32)그래야 한다

\displaystyle \sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\ln F_{n}}{\sum _{n}{\frac 33}{\log _{2}}}=sum frac {{2^{n}}{36}^32}.

이 숫자를 F를₄ 넘는 페르마 소수가 존재할 확률의 상한으로 해석할 수 있다.

이 주장은 엄밀한 증거가 아니다.우선, 그것은 페르마 수가 "랜덤"하게 행동한다고 가정하지만, 페르마 수의 인자는 특별한 특성을 가지고 있다.보클란과 콘웨이는 또 다른 페르마 소수가 존재할 확률이 ^[5]10억분의 1보다 낮다는 보다 정확한 분석을 발표했다.

동등한 프라이머리 조건

$F_{n}=2^{2^{n}}+1$ n $=$ $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ n + $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ ({ $displaystyle F_{n$ }= $2^{2^{n}}+1$ )을 $F_{n}=2^{{2^{n}}}+1$ $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ n번째 페르마 수라고 $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ .Pépin의 테스트에서는 n > 0의 경우,

Fn(\

3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.

F_{n})

은

F_{n}

3

3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.

n -

3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.

1

3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.

3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.

n

3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.

의

3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.

에만 소수입니다

.\displaystyle

3

^{(F_{n}-1)/2}\equiv-1{\pmod {F_{n}}}}}.

}

$3^{(F_{n}-1)/2}$ 3 $3^{(F_{n}-1)/2}$ n - $3^{(F_{n}-1)/2}$ ) $3^{(F_{n}-1)/2}$ / $({$ 3 $^{(F_{n}-1)/2}})$ 는 $3^{{(F_{n}-1)/2}}$ 반복 제곱을 통해 $F_{n}$ 로 $F_{n}$ n $({$ })을 $F_{n}$ 평가할 수 있습니다.이로 인해 테스트는 고속 다항 시간 알고리즘이 됩니다.하지만 페르마의 숫자는 매우 빠르게 증가하기 때문에 적당한 시간과 공간에서 소수의 수만이 실험될 수 있다.

페르마 수 인자와 같은 k 2^m + 1 형식의 숫자에 대한 몇 가지 검정이 있습니다.

프로스의 정리(1878년).

(\displaystyle

N

)

=

N

k

(\

displaystyle

k

)

2

^$m$

k

(\

displaystyle

2) +

1

(\

displaystyle

1

)

에

1

홀수

k(\

displaystyle

k

2

^$m$ <

2

(\ $displaystyle$ 2)가 있다고 합니다 $a$ $.$

a^{(N-1)/2}\equiv-1{\pmod {N}}

(디스플레이 스타일

N

)

은

N

소수입니다.반대로, 위의 합치가 유지되지 않을 경우, 그리고 추가로

\left({\frac {a}{N}}\right)=-1

N

\left({\frac {a}{N}}\right)=-1

)

=

-

\left({\frac {a}{N}}\right)=-1

{\

style \leftflac {a}

{

N}}\right

} =-

1}(

Jacobi 기호 참조)

(\displaystyle

N

)

은

N

합성입니다.

N = F_n > 3이면 위의 야코비 기호는 a = 3에 대해 항상 -1과 같으며, 프로스 정리의 이 특별한 경우를 페핀 검정이라고 한다.비록 페핀의 테스트와 프로스의 정리가 일부 페르마 숫자의 합성성을 증명하기 위해 컴퓨터에 구현되었지만, 두 테스트 모두 특정한 중요하지 않은 요인을 제시하지 않습니다.실제로 n = 20 및 24에 대해 알려진 특정 소인수는 없습니다.

페르마 수 인수분해

페르마 수의 크기 때문에 인수분해하거나 원시성을 확인하는 것조차 어렵다.Pépin의 테스트는 페르마 수의 소수성에 필요한 충분한 조건을 제공하며, 최신 컴퓨터에 의해 구현될 수 있습니다.타원곡선법은 작은 소수 제수를 찾는 빠른 방법이다.분산 컴퓨팅 프로젝트 페르마 서치는 페르마 수의 몇 가지 요인을 찾아냈습니다.Yves Gallot의 proth.exe는 큰 페르마 수의 인자를 찾는 데 사용되어 왔습니다.위에서 언급한 오일러의 결과를 개선한 에두아르 루카스는 1878년에 적어도 n이 2인 페르마 수 $F_{n}$ $(\$ 의 모든 인수가 k $k\times 2^{n+2}+1$ × $k\times 2^{n+2}+1$ n + $k\times 2^{n+2}+1$ + $k\times 2^{n+2}+1$ (\ $displaystyle$ k $\times$ 2 $^{n+2}+1})$ 이라는 것을 증명했다. 여기서 k는 양의 정수이다.그 자체로 알려진 페르마 소수의 원시성을 쉽게 증명할 수 있습니다.

처음 12개의 페르마 수의 인수 분해는 다음과 같습니다.

F₀	=	2개¹	+	1	=	3은 소수이다
F₁	=	2개²	+	1	=	5는 소수이다
F₂	=	2개⁴	+	1	=	17은 소수이다.
F₃	=	2개⁸	+	1	=	257은 소수이다
F₄	=	2개¹⁶	+	1	=	65,537은 페르마 소수로 알려진 것 중 가장 큰 페르마 소수
F₅	=	2개³²	+	1	=	4,294,967,297
					=	641 × 6,700,417 (완전 인수 1732 )
F₆	=	2개⁶⁴	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617(20자리)
					=	274,194 × 67,280,421,180,721 (14자리) (완전 인수 1855)
F₇	=	2개¹²⁸	+	1	=	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457(39자리)
					=	59,649,589,190,497,217(17자리)×5,704,689,200,685,185,054,721(22자리)(1970년 완전 인수)
F₈	=	2개²⁵⁶	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129, 639,937(78자리)
					=	1,238,926,361,552,897(16자리)× 93,461,639,715,357,977,769,176,558,199,606,896,584,051,237,54,638,188,580,280,321(62자리)(1980년 완전 인수)
F₉	=	2개⁵¹²	+	1	=	13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,0 30,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,6 49,006,084,097(16진수)
					=	2,424,833 × 7,455,602,825,647,884,194,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657(49자리)× 741,640,062,627,530,801,524,787,141,901,937,474,059,940,781,097,519,023,905,821,316,144,415,759, 504,705,008,092,818,711,693,940,190(99자리)(1990년 완전 인수)
F₁₀	=	2개¹⁰²⁴	+	1	=	179,769,313,486,231,590,772,930...304,835,356,329,624,224,137,217(309자리)
					=	45,592,577 × 6,487,031,809 × 4,659,775,785,220,018,543,264,1943,076,778,192,897 (40자리) 130,439,874,405,488,189,727,484...806,217,820,753,194,014,424,577(252자리)(1995년 완전 인수)
F₁₁	=	2개²⁰⁴⁸	+	1	=	32,317,006,071,311,007,300,714,8...137,555,853,611,059,596,230,657(617자리)
					=	319,489 × 974,849 × 167,988,556,341,760,475,137 (21자리) × 3,194,841,906,445,833,920,513 (22자리) × 173,462,447,198,1955,258...491,382,441,723,306,598,834,198(564자리)(1988년 완전 인수)

2018년 현재^[update], F to₁₁ F만이 완전히₀ ^[4]고려되었다.분산 컴퓨팅 프로젝트인 페르마 서치는 페르마 ^[7]숫자의 새로운 요인을 찾고 있습니다.모든 페르마 인자의 집합은 OEIS에서 A050922(또는 정렬된 A023394)입니다.

페르마 숫자의 다음과 같은 요인은 1950년 이전에 알려져 있었다(이후 디지털 컴퓨터는 더 많은 요소를 찾는 데 도움을 주었다).

연도	파인더	페르마 수	요인
1732	오일러	$F_{5}$	$5\cdot 2^{7}+1$
1732	오일러	$F5$ {\ $displaystyle$ F_ ${5}}$ (완전 팩터)	$52347\cdot 2^{7}+1$
1855	클로센	$F_{6}$	$1071\cdot 2^{8}+1$
1855	클로센	$F6$ {\ $displaystyle$ F_{ $6}}$ (완전 팩터링)	$2628145745\cdot 2^{8}+1$
1877	페르부신	$F_{12}$	$7\cdot 2^{14}+1$
1878	페르부신	$F_{23}$	$5\cdot 2^{25}+1$
1886	실호프	$F_{36}$	$5\cdot 2^{39}+1$
1899	커닝햄	$F_{11}$	$39\cdot 2^{13}+1$
1899	커닝햄	$F_{11}$	$119\cdot 2^{13}+1$
1903	서양의	$F_{9}$	$37\cdot 2^{16}+1$
1903	서양의	$F_{12}$	$397\cdot 2^{16}+1$
1903	서양의	$F_{12}$	$973\cdot 2^{16}+1$
1903	서양의	$F_{18}$	$13\cdot 2^{20}+1$
1903	컬렌	$F_{38}$	$3\cdot 2^{41}+1$
1906	모어헤드	$F_{73}$	$5\cdot 2^{75}+1$
1925	크리치크	$F_{15}$	$579\cdot 2^{21}+1$

2021년 1월^[update] 현재 페르마 수는 356개, 페르마 수는 ^[4]312개로 알려져 있다.매년 ^[8]몇 가지 새로운 페르마 인자가 발견됩니다.

의사소수 및 페르마 수

2 - 1 형식의^p 합성수와 마찬가지로, 모든 합성 페르마 수는 기저 2에 대한 강력한 의사 소임입니다.이는 염기 2에 대한 모든 강한 의사소수 또한 페르마 의사소수이기 때문이다.

\displaystyle 2^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}}

모든 페르마 숫자에 대해서요.

1904년에 있으리라 예측 못했겠죠는 적어도 두개의 뚜렷한 또는 합성한 페르만 숫자의 제품 F에 해당하는 Fb때문에 Fs,{\displaystyle F_{}F_{b}\dots F_{s},}a>b>⋯>s>1{\displaystyle a>, b>, \dots입니다.;s> 1}가 될 것이다 페르마 pseudoprime 만일 2s을 2기지로,{\displaystyle 2^{s을 보였다}>}.[9]

페르마 수에 관한 다른 이론들

Lemma - n이 양의 정수일 경우

a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}.

증명

${displaystyle}(a-b)\sum _{k=0}^{n-1-k}&=\sum _n=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1}-\sum _{k=0}^{n-1}{n-1}^{k-1}\k^{k^{k-1}&$

정리 - $2^{k}+1$ + $(style$ 2 $^{k}+1)$ 이 $2^{k}+1$ 홀수 소수인 $경우$ k $(style$ k $)$ 는 $k$ 2의 거듭제곱입니다.

증명

k $(\displaystyle$ k $)$ 가 $k$ 2의 거듭제곱이 아닌 양의 정수인 $경우$ , k(\ $displaystyle$ s $>2$ 는 홀수 $s>2$ s $s>2$ > $s>2$ 2여야 합니다.여기서 k $1\leq r<k$ $k=rs$ $k=rs$ $(\displaystyle$ k $=rs)$ 라고 $k=rs$ 쓸 수 있습니다. $1\leq r<k$ 서 1 $1\leq r<k$ < $1\leq r<k$ \ $displaystyle$ 1 \ $leq$ r < $k$ $1\leq r<k$

위의 조건에서는 양의 $정수$ m {\ $displaystyle$ m $m$ 에 대해

(\displaystyle (a-b)\mid (a^{m}-b^{m})}

여기서 $"\displaystyle\mid"$ 는 "분할 $\mid$ "을 의미합니다.a $a=2^{r},b=-1$ $a=2^{r},b=-1$ $a=2^{r},b=-1$ $a=2^{r},b=-1$ $=$ - $a=2^{r},b=-1$ {{ $displaystyle$ a $=2^{r},$ b=- $1$ $m=s$ m $m=s$ {{ $displaystyle$ m $=s}$ 로 $m = s$ 치환하고s {\ $displaystyle$ s}를 $s$ 사용하는 것은 이상하다.

(2^{r}+1)\mid (2^{rs}+1)

그래서

({displaystyle (2^{r}+1)\mid (2^{k}+1)}).

$2^{k}+1$ $1<2^{r}+1<2^{k}+1$ < $1<2^{r}+1<2^{k}+1$ r + $1<2^{r}+1<2^{k}+1$ < $1<2^{r}+1<2^{k}+1$ + $1<2^{r}+1<2^{k}+1$ （ $displaystyle 1 ）$ < 2 $1<2^{r}+1<2^{k}+1$ ^ { $r$ } + 1 < 2 $^$ { k } + $1$ ${\$ 、 2 $k$ + $2^{k}+1$ （ $display$ 2 ^ { $k$ } + $1$ ）는 $2^{k}+1$ 소수가 아닙니다.따라서 k $(\style$ k $)$ 는 $k$ 2의 거듭제곱이어야 한다.

정리 - 페르마 소수는 비페리히 소수가 될 수 없다.

증명

p $p=2^{m}+1$ $p=2^{m}+1$ $p=2^{m}+1$ $({displaystyle$ p $=2^{m}+1})$ 이 $p=2^m+1$ 페르마 소수(따라서 m은 $2^{p-1}\equiv 1{\bmod {p^{2}}}$ 의 거듭제곱)이면 $p=2^{m}+1$ $2^{p-1}\equiv 1{\bmod {p^{2}}}$ p $2^{p-1}\equiv 1{\bmod {p^{2}}}$ - 1 $2^{p-1}\equiv 1{\bmod {p^{2}}}$ $2^{p-1}\equiv 1{\bmod {p^{2}}}$ $2^{p-1}\equiv 1{\bmod {p^{2}}}$ $2^{p-1}\equiv 1{\bmod {p^{2}}}$ 2 $({$ 2 $^{p-1}\equiv 1squalb mod {p^{$ 2 $2^{p-1}\equiv 1{\bmod {p^{2}}}$ }}}}}}}}가 유지되지 않음을 보여준다.

$p^{2}|2^{2m\lambda }-1$ $2m|p-1$ p - $2m|p-1$ ({ $displaystyle$ 2 m $p-1})$ 이므로 $2m |p-1$ $p-1=2m\lambda$ p $p-1=2m\lambda$ - $p-1=2m\lambda$ $=$ 2 $p^{2}|2^{2m\lambda }-1$ ${\$ 2 m {\ 2 $display$ style $p-1$ p 2 m - $p^{2}|2^{2m\lambda }-1$ $p^{2}|2^{2m\lambda }-1$ $p^{2}|2^{2m\lambda }-1$ - $p^{2}|2^{2m\lambda }-1$ 1 (\ $displaystyle$ p $^{2}$ 2 ^{2 $\displayda$ }- $1$ ) 이라고 쓸 수 $p^{2}|2^{2m\lambda }-1$ .

({displaystyle 0\equiv {2m\equiv {2m}-1}{2^{m}+1}=(2^{m}-1)\left(1+2^{2m}+2^{4m}+\cdots +2^{2(\equivda - 1)m}\right)\equiv - 2pm{{m}{2}{2}{m} {2}}

$2^{m}+1|2\lambda$ 2 $2^{m}+1|2\lambda$ m + $2^{m}+1|2\lambda$ $2^{m}+1|2\lambda$ ${\$ { $style$ 2^ { $m$ } + $1$ 2 \ $lambda$ $2\lambda \geq 2^{m}+1$ 2 $2\lambda \geq 2^{m}+1$ m + $2\lambda \geq 2^{m}+1$ \ $displaystyle$ 2 \ $lambda$ \ $geq$ 2 ^ { $m$ } + $1$ 입니다 $2\lambda \geq 2^{m}+1$ 이로 인해 p $p-1\geq m(2^{m}+1)$ - $p-1\geq m(2^{m}+1)$ ( 2 $p-1\geq m(2^{m}+1)$ + $p-1\geq m(2^{m}+1)$ $){$ $displaystyle p-1\geq$ m ( $2^{m}+1$ 이 $p-1\geq m(2^{m}+1)$ .이는 m $m\geq 2$ $(\displaystyle$ m $\geq$ 2) $m\geq 2$ 로는 불가능합니다.

$F_{n}=2^{2^{n}}+1$ (Edouard Lucas) - F $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $=$ $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ 2 $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ + 1({ $display style$ F_ ${n$ }= $2^{2^{n}}+1$ }의 $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ 소수 p는 n > 1일 때마다 k $k2^{n+2}+1$ + $k2^{n+2}+1$ + 1 $({display$ style $k2^{n+2}+1})$ 의 $k2^{n+2}+1$ 형태이다.

입증의 스케치

G는_p 곱셈 아래의 0이 아닌 정수 모듈로 p의 그룹을 나타내며, 차수는 p-1이다.통보서, 라그랑주 정리에 의해, p− 12으로 나누어 떨어진다 2(엄격하게. 이 이미지를 말하기), 곱셈의 명령 Gp(이후 22n22n+1{\displaystyle 2^{2^{n+1}}}이 사각{2^\displaystyle{2^{n}}}은 −1은 과학자인 Fn)에서 2n+1{\displaystyle 2^{n+1}}에 해당하고 있다. n $2^{n+1}$ + $($ 가 알고 있듯이 $,$ 일부 $2^{n+1}$ 정수 k에 대해 k $k2^{n+1}+1$ $k2^{n+1}+1$ + $({display$ $style$ $k2^{n+1}+1}+$ 1) 및 $k2^{n+1}+1$ $k2^{n+1}+1$ 는 k 2n + 1입니다 $2^{n+1}$ 에두아르 루카스는 더 멀리 갔다.n > 1이므로 위의 소수 p는 1 modulo 8과 일치한다.따라서 (Carl Friedrich Gauss에게 알려진 바와 같이) 2는 2차 잔차 모듈로 $p|a^{2}-2.$ 이다. 즉 $p|a^{2}-2.$ $p|a^{2}-2.$ 2 - $p|a^{2}-2.$ 정수 a가 존재한다 $.$ ({ $displaystyle p^{$ 2}- $2.})$ 그러면 $p|a^{2}-2.$ a의 상은 군_p G에서 $2^{n+2}$ + $2^{n+2}$ ({ $displaystyle$ 2 $^{n+2}})$ 를 $2^{n+2}$ 가지며 (라그랑주 정리하여 다시 1로 $2^{n+2}$ )를 사용한다.) $style$ 2 $^{n+2}}$ 및 $2^{n+2}$ p는 일부 정수 s의 $s2^{n+2}+1$ s $s2^{n+2}+1$ + $s2^{n+2}+1$ + $s2^{n+2}+1$ 1 { $displaystyle s2^{n+2}+$ 1} $형식$ 입니다 $s2^{n+2}+1$ .

사실, 2는 2차 잔차 모듈로 p라는 것을 직접적으로 알 수 있다.

\displaystyle \left(1+2^{n-1}\right)^{2}\equiv 2^{1+2^{n-1}{\pmod {p}}.}

2의 홀수승은 2차 잔차 모듈로 p이므로 2 자체도 마찬가지입니다.

페르마 수는 완전수 또는 한 쌍의 우호수의 일부가 될 수 없다. (루카 2000)

페르마 수의 모든 소수의 역수는 수렴한다. (Kíijek, Luca & Somer 2002)

nⁿ + 1이 소수이면 n = 2인^{2^m} 정수 m이 존재한다.이 경우 ^[10]^[11]n + 1 = F라는_(2^m+m) 방정식이ⁿ 성립합니다.

페르마 수_n F의 가장 큰 소인수를 P(F)라고_n 하자.그리고나서,

P(F_{n})\geq 2^{n+2}(4n+9)+1.

}

P(F_{n})\geq 2^{n+2}(4n+9)+1.

(Grytczuk, Luca & Wöjtowicz 2001

)

구성 가능한 폴리곤과의 관계

최대 1000개의 변(굵은 글씨) 또는 홀수 변(빨간색)을 가진 알려진 구성 가능한 폴리곤의 변 수

칼 프리드리히 가우스는 그의 디스퀴지즈 산술에서 가우스 기간의 이론을 발전시켰고, 정다각형 구성 가능성을 위한 충분한 조건을 공식화했다.가우스는 이 조건 또한 필요하다고 말했지만, 증거를 발표하지는 않았다.Pierre Wantzel은 1837년에 필요성의 완전한 증거를 제시했다.그 결과는 가우스-완첼 정리라고 알려져 있다.

n변 정다각형은 n이 2의 거듭제곱의 곱이고 페르마 소수가 구별되는 경우에만 나침반과 직선으로 구성할 수 있다. 즉, n이 n^k₁₂ = 2pp_s...p의 형태이고, 여기서 k, s는 음이 아닌 정수이고_i p는 구별되는 페르마 소수이다.

양의 정수 n은 그 합계 θ(n)가 2의 거듭제곱일 경우에만 상기 형식이다.

페르마 수 적용

의사 난수 생성

페르마 소수는 특히 1 범위 내의 수의 의사 랜덤 시퀀스를 생성하는 데 유용합니다.N. 여기서 N은 2의 거듭제곱입니다.가장 일반적으로 사용되는 방법은 1에서 P - 1 사이의 시드 값을 취하는 것입니다. 여기서 P는 페르마 소수입니다.이제 P의 제곱근보다 크고 원시 근모듈로 P인 숫자 A를 곱합니다(즉, 2차 잔차가 아닙니다).그리고 결과 모듈로 P를 취한다.결과는 RNG의 새로운 값입니다.

V_{j+1}=(A\times V_{j}){\bmod {P}}

j +

V_{j+1}=(A\times V_{j}){\bmod {P}}

=

(

V_{j+1}=(A\times V_{j}){\bmod {P}}

×

V_{j+1}=(A\times V_{j}){\bmod {P}}

)

V_{j+1}=(A\times V_{j}){\bmod {P}}

P {\

displaystyle V_{j+1

}=(

A\times

V_

{j}){\bmod {P}}(

선형 합동 발생기, LANDU 참조)

대부분의 데이터 구조가 2개의 가능한 값을 가진^X 구성원을 가지고 있기 때문에 이것은 컴퓨터 과학에서 유용합니다.예를 들어 바이트에는 256(2⁸)의 값이 있습니다(0~255).따라서 바이트 또는 바이트를 랜덤 값으로 채우려면 1~256의 값을 생성하는 랜덤 번호 생성기를 사용할 수 있습니다. 이 값은 출력 값 -1을 사용하는 바이트입니다.이러한 이유로 매우 큰 페르마 소수는 데이터 암호화에 특히 관심이 있습니다.이 메서드는 P - 1을 반복하면 시퀀스가 반복되므로 의사 난수 값만 생성합니다.승수를 잘못 선택하면 P - 1보다 빨리 시퀀스가 반복될 수 있습니다.

일반화 페르마 수

$a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+b^{2^{\overset {n}{}}}$ $a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+b^{2^{\overset {n}{}}}$ + $a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+b^{2^{\overset {n}{}}}$ $a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+b^{2^{\overset {n}{}}}$ (\ $displaystyle$ a $^{2^{\overset {n}{}}\)$ 형식의 번호! $\!+b^{2^{\overset {n}{}}}}}:$ a $a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+b^{2^{\overset {n}{}}}$ , b의 임의의 공칭 정수 a > b > 0을 일반화 페르마 수라고 한다.홀수 소수 p는 p가 1(mod 4)과 일치하는 경우에만 일반화 페르마 수이다(여기에서는 대소문자 n > 0만을 고려하므로 $2^{2^{0}}\!+1$ = $2^{2^{0}}\!+1$ 2 0 $2^{2^{0}}\!+1$ + $2^{2^{0}}\!+1$ ({ $display style$ 2 $^{2$ ^{0 $}}}\!$ $+1$ }은 $2^{2^{0}}\!+1$ 반례가 아닙니다.)

이⁶⁵⁵³⁶ 형태의 소수가 될 수 있는 예는⁶⁵⁵³⁶ 124 + 57이다(^[12]발레리 쿠리셰프가 발견).

일반 페르마 숫자와 유사하게 2n + 1 $(\displaystyle$ a $^{2^{\overset {n}{}}\!)$ 형태의 일반화 페르마 수를 $a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1$ 것이 일반적입니다. $\!+1$ }은 $a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1$ $a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1$ F(a)로_n 지정됩니다.예를 들어 이 표기법에서는 100,000,001이라는 숫자는 F(10)로₃ 표기됩니다.아래에서는 이 $a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1$ 의 $a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1$ $a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1$ + 1 $({displaystyle$ a $^{2^{\overset$ {n $}{}})$ 로 제한합니다! $\!+1$ 이러한 소수를 "Fermat primes base a"라고 합니다.물론 이 소수점들은 a가 짝수인 경우에만 존재합니다.

n > 0이 필요한 경우, 란다우의 네 번째 문제는 일반화 페르마 소수_n F(a)가 무한히 많은지 여부를 묻습니다.

일반화 페르마 소수

그 원시성을 증명하는 것이 쉽기 때문에, 일반화된 페르마 소수는 최근 몇 년 동안 수 이론 분야에서 연구의 주제가 되었다.오늘날 알려진 가장 큰 소수의 대부분은 일반화 페르마 소수이다.

일반화 페르마 수는 $짝수$ a에 대해서만 소수일 수 있습니다. 왜냐하면 a가 홀수일 $경우$ 모든 일반화 페르마 수는 2로 나누어지기 때문입니다.n을과 가장 작은 소수 Fn({\displaystyle F_{n}(를)}, 4{\displaystyle n>, 4}은 F 5(30){\displaystyle F_{5}(30)}, 또는 3032+1. 게다가 우리는 이상한 기본으로, 반 일반적인 페르마 수는(한 odd에)을 내리기는 2n+12{"절반 페르마 수 일반화" 할 수 있다.\displ $aystyle {frac {a^{2^{n}}\!+1}{2$ 그리고 각 홀수 염기에 대해 최종적으로 절반으로 일반화되는 페르마 소수만 있을 것으로 예상된다.

(목록에서 $a$ 에 대한 일반화 페르마 수( $F_{n}(a)$ ( $a)$ {displaystyle $F_{n}(a$ 는 $a^{2^{n}}\!+1$ 2n $+$ (\ $displaystyle$ a $^2^{n}\!+1$ 이며 $홀수$ a의 경우 ${\frac {a^{2^{n}}\!\!+1}{2}}$ (\ $displaystyle a^2^2^{n})$ 이다. $\!+1}{2$ $a$ 가 홀수 지수를 갖는 완전 거듭제곱일 경우(OEIS의 시퀀스 A070265), 모든 일반화 페르마 수는 대수 인수가 될 수 있으므로 소수가 될 수 없습니다.)

( $F_{n}(a)$ n ( $)$ { $displaystyle F_{n}(a)}$ 이 $F_n(a)$ (가) 소수가 $F_{n}(a)$ $최소$ n $(\displaystyle$ n $)$ 에 $n$ 대해서는 OEIS: A253242 참조).

$a$	$numbers$ n $\displaystyle$ n 그렇게 해서 $)$ { $displaystyle F_{n}(a)}$ 은 $F_n(a)$ (는) 소수입니다.	$a$	$numbers$ n $\displaystyle$ n 그렇게 해서 $)$ { $displaystyle F_{n}(a)}$ 은 $F_n(a)$ (는) 소수입니다.	$a$	$numbers$ n $\displaystyle$ n 그렇게 해서 $)$ { $displaystyle F_{n}(a)}$ 은 $F_n(a)$ (는) 소수입니다.	$a$	$numbers$ n $\displaystyle$ n 그렇게 해서 $)$ { $displaystyle F_{n}(a)}$ 은 $F_n(a)$ (는) 소수입니다.
2	0, 1, 2, 3, 4, ...	18	0, ...	34	2, ...	50	...
3	0, 1, 2, 4, 5, 6, ...	19	1, ...	35	1, 2, 6, ...	51	1, 3, 6, ...
4	0, 1, 2, 3, ...	20	1, 2, ...	36	0, 1, ...	52	0, ...
5	0, 1, 2, ...	21	0, 2, 5, ...	37	0, ...	53	3, ...
6	0, 1, 2, ...	22	0, ...	38	...	54	1, 2, 5, ...
7	2, ...	23	2, ...	39	1, 2, ...	55	...
8	(없음)	24	1, 2, ...	40	0, 1, ...	56	1, 2, ...
9	0, 1, 3, 4, 5, ...	25	0, 1, ...	41	4, ...	57	0, 2, ...
10	0, 1, ...	26	1, ...	42	0, ...	58	0, ...
11	1, 2, ...	27	(없음)	43	3, ...	59	1, ...
12	0, ...	28	0, 2, ...	44	4, ...	60	0, ...
13	0, 2, 3, ...	29	1, 2, 4, ...	45	0, 1, ...	61	0, 1, 2, ...
14	1, ...	30	0, 5, ...	46	0, 2, 9, ...	62	...
15	1, ...	31	...	47	3, ...	63	...
16	0, 1, 2, ...	32	(없음)	48	2, ...	64	(없음)
17	2, ...	33	0, 3, ...	49	1, ...	65	1, 2, 5, ...

b	알려진 일반화(반쪽) 페르마 프라임 베이스 b
2	3, 5, 17, 257, 65537
3	2, 5, 41, 21523361, 926510094425921, 1716841910146256242328924544641
4	5, 17, 257, 65537
5	3, 13, 313
6	7, 37, 1297
7	1201
8	(불가능)
9	5, 41, 21523361, 926510094425921, 1716841910146256242328924544641
10	11, 101
11	61, 7321
12	13
13	7, 14281, 407865361
14	197
15	113
16	17, 257, 65537
17	41761
18	19
19	181
20	401, 160001
21	11, 97241, 1023263388750334684164671319051311082339521
22	23
23	139921
24	577, 331777
25	13, 313
26	677
27	(불가능)
28	29, 614657
29	421, 353641, 125123236840173674393761
30	31, 185302018885184100000000000000000000000000000001
31
32	(불가능)
33	17, 703204309121
34	1336337
35	613, 750313, 330616742651687834074918381127337110499579842147487712949050636668246738736343104392290115356445313
36	37, 1297
37	19
38
39	761, 1156721
40	41, 1601
41	31879515457326527173216321
42	43
43	5844100138801
44	197352587024076973231046657
45	23, 1013
46	47, 4477457, 46⁵¹²+1(852자리: 214787904487...289480994817)
47	11905643330881
48	5308417
49	1201
50

(자세한 것에 대하여는, 을 참조해 주세요(최대 1000의 베이스도 참조).홀수 베이스에 대해서도 참조해 주세요).

( $F_{n}(a,b)$ $F_{n}(a,b)$ n ( $F_{n}(a,b)$ , $F_{n}(a,b)$ ) { $displaystyle$ $F_{n}(a , b$ ) $F_{n}(a,b)$ （ $a+b$ a + $b$ ） $a+b$ ( 、 OEIS : A111635 ）도 참조해 주세요.

$a$	$(\display style b)$	$숫자$ n $(표시 스타일$ n $)$ 은 다음과 $n$ 같습니다. $(\displaystyle {a^{2^{n}}+b^{2})^{n}}{\gcd(a+b,2)}}}(=F_{n}(a,b))}}},$ 프라임
2	1	0, 1, 2, 3, 4, ...
3	1	0, 1, 2, 4, 5, 6, ...
3	2	0, 1, 2, ...
4	1	0, 1, 2, 3, ...
4	3	0, 2, 4, ...
5	1	0, 1, 2, ...
5	2	0, 1, 2, ...
5	3	1, 2, 3, ...
5	4	1, 2, ...
6	1	0, 1, 2, ...
6	5	0, 1, 3, 4, ...
7	1	2, ...
7	2	1, 2, ...
7	3	0, 1, 8, ...
7	4	0, 2, ...
7	5	1, 4, ...
7	6	0, 2, 4, ...
8	1	(없음)
8	3	0, 1, 2, ...
8	5	0, 1, 2, ...
8	7	1, 4, ...
9	1	0, 1, 3, 4, 5, ...
9	2	0, 2, ...
9	4	0, 1, ...
9	5	0, 1, 2, ...
9	7	2, ...
9	8	0, 2, 5, ...
10	1	0, 1, ...
10	3	0, 1, 3, ...
10	7	0, 1, 2, ...
10	9	0, 1, 2, ...
11	1	1, 2, ...
11	2	0, 2, ...
11	3	0, 3, ...
11	4	1, 2, ...
11	5	1, ...
11	6	0, 1, 2, ...
11	7	2, 4, 5, ...
11	8	0, 6, ...
11	9	1, 2, ...
11	10	5, ...
12	1	0, ...
12	5	0, 4, ...
12	7	0, 1, 3, ...
12	11	0, ...
13	1	0, 2, 3, ...
13	2	1, 3, 9, ...
13	3	1, 2, ...
13	4	0, 2, ...
13	5	1, 2, 4, ...
13	6	0, 6, ...
13	7	1, ...
13	8	1, 3, 4, ...
13	9	0, 3, ...
13	10	0, 1, 2, 4, ...
13	11	2, ...
13	12	1, 2, 5, ...
14	1	1, ...
14	3	0, 3, ...
14	5	0, 2, 4, 8, ...
14	9	0, 1, 8, ...
14	11	1, ...
14	13	2, ...
15	1	1, ...
15	2	0, 1, ...
15	4	0, 1, ...
15	7	0, 1, 2, ...
15	8	0, 2, 3, ...
15	11	0, 1, 2, ...
15	13	1, 4, ...
15	14	0, 1, 2, 4, ...
16	1	0, 1, 2, ...
16	3	0, 2, 8, ...
16	5	1, 2, ...
16	7	0, 6, ...
16	9	1, 3, ...
16	11	2, 4, ...
16	13	0, 3, ...
16	15	0, ...

( $F_{n}(a)$ n ( $)$ { $displaystyle F_{n}(a)}$ 이 $F_n(a)$ $F_{n}(a)$ 인 최소 $짝수$ a에 대해서는 OEIS: A056993 참조).

$n$	( $F_{n}(a)$ { $displaystyle F_{n}(a$ )}이 $F_{n}(a)$ ( $가$ ) 소수가 $F_{n}(a)$ $a$ 를 기준으로 합니다.	OEIS 시퀀스
0	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, ...	A006093
1	2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90, 94, 110, 116, 120, 124, 126, 130, 134, 146, 150, 156, 160, 170, 176, 180, 184, ...	A005574
2	2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228, ...	A000068
3	2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782, ...	A006314
4	2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, 396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642, ...	A006313
5	30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884, 1068, 1142, 1198, 1306, 1540, 1568, ...	A006315
6	102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728, 1084, 1094, 1108, 1120, 1200, 1558, 1566, 1630, 1804, 1876, 2094, 2162, 2164, 2238, 2336, 2388, ...	A006316
7	120, 190, 234, 506, 532, 548, 960, 1738, 1786, 2884, 3000, 3420, 3476, 3658, 4258, 5788, 6080, 6562, 6750, 7692, 8296, 9108, 9356, 9582, ...	A056994
8	278, 614, 892, 898, 1348, 1494, 1574, 1938, 2116, 2122, 2278, 2762, 3434, 4094, 4204, 4728, 5712, 5744, 6066, 6508, 6930, 7022, 7332, ...	A056995
9	46, 1036, 1318, 1342, 2472, 2926, 3154, 3878, 4386, 4464, 4474, 4482, 4616, 4688, 5374, 5698, 5716, 5770, 6268, 6386, 6682, 7388, 7992, ...	A057465
10	824, 1476, 1632, 2462, 2484, 2520, 3064, 3402, 3820, 4026, 6640, 7026, 7158, 9070, 12202, 12548, 12994, 13042, 15358, 17646, 17670, ...	A057002
11	150, 2558, 4650, 4772, 11272, 13236, 15048, 23302, 26946, 29504, 31614, 33308, 35054, 36702, 37062, 39020, 39056, 43738, 44174, 45654, ...	A088361
12	1534, 7316, 17582, 18224, 28234, 34954, 41336, 48824, 51558, 51914, 57394, 61686, 62060, 89762, 96632, 98242, 100540, 101578, 109696, ...	A088362
13	30406, 71852, 85654, 111850, 126308, 134492, 144642, 147942, 150152, 165894, 176206, 180924, 201170, 212724, 222764, 225174, 241600, ...	A226528
14	67234, 101830, 114024, 133858, 162192, 165306, 210714, 216968, 229310, 232798, 422666, 426690, 449732, 462470, 468144, 498904, 506664, ...	A226529
15	70906, 167176, 204462, 249830, 321164, 330716, 332554, 429370, 499310, 524552, 553602, 743788, 825324, 831648, 855124, 999236, 1041870, ...	A226530
16	48594, 108368, 141146, 189590, 255694, 291726, 292550, 357868, 440846, 544118, 549868, 671600, 843832, 857678, 1024390, 1057476, 1087540, ...	A251597
17	62722, 130816, 228188, 386892, 572186, 689186, 909548, 1063730, 1176694, 1361244, 1372930, 1560730, 1660830, 1717162, 1722230, 1766192, ...	A253854
18	24518, 40734, 145310, 361658, 525094, 676754, 773620, 1415198, 1488256, 1615588, 1828858, 2042774, 2514168, 2611294, 2676404, 3060772, ...	A244150
19	75898, 341112, 356926, 475856, 1880370, 2061748, 2312092, ...	A243959
20	919444, 1059094, ...	A321323

b + 1이 소수인^2ⁿ 최소 기저 b는 다음과 같다.

2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, ... (OEIS의 시퀀스 A056993)

(2n)^k + 1이 소수인 가장 작은 k는 다음과 같다.

1, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 4, 1, ... (다음 용어는 불명) (OEIS의 시퀀스 A079706) ('OEIS: A228101 및 OEIS: A0812'도 참조)

$보다$ 정교한 이론을 사용하여 고정n $displaystyle$ $F_{n}(a)$ 에 대해 F $(\displaystyle$ F_{n}(a))이 $F_n(a)$ 소수가 되는 베이스 수를 예측할 수 있습니다.일반화 페르마 소수는 n $(\displaystyle$ n $)$ 이 $n$ 1 증가하면 $대략$ 절반으로 줄어들 것으로 예상할 수 있다.

알려진 가장 큰 일반화 페르마 소수

다음은 알려진 가장 큰 5개의 일반화 페르마 ^[16]소수 목록입니다.PrimeGrid 프로젝트 참가자는 상위 5개 항목을 모두 발견했습니다.

순위	소수	일반화 페르마 표기법	자릿수	검출일	참조.
1	1059094^1048576 + 1	F₂₀(1059094)	6,317,602	2018년 11월	^[17]
2	919444^1048576 + 1	F₂₀(919444)	6,253,210	2017년 9월	^[18]
3	4896418⁵²⁴²⁸⁸ + 1	F₁₉(4896418)	3,507,424	2022년 5월	^[19]
4	3638450⁵²⁴²⁸⁸ + 1	F₁₉(3638450)	3,439,810	2020년 5월	^[20]
5	9 × 2^11366286 + 1	F₁(3 × 2^5683143)	3,421,594	2020년 3월	^[21]

Prime Pages에서는 현재 일반화된 상위 100개의 페르마 소수를 찾을 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

구성 가능한 폴리곤: 어떤 규칙적인 폴리곤이 구성 가능한지는 부분적으로 페르마 소수에 따라 달라집니다.
이중 지수 함수
루카스의 정리
메르센 소수
피어퐁 소수
프라이머리 테스트
프로스의 정리
의사 시간
시에르핀스키 수
실베스터 수열

메모들

^ Kíijek, Luca & Somer 2001, 38페이지, 비고 4.15
^ Chris Caldwell, "Prime Links+: 특수 양식" 2013-12-24년 더 프라임 페이지의 웨이백 머신에 보관.
^ 리벤보임 1996, 페이지 88
^ ^a ^b ^c Keller, Wilfrid (January 18, 2021), "Prime Factors of Fermat Numbers", ProthSearch.com, retrieved January 19, 2021
^ Boklan, Kent D.; Conway, John H. (2017). "Expect at most one billionth of a new Fermat Prime!". 39 (1): 3–5. arXiv:1605.01371. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
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^ 1059094^1048576 + 1
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^ 4896418⁵²⁴²⁸⁸ + 1
^ 3638450⁵²⁴²⁸⁸ + 1
^ 9 · 2^11366286 + 1

레퍼런스

Golomb, S. W. (January 1, 1963), "On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities", Canadian Journal of Mathematics, 15: 475–478, doi:10.4153/CJM-1963-051-0, S2CID 123138118
Grytczuk, A.; Luca, F. & Wójtowicz, M. (2001), "Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers", Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 25 (1): 111–115, doi:10.1007/s10012-001-0111-4, S2CID 122332537
Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics, vol. 1 (3rd ed.), New York: Springer Verlag, pp. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2
Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2001), 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, CMS books in mathematics, vol. 10, New York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8 - 이 책에는 다양한 참고 문헌이 수록되어 있습니다.
Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2002), "On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers", Journal of Number Theory, 97 (1): 95–112, doi:10.1006/jnth.2002.2782
Luca, Florian (2000), "The anti-social Fermat number", American Mathematical Monthly, 107 (2): 171–173, doi:10.2307/2589441, JSTOR 2589441
Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
Robinson, Raphael M. (1954), "Mersenne and Fermat Numbers", Proceedings of the American Mathematical Society, 5 (5): 842–846, doi:10.2307/2031878, JSTOR 2031878
Yabuta, M. (2001), "A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors" (PDF), Fibonacci Quarterly, 39: 439–443

외부 링크

Chris Caldwell, Prime Glossary: 프라임 페이지의 페르마 넘버.
루이지 모렐리, 페르마 수의 역사
존 코스그라브, 메르센과 페르마 수의 통일
윌프리드 켈러, 페르마 수 소인자
Weisstein, Eric W. "Fermat Number". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Fermat Prime". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Generalized Fermat Number". MathWorld.
이브 갈로, 일반화 페르마 프라임 서치
Mark S. Manasse, 9번째 페르마 수의 완전 인수분해(원래 발표)
Peyton Hayslette, 알려진 가장 큰 일반화 페르마 프라임 발표

[1] Kíijek, Luca & Somer 2001, 38페이지, 비고 4.15

[2] Chris Caldwell, "Prime Links+: 특수 양식" 2013-12-24년 더 프라임 페이지의 웨이백 머신에 보관.

[3] 리벤보임 1996, 페이지 88

[Keller-4] Keller, Wilfrid (January 18, 2021), "Prime Factors of Fermat Numbers", ProthSearch.com, retrieved January 19, 2021

[5] Boklan, Kent D.; Conway, John H. (2017). "Expect at most one billionth of a new Fermat Prime!". 39 (1): 3–5. arXiv:1605.01371. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)

[6] Sandifer, Ed. "How Euler Did it" (PDF). MAA Online. Mathematical Association of America. Retrieved 2020-06-13.

[7] ":: F E R M A T S E A R C H . O R G :: Home page". www.fermatsearch.org. Retrieved 7 April 2018.

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[9] Krizek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (14 March 2013). 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 9780387218502. Retrieved 7 April 2018 – via Google Books.

[10] Jeppe Stig Nielsen, "S(n) = n^n + 1"

[11] Weisstein, Eric W. "Sierpiński Number of the First Kind". MathWorld.

[12] PRP Top Records, Henri & Renaud Lifchitz의 x^(2^16)+y^(2^16)를 검색합니다.

[13] "Generalized Fermat Primes". jeppesn.dk. Retrieved 7 April 2018.

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[Top_Twenty's_Generalized_Fermat_Primes-16] Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Generalized Fermat". The Prime Pages. Retrieved 11 July 2019.

[17] 1059094^1048576 + 1

[18] 919444^1048576 + 1

[19] 4896418⁵²⁴²⁸⁸ + 1

[20] 3638450⁵²⁴²⁸⁸ + 1

[21] 9 · 2^11366286 + 1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[7]

[8]

[10]

[11]

[12]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

v t 소수 클래스
공식에 의한	페르마 ( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센 $(2 p$ - 1) $더블 2 p -1$ 메르센(2 - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로스( $k \cdot2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 초기( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스어 ( $4n$ + $1$ ) 피어폰트( $2 m \cdot3 n +1$ ) 쿼탄( $x 4$ + $y 4$ ) 솔리나(2 ± $2 m$ ± $1 n$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) 우돌( $n \cdot2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3$ - $y 3)/(x$ - $y$ ) 레이랜드 ( $x y$ + $y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) 윌리엄스(( $b-1)\cdotb-1 n$ ) 밀스( $A 3 n)$
정수순서별	피보나치 루카스 펠 뉴먼 생크스 윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
속성별	비페리히(페어) 벽-태양-태양 볼스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 규칙적인. 강한. 스턴 슈퍼싱귤러(엘리전트 곡선) 초대칭(문신 이론) 좋아요. 잘 하는 군요 힉스 고공역성
베이스 의존	회문 에미르프 유닛 $(10 n$ - $1)/9$ 치환 가능 원형 잘라낼 수 있다 최소 연약한 원시 전체 파충류 독특한 행복해 자신 스마란다슈웰린 스트로보그라마틱 이면체 테트라디크
패턴	트윈 ( $p, p$ + $2$ ) 쌍방향 체인( $n \pm 1$ , $2n \pm 1$ , $4n \pm 1$ , $\dots)$ 삼중항( $p, p$ + 2 $또는$ p + $4,$ p + $6$ ) 4중항( $p, p$ + 2 $, p$ + $6,$ p + $8$ ) k태플 사촌 ( $p, p$ + $4$ ) 섹시 ( $p, p$ + $6$ ) 첸 Sophie Germain / Safe ( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p \pm 1$ , $4p \pm 3$ , $8p$ $\pm 7$ , $...)$ 산술 수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0, 1, 2, 3$ , $...)$ 밸런스( $연속$ p - $n,$ $p, p$ + $n$ )
크기별	메가(1,000,000자리 이상) 알려진 최대 크기
복소수	아이젠슈타인 소수 가우스 프라임
합성수	의사 시간 카탈로니아어 타원형 오일러 오일러-야코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머-루카스 강한. 카마이클 수 거의 프라임 세미프라임 인터프라임 유해.
관련 토픽	개연소수 산업용 프라임 부정한 소수 소수 공식 프라임 갭
처음 60개의 소수점	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
소수 목록

v t 피에르 드 페르마
일하다.	페르마의 마지막 정리 페르마 수 페르마의 원리 페르마의 소정리 페르마 다각형 수 정리 페르마 유사 프리미 페르마점 페르마의 정리(정지점) 두 제곱합에 대한 페르마의 정리 페르마의 나선 페르마의 직각 삼각형 정리
관련된	피에르 드 페르마의 이름을 딴 것 목록 와일스의 페르마의 마지막 정리 증명 페르마의 소설 속 마지막 정리 페르마상 페르마의 마지막 탱고(2000년 뮤지컬) 페르마의 마지막 정리 (인기과학서적)

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페르마 수

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목차

기본 속성

기타 속성

페르마 수의 원시성

휴리스틱한 주장

동등한 프라이머리 조건

페르마 수 인수분해

의사소수 및 페르마 수

페르마 수에 관한 다른 이론들

구성 가능한 폴리곤과의 관계

페르마 수 적용

의사 난수 생성

일반화 페르마 수

일반화 페르마 소수

알려진 가장 큰 일반화 페르마 소수

「」를 참조해 주세요.

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기본 속성

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구성 가능한 폴리곤과의 관계

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