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랜덤성

Randomness
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통계에 관한 시리즈의 일부
확률론
Standard deviation diagram micro.svg
의사 난수 생성 비트맵

일반적으로 랜덤성은 사건의 [1][2]패턴이나 예측 가능성이 명백하거나 실제로 부족한 것입니다.이벤트, 기호 또는 스텝의 랜덤 시퀀스는 순서가 없고 이해할 수 있는 패턴이나 조합을 따르지 않는 경우가 많습니다.개별 랜덤 사건은 정의상 예측할 수 없지만 확률 분포가 알려진 경우 반복 사건(또는 "삼항")에 걸쳐 서로 다른 결과의 빈도를 예측할 [note 1]수 있습니다.예를 들어 주사위 2개를 던질 때 특정 롤의 결과는 예측할 수 없지만 7의 합계는 4의 두 배만큼 발생하는 경향이 있습니다.이 관점에서 무작위성은 무작위성이 아니다; 그것은 결과의 불확실성의 척도이다.무작위성은 우연, 확률, 정보 엔트로피의 개념에 적용된다.

수학, 확률, 통계학 분야는 무작위성에 대한 공식적인 정의를 사용합니다.통계학에서 랜덤 변수는 사건 공간의 가능한 각 결과에 대한 숫자 값의 할당입니다.이 연관성은 사건의 식별과 확률 계산을 용이하게 한다.랜덤 변수는 랜덤 시퀀스로 나타날 수 있습니다.랜덤 프로세스는 결과가 결정론적 패턴을 따르지 않고 확률 분포에 의해 설명된 진화를 따르는 랜덤 변수의 시퀀스입니다.이것들과 다른 구성들은 확률 이론과 무작위성의 다양한 적용에서 매우 유용하다.

랜덤성은 통계에서 잘 정의된 통계 특성을 나타내기 위해 가장 많이 사용됩니다.몬테카를로 방법은 (난수 발생기 또는 의사난수 발생기와 같은) 랜덤 입력에 의존하는 과학, 특히 계산 과학 [3]분야에서 중요한 기술이다.유추적으로, 준 몬테 카를로 방법은 준난수 발생기를 사용한다.

랜덤 선택은 단순 랜덤 표본과 좁게 관련되어 있는 경우 특정 항목을 선택할 확률이 모집단에서 해당 항목의 비율인 모집단에서 항목(종종 단위라고 함)을 선택하는 방법입니다.예를 들어, 10개의 빨간색 구슬과 90개의 파란색 구슬이 들어 있는 그릇에서는 랜덤 선택 메커니즘이 확률 1/10의 빨간색 구슬을 선택합니다.이 볼에서 10개의 구슬을 선택한 임의 선택 메커니즘이 반드시 1개의 빨간색과 9개의 파란색이 되는 것은 아닙니다.모집단이 구별 가능한 항목으로 구성된 상황에서, 무작위 선택 메커니즘은 선택될 모든 항목에 대해 동일한 확률을 요구한다.즉, 모집단의 각 구성원, 예를 들어 연구 대상자가 선택될 확률이 동일하다면,[2] 선택 과정은 무작위라고 할 수 있다.

램지 이론에 따르면, 특히 큰 구조에서는 순수한 무작위성이 불가능하다.수학자 테오도르 모츠킨은 "일반적으로 무질서가 발생할 가능성이 높지만, 완전한 무질서는 불가능하다"[4]고 제안했다.이를 오해하면 수많은 음모론이 [5]나올 수 있다.크리스티안 S. 칼루드는 "진정한 무작위성의 불가능성을 고려할 때, 그 노력은 무작위성의 정도를 연구하기 위한 것이다"[6]라고 말했다.랜덤성 [6]형태의 무한 계층(품질 또는 강도 측면에서)이 있다는 것을 증명할 수 있습니다.

역사

주요 기사:무작위 이력
폼페이에 있는 주사위 플레이어의 고대 프레스코입니다.

고대 역사에서는 우연과 우연의 개념이 운명의 개념과 얽혀 있었다.많은 고대인들이 운명을 결정하기 위해 주사위를 던졌고, 이것은 나중에 운명의 게임으로 발전했다.대부분의 고대 문화는 무작위성과 [7][8]운명을 피하기 위해 다양한 점괘 방법을 사용했다.종교와 우연의 게임을 넘어, 무작위성은 적어도 고대 아테네의 민주주의 이후 클로테리온의 [9]형태로 분류되어 왔다.

확률과 우연의 공식화는 아마도 3000년 전 중국에 의해 가장 먼저 이루어졌을 것이다.그리스 철학자들은 무작위성에 대해 장황하게 논의했지만, 오직 비양적 형태로만 논의했다.이탈리아 수학자들이 다양한 운명의 게임과 관련된 확률을 공식화하기 시작한 것은 16세기였다.미적분의 발명은 무작위성에 대한 공식적인 연구에 긍정적인 영향을 미쳤다.1888년 그의 책 "기회의 논리"에서, John Venn은 [10]2차원으로 무작위로 걷는 것을 구성하기 위해 파이 자릿수의 무작위성에 대한 그의 관점을 포함하는 무작위성의 개념에 관한 장을 썼습니다.

20세기 초반에는 확률의 수학적 기초에 대한 다양한 접근법이 도입되면서 무작위성의 형식적인 분석이 빠르게 성장하였다.20세기 중후반, 알고리즘 정보 이론의 아이디어는 알고리즘 무작위성의 개념을 통해 이 분야에 새로운 차원을 도입했다.

비록 무작위성은 수 세기 동안 종종 장애물과 골칫거리로 여겨졌지만, 20세기에 컴퓨터 과학자들은 무작위성의 의도적인 도입이 더 나은 알고리즘을 설계하는 데 효과적인 도구가 될 수 있다는 것을 깨닫기 시작했다.경우에 따라서는 그러한 랜덤화 알고리즘이 최선의 결정론적 [11]방법을 능가하기도 한다.

과학에서

많은 과학 분야가 무작위성과 관련되어 있습니다.

자연과학 분야

19세기에 과학자들은 열역학에서의 현상과 가스의 특성을 설명하기 위해 통계역학의 발전에 분자의 무작위 운동 개념을 사용했다.

양자역학의 몇 가지 표준 해석에 따르면, 현미경 현상은 객관적으로 [12]무작위이다.즉, 인과 관계가 있는 모든 매개변수를 제어하는 실험에서 결과의 일부 측면이 여전히 랜덤하게 변한다.예를 들어, 단일 불안정한 원자가 제어된 환경에 배치될 경우, 원자가 붕괴하는 데 얼마나 걸릴지는 예측할 수 없습니다. 주어진 [13]시간 내에 붕괴될 확률만 있을 뿐입니다.따라서 양자역학은 개별 실험의 결과를 규정하지 않고 확률만을 규정한다.숨겨진 변수 이론은 자연이 환원할 수 없는 무작위성을 포함하고 있다는 관점을 거부한다: 그러한 이론은 랜덤으로 보이는 과정에서, 특정한 통계적 분포를 가진 속성이 뒤에서 작용하여 각각의 경우에 결과를 결정한다고 가정한다.

생물학에서

현대의 진화적 합성은 관찰된 생명의 다양성을 무작위 유전자 돌연변이에 따른 자연 도태로 돌린다.후자는 유전자 풀에서 무작위 돌연변이를 유지하는데, 그 돌연변이가 있는 유전자들이 그것들을 소유한 개인들에게 주는 생존과 번식을 위한 체계적으로 개선된 기회 때문이다.돌연변이의 위치는 완전히 무작위적인 것은 아니지만, 예를 들어 생물학적으로 중요한 영역이 [14][15][16]돌연변이로부터 더 보호될 수 있다.

몇몇 저자들은 또한 진화(그리고 때로는 발전)는 특정한 형태의 무작위성, 즉 질적으로 새로운 행동의 도입이 필요하다고 주장한다.미리 주어진 몇 가지 가능성 중에서 하나의 가능성을 선택하는 대신, 이 무작위성은 새로운 [17][18]가능성을 형성하는 것에 해당합니다.

유기체의 특성은 어느 정도 결정적으로(예를 들어, 유전자와 환경의 영향 하에서) 그리고 어느 정도 무작위적으로 발생한다.예를 들어, 사람의 피부에 나타나는 주근깨의 농도는 유전자와 빛에 노출되는 것에 의해 조절되는 반면, 개별 주근깨의 정확한 위치는 [19]무작위로 보입니다.

행동에 관한 한, 동물이 다른 사람들에게 예측할 수 없는 방식으로 행동하려면 무작위성이 중요하다.예를 들어, 날고 있는 곤충들은 방향을 무작위로 바꾸면서 이동하는 경향이 있어서 포식자들을 쫓는 것이 그들의 궤적을 예측하는 것을 어렵게 만든다.

수학에서

확률의 수학적 이론은 우연한 사건에 대한 수학적인 묘사를 공식화하려는 시도에서 비롯되었는데, 원래는 도박의 맥락에서, 그러나 나중에는 물리학과 관련되어 있었다.통계량은 경험적 관측치 집합의 기본 확률 분포를 추론하는 데 사용됩니다.시뮬레이션을 위해서는 난수를 대량으로 공급하거나 온디맨드 방식으로 생성할 필요가 있습니다.

알고리즘 정보 이론은 특히 랜덤 시퀀스를 구성하는 것을 연구한다.비트열은 그 문자열을 생성할 수 있는 컴퓨터 프로그램(Kolmogorov randomness)보다 짧은 경우에만 랜덤하다는 것이 중심적인 생각입니다.즉, 랜덤 문자열은 압축할 수 없는 문자열입니다.이 분야의 선구자들은 Andrey Kolmogorov와 그의 제자 Per Martin-Löf, Ray Solomonof, Gregory Chaitin을 포함합니다.무한수열의 개념에 대해 수학자들은 일반적으로 Per Martin-Löf의 반익명 정의를 받아들인다.무한 시퀀스는 재귀적으로 열거할 수 있는 null [20]집합을 모두 견딜 수 있는 경우에만 랜덤입니다.랜덤 시퀀스의 다른 개념으로는 재귀적 랜덤성과 Schnorr 랜덤성이 있는데, 이는 재귀적으로 계산 가능한 마팅게일에 기초한다.이러한 무작위성의 개념은 일반적으로 [21]다르다는 것을 왕융게에 의해 증명되었다.

랜덤성은 log(2) 및 pi와 같은 숫자로 발생합니다.파이의 소수 자릿수는 무한 시퀀스를 구성하며 "순환적인 방식으로 절대 반복되지 않습니다."파이와 같은 숫자도 정규 분포를 따를 가능성이 높은 것으로 간주됩니다.

파이는 확실히 이런 식으로 행동하는 것 같다.파이의 처음 60억 자릿수에서 0에서 9까지의 각 자릿수는 약 6억 번 나타납니다.그러나 이러한 결과는 우발적일 수 있지만, 다른 숫자 [22]기준의 정규성은 훨씬 더 낮으며, 베이스 10에서도 정규성을 증명하지 못한다.

통계 정보

주요 기사:통계적 무작위성
참고 항목: 랜덤 오류

통계에서 랜덤성은 단순 랜덤 표본을 생성하는 데 일반적으로 사용됩니다.이를 통해 완전히 무작위적인 사람들 그룹에 대한 조사를 통해 모집단을 반영하는 현실적인 데이터를 제공할 수 있다.이를 위한 일반적인 방법으로는 모자에서 이름을 그리거나 랜덤 숫자 차트(랜덤 숫자로 구성된 큰 테이블)를 사용하는 방법이 있습니다.

정보과학 분야

정보과학에서는 무관하거나 의미가 없는 데이터를 노이즈로 간주한다.노이즈는 통계적으로 무작위화된 시간 분포를 가진 수많은 일시적인 장애로 구성됩니다.

통신 이론에서, 신호의 무작위성은 "노이즈"라고 불리며, 소스에 기인하는 변화의 구성요소인 신호에 반대됩니다.

랜덤 네트워크의 개발에 관해서, 통신의 랜덤성은, 폴·에르데스와 알프레드·레니의 2개의 간단한 가정에 근거하고 있습니다.이 가정에서는, 노드의 수는 네트워크의 수명 동안 고정되어 있어 모든 노드가 같으며,[clarification needed][23] 서로 랜덤하게 링크되어 있다고 합니다.

재무 부문

랜덤 워크 가설은 조직화된 시장의 자산 가격이 변동의 기대값은 0이지만 실제 가치는 양수 또는 음수로 나타날 수 있다는 점에서 무작위로 진화하는 것을 고려한다.보다 일반적으로 자산가격은 일반적인 경제환경에서 예측할 수 없는 다양한 사건의 영향을 받는다.

정치에서

무작위 선택은 일부 [24]관할 구역에서 동수 선거를 해결하기 위한 공식 방법이 될 수 있다.정치에서 그것의 사용은 오래전에 시작되었다.고대 아테네의 많은 사무실들은 현대의 투표 대신 추첨으로 선택되었다.

무작위성과 종교

무작위성은 모든 과거와 미래의 사건을 알고 있는 전지적 신에 의해 우주가 창조되는 것과 같은 일부 종교의 결정론적 사상과 상충하는 것으로 볼 수 있다.만약 우주가 목적을 가지고 있다고 여겨진다면, 무작위성은 불가능으로 보일 수 있다.이것은 무작위 유전자 변이의 결과에 비랜덤 선택이 적용된다는 진화에 대한 종교적 반대 이유 중 하나이다.

힌두교와 불교 철학은 어떤 사건도 업보의 개념에서 반영되었듯이 이전의 사건들의 결과라고 말한다.따라서, 이 개념은 무작위성의 개념과 이상하며, 둘 사이의 어떠한 조화도 설명이 [25]필요할 것이다.

일부 종교적 맥락에서는, 일반적으로 무작위자로 인식되는 절차가 점괘에 사용된다.성직자는 뼈나 주사위를 던져 신들의 의지로 보이는 것을 드러낸다.

적용들

주요 기사:랜덤성 적용

그것의 수학적, 정치적, 사회적, 종교적 용도의 대부분에서, 무작위성은 그것의 타고난 "공정성"과 편견의 결여로 사용된다.

정치:아테네의 민주주의는 이소노미아(정치적 권리의 평등)의 개념에 기반을 두고 있었으며 아테네를 운영하는 통치 위원회에서 자리가 공평하게 배분되도록 하기 위해 복잡한 할당 시스템을 사용했다.배정은 현재 앵글로색슨 법 체계에서 배심원 선발로 제한되고 있으며 배심원 선발이나 병역 복권 등 무작위화에 의해 공정성이 근사하게 평가되고 있다.

게임: 난수는 도박의 맥락에서 처음 조사되었고 주사위, 카드 섞기, 룰렛 바퀴와 같은 많은 난수 장치들이 도박에서 사용하기 위해 처음 개발되었습니다.전자 도박에서는 난수를 공정하게 산출하는 능력이 필수적이며, 따라서 난수를 작성하는 방법은 보통 정부 게임 제어 위원회에 의해 규제됩니다.복권 당첨자를 결정하기 위해 무작위 추첨도 사용된다.사실, 무작위성은 역사를 통틀어 우연의 게임에 사용되어 왔고, 공정하게 원치 않는 일에 대한 개인을 선별하기 위해 사용되었다. (지푸라기 그리기 참조).

스포츠: 미식축구를 포함한 일부 스포츠는 동전 던지기를 사용하여 경기의 출발 조건을 무작위로 선택하거나 포스트시즌 경기를 위해 시드 동점 팀을 선발합니다.전미 농구 협회(NBA)는 드래프트에서 팀들을 주문하기 위해 가중 복권을 사용한다.

수학: 난수는 또한 여론조사 및 품질관리 시스템의 통계적 샘플링과 같이 수학적으로 중요한 경우에도 사용됩니다.일부 유형의 문제에 대한 계산 솔루션은 몬테카를로 방법 및 유전 알고리즘에서와 같이 난수를 광범위하게 사용한다.

의약품: 임상 개입의 무작위 할당은 통제된 시험(예: 무작위 통제된 시험)의 편견을 줄이기 위해 사용된다.

종교:비록 무작위로 의도된 것은 아니지만, 성직과 같은 다양한 형태의 점괘는 그들의 의지를 전달하는 신의 수단으로 무작위적인 사건으로 보이는 것을 본다.

시대

주요 기사 : 난수 생성
룰렛의 공은 초기 조건에 매우 민감하기 때문에 명백한 무작위성의 원천으로 사용될 수 있습니다.

일반적으로 시스템에서 랜덤 동작을 담당하는 메커니즘은 다음 3가지가 있습니다.

  1. 환경에서 발생하는 랜덤성(예를 들어 브라운 운동, 하드웨어 난수 생성기).
  2. 초기 조건에서 발생하는 무작위성입니다.이 양상은 카오스 이론에 의해 연구되며, 초기 조건의 작은 변화(파칭코 기계나 주사위 등)에 매우 민감한 시스템에서 관찰된다.
  3. 시스템에 의해 본질적으로 생성되는 랜덤성.이것은 의사 난수 생성기로 사용되는 유사 난수 생성기라고도 합니다.의사난수 생성에는 많은 알고리즘(산술 또는 셀룰러 오토마톤에 기반)이 있습니다.시스템의 동작은 시드 상태와 사용되는 알고리즘을 알고 있으면 알 수 있습니다.이러한 방법은 대개 환경에서 "진정한" 랜덤성을 얻는 것보다 더 빠릅니다.

랜덤성의 많은 적용으로 인해 랜덤 데이터를 생성하기 위한 다양한 방법이 생겨났습니다.이러한 방식은 예측 불가능한 수준 또는 통계적으로 랜덤한 수준이며 랜덤한 번호를 생성할 수 있는 속도에 따라 달라질 수 있습니다.

계산 난수 발생기가 등장하기 전에는 (통계에서 중요한) 충분히 많은 양의 난수를 생성하는 데 많은 작업이 필요했다.결과가 수집되어 난수 테이블로 배포되는 경우도 있습니다.

측정 및 테스트

주요 기사: 랜덤성 테스트

이항 수열에는 많은 실용적인 랜덤성 측정이 있습니다.여기에는 Kak, Phillips, Yuen, Hopkins, Beth and Dai, Mund 및 Marsaglia와 Zaman의 [26]테스트와 같이 빈도, 이산 변환, 복잡도 또는 이들의 혼합에 기초한 측정이 포함된다.

양자 논로컬리티는 주어진 [27]숫자의 문자열에 진짜 또는 강한 형태의 랜덤성이 존재함을 증명하기 위해 사용되어 왔다.

오해와 논리적 오류

전기적 결함으로 인해 표시된 오디오 앰프의 입력 셀렉터가 랜덤으로 빠르게 전환됩니다.그러나 이는 인간이 과학적 감시를 거쳐야만 인식할 수 있는 체계를 따를 수 있다.
주요 기사: 갬블러의 오류

무작위성에 대한 일반적인 인식은 종종 오인되고 종종 잘못된 추론이나 직관에 기초한다.

오류: 숫자는 "due"입니다.

다음 항목도 참조하십시오.쿠폰 수집가 문제

이 주장은 "무작위적인 숫자의 선택에서, 결국 모든 숫자가 나타나기 때문에, 아직 나타나지 않은 숫자들은 '만기'이기 때문에, 곧 나올 가능성이 더 높다"는 것이다.이 논리는, 카드 카드를 뽑아, 덱에 반환하지 않는 등, 표시된 번호가 시스템에서 삭제되는 시스템에만 적용됩니다.이 경우 잭을 덱에서 분리하면 다음 드로우는 잭이 될 가능성이 낮아지고 다른 카드가 될 가능성이 높아집니다.그러나 잭을 덱으로 되돌려 덱을 완전히 교체하면 다른 카드와 마찬가지로 잭이 뽑힐 가능성이 높아집니다.다이의 롤, 동전 던지기 또는 대부분의 로또 번호 선택 방식 등 오브젝트가 독립적으로 선택되고 각 이벤트 후에 아무것도 제거되지 않는 다른 프로세스에도 동일하게 적용됩니다.이와 같이 정말로 랜덤한 프로세스에는 메모리가 없기 때문에 과거의 결과가 미래의 결과에 영향을 미치는 것은 불가능합니다.사실 성공을 보장할 수 있는 시험 횟수는 한정되어 있지 않다.

오류: 숫자가 "저주" 또는 "축복"됨

다음 항목도 참조하십시오.벤포드의 법칙

랜덤한 숫자의 순서에서는, 과거에 자주 출현하지 않았기 때문에, 장래에는 발생 빈도가 낮아졌다고 생각되기 때문에, 저주라고 말할 수 있다.숫자는 과거에 다른 숫자보다 더 자주 발생했기 때문에 축복받은 숫자라고 가정할 수 있으며, 따라서 미래에 더 자주 나타날 것으로 생각됩니다.이 논리는 무작위화가 편향될 수 있는 경우에만 유효하다. 예를 들어 다이가 적재된 것으로 의심되는 경우 충분한 6분의 1을 굴리지 못한 것이 하중의 증거가 될 수 있다.금형이 공정한 것으로 알려진 경우 이전 롤은 미래의 이벤트를 나타낼 수 없습니다.

본질적으로, 사건은 선험적으로 알려진 빈도로 발생하는 경우가 거의 없기 때문에, 결과를 관찰하여 어떤 사건이 더 가능성이 높은지 결정하는 것이 타당하다.단, 이 논리를 셰이프 카드, 주사위, 룰렛 휠 등 모든 결과를 동등하게 하도록 설계 및 알려진 시스템에 적용하는 것은 잘못된 것입니다.

오류: 확률은 결코 동적이지 않다

시나리오의 초기에는 특정 사건의 확률을 계산할 수 있습니다.그러나 시나리오에 대한 더 많은 정보를 얻으면 그에 따라 확률을 다시 계산해야 할 수 있다.

몬티 홀 문제에서 호스트가 염소가 들어 있는 하나의 문을 열면 확률 계산에 고려해야 하는 새로운 정보를 제공합니다.

예를 들어, 한 여성이 두 아이가 있다는 말을 들었을 때, 한 명은 그들 중 한 명이 여자인지, 그리고 만약 그렇다면 다른 한 명의 아이도 여자일 확률이 어느 정도인지 알고 싶어할 수 있습니다.두 사건을 독립적으로 고려할 때, 다른 아이가 여성일 확률은 ((50%)이라고 예상할 수 있지만, 가능한 모든 결과를 나타내는 확률 공간을 구축함으로써 실제로 확률은 ((33%)에 불과하다는 것을 알 수 있다.

확실히, 확률 공간은 이 두 아이를 갖는 네 가지 방법을 보여준다: 남자아이, 여자아이, 남자아이, 여자아이.하지만 일단 아이들 중 적어도 한 명이 여자라는 것이 알려지면, 이것은 남자-여자, 여자-여자, 여자-여자 세 가지 방법만을 남기며 남자-남자 시나리오를 배제한다.이것으로부터, 다른 아이도 여자아이인[28] 것을 알 수 있다(자세한 것은 남자아이 또는 여자아이 패러독스 참조).

일반적으로 확률 공간을 사용함으로써 가능한 시나리오를 놓치거나 새로운 정보의 중요성을 무시할 가능성이 낮아집니다.이 기술은 몬티홀 문제, 세 개의 문 중 한 문 뒤에 차가 숨겨지는 게임쇼 시나리오, 그리고 다른 문 뒤에 두 마리의 염소가 부비 상품으로 숨겨지는 게임쇼 시나리오와 같은 다른 상황에서 통찰력을 제공하기 위해 사용될 수 있다.참가자가 문을 선택한 후, 호스트는 나머지 문 중 하나를 열어 염소를 드러내고, 그 문은 선택 사항으로 제외합니다.문이 두 개밖에 남지 않은 상태에서(한 개는 자동차, 다른 한 개는 염소) 플레이어는 결정을 지키거나 다른 문을 바꿔서 선택해야 합니다.직관적으로, 플레이어는 동일한 확률로 두 개의 문을 선택하고 있으며, 다른 문을 선택할 기회는 아무런 차이가 없다고 생각할 수 있습니다.그러나 확률 공간을 분석하면 참가자가 새로운 정보를 얻었음이 밝혀지고 다른 문으로 바꾸면 [28]우승 확률이 높아집니다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ 엄밀히 말하면, 시험 횟수가 임의로 커짐에 따라 결과의 빈도는 예측 가능한 값으로 수렴될 것이 거의 확실하다.비컨버전스 또는 다른 값으로의 컨버전스도 가능하지만 확률은 0입니다.

레퍼런스

  1. ^ 옥스포드 영어 사전은 "랜덤"을 "확실한 목적이나 목적이 없음; 특정한 방향으로 보내지거나 안내되지 않음; 방법이나 의식적인 선택 없이 만들어지고, 행해지고, 발생함 등; 무작위"로 정의한다.
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  3. ^ 제3회 몬테카를로 방법 워크숍 (하버드대 통계학 교수)
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  7. ^ 레슬리 애드킨스 1998년 ISBN 0-19-512332-8 페이지 279
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외부 링크

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