거의 틀림없이

확률론에서 사건은 확률 1(또는 르베그 측도 ^[1]1)에서 발생할 경우 거의 확실하게(때로는 a.s로 줄여서) 발생한다고 합니다.즉, 가능한 예외 집합은 비어 있지 않을 수 있지만 확률은 0입니다.이 개념은 측정 이론의 "거의 모든 곳"의 개념과 유사합니다.

유한 표본 공간에 대한 확률 실험에서는 거의 확실성과 확실성 사이에 차이가 없는 경우가 많습니다(확률이 1인 경우 모든 표본 점을 포함시키는 경우가 많기 때문입니다).그러나 표본 공간이 무한 ^[2]집합인 경우 무한 집합은 확률 0의 부분 집합을 비워두지 않을 수 있기 때문에 이 구별이 중요합니다.

이 개념의 사용 예로는 대수의 법칙의 강력하고 균일한 버전과 브라운 운동 경로의 연속성이 있다.

거의 확실하게 (a.c.)와 거의 항상 (a.a.)라는 용어도 사용된다.거의 확실하게 그 반대를 설명하지 않습니다.확률이 0인 사건은 거의 발생하지 않습니다.^[3]

형식적 정의

( $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ $)(\displaystyle(\Omega,$ {\ $mathcal {F}},P))$ 을 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 확률공간으로 합니다 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ $E\in {\mathcal {F}}$ E는 $($ $P(E)=1$ $(\$ $displaystyle$ $P$ $(E$ $)$ $P(E^{C})=0$ $1$ )이면 거의 확실하게 발생합니다. 마찬가지로E $(\$ $displaystyle$ $P(E^{C})=0$ E $)$ 가 $E$ 발생하지 $E$ 않을 확률이 0: $($ )이면 거의 확실하게 $E$ 합니다.거의 확실히 만약 EC{\displaystyle E^{C}}null집합에 포함되어 있은 P=0{P(N)=0\displaystyle}.[4] 여(N)E⊆ Ω{\displaystyle E\subseteq \Omega}(반드시 F{\displaystyle{\mathcal{F}}}):F{\displaystyle{{F\mathcal}의 하위 집합 N{N\displaystyle}}} 일어난다.en거의 확실성은 확률 $측도$ P(\ $displaystyle$ P $P$ 에 따라 달라집니다. 이 의존성을 강조할 필요가 있는 경우, 이벤트 $E$ (\ $displaystyle$ E $)$ 는 $E$ 거의 확실하게 P $displaystyle \left(\)$ 라고 $\left(\!P\right)$ 하는 것이 일반적입니다. $P\$ right $\left(\!P\right)$

예시

일반적으로, 다음과 같은 예시와 같이, 문제의 확률 공간에 사건에 속하지 않는 결과가 포함되더라도 사건은 "거의 확실히" 발생할 수 있다.

다트 던지기

단위 정사각형(면적 1의 정사각형)에 다트를 던져 정사각형의 각 점이 똑같이 맞도록 항상 정사각형의 정확한 점을 맞힌다고 상상해 보십시오.정사각형에는 영역 1이 있기 때문에 다트가 정사각형의 특정 부분영역에 부딪힐 확률은 해당 부분영역의 영역과 동일합니다.예를 들어, 오른쪽 절반에 영역 0.5가 있기 때문에 다트가 오른쪽 절반에 맞힐 확률은 0.5입니다.

다음으로, 다트가 단위 사각형 대각선의 정확히 한 점에 명중하는 경우를 고려합니다.정사각형의 대각선 면적은 0이므로 다트가 대각선에 정확히 착지할 확률은 0입니다.즉, 대각선상의 포인트 세트가 비어 있지 않고, 대각선상의 포인트도 다른 포인트와 마찬가지로 가능하지만, 다트는 대각선상에 거의 착지하지 않습니다(대각선상에 착지하지 않습니다).

동전 던지기 반복

이벤트 $\{H\}$ { $\{H\}$ $(\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)$ $}$ $(\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)$ {Displaystyle\{H $,$ { $Displaystyle(\{H,T\},P$ {Displaystyle(\{H, $T\},$ P $(\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)$ {H } { $Displaystyle\}$ {H $\{H\}$ } {Displaystyle\} {H}} {H }} {Displaystyle,T\}}}}}}에 $\{H\}$ 해당하는 (편향상이 발생하는 경우를 생각해 보겠습니다.이 특정 동전의 경우, 앞면이 뒤집힐 확률은 $P(H)=p\in (0,1)$ P ( $P(H)=p\in (0,1)$ $P(H)=p\in (0,1)$ $P(H)=p\in (0,1)$ $P(H)=p\in (0,1)$ δ ( $P(H)=p\in (0,1)$ , $P(H)=p\in (0,1)$ ) { $display$ P(H) $= p\in (0,$ 1 $P(H)=p\in (0,1)$ 이며, 그 결과 꼬리 뒤집기의 보완 사건은 P $P(T)=1-p$ ( $P(T)=1-p$ ) $=$ - $P(T)=1-p$ p (\ $display P-1$ $P(T)=1-p$ 이 된다.

이제 $\omega _{1},\omega _{2},\ldots$ $\omega _{1},\omega _{2},\ldots$ 1, $\omega _{1},\omega _{2},\ldots$ 2, $...(\$ displaystyle $\obmega _{1$ },\ $obmega$ _ ${2$ },\ldots $\omega _{1},\omega _{2},\ldots$ $})$ 및 각 플립의 결과가 다른 모든 플립과 독립적이고 균등하게 분포된다는 가정(즉, 동전이 반복적으로 던져지는 실험이 수행되었다고 가정해 보자.i.동전 던지기 공간에 랜덤 변수 $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ 를 $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ 합니다 $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ ( $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ $X_{i}(\omega )=\omega _{i}$ i ) i $each$ N ${\displaystyle (X_{i$ }) _ ${i\$ in $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ \ $mathbb$ {N} $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ } } $X_{i}(\omega )=\omega _{i}$ ${\$ $X_{i}(\omega )=\omega _{i}$ { $X_{i}(\omega )=\omega _{i}$ displaystyle $X_{$ $i$ $}$ = $obega _{$ i $}.$ e } $X_{i}(\omega )=\omega _{i}$ $X_{i}$ e e $X_{i}$ e each $each$ each each e each e e e e e each $X_{i}$ e e e e e each e e e each e each e e e each

이 경우 머리와 꼬리의 무한 시퀀스가 실험의 가능한 결과입니다.그러나 머리와 꼬리의 특정 무한 시퀀스는 (무한) 실험의 정확한 결과일 확률이 0입니다.이는 i.i.d. 가정에서는 모든 헤드가 $n회$ ({ $displaystyle$ n $}$ 회 $n$ $n$ 에서 뒤집힐 확률이 $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ ( $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ H $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ , $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ , $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ ) $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ ( $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ ) $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ $=$ p $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ \ $displaystyle$ P( $X_{i$ } = $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ H $,$ $i$ , $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ 1 )\ $2$ 라는 것을 의미하기 때문입니다. $^{n$ }= $p^{n$ n $→$ { $displaystyle$ n $\rightarrow\infty}$ 로 $n\rightarrow \infty$ $n\rightarrow \infty$ 0이 됩니다. $p\in (0,1)$ 는 p $p\in (0,1)$ assum ( $p\in (0,1)$ , $p\in (0,1)$ ) { $displaystyle$ p \ $in ( 0$ , $1$ ) by $p\in (0,1)$ 。 $p를$ 0에서 1 사이로 엄격히 $p$ 한다면 아무리 동전을 앞면으로 치우쳐도 결과는 같습니다.실제로 극히 적은 확률로 ^[5]비표준 분석에서도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

또한 "토스의 시퀀스에 적어도 하나의 $T$ 가 $포함$ 되어 있다 $T$ 는 이벤트도 거의 확실하게 발생할 것이다(예: 확률 1).단, 무한정 횟수의 플립 대신 1,000,000회 정도의 한정된 시간 후에 플립이 정지하면 전체 헤드 $p^{1,000,000}$ $p^{1,000,000}$ $,$ $000$ ({ $displaystyle$ p $^{1, 000$ 을 얻을 확률은 0이 아닌 반면 적어도 하나의 꼬리, $1-p^{1,000,000}$ - $, 000$ { $000}$ 을 얻을 확률은 0이 됩니다. $00,000$ 은(는) 더 이상 1이 아닙니다(즉, 이벤트는 더 이상 거의 확실하지 않습니다).

점근적으로 거의 확실하다

점근 분석에서, 일련의 집합에 걸쳐 확률이 1로 수렴되면 특성은 거의 점근적으로 확실히 유지된다고 한다.예를 들어, 수 이론에서 큰 수는 소수 정리에 의해 점근적으로 거의 확실하게 합성되며, 랜덤 그래프 이론에서 "G ( $G(n,p_{n})$ $G(n,p_{n})$ n $)\style$ G ( $n,$ p_{ $n})"$ ( $G(n,p)$ 서 $G(n,p)$ G ( $G(n,p)$ p $)\$ $displaystyle$ $G(n,p)$ G ( $n,p$ $)\$ displaystyle g (n $,$ p)\displaystyle p_{n}}}는 $G(n,p_{n})$ $G(n,p)$ $n$ 꼭지점을 가진 n위의 $n$ 를 나타낸다. $robability$ p(\ $displaystyle$ p $p$ 는 $\varepsilon >0$ (\ $displaystyle \varepsilon$ > 0 $)$ 일 때 true입니다.

p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon)\ln n}{n}}.

^[6]

숫자 이론에서는, 이것을 「거의 모든 수」라고 부릅니다.이것은 「거의 모든 수」에서와 같습니다.마찬가지로 그래프 이론에서는 이를 "거의 확실하게"^[7]라고 부르기도 한다.

「」를 참조해 주세요.

거의.
거의 모든 곳에서 측정 이론의 해당 개념은
랜덤 변수의 컨버전스, "거의 확실한 컨버전스
크롬웰의 법칙은 확률은 거의 0이나 1로 설정해서는 안 된다는 것이다.
'거의 확실하게 일정'한 디폴트 디스트리뷰션
앞에서 언급한 용어를 사용한 정리인 무한 원숭이 정리
수학 용어 목록

메모들

^ Weisstein, Eric W. "Almost Surely". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-16.
^ "Almost surely - Math Central". mathcentral.uregina.ca. Retrieved 2019-11-16.
^ Grädel, Erich; Kolaitis, Phokion G.; Libkin, Leonid; Marx, Maarten; Spencer, Joel; Vardi, Moshe Y.; Venema, Yde; Weinstein, Scott (2007). Finite Model Theory and Its Applications. Springer. p. 232. ISBN 978-3-540-00428-8.
^ Jacod, Jean; Protter (2004). Probability Essentials. Springer. p. 37. ISBN 978-3-540-438717.
^ Williamson, Timothy (2007-07-01). "How probable is an infinite sequence of heads?". Analysis. 67 (3): 173–180. doi:10.1093/analys/67.3.173. ISSN 0003-2638.
^ Friedgut, Ehud; Rödl, Vojtech; Rucinski, Andrzej; Tetali, Prasad (January 2006). "A Sharp Threshold for Random Graphs with a Monochromatic Triangle in Every Edge Coloring". Memoirs of the American Mathematical Society. AMS Bookstore. 179 (845): 3–4. doi:10.1090/memo/0845. ISSN 0065-9266. S2CID 9143933.
^ Spencer, Joel H. (2001). "0. Two Starting Examples". The Strange Logic of Random Graphs. Algorithms and Combinatorics. Vol. 22. Springer. p. 4. ISBN 978-3540416548.

레퍼런스

Rogers, L. C. G.; Williams, David (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales. Vol. 1: Foundations. Cambridge University Press. ISBN 978-0521775946.
Williams, David (1991). Probability with Martingales. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. ISBN 978-0521406055.

[1] Weisstein, Eric W. "Almost Surely". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-16.

[2] "Almost surely - Math Central". mathcentral.uregina.ca. Retrieved 2019-11-16.

[Gradel-3] Grädel, Erich; Kolaitis, Phokion G.; Libkin, Leonid; Marx, Maarten; Spencer, Joel; Vardi, Moshe Y.; Venema, Yde; Weinstein, Scott (2007). Finite Model Theory and Its Applications. Springer. p. 232. ISBN 978-3-540-00428-8.

[Jacod-4] Jacod, Jean; Protter (2004). Probability Essentials. Springer. p. 37. ISBN 978-3-540-438717.

[5] Williamson, Timothy (2007-07-01). "How probable is an infinite sequence of heads?". Analysis. 67 (3): 173–180. doi:10.1093/analys/67.3.173. ISSN 0003-2638.

[RandGraph-6] Friedgut, Ehud; Rödl, Vojtech; Rucinski, Andrzej; Tetali, Prasad (January 2006). "A Sharp Threshold for Random Graphs with a Monochromatic Triangle in Every Edge Coloring". Memoirs of the American Mathematical Society. AMS Bookstore. 179 (845): 3–4. doi:10.1090/memo/0845. ISSN 0065-9266. S2CID 9143933.

[Springer-7] Spencer, Joel H. (2001). "0. Two Starting Examples". The Strange Logic of Random Graphs. Algorithms and Combinatorics. Vol. 22. Springer. p. 4. ISBN 978-3540416548.

[1]

[2]

[3]

[5]

[6]

[7]

Search

거의 틀림없이

네임스페이스

더

목차

형식적 정의

예시

다트 던지기

동전 던지기 반복

점근적으로 거의 확실하다

「」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

Search

거의 틀림없이

형식적 정의

예시

다트 던지기

동전 던지기 반복

점근적으로 거의 확실하다

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

「」를 참조해 주세요.