삼체 문제

물리학과 고전역학에서 3체질 문제는 3점 질량의 초기 위치와 속도(또는 모멘텀a)를 취하여 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력의 법칙에 따라 후속 운동을 해결하는 문제다.^[1] 3체질 문제는 n체질 문제의 특수한 경우다. 두 신체 문제와 달리 일반적인 폐쇄형 해결책은 존재하지 않는데,^[1] 그 결과 발생하는 동적 시스템은 대부분의 초기 조건에서 혼란스럽고, 일반적으로 수치적 방법이 요구되기 때문이다.

역사적으로, 확장된 연구를 받은 최초의 특정한 3체질 문제는 달, 지구, 그리고 태양과 관련된 문제였다.^[2] 확장된 현대적 의미에서 3체 문제는 세 개의 입자의 움직임을 모형화하는 고전역학이나 양자역학에서 어떤 문제라도 된다.

수학적 설명

3체 문제의 수학적 진술은 $벡터{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {위치}_{}}$ r ${\displaystyle {i\mathbf{}}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ z $){\$$displaystyle$ $\mathbf{r_{i}} =(x_{i}},y_{i}},$$z_$${$i$}}})$의 뉴턴$$ 방정식으로 주어질 수 있다$.$

${\displaystyle{\begin{정렬}{\ddot{\mathbf{r}}}_{\mathbf{1}}&=-Gm_{2}{\frac{\mathbf{r_{1}}-\mathbf{r_{2}}}{\mathbf{r_{1}}-\mathbf{r_{2}}^{3}}}-Gm_{3}{\frac{\mathbf{r_{1}}-\mathbf{r_{3}}}{\mathbf{r_{1}}-\mathbf{r_{3}}^{3}}},\\{\ddot{\mathbf{r}}}_{\mathbf{2}}&=-Gm_{3}{\frac{\mathbf{{2r_}}-\mathbf{r_{3}}. }{\mathBf{r_{2}}-\mathbf{r_{3}}^{3}}}-Gm_{1}{\frac{\mathbf{{2r_}}-\mathbf{r_{1}}}{\mathbf{{2r_}}-\mathbf{r_{1}}^{3}}},\\{\ddot{\mathbf{r}}}_{\mathbf{3}}&=-Gm_{1}{\frac{\mathbf{r_{3}}-\mathbf{r_{1}}}{\mathbf{r_{3}}-\mathbf{r_{1}}^{3}}}-Gm_{2}{\frac{\mathbf{r_{3}}-\mathbf{r_{2}}}{\mathbf{r_{3}}-\mathbf{r_{2}}^{.3}}}.\end{정렬}}}$

여기서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 중력 상수다.^[3][4] 이것은 9개의 2차 미분 방정식 세트다. 이 문제는 해밀턴식 형식주의에서도 동등하게 진술할 수 있는데, 이 경우에는 $위치{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ r ${\displaystyle {i\mathbf{}}_{}}$ ${\$와 momenta ${\displaystyle {p\mathbf{}}_{}}$ ${\$의 각 구성 요소별로 1차 미분 방정식으로 설명된다.

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},}$

여기서 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 해밀턴어:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{ \mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{ \mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{ \mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.}$

이 경우 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 단순히 시스템의 총 에너지, 중력+운동체일 뿐이다$$.

제한된 3차체 문제

제한된 3체질 문제에서는 무시해도 될 정도의 질량('플레토이드')의 몸체가 두 개의 거대한 몸의 영향을 받아 움직인다.^[3] 무시해도 될 정도의 질량을 가지면, 플라네토이드가 두 개의 거대한 몸에 가하는 힘은 무시될 수 있고, 시스템은 분석될 수 있으며 따라서 두 개의 몸체 움직임의 관점에서 설명될 수 있다. 보통 이 두 몸체의 운동은 질량 중심 주위를 도는 원형 궤도로 구성되도록 취하며, 플라네토이드는 원형 궤도에 의해 정의된 평면에서 이동하는 것으로 가정한다.

제한적인 3체질 문제는 전체 문제보다 이론적으로 분석하기 쉽다. 그것은 또한 많은 실제 문제들을 정확하게 묘사하고 있기 때문에 실질적인 관심사인데, 가장 중요한 예는 지구-달-선 시스템이다. 이러한 이유로 삼체문제의 역사적 전개에 중요한 역할을 차지하고 있다.

수학적으로 그 문제는 다음과 같이 명시되어 있다. Let ${\displaystyle m_{1,2}}$ be the masses of the two massive bodies, with (planar) coordinates ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ and ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, and let ${\displaystyle (x,y)}$ be the coordinates of the planetoid. 단순성을 위해, 중력 상수뿐만 아니라 두 거대한 몸체 사이의 거리가 $모두{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle$1}과 같도록 단위를 선택한다$.$ 그런 다음, 플라네토이드의 운동은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}}$. In this form the equations of motion carry an explicit time dependence through the coordinates ${\displaystyle x_{i}(t),y_{i}(t)}$. However, this time dependence can be removed th후속 분석을 단순화하는 회전 기준 프레임으로의 대략적인 변환

해결 방법

일반용액

3체 문제에 대한 일반적인 폐쇄형 해법은 없으며,^[1] 이는 한정된 수의 표준 수학 연산을 기준으로 표현할 수 있는 일반적인 해법이 없다는 것을 의미한다. 더구나 세 몸의 움직임은 특별한 경우를 제외하고는 일반적으로 반복되지 않는다.^[5]

그러나 1912년 핀란드 수학자 카를 프리티오프 순드만은 t의^1/3 힘 측면에서 파워 시리즈 형태의 3체 문제에 대한 분석적 해결책이 존재한다는 것을 증명했다.^[6] 이 시리즈는 0 각운동량에 해당하는 초기 조건을 제외하고 모든 실제 t에 대해 수렴한다. 실제로 각운동량이 0인 초기 조건이 드물기 때문에 르베그 측정값이 0인 경우 후자의 제한은 미미하다.

이 결과를 입증하는 데 있어 중요한 문제는 이 시리즈의 수렴 반경이 가장 가까운 특이점까지의 거리에 의해 결정된다는 사실이다. 따라서 3체질 문제의 가능한 특이점을 연구할 필요가 있다. 아래에서 간략히 논의하겠지만, 3체 문제의 유일한 특이점은 이항 충돌(한 순간에 두 입자 사이의 충돌)과 3중 충돌(한 순간에 세 입자 사이의 충돌)뿐이다.

충돌은 2진수든 3진수든(사실상 어떤 숫자든) 다소 가능성이 희박하다. 왜냐하면 충돌은 측정 0의 초기 조건에 해당한다는 것이 입증되었기 때문이다. 단, 해당 용액의 충돌을 피하기 위해 초기 상태에 두는 것으로 알려진 기준은 없다. 그래서 순드만의 전략은 다음과 같은 단계로 구성되었다.

1. 변수의 적절한 변화를 사용하여 정규화라고 알려진 프로세스에서 이항 충돌을 넘어 솔루션을 계속 분석한다.
2. 3중 충돌은 각운동량 L이 사라질 때만 발생한다는 것을 증명한다. 초기 데이터를 L ≠ 0으로 제한함으로써, 그는 3체 문제에 대한 변형 방정식에서 모든 실제 특이점을 제거했다.
3. L 0 0이면 삼중 충돌은 있을 수 없을 뿐만 아니라, 시스템은 삼중 충돌로부터 엄격히 경계되어 있다는 것을 보여준다. 이는 미분방정식에 카우치의 존재 정리를 사용함으로써 실제 축을 중심으로 한 복잡한 평면(코발렙스카야의 그림자)에서 스트립(L의 값에 따라)에 복잡한 특이점이 없음을 암시한다.
4. 이 스트립을 장치 디스크에 매핑하는 정합 변환을 찾으십시오. 예를 들어, s = t^1/3(정규화 후 새로운 변수)와 ln s ≤ β가 있는 경우, 이 맵은 다음과 같이 주어진다.^{[clarification needed]}

${\displaystyle \pima ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\pi s}}:{e^{\pi s}{2\pi s}}}}}}{\pi s}}}}}}}{\pi s}}}}}}}}}}}}}{\frac {e^}$

이로써 순드만의 정리 증명은 끝났다.

그러나 그에 상응하는 시리즈는 매우 느리게 수렴된다. 즉, 의미 있는 정밀도의 가치를 얻기 위해서는 너무 많은 용어가 필요하기 때문에 이 솔루션은 거의 실용적이지 않다. 실제로 1930년 데이비드 벨로리스키는 선드만의 시리즈가 천문 관측에 사용된다면 그 연산에는 적어도 10개의^8000000 항이 포함될 것이라고 계산했다.^[7]

특수 케이스 솔루션

1767년, 레온하르트 오일러는 세 개의 질량이 매 순간 일치되는 주기적인 해결책의 세 가족을 발견했다. 오일러의 세 몸 문제를 보라.

1772년 라그랑주는 세 덩어리가 매 순간 등각 삼각형을 이루는 해결책의 가족을 발견했다. 오일러의 콜린어 솔루션과 함께, 이 솔루션들은 3체 문제의 중심 구성을 형성한다. 이 용액은 모든 질량 비율에 유효하며 질량은 케플러안 타원 위로 이동한다. 이 네 가지 가문은 명확한 분석 공식들이 있는 알려진 유일한 해결책이다. 순환 제한 3체 문제의 특수한 경우, 프라이머리와 함께 회전하는 프레임으로 본 이러한 솔루션은 L₁, L₂, L₃, L, L₄, L이라고₅ 하는 포인트가 되고, L과₄ L은₅ 라그랑주 솔루션의 대칭적인 인스턴스(instance)가 된다.

1892–1899년에 요약된 연구에서, 앙리 푸앵카레는 이러한 해결책들을 일반적인 3-신체 문제로 계속 이어나가는 기술과 함께 제한된 3-신체 문제에 대한 무한정 많은 주기적 해결책의 존재를 확립했다.

1893년 메이셀은 현재 피타고라스 3체 문제라고 불리는 것을 진술했다: 3:4:5의 비율 중 3 질량은 3:4:5 직각 삼각형의 정점에 정지해 있다. 부르라는^[8] 1913년에 이 문제를 더 자세히 조사했다. 1967년 Victor Szebely와 C. 프레데릭 피터스는 수치적 통합을 통해 이 문제에 대한 궁극적인 탈출구를 확립함과 동시에 가까운 주기적 해결책을 찾아냈다.^[9]

1970년대에는 미셸 헤논과 로저 A. Broucheck는 각각 같은 솔루션 제품군의 일부를 구성하는 일련의 솔루션을 발견했다: Broucheck–헤논-하지다메트리오 가문. 이 가족에서 세 개의 물체는 모두 같은 질량을 가지며 역행과 직행 형태를 둘 다 나타낼 수 있다. 브룩의 해결책들 중 몇몇에서 두 구의 시체는 같은 길을 따른다.^[10]

1993년 산타페 연구소에서 물리학자인 크리스 무어에 의해 세 개의 동일한 질량을 가진 제로 각운동량 솔루션이 수치로 발견되었다.^[12] 그것의 공식적인 존재는 수학자 알랭 첸시너와 리처드 몽고메리에 의해 2000년에 증명되었다.^[13][14] 이 해법은 질량과 궤도 매개변수의 작은 동요에 대해 안정성이 있는 것으로 수치적으로 보여졌으며, 이는 물리적 우주에서 그러한 궤도를 관측할 수 있다는 것을 가능하게 한다. 다만 안정성이라는 영역이 작기 때문에 이번 사태가 발생할 가능성은 낮다는 주장이 제기됐다. 예를 들어, 그림-8 궤도를 생성하는 이항-이항 산란 사건의^{[clarification needed]} 확률은 1%^[15]의 작은 부분으로 추정되었다.

2013년 베오그라드 물리학 연구소의 물리학자 밀로반 슈바코프와 벨지코 드미트라시노비치는 같은 질량의 제로-모멘텀 3체 문제에 대한 13가지 새로운 해결책들을 발견했다.^[5][10]

2015년 물리학자인 아나 후도말은 같은 질량의 제로 직사각형-모멘텀 3체 문제에 대한 14가지 새로운 해결책들을 발견했다.^[16]

2017년 샤오밍 리와 시준 리오는 같은 질량 제로-모멘텀 3체 문제의 669개의 새로운 주기적 궤도를 발견했다.^[17] 이것은 2018년에 불평등한 질량의 제로-사각형-모멘텀 시스템을 위한 추가 1223개의 새로운 해결책이 뒤따랐다.^[18]

2018년, 리와 리오는 불평등한 질량의 "자유 낙하" 세 신체 문제에 대한 234개의 해결책을 보고했다.^[19] 3체질 문제의 자유낙하제형은 3체질이 모두 정지된 상태에서 시작된다. 이 때문에 자유낙하 구성의 질량은 닫힌 '루프'에서 공전하지 않고 열린 '트랙'을 따라 앞뒤로 이동한다.

수치 접근법

컴퓨터를 사용하면 정밀도가 높아 CPU 시간이 많이 소요되지만 수치적 통합으로 임의의 고정밀도로 문제를 해결할 수 있다. 무작위 보행 이론을 사용하여 다른 결과의 확률을 계산할 수 있다.^[20][21]

역사

전통적인 의미에서의 세 신체의 중력 문제는 아이작 뉴턴이 그의 철학적인 자연주의 공상 과학을 발표한 1687년부터 본질적으로 시작되었다. 공국 제1권 제66호와 그 22개의 코롤라리에서 뉴턴은 상호 동요하는 중력 명소의 대상인 세 개의 거대한 신체의 움직임 문제에 대한 정의와 연구의 첫 단계를 밟았다. 제3권 제25권부터 35권까지의 프로포즈에서도 뉴턴은 프로포즈 66의 결과를 달 이론, 즉 지구와 태양의 중력 영향 아래에서 달의 운동으로 적용하는 첫 걸음을 내디뎠다.

육체적 문제는 아메리고 베스푸치가, 그 후 갈릴레오 갈릴레이가 해결했다. 1499년 베스푸치는 달의 위치에 대한 지식을 이용하여 브라질에서의 그의 위치를 결정하였다. 그것은 1720년대에 기술적 중요성이 대두되었는데, 존 해리슨이 해양 크로노미터의 발명에 의해 실제로 해결된 항해, 특히 해상에서의 경도의 결정을 위한 정확한 해결책이 적용 가능하기 때문이다. 그러나 태양과 행성들이 지구 주위에서 달의 움직임에 미치는 동요 효과 때문에 달 이론의 정확도는 낮았다.

오랜 경쟁 관계를 발전시킨 장 르 론드 달랑베르트와 알렉시스 클레라우트는 둘 다 어느 정도 일반성으로 이 문제를 분석하려고 시도했다; 그들은 1747년 아카데미 로얄 데스 사이언스에 경쟁적인 첫 분석서를 제출했다.^[22] 1740년대 파리에서 '삼체 문제'(프랑스어: 프로블렘 데 트로이스 군단)라는 이름이 보편적으로 쓰이기 시작한 것은 그들의 연구와 관련이 있었다. 1761년 장 르 론드 달렘베르트에 의해 출판된 계정은 그 이름이 1747년에 처음 사용되었음을 나타낸다.^[23]

조지 윌리엄 힐은 19세기 후반에 제한된 문제를 연구했다.^[24]

브린 등은 2019년 3체 문제를 해결하기 위한 빠른 신경망 해결사를 발표했는데, 이 해결사는 수치적 통합자를 이용해 훈련했다.^[25]

그 밖에 세 구의 시체와 관련된 문제

"삼체 문제"라는 용어는 세 신체의 상호작용을 수반하는 어떤 물리적 문제를 언급하기 위해 더 일반적인 의미로 사용되기도 한다.

고전역학에서 중력 3체 문제의 양자-기계적 아날로그는 헬륨 원자인데, 헬륨 핵과 두 전자가 역제곱 쿨롱 상호작용에 따라 상호작용한다. 중력 3체 문제처럼 헬륨 원자도 정확히 해결할 수 없다.^[26]

그러나 고전 역학과 양자 역학 모두에서 정확한 분석적 3-신체 해법으로 이어지는 역제곱 힘 외에 비종교적 상호작용 법칙이 존재한다. 그러한 모델 중 하나는 조화 유인력과 역큐브 힘의 조합으로 구성된다.^[27] 이 모델은 특이점을 포함하는 비선형 미분 방정식의 집합과 연관되어 있기 때문에 비교가 되지 않는다(예를 들어, 고조파 상호작용만으로 쉽게 해결되는 선형 미분 방정식의 시스템으로 이어진다). 이 두 가지 측면에서 쿨롱 상호작용을 하는 (불용성) 모델과 유사하며, 그 결과 헬륨 원자와 같은 물리적 시스템을 직관적으로 이해하기 위한 도구로 제안되었다.^[27][28]

중력 3체 문제도 일반상대성이론을 이용해 연구됐다. 물리적으로 블랙홀의 사건 지평선 부근과 같이 매우 강한 중력장을 가진 시스템에서는 상대론적 치료가 필요하게 된다. 그러나 상대론적 문제는 뉴턴 역학에서보다 상당히 어려우며, 정교한 숫자 기법이 요구된다. 전체 2체 문제(즉, 질량의 임의 비율에 대한)조차도 일반 상대성에서는 엄격한 분석 솔루션을 가지고 있지 않다.^[29]

n-body 문제

3체 문제는 n체 문제의 특수한 경우로, n체가 중력과 같은 물리적인 힘 중 하나 아래에서 어떻게 움직이는지를 기술하고 있다. 이러한 문제들은 카를 F에 의해 증명된 바와 같이 수렴 전력 시리즈의 형태로 세계적인 분석 솔루션을 가지고 있다. n은 순만 = 3이고 n > 3은 추동왕( wang東王)의 순만(자세한 내용은 n-body problem)을 참조한다. 그러나 순드만과 왕 시리즈는 너무 느리게 수렴하여 실용적 목적을 위해 무용지물이므로,^[30] 현재는 수치적 통합의 형태로 수치해석하거나 어떤 경우에는 고전적 삼각계열 근사치(n-body simulation 참조)에 의한 해법의 근사치가 필요하다. 원자, 이온, 분자와 같은 원자 시스템은 양자 n-body 문제의 관점에서 처리될 수 있다. 고전적인 물리적 시스템들 중에서, n-body 문제는 보통 은하계나 은하단체를 가리킨다; 별, 행성, 그리고 그들의 위성과 같은 행성계는 또한 n-body 시스템으로 취급될 수 있다. 어떤 애플리케이션은 시스템이 두 신체 문제 + 가상의 두 신체 궤적에서 편차를 일으키는 추가 힘으로 간주되는 섭동 이론에 의해 편리하게 처리된다.

대중문화에서

1951년 고전 공상과학 영화 '지구가 정지한 날'에서 외계인 클라투는 미스터 카펜터라는 필명을 사용하여 교수에 대한 방정식에 주석을 달았다. 반하트의 칠판. 그 방정식은 삼체 문제의 특정한 형태에 대한 정확한 설명이다.

중국 작가 류시신의 '지구의 과거 기억' 3부작 1권은 '삼체 문제'라는 제목으로 3체 문제를 중심 플롯 장치로 다루고 있다.^[31]

참고 항목

참조

추가 읽기

외부 링크

• Chenciner, Alain (2007). "Three body problem". Scholarpedia. 2 (10): 2111. Bibcode:2007SchpJ...2.2111C. doi:10.4249/scholarpedia.2111.
• 3체질 문제에 대한 13가지 새로운 해결책을 발견한 물리학자들(과학)